浙江省杭州市2018-2019年高二下学期期末考试数学试题及答案

2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷选择题部分 (共60分)一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合AB =A.{}4B.{}1,4C.{}2,3D.{1,2,3,4} 2.直线340x y ++=的斜率为A.13-B.13C.3-D.33.函数22log (1)y x =-的定义域是A.{}|1x x >B.{}|1x x <C.{}|1x x ≠D.R4.在ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒5.一个空间几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为 A.23 B.43C.83D.4 6.若四边形ABCD 满足AB CD +=0，()0AB AD AC -⋅=，则该四边形是 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形 7.已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则=++c b a A.8- B.6- C.6-或4- D.8-或4- 8.设R ,∈b a ，则“b a ≥”是“b a >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9.函数x e x x x f )2()(2-=的图象可能是A. B. C. D.10. 设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则A.若α//m ，α//n ，则n m //B.若α//m ，β//m ，则βα//C.若n m //，α⊥n ，则α⊥mD.若α//m ，βα⊥，则β⊥m 11. 设实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,0322y x y x y x ，则y x 3+的最小值是A.2B.3C.4D.5 12. 若α是第四象限角，1353sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ6sinA.51B.51-C.1312D.1312- 13. 已知椭圆14:222=+y ax E ，设直线1:+=kx y l （R ∈k ）交椭圆E 所得的弦长为L ，则下列直线中，交椭圆E 所得的弦长不可能．．．等于L 的是 A.0=++m y mx B.0=-+m y mxC.01=--y mxD.02=--y mx 14. 设22),(ba b a b a F --+=. 若函数)(x f ，)(x g 的定义域是R ，则下列说法错误．．的是A.若)(x f ，)(x g 都是增函数，则函数))(),((x g x f F 为增函数B.若)(x f ，)(x g 都是减函数，则函数))(),((x g x f F 为减函数C.若)(x f ，)(x g 都是奇函数，则函数))(),((x g x f F 为奇函数D.若)(x f ，)(x g 都是偶函数，则函数))(),((x g x f F 为偶函数15. 在长方体1111D C B A ABCD -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD 上一点. 若2=AB ，11==AA BC ，则PQ PB +1的最小值为A.23B.213+C.3D.2非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分。

2019年高二下学期期末试卷 数 学 试 题 (理科)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

请在答题卡上作答，在试卷上做题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，满分60分，每小题5分，每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中） 1、已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =（ ）A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2、设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -- D. 1i -+3、已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m n （ ）A.B. 3C.D.4、已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．23 5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ） A. 6n = B. 6n < C. 6n ≤ D. 8n ≤6、 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+正视图侧视图7、在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是（ ）A. 2B. 8C. 14D. 16()()()()=-MN N M y C B A 两点，则轴于的圆交，，，、过三点,7,124,318A ．62B ．8C 64D ．109、若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆的周长，则（ ） A 、1 B D ．610、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C.D. 3211、 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是（ ）Ox O yx O yx.Ox .C .D .12、过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是（ ） A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]-第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）13、 已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前8项之和等于 . 14、若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.的取值范围为，则中，若、在B A B A ABC sin sin 3215+=+∆π16、 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.082422=---+y x y x三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝3，2b c =，求△ABC 的面积．18、理（本小题满分12分）为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（I ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数； （II ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（III ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．19、（本题满分12分）正项数列{}n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n TEDCBA20、（本小题满分12分）如图，四边形DCBE 为直角梯形， 90=∠DCB，CB DE //，2,1==BC DE ，又1=AC ，120=∠ACB ，AB CD ⊥，直线AE 与直线CD 所成角为60．（Ⅰ）求证：平面⊥ACD 平面ABC ；（Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值．21、（本小题满分12分）（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，求直线的方程.22、（本小题满分12（∈a R ）． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若至少存在一个[]01,x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．l AB ,A B C l C答案17、（Ⅰ） 由()2cos cos b c A a C -=得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+ 得()2sin cos sin B A A C =+，∴ 2sin cos sin B A B = sin 0B ≠，又0A π<<，∴∴∴18、文科（Ⅰ）A B 据此估计B 班学生平均每周上网时间较长． 5分（Ⅱ）依题意，从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b 的取法共有12种，分别为： （9,11），（9,12），（9,21），（11,11），（11,12），（11,21），（14,11），（14,12），（14,21），（20,11），（20,12），（20,21）． 其中满足条件“a ＞b ”的共有4种，分别为：（14,11），（14,12），（20,11），（20,12）．分18、理科【答案】（I ）200；（I I ）乙校学生的成绩较好.（III（I ）因为每位同学被抽取的概率均为0.153分（I I ）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小.所以，乙校学生的成绩较好. 7分（III ）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为:1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1,2）、（13）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6），总共有15个基本事件.其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A ,则A 包含9个基本事件，如下：（1,5）、（1,6）、（2,5）、（2,6）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6）. 10分考点：1.古典概型；2.茎叶图、方差. 19：（1）2(21)20,(2)(1)0,0,2.n n n n n n a n a n a n a a a n ---=∴-+=>∴=（211n n ++-+20、文科【解析】：（1）连BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连EF ， 又F 为1A D 的中点，所以EF ∥1A B ， 3分 又EF ⊂平面AFC ，1A B ⊄平面AFC ，由线面平行的判断定理可得1A B ∥平面AFC 5分 （2）连1B C ，在正方体中11A B CD 为长方形， ∵H 为1A C 的中点 ，∴H 也是1B D 的中点， ∴只要证1B D ⊥平面ACF 即可 6分 由正方体性质得1,AC BD AC B B ⊥⊥，∴AC ⊥平面1B BD ，∴1AC B D ⊥ 9分又F 为1A D 的中点，∴1AF A D ⊥，又11AF A B ⊥，∴-AF ⊥平面11A B D ， ∴1AF B D ⊥，又AF 、AC 为平面ACF 内的相交直线， 11分 ∴1B D ⊥平面ACF 。

