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17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。
三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。
(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。
2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。
（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。
（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。
（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。
第2周-勾股定理应用(最短路径) 勾股定理在最短路径问题中有一种应用，即在二维平面上寻找两点之间的最短路径。
在平面坐标系中，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要找到从A到B的最短路径。
可以利用勾股定理来计算两点之间的距离，然后通过不同的算法找到最短路径。
具体步骤如下：
1.计算两点的欧氏距离：根据勾股定理，两点之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
2.根据给定的图或网络结构，利用最短路径算法（如Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等）找到从A到B 的最短路径。
3.比较不同路径的长度，找出最短路径，并记录经过的节点或路径信息。
专题04 勾股定理在几何最短路径问题中的应用最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题,对于平面内的最短路线问题可先画出方案图,然后确定最短距离及路径图。
对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解,然后构造直角三角形,利用勾股定理求解.最短路径问题在中学教学中是个难点,本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题,用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。
希望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想、学会“转化思想”的方法,找出问题的实质,达到解决问题的目的。
这样有助于学生充分去体会数学中的有趣知识,从兴趣出发学到有用的数学。
一、知识点概述平面图形中最短路线的基本知识点：（1）两点之间,线段最短；（2）垂线段最短.二、方法介绍方法总结：①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化,即把立体图形沿着某一条线展开,转化为平面问题后,借助“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”,进而构造直角三角形,借助勾股定理求解.②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换,转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题.常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开等等,下面我们就通过一些典型的例题对这些问题逐一讲解.二、典型例题分析题1. 如图1-1有一圆柱体如图,高8cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.（π取3）图1-1【参考参考参考答案】17cm.【解析】解：将圆柱沿侧面高展开,得到图1-2.图中线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．其中C,D分别是BE,AF的中点．∵底面半径5cm∴AF=2π•5=10π,AD=5π=15．又∵CD=8∴在Rt△ACD中,由勾股定理得：CDAC=17cm．故参考参考参考答案为：17cm．图1-2题2. 如图2-1,是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．图2-1【参考参考参考答案】25.【解析】解：将台阶沿踏面展开,如图2-2所示,图2-2∵展开长方形的长为20,宽为（2+3）×3,∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长,即线段AB的长．由勾股定理得：AB=25,故参考参考参考答案为：25．【点睛】本题用到台阶的平面展开图,只要根据题意判断出长方形的长和宽,并借助勾股定理即可解答．题3. 如图3-1是一个长方体,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少？（长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm）【参考参考参考答案】5cm.【解析】解：将长方体展开,有三种展开方式,如图3-2、图3-3、图3-4所示.如图所示,最短路径有以下三种情况：①沿AA′,A′C′,C′B′,B′B剪开,得图3-2,由勾股定理得：AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；即AB’=5.②沿AC,CC′,C′B′,B′D′,D′A′,A′A剪开,得图3-3,由勾股定理得：AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；即AB’.图3-2图3-3图3-4③沿AD,DD′,B′D′,C′B′,C′A′,AA′剪开,得图3-4,由勾股定理得：AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；即AB’.综上所述,最短路径应为图3-2所示,即AB′=5cm．故参考参考参考答案为：5cm.【点睛】此题考查最短路径问题,将长方体从不同角度展开,是解决此类问题的关键,注意不要漏解．归纳：若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,从长方体一个顶点至体对角线点的最短路径长度有以下三种：求出这三者之间的最小值即为最短路径长度.题4. 如图4-1,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点,若AE=2,求EM+BM的最小值．图4-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】平面最短路径问题,因为△ABC 是等边三角形,且AD 是BC 边上的中线所以AD ⊥BC ,即AD 垂直平分BC ,AB =6,BD =3,AD连接CE ,BM +EM =CM +EM =CE根据两点之间线段最短,CE 即为所求.过点C 作CF ⊥AB 于F ,如图4-2所示.CB AED MF图4-2∵CF =AD AE =2,AF =3,∴EF =1在Rt△CEF 中,由勾股定理得：CE .=即EM +BM 的最小值为.题5. 如图5-1所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 秒钟．图5-1【参考参考参考答案】2.5.【解析】因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线．①展开前面、右面由勾股定理得AB cm ；=②展开底面、右面由勾股定理得AB cm；>5,所以最短路径长为5cm,用时最少：5÷2=2.5秒．故参考参考参考答案为：2.5.6题6. 如图6-1,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为,高为5,则蚂蚁π爬行的最短距离为．