第八章第七节双曲线
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汽机题库第八章第六节题库页数:9
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高考数学大一轮复习 第八章 第6节 双曲线课件页数:33
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第八章 第7节 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式-解析版
第7节 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式知识与方法1.如图1所示，1F 、2F 是椭圆的焦点，设P 为椭圆上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2S b θ=. 2.如图2所示，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.典型例题【例1】设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式，12243tan 4tan302PF F S b θ==⨯︒43变式1 设1F 、2F 是椭圆22218x y b+=()022b <<的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，且12F PF 43b =________.【解析】由焦点三角形面积公式，122243tan tan3022F PF S b b b θ==︒=⇒=.【答案】2变式2 设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________. 【解析】设12F PF θ∠=，则21221tan 12cos cos 31tan 2F PF θθθ-∠===+，所以21tan 22θ=， 由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 2θ=故1222tan 4222PF F S b θ===【答案】2变式 3 设1F 、2F 是椭圆22214x y a +=()2a >的焦点，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=________.【解析】记12F PF θ∠=，则60θ=︒，12243tan 4tan302PF F S b θ==⨯︒=，又12121213sin 24PF F SPF PF PF θ=⋅⋅⋅123434PF ⋅12163PF PF ⋅=. 【答案】163变式4 设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________. 【解析】解法1：如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得1222F F = 由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅， 所以2121222sin 1cos F PF F PF ∠-∠， 故1212121122sin 31222PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯=解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式， 123PF PF =即为0022232⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得：02x = 又2200142x y +=，所以22002114x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而01y =，易求得1222F F =12120122PF F S F F y =⋅2【反思】不是每一道题都能很方便地代公式计算焦点三角形面积，所以掌握焦点三角形面积公式的推导方法也是有必要的.【例2】已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122333tan 30tan2PF F b S θ===︒ 【答案】33变式1 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++， 所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 2θ=12232tan2PF F b Sθ==.【答案】32变式2 已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.【解析】由焦点三角形面积公式，12233tan 60tan2PF F b Sθ===︒又1212121213sin 24PF F SPF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅12334PF ⋅= 故124PF PF ⋅=， 由双曲线定义，122PF PF -=，解得：115PF =+ 【答案】15+变式3 （2020·新课标Ⅲ卷）双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为5，P 是C 上一点，12F P F P ⊥，若12PF F 的面积为4，则a =（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【解析】解法1：2222255552ce c a c a a b a b a a==⇒=⇒+=⇒=，不妨设P 在双曲线C 的右支上，则122PF PF a -=，因为12F P F P ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故()221212122PFPF PF PF F F -+⋅=，从而2212424a PF PF c +⋅=，故22212222PF PF c a b ⋅=-=，所以12212142PF F SPF PF b =⋅==，解得：2b =，故1a =. 解法2：1222242tan 45tan2PF F b b S b b θ====⇒=︒， 22222555512c be c a c a a b a a a ==⇒=⇒+=⇒==.【答案】A强化训练1.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22154x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且1230F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】()122tan60tan 45tan 4tan154tan 6045484321tan60tan 45PF F S b θ︒-︒==⨯︒=⨯︒-︒=⨯=-+︒︒【答案】83- 2.（★★★）设1F 、2F 是双曲线22:145x y C -=的左、右焦点，P 为C 上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，12255tan 45tan2PF F b S θ===︒. 【答案】53.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=-，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则221221tan 112cos cos tan 23321tan 2F PF θθθθ-∠==-⇒=-⇒=+， 由1cos 03θ=-<知2παπ<<，所以422πθπ<<，从而tan 22θ=，故12122PF F S =24.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上的一点，且1260F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，122323tan 22PF F S b θ===另一方面，12120001122222PF F S F F y y =⋅=⋅=0232y =，解得：06y =,又2200142x y +=，结合00x >可得2002642x y =-P 的坐标为266⎝⎭. 【答案】266⎝⎭5.（★★★）已知双曲线22:163x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】设12F PF θ∠=，则2221tan 312cos tan 4271tan θθθθ-==⇒=+， 因为0θπ<<，所以022θπ<<，故7tan 2θ=12237tan 2PF F b S θ== 【答案】376.（★★★）已知双曲线22142x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足12PF F 的面积为2，则12PF F 的周长为________. 