教学目标:
佃.2.3正方形
1 ?掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.
2?理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩
形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力. 教学重点、难
点
1 ?教学重点：正方形定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
2?教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 教
学过程：
第一时段：课前
预习提纲：
1 、阅读教材，思考本节课的重点知识有哪些?
2 、完成课后的基础性练习；
3 、在课本上标出自己不理解或不明白的地
方。
第二时段：课中
一、有趣的导入
1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系. 问题：什么样的四边形是正方形?
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意:
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形
2.［问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.
、矩|形
\ I 正方形
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 、知识的输入
例 1 （教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形. 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 、BD 相交于点0 （如图）.
求证：△ ABO 、△ BCO 、△ CDO 、△ DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明：???
四边形ABCD 是正方形，
AC=BD , AC 丄 BD ,
AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） . ??? △ ABO 、△ BCO 、△ CDO 、△ DAO 都是等腰直角三角形，
并且 △ ABO BCO ^A CDODAO .
例2 （补充）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O , E 是OB 上
的一点，DG 丄AE 于G , DG 交OA 于F .求证：OE=OF .
分析：要证明 OE=OF ，只需证明△ AEO DFO ,由于正方形的对角线垂直
平分且相等，可以得到/ AOE= / DOF=90 , AO=DO ,再由同角或等角的余角相等可以得到 / EAO= / FDO ，根据ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得.
三、智慧的点拨
例3 （补充）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、C 两点作
l i // I 2,作BM 丄X 于M , DN 丄h 于N ，直线 MB 、DN 分别交I ?于Q 、P 点.
求证：四边形 PQMN 是正方形.
分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证△ ABM DAN ，证
四、练习的有效 1. __________________ 正方形的四条边 ________ —__，四个角 — ，两条对角线
2. 下列说法是否正确，并说明理由.
① 对角线相等的菱形是正方形； （）
② 对角线互相垂直的矩形是正方形； （）
③ 对角线垂直且相等的四边形是正方形； （）
④ 四条边都相等的四边形是正方形； （）
⑤ 四个角相等的四边形是正方形 .（） 1. 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E 、F 分别
为CD 、CB 延长线上的点，且 DE = BF .求证：/ AFE = Z AEF .
4.如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且△ EBC 是等边三角形，求/ EAD 与/
ECD 的度数.
五、输出的彰显
出AM=DN ，用同样的方法证 AN=DP .即可证出 MN=NP .从而得出结论.
C
B /1
D
通过本节课对本节的学习，你学到
，你感悟到 ，你感到最快乐的
第三时段：课后
布置作业
必做题：1.已知：如图，点 延长线上一点，且 DE=BF .
求证：EA 丄AF .
2. 已知：如图，△ ABC 中，/ C=90° CD 平分/ ACB , DE 丄 BC 于 E, DF 丄 AC 于F .求证：四边形 CFDE 是正方形.
选做题：1.已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分/ DAE 交 CD 于 F ,求证：AE=BE+DF .
教学反思：
E 是正方形 ABCD 的边CD 上一点，点
F 是CB 的 B
平面与平面垂直的性质 一、教学重点 对性质定理的理解 二、教学难点 性质定理的引入和证明 三、教学设计 （一）复习回顾 1、面面垂直的定义； 2、面面垂直的判定。（二）探究新知 1、探究问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一 条直线与地面垂直？ 2、猜想 在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、推理证明 已知：α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB. 求证：CD⊥β. 证明： 此命题就是面面垂直的性质定理。 定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直； （2）为判定和作出线面垂直提供依据。
（三）概念巩固 练习：判断下列命题的真假 1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。 2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。 3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直。 4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面。 （四）巩固深化、发展思维 思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线CD与平面α具有什么位置关系？ 猜想：直线CD必在平面α内。 推理证明 （引导）要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策? 证明： 注：（1）此题运用了“同一法”来证明； （2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内. 3、用语言叙述就是:；
（五）应用巩固 上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。 已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。 求证:a⊥γ. （引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明. 证明： 此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。（六）课堂总结 1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？ 2．空间垂直关系有哪些？如何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直关系转化的依据？ 线线垂直线面垂直面面垂直 （七）课堂作业 1、课本73页练习 2、课本74页习题B组第3题 四．目标检测： （一）基础达标 1．P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）. A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC 2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（）. A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C. 若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β
《正方形的判定》的教学设计 教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识。 教学重点：正方形的定义． 教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系． 教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考： （1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ （2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ （3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ （4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ （5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？ 教学过程： 让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片． 问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？ 所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？ 所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？ 由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （一）新课 由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 请同学们推断出正方形具有哪些性质？ 性质１、（１）正方形的四个角都是直角。 （２）正方形的四条边相等。 性质２、（１）正方形的两条对角线相等。 （２）正方形的两条对角线互相垂直平分。 （３）正方形的每条对角线平分一组对角。 例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△ BCO≌△CDO≌△DAO． 问：如何判定一个四边形是正方形呢？ 正方形的判定方法： 1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形； 2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β内一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD
