勾股定理应用之最短路径问题

17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。

三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。

(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。

2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。

（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。

（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。

（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。

第2周-勾股定理应用(最短路径) 勾股定理在最短路径问题中有一种应用，即在二维平面上寻找两点之间的最短路径。

在平面坐标系中，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要找到从A到B的最短路径。

可以利用勾股定理来计算两点之间的距离，然后通过不同的算法找到最短路径。

具体步骤如下：
1.计算两点的欧氏距离：根据勾股定理，两点之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

2.根据给定的图或网络结构，利用最短路径算法（如Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等）找到从A到B 的最短路径。

3.比较不同路径的长度，找出最短路径，并记录经过的节点或路径信息。

专题04 勾股定理在几何最短路径问题中的应用最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题,对于平面内的最短路线问题可先画出方案图,然后确定最短距离及路径图。

对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解,然后构造直角三角形,利用勾股定理求解.最短路径问题在中学教学中是个难点,本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题,用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。

希望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想、学会“转化思想”的方法,找出问题的实质,达到解决问题的目的。

这样有助于学生充分去体会数学中的有趣知识,从兴趣出发学到有用的数学。

一、知识点概述平面图形中最短路线的基本知识点：（1）两点之间,线段最短；（2）垂线段最短.二、方法介绍方法总结：①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化,即把立体图形沿着某一条线展开,转化为平面问题后,借助“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”,进而构造直角三角形,借助勾股定理求解.②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换,转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题.常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开等等,下面我们就通过一些典型的例题对这些问题逐一讲解.二、典型例题分析题1. 如图1-1有一圆柱体如图,高8cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.（π取3）图1-1【参考参考参考答案】17cm.【解析】解：将圆柱沿侧面高展开,得到图1-2.图中线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．其中C,D分别是BE,AF的中点．∵底面半径5cm∴AF=2π•5=10π,AD=5π=15．又∵CD=8∴在Rt△ACD中,由勾股定理得：CDAC=17cm．故参考参考参考答案为：17cm．图1-2题2. 如图2-1,是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．图2-1【参考参考参考答案】25.【解析】解：将台阶沿踏面展开,如图2-2所示,图2-2∵展开长方形的长为20,宽为（2+3）×3,∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长,即线段AB的长．由勾股定理得：AB=25,故参考参考参考答案为：25．【点睛】本题用到台阶的平面展开图,只要根据题意判断出长方形的长和宽,并借助勾股定理即可解答．题3. 如图3-1是一个长方体,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少？（长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm）【参考参考参考答案】5cm.【解析】解：将长方体展开,有三种展开方式,如图3-2、图3-3、图3-4所示.如图所示,最短路径有以下三种情况：①沿AA′,A′C′,C′B′,B′B剪开,得图3-2,由勾股定理得：AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；即AB’=5.②沿AC,CC′,C′B′,B′D′,D′A′,A′A剪开,得图3-3,由勾股定理得：AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；即AB’.图3-2图3-3图3-4③沿AD,DD′,B′D′,C′B′,C′A′,AA′剪开,得图3-4,由勾股定理得：AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；即AB’.综上所述,最短路径应为图3-2所示,即AB′=5cm．故参考参考参考答案为：5cm.【点睛】此题考查最短路径问题,将长方体从不同角度展开,是解决此类问题的关键,注意不要漏解．归纳：若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,从长方体一个顶点至体对角线点的最短路径长度有以下三种：求出这三者之间的最小值即为最短路径长度.题4. 如图4-1,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点,若AE=2,求EM+BM的最小值．图4-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】平面最短路径问题,因为△ABC 是等边三角形,且AD 是BC 边上的中线所以AD ⊥BC ,即AD 垂直平分BC ,AB =6,BD =3,AD连接CE ,BM +EM =CM +EM =CE根据两点之间线段最短,CE 即为所求.过点C 作CF ⊥AB 于F ,如图4-2所示.CB AED MF图4-2∵CF =AD AE =2,AF =3,∴EF =1在Rt△CEF 中,由勾股定理得：CE .=即EM +BM 的最小值为.题5. 如图5-1所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 秒钟．图5-1【参考参考参考答案】2.5.【解析】因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线．①展开前面、右面由勾股定理得AB cm ；=②展开底面、右面由勾股定理得AB cm；>5,所以最短路径长为5cm,用时最少：5÷2=2.5秒．故参考参考参考答案为：2.5.6题6. 如图6-1,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为,高为5,则蚂蚁π爬行的最短距离为．图6-1【参考参考参考答案】13.6【解析】因为圆柱底面圆的周长为2π×=12,高为5,π所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,根据勾股定理,求得展开后矩形的对角线长为13．即蚂蚁爬行的最短距离为13．故参考参考参考答案为：13.题7. 我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图7-1所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.图7-1【参考参考参考答案】25.【解析】因为葛藤自点A处缠绕而上绕五周,所以将缠绕后的立体图展开成平面,得到一个长方形,如图7-2所示. 其中AB 即为所求线段的长度.ABC 图7-2侧面展开是5个周长,即AC =15 尺,又BC =20尺,在Rt △ABC 中,由勾股定理得：AB =25尺.故参考参考参考答案为：25.题8. 如图8-1所示,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm ,高为12cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm ,则h 的取值范围是 ．