11.设实数 , 满足不等式组 则 的最小值是( ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 在 轴上截距的变化，找到该直线在 轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案。
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，此时该直线在 轴上的截距最小， 取得最小值，即 ，故选：B。
9。函数 的图像大致是( )
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导,求出函数 的单调性，利用单调性来辨别函数 的图象，以及函数值符号来辨别函数 的图象。
【详解】 ， .
解不等式 ，即 ，得 ；
解不等式 ，即 ，得 或 。
所以，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 .
令 ,即 ，得 或 ；
故选：C。
【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零,底数大于零且不为 ”，考查计算能力，属于基础题。
4。 中， ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出 的值，于此可得出 的值。
【详解】 ， ，
由余弦定理得 ，
，因此， ,故选：D.
【点睛】本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力,属于基础题。
【点睛】本题考查三视图以及简单几何体体积的计算，要根据三视图确定几何体的形状，再根据体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。
6。若平面四边形ABCD满足 ，则该四边形一定是（ ）
A。 正方形B。 矩形C. 菱形D. 直角梯形

高二数学答案•第 2 页（共 3 页）
AB n
3
x
………………4 分

所以数列{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 即 a2n－1＝4n－3； 数列{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 即 a2n＝4n－1， 所以 an＝2n－1，即 an＋1－an＝2． 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 23． （本题满分 11 分） 解 （Ⅰ）设抛物线 Γ 的焦点为( ，0)，
3 ，OC＝ 5 ， 2 OE 15 所以 sin∠OCE＝ ． OC 10
因为 OE＝ （等体积转换求高亦可）
………………5 分
解法二 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 PAD⊥平面 ABCD，取 AD 中点 O，连接 PO， 则 PO⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－1，0)，B(2，0，0)， C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0， 3 )． 所以 AB 2,1,0 ，PD 0,1, 3 ， CD 2,0,0 ， 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
＝sin2x－ 3 cos2x ＝2sin(2x－
π ) 3
………………5 分
π 所以 f ( ) ＝ 3 ； 3 （Ⅱ）所以函数 f (x)的最小正周期 T＝π，
因为 －
π π π ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 得 － ＋kπ＜x＜ ＋kπ， 12 12 π 5π 则函数的单调递增区间为(－ ＋kπ， ＋kπ)（k∈Z） ． 12 12 ………………4 分
21． （本题满分 10 分） 证明 （Ⅰ）因为 PC＝2 2 ，AD＝DC＝PD＝2， 所以 PD2＋DC2＝PC2， 所以 △PCD 是直角三角形． 所以 CD⊥PD， 又因为 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 APD．

