浙江省高二下学期期末数学试卷

浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题A ．1x 是()f x 的一个极大值点B ．2x 是()f x 的一个极小值点C ．3x 是()f x 的一个极大值点D ．4x 是()f x 的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是事件:A “两次向上的点数之和大于:C “两次向上的点数之和小于10”，则（A ．事件B 与事件C 互斥C ．()25P B A =11．设双曲线222:1(4x y C a a a -=-+列说法中正确的是（）三、填空题四、解答题17．如图，在四面体ABCD 中，AE AB λ= ，AH AD λ= ，()1CF CB λ=-，()1CG CD λ=- ，()0,1λ∈．(1)求证：E 、F 、G 、H (2)若13λ=，设M 是EG 和示OM ．18．已知等差数列{}n a 的前(1)求数列{}n a 的通项公式(2)若{}n a 中的部分项nb a 组成的数列数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在三棱柱ABC (1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ．(2)求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值．20．第19届亚运会将于2023年9杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．公里，排位全国第六．同时，一张总长中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．(1)一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，这一猜想该小组进行了研究．请完成下列立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到(1)求抛物线C 的标准方程(2)已知点()1,0P ，直线①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值22．设函数()(1)f x x =-参考答案：因为I 为12PF F △的内心，所以所以1122PF F APF AF =，因为14OA = 设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，可得4at =，所以154a PF =，PF 又因为1122cos P F PF PF PF ⋅=⋅ 所以121cos 15F PF ∠=，在1PF △221211212cos 2PF PF F F PF F PF PF +-∠=所以222a c =，则2222c e a ==故选：B.9．AB【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确.对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误.对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误.故选：AB.10．AC【分析】列举出事件A 、B 、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m 、n ，以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，若1a =，则双曲线方程为2214y x -=，渐近线方程为2y x =±，不妨设点A 在第一象限，双曲线在第一象限的方程为221y x =-，21x y x '=-，得切线斜率为1211x x -，方程为21112121()1x y x x x x --=--，设点E ，F 坐标分别为(,),(,)E E F F x y x y ，分别作,EP FQ 垂直于y 轴，垂足分别为P 在第一象限，F 在第四象限，则EOF OEP OFQ EFQP S S S S =-- 梯形1111()()()2222E F E F E E F F F E E F x x y y x y x y x y x y =+--+=-【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；化，在求解E F x x 时，要结合式子的结构特征灵活处理12．ACD【分析】对与A 选项，分别求出f 对于B 选项，求出()f x '，即可判断出曲线对于C 选项，画出曲线()f x 与(g x 对于D 选项，借助图像可知直线y 12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，则可得1x =易知当(0,1)x ∈时，()0f x >，(g x 当[1,e]x ∈时，()f x 单调递减，(g 1e 1(e)e ()e --=<=f g e ，即曲线(f 当(e,)x ∈+∞时，记()ln h x x x =-，即()h x 在(e,)+∞上单调递增，即h 又曲线()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以（2）在三棱柱111ABC A B C -中，平面因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面由（1）知1A M ⊥平面ABC ，AB ⊂连接1A N ，有1A M MN ⊥，11,,MN A M M MN A M =⊂ 平面1A 1A N AB ⊥，因此1A NM ∠为平面11BA B 与平面ABC 显然3sin 602MN AM =⋅=，而A 11125sin 5A M A NM A N ∠==，所以平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值为20．(1)表格见解析，有关系(2)①证明见解析；②55p q >．【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出论；（2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论；。

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（ ）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（ ） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（ ） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（ ） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。

2023学年第二学期期末测试卷高二数学学科试卷第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（ ）A. B. C. D.2.已知），若为纯虚数，则（ ）A.1B.2C.或D.1或23.已知函数与是互为反函数，则（ ）A. B. C. D.4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（ ）A. B. C. D.5.已知平面，，，若，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（ ）A.B.C.D.7.