图8-1【参考参考参考答案】11≤h ≤12【解析】当筷子竖直立起来时,露出部分最长,为24－12=12cm .当筷子倾斜如图8-2放时,露出部分最短,连接AB ,A BC图8-2因为BC =12,AB =5所以在Rt △ABC 中,由勾股定理得：AC =13所以h=24－13=11.故参考参考参考答案为：11≤h≤12.题9. 如图9-1,是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆,其边缘AB＝CD＝30 m. 小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短,则他滑行的最短距离为__________ m．(π取3)图9-1【参考参考参考答案】.【解析】将半圆柱体展开,并作点D关于直线AB的对称点D’,连接CD’与直线AB的交点即为点E. 如图9-2所示.CD A BD' E图5-2从图中可知：CD’的长度即为所求,AD=AD’=30,所以DD’=60,CD=AB=30在Rt△CDD’中,由勾股定理得：.'CD==故参考参考参考答案为：.【点睛】此题属于最短路径与勾股定理的结合题,正确的将立体图形转化为平面图形是解题关键；另外,最短路径作图原则：在哪条边上找点,就作题中所给的已知点关于这条直线的对称点.题10. 如图10-1,已知AB=20,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,DA=10,CB=5．（1）在AB上找一点E,使EC=ED,并求出EA的长；（2）在AB上找一点F,使FC+FD最小,并求出这个最小值．图10-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】解：（1）如图10-2所示.A DCBE x 20－x 105图10-2设AE =x ,则BE =20-x ,所以在Rt △ADE 中,由勾股定理得：DE 2=AE 2+AD 2同理可得：CE 2=BE 2+BC 2又因为DE =CE所以AE 2+AD 2=BE 2+BC 2即x 2+102=(20-x )2+52解得：x =.658（2）作点C 关于直线AB 的对称点H ,连接DH ,交直线AB 于点F ,如图10-3所示.根据两点之间线段最短,可得线段DH 长即为所求.A DCBF 105HG 图10-3过点D 作DG ⊥BC 交BC 延长线于点G .因为BC =BH =5,所以GH =15又DG =AB =20,所以在Rt △DGH 中,由勾股定理得：.25DH ==即FC +FD 的最小值为25.题11. 如图11-1,在△ABC 中,∠C =90°,∠BAC =30°,AB =AD 平分∠BAC ,点P 、Q 分别是AB 、AD 边上的动点,则PQ +BQ 的最小值是题11-1【参考参考参考答案】.【解析】如图11-2,作点P 关于直线AD 的对称点P ′,连接QP ′,图11-2在△AQP 和△AQP ′中,因为AP =AP ’,∠PAQ =∠P ’AQ ,AQ =AQ ,∴△AQP ≌△AQP ′∴PQ =QP ′所以求PQ +BQ 的最小值,就是求BQ +QP ′的最小值,根据垂线段最短的原则,当BP ′⊥AC 时,BQ +QP ′的值最小,此时Q 与D 重合,P ′与C 重合,最小值为BC 的长．在Rt △ABC 中,∵∠C =90°,AB =∠BAC =30°,∴BC =即PQ +BQ 的最小值是故参考参考参考答案为：.知识改变命运。

勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。

其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。

下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。

1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。

通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。

一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。

2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。

这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。

在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。

3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。

勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。

4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。

当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。

另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。

5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。

我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。

在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。

希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。

数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析勾股定理最短路径问题例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。

先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。

这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。

2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。

例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。

本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。

3.在圆柱体中爬行半圈或一圈在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。

例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？4.正方体表面爬行蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。

例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。

5.圆柱体多圈问题例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。

7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。

勾股定理的应用之最短距离问题个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是cm.cm.3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对cm （杯壁厚A 到点D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFEBCGF EFGH CDHG 四个面，则所需捆绑线缆的长至少为度不计）.P 琏蜜HG35.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m.7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点,一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是.A J V8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 .9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？答案解析个棱长为8cm的正方体盒子，在顶点A处有一只蚂蚁，它想沿正方体表面爬行到达顶点C处，则蚂蚁爬行的最短路程是__8/s_cm.【分析】根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可.【解答】解：如图所示：需要爬行的最短距离是AC的长,故答案为：8弼.【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键.2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食, 要爬行的最短路程是10 cm.■ ■■■■。