杭州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20003．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种4．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()2log 3a f =，()4log 5b f =，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c满足（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种 B ．15种C ．10种D ．4种6．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -7．在三棱锥P-ABC 中，PB BC =，3PA AC ==，2PC =，若过AB 的平面α将三棱锥P-ABC 分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．13B ．23C ．23D ．2238．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16- B ．16C ．4-D ．49．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．12010．平面α 与平面β 平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．α内的任何直线都与β平行C ．直线a α⊂ ，直线b β⊂ ，且//,//a b βαD ．直线//,//a a αβ ，且直线a 不在平面α内，也不在平面β内11．若函数()()32ln f x x f x '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．1-C ．27D ．27-12．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个． 14．用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=L ，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为_______．15．若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是______．16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。

3.考试结束，只需上交答题卡。

1.设集合A 1,2,4 ，B 3,4 .则集合 A B （）B. 1, 4C. 2,33.函数y log x 1 的定义城是（）A. x x 1B. x x 1C. x x 14.在ABC中，a b c 3bc ，则 A （）a b R，则“a b8.设，D.既不充分也不必要条件D.若m/ / ，则x 3y的最小值是（）11.设实数，满足不等式组12.若是第四象限角，sinA. mx y m 0 C. mx y 1 0B. mx y m 0D. mx y 2 0.则下列说法错误的是（）．．B.若f x ，g x 都是减函数，则函数 F f x ,g x 为减函数C.若f x ，g x 都是奇菌数，则函数 F f x ,g x 为奇函数上一点，Q 是底面ABCD上一点，若1的渐近线与圆x 3a b，则向量，夹角的取值范围是_________.17.已知，是单位向量.若18.已知数列 a 是等差数列， b 是等比数列，数列 a b 的前项和为ABCD BC CD BD，3 AB AC AD 2 P Q ，，点，分21.如图，已知三棱柱ABC A B C ，A A 底面（I）证明： B C / / BA Dn N ，求数列 b 的前n 项和T .MN交于，两点，点为线段的中点。

Q时，求点的横坐标；，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.k（Ⅱ）若对于任意 a 0, ，函数至少有三个零点。

求实数的取值范围.2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准17. 0, 18.a n 2n 1D ACDN / / B C ，又因为为的中点，所以因为在面BA D所以B 3,0,0m x, y,z ，4n n 1 4 n n 124.解（Ⅰ）当 a 1时， f xx x a k 1 , x a（Ⅱ）因为 f xx x a k 1 , x a, 上单调递减，在, a 上单调递增，在a, 上单调递减，，在f x的单调性及零点的存在性定, a 和a, 上无零点，由a 0, 恒成立，可知对任意0 或ff f x的单调性及零点的存在性定理1对任意a 0, 成立，x x a ka 0，所以x a ka x .kx x 0, （即线段）上运动，显然存在字图与抛物线y xB显然当点自点向点运动时，两个图象总有M N V，两个交点，故只需要字形图象y x x a 交点即可，。

2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。

）1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ） A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A ．sin x xB ．sin x x -C ．cos x xD ．cos x x - 3、设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是( ) A ．若a b ≠-，则a b ≠ B ．若a b =-，则a b ≠ C ．若a b ≠，则a b ≠-D ．若a b =，则a b =-4、用反证法证明命题“设a ，b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误！未找到引用源。

；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、设x R ∈，则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．24y x =B ．26y x = C ．28y x = D ．210y x =8、以下命题中，真命题有（ ）①对两个变量y 和x 进行回归分析，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ； ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。