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（ ）B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题{}05U x x =∈≤≤N {}0,1,4U A =ðA ={}2,3,5{}2,5{}3,5{}2,3()()2321i z a a a a =-++-∈R z a =1-2-()y f x =3xy =119f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭123f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()13f =()31f =48~1328135613141732αβγαγ⊥βγ⊥αβ∥a b 60︒2b a = a b λ- b2b - λ=38279432()2341f x ax x =-+-()1,1-a 5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭54,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦54,133⎡⎤⎧⎫-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭24,133⎡⎤⎧⎫-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ABC △A B C a b c ABC △S 22cos bc A b c +=+sin cos cos AB C=+12目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为两个随机事件，且，，则（ ）A.当和互斥时，B.当和互斥时，C.当和相互独立时，D.当和相互独立时，10.若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）A. B.C. D.11.已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则______.13.已知正实数满足，则______.14.已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.16.（15分）已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条A B ()0P A >()0P B >A B ()()()P A B P A P B =+ A B ()()()1P AB P A P B =--A B ()0P AB =A B ()()()P AB P A P B=x ()20,,ax bx c a b c ++>∈R {}23x x -<<0a >0bc >0a b +=0a b c -+>()f z 0z ()()1n n z f z n +=∈N 0z 1z 2z n z M n z M <n ∈N 0z ()f z 0i z =()f z ()f z ()2f z z=()11f z z=-()3f z z =()()21f z z =-()f x ()2,8()1f -=a 11222a a--=22a a -+=P ABCD -PAB ⊥ABCD 3PA =4PB =5CD =P ABCD -BC =1e 2e 122a xe e =- 12b e xe =-a b ∥x 1212e e ⋅=- ()()a b a b +⊥- b ()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<对称轴距离为，且图象关于点对称.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.17.（15分）为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.18.（17分）如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且.（1）求证：平面平面；（2）已知.（i ）若，求证：平面；（ii ）若直线与平面的值.π2π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []2,12[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12x y 2s ABCD 24AB BC ==60DAB ∠=︒E AB ADE △DE A DE '△A B 'A C '4A C '=A DE '⊥BCDE ()01A F A C λλ'='<<12λ=BF ∥A DE 'DF BCDE λ19.（17分）已知函数.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，记函数在上的最小值为.（i ）求；（ii ）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.()()f x x x a a =+∈R ()f x a 0a <()f x [)2,+∞()M a ()M a ()()24g x x ax a =++∈R x ∈R [)02,x ∈+∞()()0g x f x =a2023学年第二学期期末考试高二数学学科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分。

考试时间120分钟。

试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数zz1=2+ii2，zz2=−1+2ii，则zz1−zz2在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量aa=(1,2)，bb=(3−xx,xx)，且aa⊥(aa+2bb)，则xx=A．11 B．−11C．112D．−1123．已知xx是实数，则“xx+1xx≥52”是“xx≥2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数ff(xx)=cos(2xx+φφ)(0<φφ<π2)的对称中心为(π6,0)，则能使函数ff(xx)单调递增的区间为A．[0,π4]B．[π4,π2]C．[π2,3π4]D．[3π4,π]5．函数ff(xx)=ln|xx|cosxx xx的图象为A．B．C．D．6．.已知随机变量XX∼NN(1,4)，且PP(XX≥aa)=PP(XX≤0,2)=0.1，则PP(aa9<XX<1)=A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.17．高二某班男生20人，女生30人，男、女生身高平均数分别为170cm、160cm，方差分别为170、160，记该班全体同学身高的平均数为XX，方差为ss2，则A．XX>165,ss2>165B．XX<165,ss2>165C．XX>165,ss2<165D．XX<165,ss2<1658．已知当xx∈[0,1)时，ff(xx)=3xx−3，若函数ff(xx)的定义域为RR，且有ff(xx+1)为奇函数，ff(xx+2)为偶函数，则ff(log3300)所在的区间是A．(−∞,0)B．(0,12)C．(12,1)D．(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．在正方体AAAAAAAA−AA1AA1AA1AA1中，A．AAAA⊥AAAA1B．直线AAAA1与AAAA所成角为π4C．AA1AA1//平面AAAA1AA D．直线AAAA1与平面AAAA1AA1AA所成角为π610．投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件AA，“第二次正面向上”为事件AA，“至少有一次正面向上”为事件AA，则下列判断正确的是A．AA与AA相互独立B．AA与AA互斥C．PP(AA|AA)=23D．PP(AA)=PP(AA)+PP(AA)−PP(AAAA)11．在△AAAAAA中，已知4cos AA+3sin AA+4sin(AA−AA)=9，AAAA=6，则A．AA>AA B．AAAA=2AAAAC．△AAAAAA的外接圆直径为10 D．△AAAAAA的面积为12非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合AA={1,2,3,4,5,6}，集合AA={xx∈RR|−1<xx<4}，则AA∩AA= . 13．若(2xx+1)5=aa0+aa1xx+aa2xx2+⋯+aa5xx5，则aa2= .14．在三棱锥AA−AAAAAA中，AAAA⊥AAAA，AAAA⊥AAAA，且AAAA=AAAA=10，AAAA=3，若三棱锥AA−AAAAAA的外接球表面积的取值范围为[6614π,409π]，则三棱锥AA−AAAAAA的取值范围为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图。