证明： 在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B作AB⊥CD BE⊥CD 二面角∠ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？
F E D C B A 第三讲 正方形的性质与判定 一、知识要点 1．正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： 1 边的性质：对边平行，四条边都相等． 2角的性质：四个角都是直角． 3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． 4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形 3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的矩形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 二、典型例题 例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F ．试说明AP ＝EF ． 分析：由PE ⊥BC ，PF ⊥CD 知，四边形PECF 为矩形，故有EF ＝PC ，这时只需证AP ＝CP ，由正方形对角线互相垂直平分知AP ＝CP ． 解：连结AC 、PC ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD 垂直平分AC ， ∴AP ＝CP ． 正 方形 菱形 矩形平行四边形
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∴AP＝EF． 注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等． ②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中． 思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF． 提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN． 又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE， 而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF． 例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形． 解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AB，同理，DF∥BC， ∴BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是正方形． 思考：还有没有其他方法？ 提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得) 注意：灵活选择正方形的识别方法． 例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
面面垂直的判定 1、如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面 BCC1 B1是菱形，且 B1C A1B 证明：平面 AB1C平面A1BC1 2、如图 ,AB 是⊙O的直径 ,PA 垂直于⊙ O所在的平面 ,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点 , 求证 : 平面 PAC⊥平面 PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是菱形，∠ BCD＝60°，E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD，求证：平面 PBE⊥平面 PAB；
4、如图，在四面体ABCD中， CB＝CD， AD⊥BD，点 E、 F 分别是 AB、BD的中点．求证：(1) 直线 EF∥平面 ACD； (2) 平面 EFC⊥平面 BCD. 5、如图 , 在四棱锥 S-ABCD中, 底面 ABCD是正方形 ,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M是 SD 的中点 ,AN⊥SC,且交 SC于点 N. (I) 求证 :SB∥平面 ACM; (II)求证:平面SAC⊥平面AMN.
面面垂直的性质 1、S 是△ ABC所在平面外一点， SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC. 2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形， 平面 VAD⊥底面 ABCD证明 :AB⊥平面 VAD
3、如图，平行四边形 ABCD 中，DAB 60，AB 2, AD 4 将CBD沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD 。求证： AB DE 4、如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD， ∠BAD=60°， E、F 分别是 AP、AD的中点 求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD
正方形第一课时 一、自主学习 ●目标导学 1、理解并掌握正方形的性质。 2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ●合作探究 【探究一】正方形的定义 1、正方形的定义： 2、正方形与矩形和菱形的关系是 【探究二】正方形的性质 1、归纳正方形的性质：边 角 对角线 对称性 2、用几何语言叙述正方形的性质： 【探究三】正方形的周长与面积 边讲边练： ①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合 1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝° 2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°. 3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： （1）∠E=22.5°；(2) ∠AFC=112.5°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有（） A．5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°. 5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合 1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ） A.90° B.60° C.45° D.30° 2. 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ． ③正方形对角线的对称性 1. 如图：正方形ABCD 中，AC =10，P 是AB 上任意一点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BD 于F ，则PE +PF = .可以用一句话概括：正方形边上的任意 一点到两对角线的距离之和等于 . 思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出 你的结论，并加以说明. 2.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ． 思考：当点P 在DB 的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
第五节直线、平面垂直的判定及其性质 [考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直． (3)推论：如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面． (4)直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行． ②直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 2．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°. 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围是0°≤θ≤180°. 4．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言