2018学年杭州高二下期末一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分 1. 设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合A B =I （ ）A ．{}4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}1,2,3,42. 直线340x y ++=的斜率为（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．33. 函数()22log 1y x =-的定义域是（ ）A ．{}|1x x >B ．{}|1x x <C ．{}|1x x ≠D ．R4. 在ABC △中，222a b c =+，则A ∠=（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5. 一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．43 C ．83D ．46. 若四边形ABCD 满足AB CD +=0u u u r u u u r ，()0AB AD AC ⋅=-u u u r u u u u u ru r ，则该四边形是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形7. 已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则a b c ++=（ ）A ．8-B ．6-C ．6-或4-D ．8-或4-8. 设a ，b ∈R ，则“a b ≥”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件侧视图俯视图正视图9. 函数()()22e x f x x x =-的图象可能是（ ）10. 设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥C ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥D ．若m α∥，αβ⊥，则m β⊥11. 设实数x ，y 满足不等式组2230,0x y x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩+，则3x y +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512. 若α是第四象限角，5sin 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．15- C ．1213 D ．1213-13. 已知椭圆222:14x y E a +=，设直线:1l y kx =+（k ∈R ）交椭圆E 所得的弦长为L ，则下列直线中，交椭圆E 所得的弦长不可能等于L 的是（ ）A ．0mx y m ++=B ．0mx y m +-=C ．10mx y --=D ．20mx y --=14. 设(),22a ba b F a b -+=-，若函数()f x ，()g x 的定义域是R ，则下列说法错误的是（ ） A ．若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数 B ．若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数 C ．若()f x ，()g x 都是奇函数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 D ．若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数15. 在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD上一点．若AB =，11BC AA ==，则1PB PQ +的最小值为（ ）A ．32BCD ．2DC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分16. 若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r -+=>相切，则r = ．17. 已知,a b 是单位向量，若2+≥-a b b a ，则向量,a b 夹角的取值范围是 ．18. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，数列{}n n a b 的前n 项和为13n n +⋅．若13a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．19. 如图，已知正三棱锥ABCD，BC CD BD ===，2AB AC AD ===，点P ，Q 分别在棱BC ，CD 上（不包含端点），则直线AP ，BQ 所成的角的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分 20. 设函数()2sin cos x f x x x +=．（1）求()f x 的最小正周期T ；（2）求()f x 在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．QPDCBA21. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC，1AA AB ==,AB AC ⊥，D 为AC 的中点．（1）证明：1B C ∥平面1BA D ；（2）求直线1BC 与平面1BA D 所成角的正弦值．22. 设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列，（1）求n a 及n S ；（2）设2111n n b a +=-（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和为n T ；DB 1C 1A 1CBA23. 已知直线l 与抛物线C ：24y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点．（1）当直线l 经过抛物线C 的焦点，且6MN =时，求点Q 的横坐标； （2）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，并求此时直线l 的方程．24. 设a ，k ∈R ，已知函数2()f x x x a ka =--+．（1）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点，求实数k 的取值范围．。

2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一．选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）二．填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）1617．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．a n ＝2n ＋1 19．ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ 三．解答题（本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程）20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）f (x )1cos2sin 222x x -+＝1πsin 2sin 223x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以 T ＝π． …………7分（Ⅱ）因为 f (x )＝πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为 π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以 πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以f (x )的值域为0⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………7分 21．（Ⅰ）证明：连接AB 1，交A 1B 于N ，所以N 为AB 1的中点，又因为D 为AC 的中点，所以 DN //B 1C ，因为DN 在面BA 1D 内，B 1C 不在面BA 1D 内，所以B 1C //面BA 1D ． …………6分（Ⅱ）以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设AC ＝1）．所以 B 0，0)，D (0，12，0)，A 1(0，0，C1(0，1，设面BA 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则100BD BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，解得n ＝(1，1)， 因为 1BC ＝(1，记直线BC 1与平面BA 1D 所成角为θ，所以 sin θ＝|cos<1BC ，n >|＝11||||BC BC ⋅⋅n n ＝ …………9分22．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由题意，得122151a a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，所以 a n ＝2n －1，S n ＝n 2．…………8分 （Ⅱ）因为b n ＝14(1n n +）＝111()41n n -+， 所以T n ＝4(1)n n +． …………7分23．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以 | MN |＝x 1＋x 2＋2＝6，所以 x Q ＝122x x +＝2； ………6分（Ⅱ）设直线l ：x ＝ty ＋m ，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩， 得 y 2－4ty －4m ＝0，所以 y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，所以 | MN |5，所以 m ＝22516(1)t +－t 2， 所以 x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2m ＝4t 2＋2m ＝2258(1)t +＋2t 2≥3， 所以 x Q ＝122x x +≥32，此时t ＝±12，m ＝1， 所以 l ：2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．…………9分24．（本小题满分11分）解：（Ⅰ）当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x －1|＋k ＝221,(1)1,(1)x x k x x x k x ⎧-++≥⎪⎨++-<⎪⎩， 所以f (x )的单调增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． …………5分 （Ⅱ）因为f (x )＝x 2－|x －a |＋k ＝()()221,()1,()x x a k x a x x a k x a ⎧-+⋅+≥⎪⎨++⋅-<⎪⎩，且10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知f (x )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增。