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·攀枝花模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且时，f(x)=log2(x+1)，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：f(3)=1；乙：函数f(x)在[-6,-2]上是增函数；丙：函数f(x)关于直线x=4对称；丁：若，则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是（）A . 甲，乙,丁B . 乙,丙C . 甲,乙,丙D . 甲,丁3. （2分）在下列区间中，函数f（x）=3x﹣x2有零点的区间是（）A . [0，1]B . [1，2]C . [﹣2，﹣1]D . [﹣1，0]4. （2分） (2018高三上·赣州期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .5. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A . f（b）＞f（c）＞f（d）B . f（b）＞f（a）＞f（c）C . f（c）＞f（b）＞f（a）D . f（c）＞f（b）＞f（d）7. （2分）“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高一上·临川期中) 若奇函数在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f（x）在[﹣7，﹣3]上为（）A . 递增且最小值为﹣5B . 递增且最大值为﹣5C . 递减且最小值为﹣5D . 递减且最大值为﹣59. （2分）(2016·花垣模拟) 下列说法正确的是（m，a，b∈R）（）A . am＞bm，则a＞bB . a＞b，则am＞bmC . am2＞bm2 ，则a＞bD . a＞b，则am2＞bm210. （2分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A . （0，）B . [，]C . （0，）D . [， e]11. （2分）(2020·甘肃模拟) 已知，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分）给出以下命题：①若、均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是；⑤函数的值域是[0,2].其中正确命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·连城期中) 设g（x）= ，则g（g（））=________．14. （1分）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了________ 天．15. （1分）(2018·海南模拟) 若是函数的极值点，则实数 ________．16. （1分） (2017高三上·桓台期末) 给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·山西月考) 已知，设成立；成立. 如果“ ”为真，“ ”为假，求实数的取值范围.18. （10分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）= 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．19. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．20. （5分）(2018高二下·如东月考) 已知函数，对任意正整数，有，求方程的所有解．21. （5分）(2017·江西模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）当φ∈（0，π）时，l与C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．22. （10分）(2017·达州模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、。

衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i- B. 22i + C. 2i- D. 2i2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）AB.π2C. πD.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）A.B. (C. (D. (0,7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P .处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+=B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立10. 已知F 是双曲线22145x y -=右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x +=B. ()20240f =C. ()()392f f += D.()25125i f i ==∑三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，ACBC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将的的的ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.的衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i - B. 22i + C. 2i- D. 2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算.【详解】22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.故选：D2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的变量的期望公式，代入运算得解.【详解】316,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q :，()316124E X np ∴==⨯=.故选：D.3. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.【详解】因为m α⊄包含m α∥和直线m 与平面α相交两种情况，因此若m α⊄，则直线m 可以与平面α无公共点也可以与平面α有一个公共点，因此“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的必要不充分条件. 故选：B ．4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.B.π2C. πD.【答案】A 【解析】【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解.=，母线长为1，所以该圆锥的表面积为12π12⨯⨯=.故选：A.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a上投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝【答案】C 【解析】【分析】先根据条件求出a b ⋅ ，再根据投影向量的概念计算b 在a上的投影向量.【详解】由(a =- ，得：2a =.又()a ab ⊥+ ⇒()0a a b ⋅+= ⇒24a b a ⋅=-=- .所以b 在a 上的投影向量为：(41,2a b a aa ⋅-⋅==.故选：C6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）的A.B. (C. (D. (0,【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π26AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，CD =，在BCD △中，由正弦定理可得2sin sin sin BD BC CDBCD BDC B====∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14sin sin 2BCD BCD BCD ⎫=∠+∠+∠⎪⎪⎭34sin 2BCD BCD ⎛⎫=∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先设切点()()000,1ln x ax x +，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点()0,0，得到0,x a 的关系，利用0x 有两解求a 的取值范围.