图6-1【参考参考参考答案】13.6【解析】因为圆柱底面圆的周长为2π×=12,高为5,π所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,根据勾股定理,求得展开后矩形的对角线长为13．即蚂蚁爬行的最短距离为13．故参考参考参考答案为：13.题7. 我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图7-1所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.图7-1【参考参考参考答案】25.【解析】因为葛藤自点A处缠绕而上绕五周,所以将缠绕后的立体图展开成平面,得到一个长方形,如图7-2所示. 其中AB 即为所求线段的长度.ABC 图7-2侧面展开是5个周长,即AC =15 尺,又BC =20尺,在Rt △ABC 中,由勾股定理得：AB =25尺.故参考参考参考答案为：25.题8. 如图8-1所示,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm ,高为12cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm ,则h 的取值范围是 ．图8-1【参考参考参考答案】11≤h ≤12【解析】当筷子竖直立起来时,露出部分最长,为24－12=12cm .当筷子倾斜如图8-2放时,露出部分最短,连接AB ,A BC图8-2因为BC =12,AB =5所以在Rt △ABC 中,由勾股定理得：AC =13所以h=24－13=11.故参考参考参考答案为：11≤h≤12.题9. 如图9-1,是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆,其边缘AB＝CD＝30 m. 小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短,则他滑行的最短距离为__________ m．(π取3)图9-1【参考参考参考答案】.【解析】将半圆柱体展开,并作点D关于直线AB的对称点D’,连接CD’与直线AB的交点即为点E. 如图9-2所示.CD A BD' E图5-2从图中可知：CD’的长度即为所求,AD=AD’=30,所以DD’=60,CD=AB=30在Rt△CDD’中,由勾股定理得：.'CD==故参考参考参考答案为：.【点睛】此题属于最短路径与勾股定理的结合题,正确的将立体图形转化为平面图形是解题关键；另外,最短路径作图原则：在哪条边上找点,就作题中所给的已知点关于这条直线的对称点.题10. 如图10-1,已知AB=20,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,DA=10,CB=5．（1）在AB上找一点E,使EC=ED,并求出EA的长；（2）在AB上找一点F,使FC+FD最小,并求出这个最小值．图10-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】解：（1）如图10-2所示.A DCBE x 20－x 105图10-2设AE =x ,则BE =20-x ,所以在Rt △ADE 中,由勾股定理得：DE 2=AE 2+AD 2同理可得：CE 2=BE 2+BC 2又因为DE =CE所以AE 2+AD 2=BE 2+BC 2即x 2+102=(20-x )2+52解得：x =.658（2）作点C 关于直线AB 的对称点H ,连接DH ,交直线AB 于点F ,如图10-3所示.根据两点之间线段最短,可得线段DH 长即为所求.A DCBF 105HG 图10-3过点D 作DG ⊥BC 交BC 延长线于点G .因为BC =BH =5,所以GH =15又DG =AB =20,所以在Rt △DGH 中,由勾股定理得：.25DH ==即FC +FD 的最小值为25.题11. 如图11-1,在△ABC 中,∠C =90°,∠BAC =30°,AB =AD 平分∠BAC ,点P 、Q 分别是AB 、AD 边上的动点,则PQ +BQ 的最小值是题11-1【参考参考参考答案】.【解析】如图11-2,作点P 关于直线AD 的对称点P ′,连接QP ′,图11-2在△AQP 和△AQP ′中,因为AP =AP ’,∠PAQ =∠P ’AQ ,AQ =AQ ,∴△AQP ≌△AQP ′∴PQ =QP ′所以求PQ +BQ 的最小值,就是求BQ +QP ′的最小值,根据垂线段最短的原则,当BP ′⊥AC 时,BQ +QP ′的值最小,此时Q 与D 重合,P ′与C 重合,最小值为BC 的长．在Rt △ABC 中,∵∠C =90°,AB =∠BAC =30°,∴BC =即PQ +BQ 的最小值是故参考参考参考答案为：.知识改变命运。
勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。
其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。
下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。
1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。
通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。
一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。
2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。
这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。
3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。
勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。
4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。
当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。
另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。
5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。
我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。
在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。
希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析勾股定理最短路径问题例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。
先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。
这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。
2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。
例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。
本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。
3.在圆柱体中爬行半圈或一圈在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。
例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？4.正方体表面爬行蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。
例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。
5.圆柱体多圈问题例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。