二面角 小于二面角 ，即 ．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二面角的平面角的判断，以及重要结论的应用，考查了空间想象力，属于中档题.
二、双空题
11．已知复数 （i是虚数单位），则复数 的共轭复数 ____________； ____________.
【答案】
【解析】根据复数的除法计算 ，由共轭复数及复数模的概念即可求解.
当 时，函数 ，与 的图象至少有两个交点．
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线斜率、方程的解转化为曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求 ；
（2）用数学归纳法证明 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由 ，可得 ；
【答案】
【解析】根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点间的最短距离，由此即可求解．
【详解】
圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，母线长为2，
由相似三角形的知识得，B点为圆锥母线的中点，
将圆台所在的圆锥展开如图所示：
则线段AB就是蚂蚁经过的最短距离，
因为圆锥的底面边缘的周长 扇形的弧长，
所以扇形的弧长 ，
A．①②B．①④C．①③D．②④
【答案】B
【解析】考虑 、 相交，运用线面平行的性质定理，推得 ，即可判断（1）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系，可判断（2）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线线的位置关系可判断（3）；由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可判断（4）．
【详解】
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，

浙江省嘉兴市2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知全集{1,3,5,7},{3,5}U A ==，则U C A =A. {1}B. {7}C. {1,7}D. {1357}，，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集定义直接求得结果.【详解】由补集定义得：{}1,7U C A = 本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.双曲线2212x y -=的渐近线方程是A. 12y x =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y =【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程求得,a b ，由渐近线方程by x a=±求得结果.【详解】由双曲线方程得：a =1b =∴渐近线方程为：b y x x a =±=本题正确选项：B【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 24【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥∴三棱锥体积为：1115 2.448332V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：A【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.4.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. //,,αβmαn β，则//m nB. //,//m m n α，则//n αC. ,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD. ,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.5.若直线l 经过点(1,2)--，且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为 A. 3450x y --=B. 1x =-C. 3450x y --=或1y =-D. 3450x y --=或1x =-【答案】D 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时，满足题意；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用点到直线距离公式构造方程解得结果.【详解】当直线l 斜率不存在时，方程为：1x =-，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为：()21y k x +=+，即：20kx y k -+-=∴原点到直线l距离：1d ==，解得：34k =∴直线l 为：35044x y --=，即：3450x y --= 综上所述：直线l 的方程为：1x =-或3450x y --= 本题正确选项：D【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，易错点是忽略直线斜率不存在的情况，导致求解错误.6.设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】若0a b ≥≥，则a a b =≥；若0b a ≤≤，则0a a b =-≥≥；若0a b ≥≥，则0a a b =≥≥，可知充分条件成立；当3a =-，2b =-时，则a b ≥，此时a b <，可知必要条件不成立；a b ∴≥是a b ≥的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.7.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是A. ()211f x x x =-- B. ()211f x x x =+- C. ()()2211f x x x =--D. ()()2211f x x x =+-【答案】C 【解析】 【分析】根据()01f =且()20f <，可依次排除,,A B D ，从而得到答案.【详解】由图象知，()01f =且()20f <A 中，()01f =-，不合题意；B 中，()01f =-，不合题意；D 中，()21450f =+=>，不合题意；本题正确选项：C【点睛】本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为 A. 9(0,]5B. 3(0,] C. 5(0,] D. 13(,]3 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆对称性可证得四边形AFBF '为平行四边形，根据椭圆定义可求得3a =；利用点到直线距离构造不等式可求得2b ≥，根据222a b c =+可求得c 的范围，进而得到离心率的范围. 【详解】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则OA OB = 又OF OF '= ∴四边形AFBF '为平行四边形AF BF '∴=又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥，即22292a c c -=-≥ 05c ∴<≤ 50,3c e a ⎛⎤∴=∈ ⎥ ⎝⎦本题正确选项：C【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆的定义、点到直线距离公式的应用等知识.9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D 【解析】 【分析】作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，连接EF ，以A 为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造222PE PM a -=，整理可得结果. 【详解】作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，垂足分别为,F E 以A 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设()0,,0M t ，(),,0P x y由正方体特点可知，PF ⊥平面11ADD A222PE y a ∴=+，()222PM x y t =+-()2222222PE PM y a x y t a ∴-=+---=，整理得：222x ty t =-P ∴的轨迹是抛物线本题正确选项：D【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹问题，关键是能够通过建立空间直角坐标系，求出动点满足的方程，从而求得轨迹.10.