【详解】设切点()()000,1ln x ax x +，又()11ln 1ln y a x ax a x a x x'=++⋅=++，所以切线斜率为：001ln k a x a x =++.由点斜式，切线方程为：()001ln y ax x -+=()0001ln a x a x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,0，所以()001ln ax x -+=()0001ln 0a x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.所以：00ln 10ax x -+=.因为过原点的切线有两条，所以关于x 方程ln 10ax x -+=有两解.由ln 10ax x -+=（0x >）⇒ln 1x a x-=，设()ln 1x h x x-=，则()()221ln 12ln x x x x h x x x ⋅---'==，由()0h x '>得2ln 0x ->⇒2e x <，所以()h x 在()20,e单调递增，在()2e ,+∞单调递减，所以()221e e h =，且当e x >时，()0h x >.所以ln 1x a x -=有两解，则210ea <<.故选：A8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P 处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+= B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=【答案】B 【解析】【分析】易知()1,1P -，利用导数的几何意义可求得tan 2α=-，再根据圆的切线求法可得1tan 3β=，再根据三角恒等变换可判断B 正确.【详解】联立22231022y x x y x y ⎧=⎪⎨++-=⎪⎩，得42230x x x ++=，即()3230x x x ++=，可得()()212230x x x x +-+=，解得10x =，21x =-，可得()1,1P -由1C ：2y x =可知2y x '=；所以曲线1C 在P 处的切线斜率为112tan x k y α=-'==-=|，π3π,24α⎛⎫∈⎪⎝⎭曲线2C 可化为22315448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21143314PC k -==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以圆2C 在P 处的切线斜率为21tan 3k β==，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--⋅，即3π4αβ+=，故B 正确，A 、C 错误，()()()123tan tan 71123αβαβ---=-==-+-⨯，故D 错误，故选：B.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据相关系数的性质分析判断；对于B ：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于C ：根据决定系数的性质分析判断；对于D ：根据独立性检验思想分析判断.【详解】对于选项A ：样本相关系数r 的绝对值越大，线性相关性越强，所以样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A 正确；对于选项B ：经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y ，故B 正确；对于选项C ：在回归分析中，2R 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，故C 错误；对于选项D ：因为20.05x χ≥，根据独立性检验的思想可知有95%的把握能推断0H 不成立，故D 正确；故选：ABD.10. 已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线的焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线的性质判断A ，利用点到直线的距离公式判断B ，利用双曲线的定义判断C ，求焦点三角形的面积，可判断D.的【详解】如图：由双曲线的标准方程22145x y -=，可知2a =，b =，所以3c ==，所以双曲线的焦距为：26c =，故A 正确；双曲线的渐近线为y x =20y ±=，点()3,0F 到渐近线的距离为：d ==，故B 错误；设双曲线的左焦点为F ',根据双曲线的定义：4PF PF -'=，所以PA PF +4PA PF ='++4AF ≥'+44=+=+，故C 正确；在PFF ' 中，由8PF =，844PF '=-=，6FF '=，由余弦定理得：222cos 2PF PF FF FPF PF PF ''+-=⋅''∠641636284+-=⨯⨯641636284+-=⨯⨯1116=，所以sin FPF '∠=，所以1842FPF S '=⨯⨯= 12OPF FPF S S '== ，故D 错误.故选：AC 11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x += B. ()20240f =C. ()()392f f += D. ()25125i f i ==∑【答案】BCD【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A ，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD.【详解】∵()()21322f x f x -+-=，∴()f x 关于()1,1对称∵()2f x -为偶函数，∴()f x 关于2x =-对称∴()f x 的周期()41212T ⎡⎤=--=⎣⎦，故A 错；()()20244f f =-（∵()f x 的周期为12）()()40f f -=（∵()f x 关于2x =-对称）()()0220f f =-=（∵()f x 关于()1,1对称），故B 正确；()()93f f =-（∵()f x 的周期为12）()()31f f -=-（∵()f x 关于2x =-对称）()()123f f -=-（∵()f x 关于()1,1对称）()()132f f -+=，即()()932f f +=，故C 正确；∵()f x 的周期为12∴()()()()()()2313141525f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()()312f f +-=，又()()111f f -=，所以()()3112f f +=，同理()()4102f f +=，()()592f f +=，()()682f f +=，()()752f f +-=，又()()57f f -=，所以()272f =，即()71f =，由()()21322f x f x -+-=，令1x =，得()212f =，()11f =，()()1200f f ==，所以()()()()123...1212f f f f ++++=，所以()()()1314...2412f f f +++=，()()2511f f ==，()25124125i f i ==+=∑，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)【答案】40-【解析】【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中23x y 的系数.【详解】5(2)x y -的展开式的通项()()()555155C 2C 21,0,1,2,5r r r r r r r r r T x y x y r ---+=-=⋅⋅-= 所以展开式中23x y 的系数是()3325C 2140⋅⋅-=-.