【解析】122222121222tan190242tantan22PF F b SPF PF F F θθθθ===⇒=⇒=︒⇒+==，又124PF PF -=， 所以22212121212122242164PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=⇒⋅=，从而()2121212442PF PF PFPF PF PF +=-+⋅=故12PF F 的周长121226L PF PF F F =++= 【答案】42267.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，P 为C 在第一象限上的一点，若12120F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，12120001123322PF F S F F y =⋅=⋅=，另一方面，12213tan 60tan 2PF F b S θ===︒033y =，从而013y =，代入双曲线方程结合00x >可解得：025x =P 的坐标为2513⎫⎪⎪⎝⎭. 【答案】2513⎫⎪⎪⎝⎭8.（2020·新课标Ⅰ卷·★★★）设1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上且2OP =，则12PF F 的面积为（ ）A.7B.3C.52D.2【解析】如图，设(),P x y ，则222243213x y y y x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩,由题意，124F F =，所以12134322PF F S =⨯⨯=.解法2：如图，由题意，124F F =， 12212121329032tan 45tan2PF F b OP F F F PF Sθ==⇒∠=︒⇒===︒.【答案】B9.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则|12PF PF ⋅=（ ）A.2B.4C.6D.8【解析】一方面，12213tan 30tan2PF F bSθ===︒另一方面，1212121213sin 24PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅， 12334PF ⋅=124PF PF ⋅=. 【答案】B10.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得1223F F =， 由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅，所以2121222sin 1cos 3F PF F PF ∠-∠，故1212121122sin 31222PF F SPF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯= 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为0033232x ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：023x =又220014x y +=，所以22002143x y =-=，从而06y =， 易求得1223F F =，如图，12120122PF F S F F y =⋅2。
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
双曲线及其标准方程 课件
双曲线及其标准方程
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
《双曲线方程》课件
解决与双曲线相关的几何问题
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2020高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第八章第七节 双曲线(40张PPT).ppt
图形
性 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
质 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
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第七节 双曲线 结束
标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
顶点 渐近线
A1(－a,0)，A2(a,0)
y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a)
答案：A
()
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第七节 双曲线 结束
2．已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近
线上，则C的方程为
()
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
解析：由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25，
最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当 A，P，F1 三点共
线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37， ∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－ 2a＝ 37－2 5. 答案：C
若 a＞b＞0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)； 若 a＝b＞0，则双曲线的离心率 e＝ 2； 若 0＜a＜b，则双曲线的离心率 e＞ 2.
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第七节 双曲线 结束
3．注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a、b、c 关系， 在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
【把握高考】高三数学最新专题课件 第八章8.5《双曲线》(文数)人教版选修
【即时巩固1】 过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一 条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则 △PF2Q的周长是________．
解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4 2， |QF2|－|QF1|＝4 2.
所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8 2， 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7， 所以|PF2|＋|QF2|＝7＋8 2. 所以△PF2Q 的周长为 14＋8 2. 答案：14＋8 2
第八章 平面解析几何
考点二 双曲线的标准方程及求法 【案例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (解2)：与(双1)曲设线所1x求62－双y4曲2＝线1方有程公为共x9焦2－点1y6，2 ＝且λ(过λ≠点0()3，2，2)．
第八章 平面解析几何
解：因为 sin B－sin C＝12sin A， 所以|AC|－|AB|＝4<|BC|， 所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支． 又 c＝4，a＝2，所以 b2＝c2－a2＝12， 所以点 A 的轨迹方程为x42－1y22 ＝1(x＞2)．
第八章 平面解析几何
另一方面，由|OP|＝ 7a，所以 x20＋y20＝7a2. 又ax220－by202＝1，
所以 y20＝6ac22b2，所以|y0|＝ 6cab，
第八章 平面解析几何
所以 S△PF1F2＝12·2c· 6cab＝ 6ab. 所以1b－2·scions6600°°＝ 6ab，所以 b＝ 2a. 又因为双曲线的渐近线的斜率为 k＝ba＝ 2， 故渐近线方程为 2x±y＝0，故选 D. 答案：D
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14. 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14， 即49x2－y42＝1.
