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2019-2020年高中数学 第三章 概率 3.2.2 建立概率模型教案 北师大版必修3

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2019-2020年高中数学第三章概率 3.2.2 建立概率模型教案北师大版必修3教学分析本节教科书通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力．三维目标1．使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．2．通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力．重点难点教学重点：建立古典概型．教学难点：建立古典概型．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的．今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题．思路 2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1．回顾解应用题的步骤？2．什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：(1)读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础．(2)建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关．(3)解：求解数学模型，得到数学结论．一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程．(4)答：将数学结论还原给实际问题的结果．2．同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：(1)试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；(2)每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等．应用示例思路1例口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球．试计算第二个人摸到白球的概率．分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．为此考虑用列举法列出所有可能结果．解法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来(如图1)．图1树状图是进行列举的一种常用方法．从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12，这与第一节的模拟结果是一致的． 还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率．如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少，那么我们计算起来就更简便．解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况．前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2)．图2从上面的树状图可以看出，这个模型的所有可能结果数为12，因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，这12种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型．在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝612＝12. 这里，我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点，利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，从而简化了模型．还可以从另外一个角度来考虑这个问题．因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此得到另一种解法．解法三：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3)．图3试验的所有可能结果数为6，并且这6种结果的出现是等可能的，这个模型是古典概型．在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝36＝12. 下面再给出一种更为简单的解法．解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的．第二个人摸到白球的结果有2种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝24＝12. 点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一．解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为12. 解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型．解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种．解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单． 尽管解法二、三、四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二、三、四却不能做到．教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法．对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.变式训练小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏公平吗？分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平．解：设(x ，y )表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3), (4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3), (6,4)，(6,5)，(6,6)，即有36种基本事件．其中点数之和为奇数的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)．即有18种．所以小刚得1分的概率是1836＝12. 则小明得1分的概率是1－12＝12. 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.思路2例 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )．A.310B.15C.110D.112解析：用(x ，y )(x ≠y )表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为310. 答案：A点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数；②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数；③代入古典概型的概率计算公式求得.变式训练 ：该自动包装机包装的食盐质量在497.5～501.5 g 之间的概率约为________．分析：观察表格可得在497.5～501.5 g 之间的食盐有：498,501,500,501,499共5袋，则食盐质量在497.5～501.5 g 之间的概率520＝0.25. 答案：0.252.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( )． A.不全相等 B ．均不相等C.都相等且为502 007 D ．都相等且为140分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于502 007. 答案：C知能训练1．袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，________不是基本事件．( )．A ．{正好2个红球}B ．{正好2个黑球}C ．{正好2个白球}D ．{至少一个红球}解析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少一个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．答案：D2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( )．A.19 999B.110 000C.9 99910 000D.12答案：D3．有4条线段，长度分别为1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( )．A.14B.13C.12D.25答案：A4．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．解析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于5100，即120. 答案：1205．某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是________．答案：186．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出一个是白球，另一个是红球．分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A 的个数和事件B 的个数，运用公式求解即可．解：设4个白球的编号为1,2,3,4，两个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个．(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，故取出的两个球都是白球的概率为P (A )＝615＝25. (2)取出一个是白球，而另一个为红球的基本事件，共有8个，即为(1,5)，(1,6), (2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，故取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P (B )＝815. 拓展提升1．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，设圆Q 的方程为x2＋y 2＝17.(1)求点P 在圆Q 上的概率；(2)求点P 在圆Q 外部的概率．解：m 的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，n 的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，所以，点P (m ，n )的所有可能情况有6×6＝36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题．(1)点P 在圆Q 上只有P (1,4)，P (4,1)两种情况，根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为236＝118. (2)点P 在圆Q 内的坐标是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共有8个点，所以点P 在圆Q 外部的概率为1－2＋836＝1318. 2．将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：(1)3次正面向上；(2)2次正面向上，1次反面向上．解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8，又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1，设事件“3次正面向上”为A ，∴P (A )＝18. ∴事件“3次正面向上”发生的概率为18. (2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3，设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B ，∴P (B )＝38. ∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为38. 课堂小结本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决． 作业习题3—2 A 组 7,8.设计感想本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法．在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型．备课资料不同背景的实际问题归为同一模型对于一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的模型来解决；另一方面，有很多不同的问题，我们还可以把它们归为同一个模型来解决．复习题三的A 组第7题的一般情形就是研究r 个球随机放入n 个盒子中的可能分布，这是一个很重要的概率模型．有许多实际问题，尽管它们的直观背景很不相同，但都可以抽象为r 个球随机地分布于n 个盒子中的模型．例如，6个盒子分别代表数字1,2,3,4,5,6，掷一粒骰子，若向上的点数为3，则这个结果对应于把一个球放入代表数字3的盒子中，因此，掷r 粒骰子的可能结果就相当于把r 个球随机地放入这6个盒子中(n ＝6)；两个盒子分别代表正面朝上和反面朝上，掷一枚硬币，若出现正面朝上，则这个结果对应于把一个球放入代表正面朝上的盒子中，掷r 枚硬币的可能结果就相当于把r 个球随机地放入这两个盒子中(n ＝2)；类似地，r 个人的生日的可能情形相当于r 个球随机地放入n ＝365个盒子中的可能结果(假定一年是365天)；一部电梯，开始有r 个乘客，它在n 层楼中的每一层都停，乘客走出电梯的各种可能情形相当于r 个球随机地放入n 个盒子中的可能结果；等等．2019-2020年高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法——概率的应用教案北师大版必修3教学分析这部分是新增加的内容．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的．随机模拟部分是本节的重点内容．几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子．本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．2．本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概率计算，培养学生从有限向无限探究的意识．重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率．教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件发生都是等可能的．那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？为此我们学习几何概型．思路2.图1中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜．在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？图1为解决这个问题，我们学习几何概型．思路 3.在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况．例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个．这就是我们要学习的几何概型．推进新课新知探究提出问题1．随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率？2．试验1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭，假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？3．问题1,2中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？4．什么是几何概型？它有什么特点？5．如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？6．古典概型和几何概型有什么区别和联系？活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括．讨论结果：1．硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．每种结果出现的概率相等，P (正，正)＝P (正，反)＝P (反，正)＝P (反，反)＝14.两次出现相同面的概率为14＋14＝12. 2．经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解．考虑第一个问题，如图2，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率为P (A )＝13.图2第二个问题，如图3，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.图33．硬币落地后会出现四种结果(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的，而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的，即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的．4．几何概型．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．几何概型的基本特点：a ．试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b ．每个基本事件出现的可能性相等．5．几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 6．古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同．应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图4所示，有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系，然后判断．解：(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关．例2 某人午休醒来，发觉表停了(图5)，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率．图5活动：学生分析，教师引导，假设他在0～60之间的任一时刻，打开收音机是等可能的，但0～60之间有无数个时刻，不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率，因为他在0～60之间的任一时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，所以可用几何概型的概率计算公式计算．解：记“等待的时间短于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的求概率公式得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16. 点评：打开收音机的时刻X 是随机的，可以是0～60之间的任何时刻，且是等可能的．我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 称为[0,60]上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)．解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为Ω＝(a ，a ＋5)，记A g ＝{等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g ＝(a ＋2，a ＋5)中的任一时刻，故P (A g )＝g 的长度Ω的长度＝35. 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例1 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于20分钟的概率．活动：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率．可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．解：设A ＝{等待的时间不多于20分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[40,60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P (A )＝60－4060＝13. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为13. 点评：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率．解：记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝0.004.故钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30～6：30之间任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题，设法利用几何概型公式求得概率．解：建立平面直角坐标系，如图6中x ＝6，x ＝7，y ＝5.5，y ＝6.5围成一个正方形区域G .设晚餐在x (6≤x ≤7)时开始，晚报在y (5.5≤y ≤6.5)时被送到，这个结果与平面上的点(x ，y )对应．于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应．图6由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y ＜x ，因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”．容易求得g 的面积为78，G 的面积为1.由几何概型的概率公式，“晚报在晚。