设a =b =2log 15c =，则下列正确的是 A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据15xy =得单调性可得a b >；构造函数())2log 0f x x x =>，通过导数可确定函数的单调性，根据单调性可得()()15160f f >=，得到c a >，进而得到结论.【详解】由15xy =的单调递增可知：11321515>>a b ∴>令())2log 0f x x x =>，则())10ln 2f x x x '==> 令()0f x '=，则22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '< 即：()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 23ln 2ln e =>=2ln 23> 229ln 2⎛⎫∴< ⎪⎝⎭()()21516log 160f f ∴>==，即：2log 15c a ∴>综上所述：b a c << 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭后，需验证零点与15之间的大小关系，从而确定所属的单调区间.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点(00)O ，，(30)A ，的距离之比为12的动点M 轨迹方程是：22230x y x ++-=”，则该“阿氏圆”的圆心坐标是______，半径是_____． 【答案】 (1). (1,0)- (2). 2 【解析】 【分析】将圆化为标准方程即可求得结果.【详解】由22230x y x ++-=得：()22:14M x y ++=∴圆心坐标为：()1,0-，半径为：2本题正确结果：()1,0-；2【点睛】本题考查根据圆的方程求解圆心和半径的问题，属于基础题.12.已知等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则公比q =______；3a =______． 【答案】 (1). 2 (2). 4 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式构造方程求解即可. 【详解】33418a a q q === 2q ∴=2314a a q ∴==本题正确结果：2；4【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.13.若实数,x y 满足不等式组,2,36,y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最小值是_____，最大值是______．【答案】 (1). 3 (2). 9 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值和最小值，由图象可知2y x z =-+过B 时，z 最小；过C 时，z 最大，求出,B C 坐标，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：令2z x y =+，则求z 的最大值和最小值即为求2y x z =-+在y 轴截距的最大值和最小值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过B 时，z 最小；过C 时，z 最大由2y x x y =⎧⎨+=⎩得：()1,1B ；由36y xy x =⎧⎨=-⎩得：()3,3Cmin 2113z ∴=⨯+=，max 2339z =⨯+=本题正确结果：3；9【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值问题的求解，属于常考题型.14.函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是______，值域是______． 【答案】 (1). π (2). [1,1]- 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化为()cos2f x x =，根据余弦型函数的周期性和值域得到结果. 【详解】()()()44222222cos sin cos sin cos sin cos sin cos2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=()f x ∴的最小正周期22T ππ==；值域为：[]1,1- 本题正确结果：π；[]1,1-【点睛】本题考查余弦型函数的最小正周期和值域的求解，关键是能够将已知函数化为余弦型函数的形式.15.已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的最大值是______．【答案】1 【解析】 【分析】分别在1x ≤-、10x -≤≤和0x >三种情况下求解()f x 在区间内的最大值，综合即可得到结果.【详解】当1x ≤-时，()()112f x x x =---+=+，此时：()()11f x f ≤-= 当10x -≤≤时，()()11f x x x =-++=-，此时：()()11f x f ≤-= 当0x >时，()12f x x =-，此时：()0f x < 综上所述：()max 1f x = 本题正确结果：1【点睛】本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值.16.已知向量,a b 满足：43a b +=，232a b -=，当7a b -取最大值时，a b= ______．【答案】18【解析】 【分析】根据向量模的性质可知当23a b -与4a b +反向时，7a b -取最大值，根据模长的比例关系可得()()32324a b a b -=-+，整理可求得结果. 【详解】()()72342345a b a b a b a b a b -=--+≤-++=当且仅当23a b -与4a b +反向时取等号又43223a ba b+=- ()()32324a b a b ∴-=-+ 整理得：8a b =18a b ∴= 本题正确结果：18【点睛】本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.17.已知1()42xx f x m +=-⋅，设21()21x x g x -=+，若存在不相等的实数,a b 同时满足方程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围为______．【答案】1(,)2+∞ 【解析】 【分析】根据奇偶性定义求得()g x 为奇函数，从而可得=-b a 且0a ≠，从而可将()()0f a f b +=整理为：221222a a a am --+=-+，通过求解函数()()122x h x x x =->的值域可得到m 的取值范围. 【详解】()()21122121x xx x g x g x -----===-++ ()g x ∴为R 上的奇函数又()()0g a g b +=且ab b a ∴=-且0a ≠()()()()()1144220a a a a f a f b f a f a m -+-∴+=+-=+-+= 即：()()2112224422122222222a aaaa a a a a a a am ---+---+-++===-+++ 令()()122x h x x x =->，则()21102h x x'=+> ()h x ∴在()2,+∞上单调递增 ()()112122h x h ∴>=-= 又222a a -+> ()2211222222a a a aa ah ---+∴+=->+ 1,2m ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭本题正确结果：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够将问题转化为221222a a aa--+-+的值域的求解问题；易错点是在求解22a a -+的取值范围时，忽略0a ≠的条件，错误求解为222a a -+≥，造成增根.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222b a c ac =+-. （1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）【解析】 【分析】（1）由已知边的关系配凑出余弦定理的形式，求得cos B ，根据B 的范围求得结果；（2）利用两角和差正弦公式和辅助角公式将sin sin A C +6A π⎛⎫+⎪⎝⎭，由20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得6A π+6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域，从而得到所求范围.