解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4 2， |QF2|－|QF1|＝4 2.
所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8 2， 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7， 所以|PF2|＋|QF2|＝7＋8 2. 所以△PF2Q 的周长为 14＋8 2. 答案：14＋8 2
第八章 平面解析几何
考点二 双曲线的标准方程及求法 【案例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (解2)：与(双1)曲设线所1x求62－双y4曲2＝线1方有程公为共x9焦2－点1y6，2 ＝且λ(过λ≠点0()3，2，2)．
第八章 平面解析几何
解：因为 sin B－sin C＝12sin A， 所以|AC|－|AB|＝4<|BC|， 所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支． 又 c＝4，a＝2，所以 b2＝c2－a2＝12， 所以点 A 的轨迹方程为x42－1y22 ＝1(x＞2)．
第八章 平面解析几何
另一方面，由|OP|＝ 7a，所以 x20＋y20＝7a2. 又ax220－by202＝1，
所以 y20＝6ac22b2，所以|y0|＝ 6cab，
第八章 平面解析几何
所以 S△PF1F2＝12·2c· 6cab＝ 6ab. 所以1b－2·scions6600°°＝ 6ab，所以 b＝ 2a. 又因为双曲线的渐近线的斜率为 k＝ba＝ 2， 故渐近线方程为 2x±y＝0，故选 D. 答案：D
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14. 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14， 即49x2－y42＝1.
双曲线ppt
谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
名称定义
播报
编辑
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
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目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
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第八章 第八节双曲线课下练兵场"难度及题号容易题中等题 稍难题「 知识点（题号） （题号） （题号）双曲线的定义及其标准方程1、2 & 10双曲线的几何性质 34、5、7、9直线与双曲线的位置关系611、121已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（1A.Q C.7D . 5解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C12.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是C. 3解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, •••双曲线方程为x 2—y 2= 1（x < — 1）.代入2可求P 的横坐标为x =—于.3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（）B.2• P 到原点的距离为答案：AC . 1v e v 5D . e > 5解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2=5? m =4.答案：D=o ,^HPF i + PF 21= 答案：B5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的离心率为 （ ）A . 1+ 2B . 2+ 2C . 3— 2D . 3 + '. 2解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I ,即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0,a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, •/ e > 1, ••• e = 1 + 2. 答案：A2 26.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）B . 1 v e v 3一条渐近线 3y — mx = 0,4.设F i 、F 2分别是双曲线2x 2-y 1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且 PF^ -PF^PF( ) A. 10B . 2 10C. 52y = 1的左、右焦点. 9解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 |P F 1 + PF 21= 2| PO |= | F 1F 2|= 2.10.点P 在双曲线上，且PF^ -PF^PF:必大于2，即b >2因此该双曲线的离心率c a 2± b 2e= a = =>典 答案：D、填空题7. (2019平顶山模拟 )A 、F 分别是双曲线9x 2— 3y 2= 1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，右/ PFA =入•/ PAF ，则入= .