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3.2.2建立概率模型 教案(高中数学北师大版必修3)

3.2.2建立概率模型 教案(高中数学北师大版必修3)

2．2建立概率模型●三维目标1．知识与技能(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．(2)能建立概率模型解决实际问题．2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．3．情感、态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．●教学建议本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．●教学流程创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型⇒引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法⇒通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧⇒通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧⇒通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧⇒归纳整理课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正如何观察分析试验中的等可能结果？【提示】一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单． 3．树状图是进行列举的一种常用方法.121 (1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率； (2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解】 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P (A )＝18100＝950.图3－2－1用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【思路探究】由涂色的有序性可画出树状图解题．【自主解答】所有可能的基本事件共有27个，如图所示：红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝627＝29.1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组{x>0， y>0， x＋y≤4所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．【解】利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝636＝16.(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【思路探究】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．【自主解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出事件A 包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B .从图中可以看出事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P (B )＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P (C )＝1236＝13.1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.知识性错误致误设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球． (1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(白，白)}，所以P (A )＝13.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(白，黑)}，所以P (B )＝13. 【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的． 【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．所以P (A )＝1230＝25.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．所以P (B )＝1630＝815.1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．1．下列不属于古典概型的性质的是( ) A ．所有基本事件的个数是有限个 B ．每个基本事件发生的可能性相等 C ．任两个基本事件不能同时发生D ．可能有2个基本事件发生的可能性不相等【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等． 【答案】 D2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P ＝12.【答案】 A3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( ) A.320 B.14 C.310 D.15【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是620＝310.【答案】 C4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P ＝14＝0.25.一、选择题1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110【解析】 由古典概型的计算公式得P (A )＝810＝45.【答案】 C2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a ，从{1,2,3}中随机选一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a ，从{1,2,3}中随机选一个数b ，共有以下不同结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．其中满足b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b >a 的概率为315＝15，故选D.【答案】 D3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等的实根的概率为( )A.112B.19C.136D.118【解析】 方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等实根，故Δ＝b 2－4c ＝0即b 2＝4c .基本事件总数为6×6＝36.当b ＝4，c ＝4或b ＝2，c ＝1时，b 2＝4c 成立，故P ＝236＝118.【答案】 D4．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为410＝25.【答案】 B 5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )。