C BA《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。

在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。

勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。

分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标知识目标能运用勾股定理求最短路径问题能力目标学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．情感目标通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感．教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．教学难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．教学过程教学环节 教学内容教学活动 学生活动 设计意图复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =4，BC =2，则AB = ．2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ B ．A C F B →→→C ．A C E F B →→→→ 引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．帮助学生温故知新D．A C M B→→→的知识．探究问题类型一：圆柱体中的最短路径1．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为π6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离是．2．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，.沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是．（π的值取3）变式一：将“侧面”改为“表面”，求蚂蚁爬行的最短路程．变式二：再将“高为8cm”改为“2cm”，求蚂蚁爬行的最短路程．解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：类型二：正方形中的最短路径如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．变式：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从棱的中点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．提问：怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形上的最短距离问题如何解决？引导学生寻找关键点．引导学生根据不同的条件选择不同的路径．引导学生思考最短距离怎么体现．怎样计算最短距离？引导小结结圆柱体中计算最短距离要注意的问题．提问：正方体由几个面组成？这些面有什么关系？正方体怎么展开？至少需要展开几个面？学生审题，思考并作答指明圆柱体、正方体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣．启发学生把立体图形展开成平面图形，并用平面图形的知识来解决立体图形中最短距离问题．注重路径的多样性，渗透分类讨论思想．使学生体会数学上的转化思想．通过先寻找“关键点”，再找到不同路径，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本类型三：长方体中的最短路径如图，长方体长、宽、高分别为5cm、3cm、4cm．一只蚂蚁从顶点A出发沿表面爬到顶点B．求蚂蚁经过的最短路程．小结：解决路径最短问题的依据是．也就是将曲面或多面体展成一个面，然后连接需求最短路径的两点，构造三角形，用勾股定理的数学模型去解决．解决最短路径问题四部曲1 ．展（立体展平面）2 ．找（找各种路径）3 ．算（算各种路径的长度）4 ．比（比较各种路径的长度）类型四（拓展提高）：与物体表面和内部相关的最短路径如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是．引导学生思考长方体与正方体有何区别？为什么长方体有六种展开方式？（长，宽，高的组合），为什么排除后只有三种？（重复）引导学生小结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的步骤引导学生将此问题与利用轴寻找最短路径的问题相结合．在教师引导下，学生对六种展开方式分析排除，最终归纳出三种方式计算比较得出最短距离．总结归纳做题的步骤将曲线化直线，将此问题转化为利用轴对称解决最短路径问题．真！在圆柱体的基础上提升难度，变为正方体，再变为长方体，引导学生由浅入深，认识到要解决立体图形上的最短路径问题一定要将其展开．渗透分类讨论思想．在初二上学期寻找最短路径的问题上提升到求最短路径长，体现勾股定理是计算线段长的有力手段．ABCD.12830巩固练习 1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 cm ．课后完成通过配套练习加深学生对本节课所学知识的印象和理解2．如图，在一个长为2m ，宽为1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路径是 m ．3．一盛满水的圆柱形容器，它的高等于8cm ．底面半径等于3cm ，在圆柱下底面上的A 点有一条小鱼，它想从点A 游到点B ，小鱼游过的最短路程是多少？ 若是蚂蚁想从点A 爬到点B ，最短路程是多少？（π的值取3）若把圆柱的高改为2cm呢？4．如图所示，有一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒？ 5．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ，8cm ，30cm ．（1）在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，最短路程是多少？（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少?6．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

勾股定理在最短路径问题中的应用标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用导言：最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。

数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。

本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。

一、勾股定理概述1.1 勾股定理定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。

它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。

二、最短路径问题介绍2.1 最短路径问题的定义最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。

这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。

三、勾股定理在最短路径问题中的应用3.1 最短路径问题的建模在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。

对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边的长度作为两个节点之间的距离。

3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。

3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题中的应用。

假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。

4. 总结与回顾通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。

勾股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最短路径问题的求解提供了便利。

通过建立一个适当的数学模型，我们可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。

『勾股定理在最短路径问题中的应用』一、引言在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。

本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。

二、最短路径问题概述最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。

这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。

寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。

三、勾股定理在最短路径问题中的应用1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。

通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。

2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。

3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。

通过勾股定理，地图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从而节省时间和成本。

四、结论和回顾通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中的重要应用。

勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。

我们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用它解决现实生活中的问题。

五、个人观点在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。

勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。

我相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解决各种实际问题，提高生活质量和效率。