【详解】（1）由222b ac ac =+-得：222122a cb ac +-=，即：1cos 2B =()0,B π∈ 3B π∴=（2）()sin sin sin sin sin sin coscos sin33A C A AB A A A ππ+=++=++3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 5,666A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦62A π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝sin sin A C ∴+的取值范围为：2⎛ ⎝ 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形中取值范围类问题的求解，关键是能利用两角和差公式和辅助角公式将所求式子转变为()sin y A ωx φ=+的形式，利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.19.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）见解析（2）6π【解析】 【分析】（1）由//BC AD ，//EC PD ，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC 平面PDA ，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可证得AO ⊥平面PBD ，从而可知所求角为APO ∠，在Rt APO ∆中利用正弦求得结果. 【详解】（1）四边形ABCD 为正方形 //BC AD ∴又AD ⊂平面PDA //BC ∴平面PDA又//EC PD ，PD ⊂平面PDA //EC ∴平面PDA,EC BC ⊂平面BEC ，ECBC C = ∴平面//BEC 平面PDABE ⊂平面BEC //BE ∴平面PDA（2）连接AC 交BD 于点O ，连接POPD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD AO PD ∴⊥又四边形ABCD 为正方形 AO BD ∴⊥,BD PD ⊂平面PBD ，BD PD D = AO ∴⊥平面PBDAPO ∴∠即为PA 与平面PBD 所成角2PD AD ==且PD AD ⊥PA ∴=又1122AO AC === 1sin 2AO APO PA ∴∠== 6APO π∴∠=即PA 与平面PBD 所成角为：6π【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.20.已知函数2()32f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S （*n N ∈）均在函数()f x 的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【答案】（1）65n a n =-；（2）10． 【解析】分析：（1）由已知条件推导出232n S n n =-，由此能求出65n a n =-；（2）由()()133111656126561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项求和法求出()11122612n T n =-<+，由此能求出满足要求的最小整数. 详解：（1）232n S n n =-当2n ≥时，()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦当1n =时，111a S ==符合上式 综上，65n a n =-（2）()!3311165)6126561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭（ 所以111111111112771365612612n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ 由20n m T <对所有*n N ∈都成立，所以1220m ≤，得10m ≥, 故最小正整数m 的值为10.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．21.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，且124y y =-． （1）求抛物线的方程；（2）设直线l 与y 轴交于点D ，试探究：线段AB 与FD 的长度能否相等？如果相等，求直线l 的方程，如果不等，说明理由．【答案】（1）24y x =（2）当l的方程为1)y x =±-时有||||AB FD =.【解析】 【分析】（1）设直线:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到方程，解方程求得p ，从而得到抛物线方程；（2）将()():10l y k x k =-≠与抛物线方程联立，利用韦达定理可得()212222242k x x kk++==+，根据焦点弦长公式可求得244AB k =+，利用两点间距离公式得DF =AB FD =构造方程，解方程求得k ，从而得到直线l 的方程. 【详解】（1）设直线:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：2220ky py kp --= 2124y y p ∴=-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：()():10l y k x k =-≠联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得：()2222220k x k x k -++=此时()224242416160k k k ∆=+-=+>恒成立()212222242k x x k k+∴+==+，121=x xl 过焦点F 12244AB x x p k ∴=++=+由()0,D k -，()1,0F DF ∴=由AB FD =244k=+，即：()()242116160k k k +--=210k +> 4216160k k ∴--=，解得：28k =+28k =-（舍）k ∴==±∴当直线l 方程为：)1y x =±-时，AB FD =【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、焦点弦长公式的应用等知识；难点在于利用等长关系构造方程后，对于高次方程的求解，解高次方程时，需采用因式分解的方式来进行求解.22.已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由； （2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.【答案】（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a-≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a b x a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭()h x ∴奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b（2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+ ()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点只需讨论222b x a =-的解的个数即可①当0b =时，222b x a=-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点②当0b >时 ，2220x a b =+> x ∴=为方程222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点（ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a-≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a =-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.。

