勾股定理之最短路径(填空选择)中考题

中考数学复习《勾股定理求最短路径》专项检测卷-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最底面半径为8π短路程为（）cm．A．6B．10C．2√73D．6+16π3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=7，BC=4，BF=6点M在棱AB上，且AM=1，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．10B．4√5C．6√2D．2√135．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB=CD=20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（π取3）A．30B．28C．25D．226．如图，在等腰直角△ABC中AB=BC=4，点D在边BC上且CD=1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为（）A．5√2B．2√13C．3√7D．√6+2√27．如图，在RtΔABC中∠ACB=90°，AC=10，BC=12点D是ΔABC内的一点，连接AD，CD，BD满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（）A．5B．6C．8D．13S矩形ABCD则点P 8．如图，在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3．动点P满足S△PAB＝13到A B两点的距离之和P A+PB的最小值为（）A．√29B．√34C．√41D．√529．已知圆锥底面半径为1 母线长为4 地面圆周上有一点A一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A中点B则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．πB．√5πC．2√5D．2π10．如图△ABC为边长3的等边三角形AD△BC于点D点E在AB边上且AE=1 P为线段AD上的一个动点则PB+PE的最小值是（）√3 A．3B．√7C．√3D．3211．如图在一个长为9m宽为6m的长方形草地上放着一根长方体木块它较长的边和草地的宽AD平行且长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（）A．12m B．√157m C．6√5m D．13m12．如图矩形ABCD中AB=4BC=6以A为圆心2为半径画圆A E是圆A 上一动点P是BC上一动点则PE+PD最小值是（）A．4√2B．2√10C．8D．1213．如图正方形ABCD中AB=4点E F分别在边AB BC上点P在对角线AC上EF∥AC PE+PF=m．下列结论错误．．的是（）A．若BE=2则m的最小值为4B．若m的最小值为4 则BE=2C．若BE=0.5则m的最小值为5D．若m的最小值为5 则BE=0.5 14．数形结合是数学的重要思想和解题方法如：“当0<x<12时求代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值” 其中√x2+4可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长√(12−x)2+9可看作两直角边分别是12−x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值如图所示当AP与BP共线时AP+BP为最小．请你解决问题：当0<x<4时则代数式√x2+1+√(4−x)2+4的最小值是（）A．4B．5C．6D．715．如图有一条直角弯道河流河宽为2 A B两地到河岸边的距离均为1 AH= BF=1AD=7BE=9现欲在河道上架两座桥MN PQ使AM+MN+NP+PQ+QB最小则最小值为()A．√130B．√145+2C．14D．1216．如图平行四边形ABCD中AB=12AD=10∠A=60°E是边AD上一点且AE=6F是边AB上的一个动点将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到EN连接BN CN则BN+CN的最小值是（）A．3√21B．4√14C．14D．4√1317．如图在平面直角坐标系xoy中点A C分别在坐标轴上且四边形OABC是边长(x>0)的图像与BC，AB边分别交于E，D两点△DOE 为3的正方形反比例函数y=kx的面积为4 点P为y轴上一点则PD+PE的最小值为（）A．3B．2√5C．3√2D．518．如图在平面直角坐标系中点A(3,a)是直线y=2x与直线y=x+b的交点点B 是直线y=x+b与y轴的交点点P是x轴上的一个动点连接P A PB则PA+PB 的最小值是（）A．6B．3√5C．9D．3√1019．如图已知正方形ABCD的边长是4 点E是AB边上一动点连接CE过点B 作BG△CE于点G点P是AB边上另一动点则PD+PG的最小值是（）A．2√10−2B．4√3−2C．2√13−2D．2√14−220．如图① 在正方形ABCD中点E是AB的中点点P是对角线AC上一动点设PC=x PE+PB=y图②是y关于x的函数图象且图象上最低点Q的坐标为(m,2√5)则正方形ABCD的边长为（）A ．2√2B ．2√5C ．4D ．5参考答案1．解：如图 由题意得：DB ⊥CD AC ⊥CD A ′C =AC =500m BD =700m CD =500m作A 点关于河岸的对称点A ′ 连接BA ′交河岸与P 则PB ＋P A ＝PB ＋P A ′＝BA ′时最短 过点A ′ 作A ′B ′⊥BD 交BD 延长线于点B ′△四边形A ′B ′DC 是矩形△A ′B ′=CD =500m DB ′=A ′C =500m△BB ′＝BD ＋DB ′＝1200m在Rt △A ′B ′B 中 BA ′=√BB ′2+A ′B ′2=√12002+500=1300m ．故选：C2．解：把圆柱侧面展开 展开图如图所示 点M N 的最短距离为线段MN 的长 △AM ＝9﹣3＝6（cm ） AN 为底面半圆弧长 AN ＝2×12•8π•π＝8（cm ）在Rt△AMN 中MN ＝√AM 2+AN 2=√62+82=10（cm ）．