判 定定理一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直 ? ? ? l⊥α l?β ?α⊥β 性质定理两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直? ? ? α⊥β l?β α∩β＝a l⊥a ?l⊥α [常用结论] 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. () (2)垂直于同一个平面的两平面平行．() (3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行．() (4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出 “直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件．故选B.] 3．(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?α,m?β.() A．若l⊥β,则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥m C．若l∥β,则α∥βD．若α∥β,则l∥m A[∵l⊥β,l?α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确．]
立体几何之垂直关系 【知识要点】 空间中的垂直关系 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示． 题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥ 例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥
例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥ 题型2 线面垂直判定 例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ?是等边三角形。 ①若ABC ?是等边三角形，证明：PC AB ⊥ ②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥ 例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形， 41=AA 且
ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1 例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90 ，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。证明：⊥D A 1平面BC A 1 题型3 线面垂直性质证明线线垂直 例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,2 1,901= =∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1 例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。求证：AB MN ⊥
正方形的定义性质判定 执笔：陈振华课型：新课审稿：八年级数学组 教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法 预习导航 一、理解定义 1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折 2 由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形 3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形 因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形 二、找性质 1、因为正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，对边_________，四角都 是__________，对角线_______________ 2、因为正方形是特殊的棱形，所以它具有棱形的性质，四边_____，对角线___ ___且_________ 讲例与探究 探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形 （2）若边长为a，求BO的长 D 探究二、 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB 1C 1 D 1 的位置，则图 中阴影部分的面积是
1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形 2、在边长为12cm 的正方形纸片ABCD 的BC 边上有一点P ，已知PB ＝5cm ，如果将纸折起，使点A 落在点P 上，试求折痕的长度。 3、设P 是正方形ABCD 内的一点，满足PA ∶PB ∶PC ＝1∶2∶3，求∠APB ． 4、 ABCD 为正方形，MN ∥AB 且MN 分别交OA 、OB 于M 、N ， 求证：BM ＝CN 。
2、如图，正方形ABCD 中，△BEC 为等边三角形，求∠EAD 的度数 3、四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任一点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ，求证：AE=AF 1．如图(5)，在AB 上取一点C ，以AC 、BC 为正方形 的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。 试猜想AF 与BD 的关系并证明 B A
课题：正方形（性质） 授课人：冯光军 教学目标 知识目标： 了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质． 能力目标： 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 情感目标： 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 教学重点、难点、关键 重点：探索正方形的性质． 难点：掌握正方形的性质． 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容． 教学准备 教师准备：矩形纸片，活动的菱形框架． 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容． 学法解析 1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，?在取得一定的经验的基础上，认知正方形． 2．知识线索： 3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点． 教学过程 一、合作探究，导入新课 显示内容：举出生活中有关正方形例子，展示出正方形图片。 【活动方略】 教师活动：边展示图片，边提出下面的问题： 1．同学们观察的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？?四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3．正方形具有哪些性质呢？ 学生活动：观察展示的正方形图片．进行联想．易知：1．?正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）． 实验活动：教师拿出矩形折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形是正方形． 教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
面面垂直的判定定理和性质定理教学设计 高二数学 彭立丽 一、 教学目标 1． 知识目标：使学生理解和掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题。 2．能力目标：加深学生对化归思想方法的理解及应用． 3．情感目标：通过计算机软件演示来陶冶学生的数学情操．在数学与实际问题密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神，在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团对精神。 二、教学重点、难点 重点：两个平面垂直的判定定理； 难点：两个平面垂直的性质定理及应用 三、教学方法与教学手段 教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．． 教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。 四、教学过程 （一）复习提问：1、直线和平面垂直的判定定理 2、直线和平面垂直的性质定理 （二）导入新课：瓦匠师傅砌墙的图片（多媒体展示） （三）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （要求学生熟练掌握定理内容的符号形式） 例题： A 是ΔBCD 所在平面外一点，AB=AD ，BC=CD,E 是BD 的中点， 求证：(1)BD ⊥平面AEC (2)平面AEC ⊥平面BCD 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （要求同上） 例题：如图，平面AED ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形 求证：EA ⊥CD （四）归纳小结：（从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结） （五）巩固练习1：直角三角形？问：此三棱锥中有几个面已知, ,CD BC BCD AB ⊥⊥ 巩固练习2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，平面PAC ⊥平面ABC 判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系，并证明。 （六）作业：