浙江省杭州市长河中学2018-2019学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是（***）A．B．-6 C．D．-3参考答案：B略2. 的斜二侧直观图如下图所示，则的面积为（）．A．B．C．D．以上都不对参考答案：B根据斜二测画法的原则可知：为直角三角形，底为，高为，所以面积是，故选．3. 方程x2+y2﹣2y=0所表示的曲线的特征是（）A．关于直线y=x对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称参考答案：D【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】判断圆的圆心坐标所在位置，即可得到结果．【解答】解：方程x2+y2﹣2y=0即x2+（y﹣1）2=1，是以（0，1）为圆心以1为半径的圆，图象关于y轴对称．故选：D．【点评】本题考查圆的一般方程的应用，圆的简单性质的判断，是基础题．4. 在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形参考答案：C略5. 有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数；第二组含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数；…，试观察每组内各数之和与其组的编号数有什么关系（）Ａ．等于Ｂ．等于Ｃ．等于Ｄ．等于参考答案：B略6. 给出下列四个推导过程：①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2=2；②∵x，y∈R+，∴lgx+lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2=4；④∵x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=﹣[（﹣（））+（﹣（））]≤﹣2=﹣2．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：D【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】基本不等式a+b≥2的成立条件是a＞0，b＞0，然后判断即可【解答】解：对于①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2=2，当且仅当a=b时取等号，故①正确，对于②∵x，y∈R+，但是lgx，lgy不一定大于0，故不能用基本不等式，故②错误，对于③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2=4；成立的条件是a＞0，故③错误，对于④x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=﹣[（﹣（））+（﹣（））]≤﹣2=﹣2．当且仅当x+y=0时取等号，故④正确．故选：D【点评】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题，7. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为( )A． B．C．2 D．4参考答案：A8. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值是( )A. B. C. D.不存在参考答案：A9. 复数的虚部是（）A．﹣B．C．i D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是．故选：B．10. 直线y=kx+1﹣k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1﹣k=k（x﹣1）+1，恒过点P（1，1），只需判断点P（1，1）与椭圆椭圆的位置关系即可【解答】解：直线y=kx+1﹣k=k（x﹣1）+1，恒过点P（1，1），∵，∴点P（1，1）在椭圆的内部，∴直线y=kx+1﹣k与椭圆的位置关系为相交．故选：A．【点评】本题考查了只限于椭圆的位置关系，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集为______________________________;参考答案：12. ，,则命题┐为。