故答案为：40-.13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.【答案】①. 81 ②. 727【解析】【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，依题意利用全概率公式得到11133n n P P +=-，即可得到14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，从而求出n P ，再将4n =代入计算可得.【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为4381=种，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，1,2,3,n = ，则有10P =，111n n n n n A A A A +++=+，所以()()()11111n n n n n n n n n P P A A A A P A A P A A +++++=+=+()()()()11||n n n n n n P A P A A P A P A A ++=⋅+()()1110133n n n P P P =-⨯+⨯=-，即11133n n P P +=-，所以1111434n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，的又111044P -=-≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，所以1111443n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即1111443n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，当4n =时34111744327P ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：81，727.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.【答案】32π3⎛⎝【解析】【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积取值范围.【详解】因为BCD △是直角三角形，所以其外接圆的圆心在Rt BCD 的斜边BD 上，即BD 是该圆的直径，又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，所以平面1A BD 必过球心，外接球半径即为1A BD 外接圆的半径，设球的半径为r ，球的体积为V ，在1A BD中，根据正弦定理得，12πsin sin 4BD BD r BA D ===∠，又因为()4BD ∈，所以(124,sin sin BD BD r BA D A ===∈∠，所以3432ππ33V r ⎛=∈ ⎝.故答案为：32π3⎛ ⎝【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置，判断球心在平面1A BD 上，得出球心为1A BD 外接圆的圆心，再求出BD 的取值范围即可解决问题.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】（1）13n na -= （2）()21314n nn S -⋅+=【解析】【分析】（1）根据1a ，14，4a 成等差数列，得1428a a +=，再结合524a a a =及等比数列的通项公式，可求1,a q ，从而得到等比数列的通项公式.（2）利用“错位相减求和法”求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意可知1428a a +=，即31128a a q +=，又∵43111a q a q a q =⋅，即211a a =，∴11a =或10a =（舍），∴3q =，∴1113n n n a a q --==.【小问2详解】令13n n n b na n -==⋅，∴12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，即()121123133n n n S n n --=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅①∴()213323133n n n S n n -=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅②①-②得：∴21133121333333132n n n nn nn S n n n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-∴()21311132444n n n n n S -⋅+⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭.16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .【答案】（1）证明见解析（2）14（3）12DG =【解析】【分析】（1）线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）取BC 中点H ，则平面EFGH 即为平面EFG 截正四面体A BCD -的截面，求解即可.（3）方法一：取CD 中点M ，连接BM ，过点E 作BM 的垂线，垂足为N ，连接NG ，由线面角的定义可知EGN ∠即为直线EG 与平面BCD 所成角，求解即可；方法二：如图，取CD 中点M ，连接BM ，以M 为坐标原点，MD ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，由向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为//FG 平面ABC ，FG ⊂平面ACD ，平面ACD 平面ABC AC =，所以//FG AC ，又FG ⊂面EFG ，AC ⊂/面EFG ，所以//AC 平面EFG ；【小问2详解】因为E，F，G为AB，AD，CD中点，取BC中点H，则平面EFGH即为平面EFG截正四面体A BCD-的截面，且EFGH为边长是12的正方形，所以14S=截面；【小问3详解】方法一：取CD中点M，连接BM，过点E作BM的垂线，垂足为N，连接NG 易知，EN⊥平面BCD，所以EGN∠即为直线EG与平面BCD所成角，又EN=，tanEN EGNNG ∠=，所以NG=MN=所以GM=12 DG=±方法二：如图，取CD中点M，连接BM，以M为坐标原点，MD，MB所在直线分别为x，y轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，E ⎛⎝，设(),0,0DG DCλλ==-，所以1,0,02MG MD DGλ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，即1,0,02Gλ⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以1,2EG λ⎛=-+ ⎝ ，又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，所以1sin cos ,2EG n EG n EG n θ⋅====⋅ ，解得12λ=±12DG =±17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）e2【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断()y f x =的单调性；（2）根据题意结合（1）中的单调性可得22ln ,0ab a a a a ≤->，令()()22ln 0g x x x x x =->，利用导数判断其单调性和最值.小问1详解】由题意可知：()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，可知()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增；【综上所述：当0a ≤时，()y f x =在R 上单调递增；当0a >时，()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.