1.2 标量场及其梯度

1.2 标量场及其梯度
1.2.1 标量场的概念
定义：在区域V 内的某种物理系统，其特性可以用标量函数ƒ(r ，t )来描述。

对于
V 中任意一点r ，若ƒ(r ，t )有确定值与之对应，就称这个标量函数ƒ(r ，t )是定义于V 上
的标量场。

由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间。

标量场有两种：恒稳标量场ƒ(r )，时变标量场ƒ(r , t )表示。

标量场ƒ(r , t ) 在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。

它是该时刻ƒ(r )为同一值所有点构成的空间曲面。

在直角坐标中ƒ(r )的等值面方程
ƒ(x,y,z ) = C (1.2.1)
其中C 为常数。

绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。

等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面（线）的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面（线）不能相交。

1.2.2 标量场的梯度
（1）对于定义在V 中连续、可微的标量场ƒ(x,y,z )，考察它在(x,y,z )点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。

由 (x ,y ,z ) 点到
(x+dx ，y+dy ，z+dz ) 点的微分位移用线元矢
量表示
d l = d x
e x +d y e y +d z e z （1.2.2）
标量场的相应微增量
z
z
f y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=
, z +d z )
(1.2.3) 改写上式为
()z y x z y x z y x z
f
y f x f f e e e e e e d d d )(d ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=
l e e e d )(⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x z
f
y f x f
括号内的矢量称为标量场ƒ(x,y,z )在点(x,y,z )的梯度，记作f ∇
)
(z y x z
f
y f x f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇
（1.2.4）
于是，标量场微增量可写为
l
d d ⋅∇=f f
（1.2.5）
（2）讨论：
① 上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。

② 梯度是矢量，它有的大小和方向。

θcos d d d l f f f ∇=⋅∇=l ，在d l 为定长的条件下，当θ=0即d l 的取向与f ∇的
方向一致时，d ƒ才具有最大值d ƒ|max =l f d ∇，或是max
max
l
f
l
f
f d d d d =
=
∇。

可见梯度
的模是标量场f (x,y,z ) 在点 (x,y,z ) 的最大变化率，梯度的方向是获得这个最大变化率应沿着的方向。

③ d l 的取向与f ∇的方向不一致时，因l l f f f
e l d d d ⋅∇=⋅∇=，有
l l f f l
f
)(∇=⋅∇=∂∂e （1.2.6） 称为标量场ƒ(x ,y ,z ) 在点 (x,y,z ) 沿任意矢量l 方向的方向导数。

ƒ(x,y,z )在x 、y 、z 方向上的方向导数就是f ∇的相应坐标分量，有
⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫⋅∇=∇=∂∂⋅∇=∇=∂∂⋅∇=∇=∂∂z z y y x x f f z f
f f y f f f x
f
e e e )()()( （1.2.7） ④
f ∇与标量场的等值面（线）处处正交：0d =⋅∇l f 。

3. ∇算符
改写梯度表达式
f z y x
z f y f x f f z y x z y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e e e e )(
定义
z
y x z y x ∂∂
+∂∂+∂∂=∇e e e （1.2.8）
称为这个一阶微分矢量算符为∇算符（读作del ）。

这是它在直角坐标系中的具体形式为。

在使用中应掌握∇算符的特点：
① 在不同坐标系中，∇算符有不同的表达形式；
②∇ 算符与其它算符（如微分、积分算符）一样，单独存在没有任何意义； ③ ∇算符的矢量特性。

∇算符不是一个真实矢量，但在对其右端的场函数进行有意义的运算中，必须视为矢量，并赋予它矢量的一般特性：2∇=∇⋅∇，0=∇⨯∇；
④ ∇算符的微分特性。

下面举算例说明：
()()()()z y x fg z
fg y fg x fg e e e ∂∂
+∂∂+∂∂=∇ z y x z f g z g f y f g y
g f x f g x g f e e e ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=z y x z y x z f y f x f g z g y g x g f e e e e e e
f g g f ∇+∇=
比较微分公式
()()()f g g f f g g f fg g f fg C C C C d d d d d d d +=+=+=
可见进行梯度运算，只需先按微分公式运算，再将d 换成∇算符即可。

此例可作为梯
度的基本运算公式。

1.2.4 梯度运算基本关系
（1） 对于相对坐标标量函数f (r -r ')，有
f f ∇'-=∇ （1.2.9）
其中：f ∇表示对场点r 求f (r -r ')的梯度，f ∇'表示对源点r '求f (r -r ')的梯度。

（2） 对于相对位置矢量R = r -r '的模R = |r -r '|，有
R R
R e R
==∇ （1.2.10） 231R
R R R e R
-=-=∇ （R ≠ 0） （1.2.11） 证：在直角坐标系中
z y x z z y y x x e e e R )()()('-+'-+'-=
1/2222])()()[(z z y y x x R '-+'-+'-=
则
R x x R x x z z y y x x x
z z y y x x x R )()(221])()()[(])()()[(2
1
2221/2222'-='-⋅='-+'-+'-∂∂
⋅'-+'-+'-=∂∂- 同理有 R y y y R )('-=∂∂ ， R
z z z R )('-=∂∂ 于是
R z y x z y x R
z z y y x x R z
R
y R x R R e R e e e e e e =='-+'-+'-=∂∂+∂∂+∂∂=
∇])()()[(1
再运用∇算符的微分特性，可得
2
322111R
R R R R R R R e R
R -=-=⋅-=∇-=∇ （R ≠ 0）
证毕
1.2.5 计算举例
例2-1. 求f = 4e 2x - y+ z 在点P 1（1，1，-1）处由该点指向P 2（-3，5，6）点方向上的方向导数。

解：按方向导数的定义式 l l f f l
f
e ⋅∇=∇=∂∂)( 的思路来计算。

)
(24e
)(24e
)
(e 4)(4e 2222z y x x-y-z
x-y-z
x-y-z x-y-z z y x f e e e +-=+-∇=∇=∇=∇
)4(2)(24e 1121
z y x z y x --P f
e e e e e e +-=+-=∇
9
74481
744]744)[(1)(6)1(5)13(1/2222121212
z
y x z
y x z y x R e e e e e e e e e R e ++-=
++-=
++-++-+--==
于是，f 在P 1处沿R 12方向上的方向导数为
[]9
20714)1()4(294
9
744)(24 1212
1
1
-=⨯+⨯-+-⨯=
++-⋅+-=⋅∇=∂∂z
y x z y x P P f
R f
e e e e e e e
本节作业：7、8。