学生做题前请先回答以下问题 问题1：矩形的定义是什么？正方形的定义是什么？ 问题2：矩形有哪些性质？正方形有哪些性质？ 问题3：矩形的判定定理是什么？ 问题4：正方形的判定定理是什么？ 矩形、正方形的性质和判定（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等 C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.矩形、正方形、菱形的共同性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形 BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长为( )
正方形的性质及判定
正方形的性质 及判定 板块名称 中考考试要求层次 A B C 正方形 会识别正方形 掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题 1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。 3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。 4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点 教学目标 知识点睛 中考要求 正 方形 菱形 矩形平行四边形
重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用 一、正方形的性质 【铺垫】正方形有条对称轴． 【例1】☆⑴已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则: BDEF ABCD S S= 正方形正方形 ⑵如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且 20 AE AF AF ⊥= ，，则BE的长为 F E D C B A ⑶如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点， 若1 AG=，2 BF=，90 GEF ∠=?，则GF的长为． 【例2】☆将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点 12 ... n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 A5 A4 A3 A2 A1 【例3】☆如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE，P是CE上任意一点，PM BC ⊥于M，PN BD ⊥于N，则PM PN +的值为 例题精讲 重、难点
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[0 . （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳 与垂直相关的几个重要结论 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ?α?a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 垂直关系的转化 1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等． 3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α； ②判定定理1： ???? ?m ，n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β． 题型一、直线与平面垂直的判定与性质 1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ； 2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ； (2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． 3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．
**教育ISO讲义 直线、平面垂直的判定及性质 思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ? ????a ，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 ? ??? ?l ?βl ⊥α?α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面 ???? ?α⊥β l ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥ α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈????0，π 2． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫
做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π 2时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．线线、线面、面面垂直间的转化 2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究) 【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
正方形的性质与判定（1） 主讲：叶良国 课题：正方形的性质与判定（1） 课型：新授课 教学目标： 1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重难点： 重点：探索正方形的性质与判定。 难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 想一想：什么是矩形？是菱形？ 做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．叫做正方形． ．．．．．．并且有一个角是直角 ．．．．．．．的平行四边形 看一看：几何画板演示动画
设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。 我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】 二、实践探究，交流新知 师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形． 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间 的关系吗？与同伴交流． 生：画图展示 设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构． 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质 ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． 师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？ 生：学生独立完成，并相互交流 师：正方形有几条对称轴？ 生：思考或者画图验证 师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示） 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。 生：回答正方形判定（多媒体补充显示判定）
A D C B F E M 图3 A N M F E D C B 备课教师备课年级八年级下册课型新授课 备课内容正方形学生 学习目标 1．知道正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 教学准备多媒体课件、矩形纸片、菱形学具 教学过程： 题组训练一 1.请同学们口述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。 平行四边形矩形菱形定义 边 角 对角线
图3
1、探究正方形的性质：（用符号语言填写） 正方形是特殊的平行四边形，既是矩形，又是___________ 边：______________________________________________ 角：________________________________________________ 对角线：_______________________________对称性：_________________________ 2、例：在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且BE ＝AF ，连接CE ，BF 相交于点G 。求证：BF ⊥CE 设计意图：课前学习微视频认识正方形，让学生用类比的方法从边、角、对角线三个角度总结正方形的性质，用文字语言叙述并用几何语言表示。在此基础上观察正方形是不是轴对称图形，并思考对称轴的条数。小组讨论的过程中教师要给与指导，并且重点关注学生能否用几何语言准确表示正方形的性质。教学中渗透转化思想，让学生理解几何语言、文字语言、图形语言三者之间的关系。 合作探究 精讲点拨 课堂升华 E 、 F 、M 、N 是正方形ABCD 四边上的点，AE=BF=CM=DN ，求证：四边形EFMN 是正方形。 设计意图： 练习题设置简单，基础，让学生进一步了解正方形的性质，并熟悉正方形常用的判定方法，教师重点关注学生的思维过程，对学生的答案及时评价，给学生充分的肯定和鼓励。同时注意总结应用的知识点及帮助学生完善思维过程。 B A D C 图1 O A N M F E D C B