北师大版高中数学必修3教案备课建立概率模型

北师大版高中数学必修3教案备课建立概率模型

2.2建立概率模型学习目标核心素养1.进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)1.通过进一步运用古典概型的概率计算公式求解概率，提升数学运算素养．2．通过实际问题尝试建立不同的概率模型来解决，培养数学建模素养.由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3)树状图是进行列举的一种常用方法．思考：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？[提示]若一个试验是古典概型，需具备以下两点：(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()A.34 B.12C.13 D.14B[这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为24＝12.]2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.112 B.512 C.712 D.56A[由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所求概率为P＝1 12.]3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16 D.13A[先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.]4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A．一定不会淋雨B．淋雨机会为3 4C．淋雨机会为12D．淋雨机会为14D[用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝1 4.]“有放回”与“不放回”的古典概型121连续取两次．(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本事件组成，因而P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．[跟进训练]1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1 6.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．[解](1)设红色球有x个，依题意得x24＝16，解得x＝4，所以红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A)＝512.“有序”与“无序”问题察向上的点数．(1)求两数之积是6的倍数的概率；(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则log x(2y)＝1的概率是多少？[解](1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)＝1536＝512，即两数之积是6的倍数的概率为512.661218243036 551015202530 44812162024 3369121518 224681012 1123456积12345 6 (2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x，y，且log x(2y)＝1”为事件B，则满足log x(2y)＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三种情况，所以P(B)＝336＝112，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y且满足log x(2y)＝1的概率是1 12.若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.[跟进训练]2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．(1)求出现的点数相同的概率；(2)求出现的点数之和为奇数的概率．[解](1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为636＝16.(2)法一出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数的数组有3×3＋3×3＝18(个)，从而所求概率为1836＝12.法二由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为24＝12.建立概率模型1．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是多少，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事件出现的可能性相同，其概率都为1 6.2．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这2个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为0.5.3．在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？提示：不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的．只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型．【例3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[思路探究]用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来，等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝1 24.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝38.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝13.1．解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算．2．本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．[跟进训练]3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率．(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．[解]利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)，故甲在边上的概率为P＝1224＝12.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝16.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙), (丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝16.对古典概型的认识一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.1．思考辨析(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．() [解析](1)√，由古典概型的特征知(1)正确．(2)√，用树状图进行列举直观形象．(3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．甲、乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是________．12[设两间房分别为A，B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(B，A)，(B，B)共计4种，则两人各住一间房包含(A，B)，(B，A)两个基本事件，故所求概率为1 2.]3．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是________．750[7的倍数用7n(n∈N＋)表示，则7n≤100，解得n≤1427，即在100以内有14个数是7的倍数，所以概率为14100＝750.]4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，(1)从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．[解](1)设取出的2只球颜色不同为事件A.基本事件有(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种，故P(A)＝5 6.(2)设两次取得球的颜色相同为事件B.基本事件有(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P(B)＝616＝38.。

3.2.2建立概率模型 课件(北师大版必修3)

3.2.2建立概率模型 课件(北师大版必修3)


2.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求“至少有两枚正面向上”这一事件的概率； （3）求“恰有一枚正面向上”这一事件的概率.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是
（ ）
1 2 （A）1 （B） （C）1 （D） 3 3 2 6 【解析】选B.就甲的位置而言有三种可能，甲在中间只有一种，
片，若从两盒中各任取一张卡片，求所取卡片上的两数之和
等于6的概率. 甲的解法：因为两数之和可为0,1,2,„,10,共包含11个基本 1 事件，所以所求概率为 . 11 乙的解法：从两盒中各任取一张卡片，共有36种取法，其中
和为6的情况共有5种：（1,5）（5,1）,(2,4),(4,2),(3,3), 5 因此所求概率为 . 36 试问哪一种解法正确？为什么？
二、填空题（每题5分，共10分）
4.从集合{2,4,6,8}中任取两个数，分别作为对数的底数和真
数，则形成的对数值大于2的概率为__________.
【解析】从集合中任取两个数的所有结果为
共12种，而形成的对数大于2的有两个log26和log28，故其概 2 1 率为 . 12 6 1 答案： 6
故其概率为
1 . 3
2.一栋楼有6单元，小王与小李都住在此栋楼内，则他们住在 此楼同一单元的概率为（ ）
（A）1 （B） 1 （C） 1 （D） 1 2 12 6 36 【解析】选C.由题知将小王和小李所住单元号记为（x,y）可 知有36种结果，即n=36,住在同一单元有6种，即m=6,故其概 率为
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.2建立概率模型》优质课教案_6

北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.2建立概率模型》优质课教案_6

§2.2建立概率模型教学设计一、教材的地位和作用本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。

二、学情分析：高一文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现，因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。

三、教学目标1.知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。

（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。

（3）会2.过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。

（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。

（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。

3.情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。

4.本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。

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