高中数学第三章概率习题课学案北师大版必修3
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第三章概率学习目标 1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．知识点一频率与概率的关系随机事件A在________条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率＝______，随着试验次数的增加，频率呈现________性，即频率总是________于某个常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．知识点二互斥事件、对立事件1．若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．2．若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．3．若事件A，B互斥，则________(填“一定”“不一定”)对立；若事件A，B对立，则________(填“一定”“不一定”) 互斥．4．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝____________，若事件A，B对立，则P(A)＝________. 知识点三古典概型及其概率计算公式1．解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个；(2)每个基本事件出现的可能性是否________．2．利用古典概型求事件A的概率的步骤是：(1)用________把古典概型试验的基本事件一一列出来；(2)从中找出事件A包含的________________；(3)P(A)＝________________________________.类型一随机事件的频率与概率例 1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：抽取球数n 50100200500 1 000 2 000优等品数m 4592194470954 1 902(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn 总是接近于常数P (A )，称P (A )为事件A 的概率．跟踪训练 1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格；(2)该油菜子发芽的概率约是多少？类型二互斥事件的概率例2某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不超过7环的概率．反思与感悟把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法．跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？类型三古典概型的概率例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．反思与感悟处理古典概型时注意：(1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意有无顺序要求．跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．类型四古典概型概率的综合应用例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．反思与感悟古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策等过程．跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x 1 2 3 4 5fa 0.20.45b c(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A ．0.5 B ．0.3 C ．0.6D ．0.92．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9； [23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11； [31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7； [39.5,43.5)，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.233．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.234．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为( )A.34 B.13 C.12D.235．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.231．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A 的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．2．计算事件A 的概率，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件数有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．答案精析知识梳理 知识点一相同 mn 规律 接近知识点二 1．≤ 2．＝3．不一定 一定 4．P (A )＋P (B ) 1－P (B ) 知识点三1．(1)有限 (2)相等2．(1)列举法 (2)基本事件及个数 (3)A 包含的基本事件的个数基本事件的总数题型探究例1 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.跟踪训练1 解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为0.900.例2 解 记“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，“射中8环”为事件C ，“射中7环”为事件D .则事件A 、B 、C 、D 两两互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16. (1)∵射中10环或9环为事件A ∪B ， ∴由概率加法公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52.(2)∵至少射中7环的事件为A ＋B ＋C ＋D ， ∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D ) ＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. (3)记“射中环数不超过7环”为事件E ， 则事件E 的对立事件为A ＋B ＋C .∵P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，∴P (E )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.71＝0.29.跟踪训练2 解 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725.P (x ＝4，y ＝3)＝750.P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.当x ≥3时，有710×50＝35(人)，∴在x ≥3的基础上，y ＝3有8人． ∴在x ≥3的基础上P (y ＝3)＝835.(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3) ＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.例3 解 (1)甲校2名男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，2名女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．选出的2名教师性别相同的结果为(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.跟踪训练3 解 (1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2,1只次品记为b 1，则第一次取1只，放回后第二次取1只，基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，共9个．①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，共4个；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，共4个．(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为P ＝13.例4 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1.35＝915＝′P ，因此，所求概率9之间的可能结果数为190 cm ～185人身高在 跟踪训练4 解 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，0.15.＝320＝b 所以11 / 11 0.1.＝220＝c 件，所以2的恰有5等级系数为 从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.，1x {，}3x ，1x {，}2x ，1x {中任取两件，所有可能的结果为2y ，1y ，3x ，2x ，1x 从日用品(2)，即基本事件}2y ，1y {，}2y ，3x {，}1y ，3x {，}2y ，2x {，}1y ，2x {，}3x ，2x {，}2y ，1x {，}1y 的总数为10.包含的A ，则”中任取两件，其等级系数相等2y ，1y ，3x ，2x ，1x 从日用品“表示A 设事件＝410＝)A (P 个．故所求的概率4，共}2y ，1y {，}3x ，2x {，}3x ，1x {，}2x ，1x {基本事件为0.4.当堂训练1．A [依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.]＝2266，故所求概率约为)个22(＝3＋7＋12的数据有[31.5,43.5)由条件可知，落在[ B ．2.]133．A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成.]34＝P 三种，故所求概率为(3,4,5)、(2,4,5)、(2,3,4)三角形的有 .]23＝16＋12＝)B (P ＋)A (P ＝)B ＋A (P 是互斥事件，所以B 与事件A 因为事件[ D ．4 5．C [摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是.]12＝36＝P ，故所求事件的概率是3。