【小问2详解】因为()0f x ≥，由（1）可得：①当0a ≤时，可知()y f x =在R 上单调递增，且x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞，与题意不符；②当0a >时，可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，则()()ln ln 0f x f a a a a b ≥=--≥，可得ln b a a a ≤-，且0a >，则22ln ab a a a ≤-，令()()22ln 0g x x x x x =->，则()()12ln g x x x =-'，令()0g x '>，解得0x <<；令()0g x '<，解得x >可知()y g x =在(上单调递增，在)∞+上单调递减，则()e 2g x g ≤=，所以当a =b =时，ab 的最大值为e 2.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.【答案】（1）（ⅰ）23；（ⅱ）12139k -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，*k ∈N（2）乙方，理由见解析【解析】【分析】（1）（i ）分析得到甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，求出概率；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，得到概率；（2）方法一：记乙方获胜为事件A ，利用等比数列求和公式和极限得到()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.方法二：设乙方获胜为事件A ，由题意得到()()()21133P A P A =+-，求出()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.【小问1详解】（i ）甲乙两方抽牌次数之和为2，则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，()223P X ==；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，甲方在第()21k -次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，所以()221122123339k k P X k --⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ；【小问2详解】方法一：记乙方获胜为事件A ，则()()1211393132lim 1149419k k k k P A X k ∞∞+→+=⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭====⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑.乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.方法二：记乙方获胜为事件A ，则乙方获胜的概率为()P A ，事件A 可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为23，若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为()1P A -，则()()()21133P A P A =+-，解得()34P A =，乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.【点睛】关键点点睛：如图求解乙方获胜的概率，可使用等比数列求和公式和极限思想，也可以通过题意得到方程，求出答案.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.【答案】（1）2212y x +=（21+【解析】【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OPQ △的周长，则需把各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ △各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【小问1详解】当P 与原点O 重合时，可设()()000,0A x y x >，则有()00,B x y --、()00,T x y -，且002x y =，AT BT ⊥，则0011822229ABT S AT BT y x =⋅=⋅⋅= ，即20429y =，∴2029y =，则2089x =，即有2228199a b +=，由离心率，即c a =，则22222a c b c ==+，∴222a b =，即有2218199b b +=，解得21b =，∴22a =，即C 的方程为2212y x +=；【小问2详解】设直线l 方程为2x y t =+，令0x =，有2t y =-，即2P t y =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,T x y -，联立直线与椭圆方程：22212x y t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 有2298220y ty t ++-=，有1289t y y +=-，212229t y y -=，()226436220t t =--> ，得33t -<<，BT l 为()212221y y y x x y x x +=-+-，为令0y =，1222122121212Q x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++，由2x y t =+中，得()()212211221121212122242241989t y t y y t y x y x y y y t t t y y y y y y t-++++==+=+=-+++，即1Q x t=，则12OPQ P Q tC y x t =++=++1≥=，当且仅当t =时等号成立，故OPQ △1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把OPQ △各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ△各边边长，结合基本不等式即可求得最值.。

2023-2024学年浙江省绍兴市高二下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−2<x ≤2}，B ={x|x <2}，则A. 2∈BB. (∁R A )∪B =RC. A ⊆BD. A ∩B ≠⌀2.若z 1=1+2i ，z 2=2+i ，则z 1z 2=A. 45+35iB. 45−35iC. 35+45iD. 35−45i 3.若函数f(x)=2x 2+ax−b 在x ∈[0,1]上有两个不同的零点，则下列说法正确的是A. b 2+8a >0B. a−b ≥−2C. b <0D. −2≤a ≤04.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，(a−b )⊥(3a +b )，则向量a 与b 夹角的余弦值是A. −14B. 14C. − 154D. 1545.已知cos (π4+α)=45，π4<α<74π，则cos 2α=A. −725 B. 725 C. −2425 D. 24256.将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子至少放1个小球，则不同的放法种数是A. 2640B. 2160C. 1800D. 15607.设A ，B 为两个随机事件，若P(A)=12，P(B)=13，P(B|A)=14，则P(B |A )=A. 34B. 712C. 512D. 148.已知函数f(x)的定义域为[1,2]，对定义域内任意的x 1，x 2，当x 1≠x 2时，都有|f(x 1)−f(x 2)|<k|x 1−x 2|，则下列说法正确的是A. 若f (x )=x 2+x ，则k <10B. 若f(x)=12kx 2−x ，则13≤k ≤12C. 若f(1)=f(2)，则|f (x 1)−f (x 2)|<k 2D. 函数y =f(x)和y =f(x)−kx 在[1,2]上有相同的单调性二、多选题：本题共3小题，共15分。