解析：特殊值法，取点 P 为(3, 1)，得/ PFA = 2/PAF ，故匕2.3答案：28.已知圆C ： x 2± y 2— 6x — 4y ± 8 = 0•以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 _________________ • 解析：令x = 0,得y 2— 4y + 8= 0，方程无解.即该圆与 y 轴无交点. 令 y = 0,得 x = 2 或 x = 4, 符合条件的双曲线 a = 2, c = 4,•••b 2= c 2— a 2= 16 — 4= 12 且焦点在 x 轴上,2 2•双曲线方程为X —^2= 1.2 2x -—匕=14 12当a =严即a =呼时取最小值 于.3a 3 3三、解答题10 •已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1,F 2在坐标轴上，离心率为.2，且过点(4，— 10) •点M(3, m)在双曲线上. (1)求双曲线方程；—I⑵求证：MF 1 -MF 2 = 0；(3)求厶F 1MF 2面积.答案: 9.双曲线解析:2 2j — y 2= 1(a > 0, b >0)的离心率是 2,2C= 2? C2= 4? a2+ b 2= 4a 2? 3a 2 = b 2, a ab 2+ 1则 3a 的最小值是2 3 3，则 b 2±J = 4 = a + 丄" 则 3a 3a ± 3a答案:解：⑴可设双曲线方程为x 2— y 2=^•••过点(4，—屮0), ••• 16— 10=入即 匸 6. 双曲线方程为x 2— y 2= 6. (2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中 a = b = 6,• c = 2 3,• F i (— 2 3, 0), F 2(2 3, 0),2 m kMF i kMF 2=9— 12•••点(3, m)在双曲线上， • 9 — m 2= 6, m 2= 3, 故 kMF 1 kMF 2=— 1, • MF 1 丄 MF 2.•M F1=0.法二：••• MF 1 = (— 3— 2 3, — m), MF 2 = (2 3— 3,— m),MF 1 -MF 2 = (3 + 2 3)X (3 — 2.3)+ m 2•=—3+ m 2,(3)△ F 1MF 2 的底 IF 1F 2I = 4 3，由(2)知 m = + 3. •△ F 1MF 2 的高 h = |m|= .：3, • S A F 1MF 2= 6.222 c11. (2019西安模拟)已知双曲线X 2 — ¥= 1(a >0, b >0)的离心率e =直线丨过A(a,0),B(0, — b)两点，原点O 到直线I 的距离是~2". (1)求双曲线的方程；T T⑵过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM ON =— 23,求直线m 的方程.l 方程X+% = 1，即bx — ay — ab = 0,由原点O 到l 的距离为a —b ab _3c = 2 , 又e = a =于 • b = 1, a = 『3.2 故所求双曲线方程为3 - y 2= 1.⑵显然直线 m 不与x 轴垂直，设 m 方程为y = kx - 1,则点M 、N 坐标(x i , y i ), (X 2,• kMFm3+ 2 3,kMF m2= 3 —23， • 9— m 2= 6, 即 m ? — 3 = 0, 解: (1)依题意, •/ M 点在双曲线上, • MF 1 -MF 2 = 0.y= kx- 1y2)是方程组』x22的解，——y = 1p y消去y,得(1 —3k2)x2+ 6kx— 6 = 0.①依题意，1 —3k2^ 0,由根与系数关系，知X1+ x2= 3k—1, X1X2= 3k^lT TOM ON =(X1, y“(X2, y2)= x1X2+屮丫2=X1X2 + (kX1 —1)(kX2 —1)2=(1 + k )X1X2—k(X p+ X2) + 12 2=6(1 丁k) —qk . 1= 2 — 2 J 十13k —1 3k —1=士 + 1.3k2— 1占T又••• OM ON =—23,3k2—1+1=—23, k=±2,当k=总时，方程①有两个不相等的实数根，1 1 方程为y= Qx—1 或y=—2X —1.12.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1) 求双曲线C的方程；⑵若直线I: y= kx+ 2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线I o与y轴交于M(0, b),求b的取值范围.2 2解：(1)设双曲线方程为X2—y2= 1(a> 0, b> 0).a b由已知得：a = 3, c= 2，再由a2+ b2= c2, b2= 1,2 .双曲线方程为：—y2= 1.(2) 设A(X A , y A), B(X B , y B),2将y= kx+ .2代入X —y2= 1,得(1 —3k2)x2—6 2kx—9 = 0.2△= 36(1 — k ) > 0,k v 1.-y + y =(kx A + 2)+ (kx B + 2) =k(x A + X B )+ 2 2 =二3：2,1设直线l o 的方程为：y =—只+ b ,•••」v k v 1, •••— 2v 1— 3k 2v 0,3• b v — 2 2.• b 的取值范围为（一a,— 2 2）.由题意知X A + X B =v 0,X A X B =2> 0 1- 3kl 与双曲线左支有两个交点.(3) 由 (2)得:••• AB 的中点P 的坐标为（将P 点坐标代入直线 k v 1 时, l o 的方程，得。