故选：B ．3．解：三级台阶平面展开图为长方形长为20dm 宽为（2+3）×3dm则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252解得x=25．故选：A．4．解：如图1中把面ABFE与面EFGH沿EF展开∵AM=1,AB=7,BC=4,BF=6,点N是FG的中点∴MB=6,FN=2,BN=BF+FN=8,∴MN=√MB2+BN2=10,如图2 把面ABFE与面BCGF沿BF展开同理可得：MP=8,PN=BF=6,∴MN=√MP2+PN2=10,如图3 把面ABCD与面BCGF沿BC展开同理：MF=MB+BF=12,FN=2,∴MN=√122+22=√148=2√37,∵10=√100<√148=2√37,所以一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N它需要爬行的最短路程为10.故选：A.5．解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F连接DF△中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆△BC=πR=2.5π=7.5cm AB=CD=20cm△CF=2BC=15cm在R t△CDF中DF=√CF2+CD2=√152+202=25cm故他滑行的最短距离约为25cm．故选C．6．解：如图作点D关于AB的对称点G作点D关于AC的对称点H连接BG CH DH FH GH∵∠ABC=90°点D与点G关于AB对称∴∠GBE=∠ABC=90°∴G B D C在同一条直线上△在等腰直角△ABC中AB=BC△∠A=∠ACB=45°△BC=4CD=1△由对称性可知：GB=DB=3CH=CD=1∠FCH=∠FCD=45°FH=FD EG=ED∴∠HCG=90°GC=GB+BD+DC=3+3+1=7∴GH=√GC2+CH2=√72+12=5√2∴DE+EF+FD=GE+EF+FH⩾GH=5√2∴△DEF的周长的最小值5√2．故选：A．7．解：如图取AC中点O连接DO．∵∠ADC=90°∴点D在以点O为圆心AC长为直径的圆周上运动且DO=12AC=12×10=5当O D B在同一直线上时OB最短此时BD=OB−OD=OB−5为最短．在RtΔOCB中OC=5BC=12则OB=√122+52=13∴BD=OB−OD=OB−5=13−5=8即BD的最小值是8．故选：C．8．解：设ΔABP中AB边上的高是ℎ．∵SΔPAB=13S矩形ABCD∴12AB⋅ℎ=13AB⋅AD∴ℎ=23AD=2∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上如图作A关于直线l的对称点E连接AE连接BE则BE的长就是所求的最短距离．在RtΔABE中∵AB=5AE=2+2=4∴BE=√AB2+AE2=√52+42=√41即PA+PB的最小值为√41．故选：C．9．解：根据题意将该圆锥展开如下图所示的扇形则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．△点B是母线P A的中点PA=4△PB=2△圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长又△圆锥底面半径为1△扇形的弧长=圆锥底面周长即l=2πr=2π扇形的半径=圆锥的母线=P A=4由弧长公式可得：l=nπR180=nπ×4180=2π△扇形的圆心角n=90°在Rt△APB中由勾股定理可得：AB=√PA2+PB2=√42+22=2√5所以蚂蚁爬行的最短路程为2√5故选：C．10．解：作E关于AD的对称点E′连接BE′交AD于P则此时PE + PB有最小值PE+ PB的最小值=BE′△AE′= AE= 1△ CE'=3-1=2作E'F△BC于F△△ABC为等边三角形△C= 60°△∠CE′F=30°△CF=12CE′=1 E′F=√CE′2−CF2=√22−12=√3△AC= BC= 3△BF=3-1= 2BE′=√BF2+E′F2=√22+(√3)2=√7△PE+ PB的最小值=√7故选：B11．解：由题意可知将木块展开如图长相当于是AB+2个正方形的宽△长为9+2×1＝11(m)；宽为6 m．于是最短路径为：√62+112=√157(m)．故选B．12．解：如图作点D关于直线BC的对称点F连接AF交BC于点P交⊙A于点E此时PE+PD最小等于AF−AE△四边形ABCD是矩形AB=4BC=6△AB=CD=4AD=BC=6△DF=8∠ADF=90°△AF=√AD2+DF2=√62+82=10△AE+EF=10△EF=10−2=8△PE+PD的最小值为8故选C．13．解：如图根据正方形的对称性在AD上取点E关于AC的对称点G连接FG交AC 于点P则PE=PG△PE+PF=PG+PF=FG为m的最小值△AG=AE=4−BE∠BAD=90°△EG2=AE2+AG2=2AE2=2(4−BE)2△EF∥AC△∠BEF=∠BAC=45°∠BFE=∠BCA=45°△BF=BE△EF2=BE2+BF2=2BE2△FG⊥AC△EG⊥EF△∠FEG=90°△FG=√EF2+EG2=2√(BE−2)2+4当BE=2时FG=2√(2−2)2+4=4△A正确；当FG=4时2√(BE−2)2+4=4△√(BE−2)2+4=2△(BE−2)2+4=4△(BE−2)2=0△BE=2△B正确；当BE=0.5时FG=2√(0.5−2)2+4=5△C正确；当FG=2√(BE−2)2+4=5时(BE−2)2+4=254△(BE−2)2=94△BE−2=±32△BE=0.5,或BE=3.5△D不正确．故选：D．14．解：如图所示√x2+1可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP的斜边长√(4−x)2+4可看作两直角边分别是4−x和2的Rt△BDP的斜边长．△求√x2+1+√(4−x)2+4的最小值即求AP+BP的最小值当AP与BP共线时AP+BP为最小即AB的长．连接AB△∠E=90°AE=AC+CE=AC+DB=3△AB=√AC2+BE2=5△代数式√x2+1+√(4−x)2+4的最小值是5．故选：B．15．解：延长AH到J使得AJ=MN=2延长BF到K使得BK=PQ=2连接JK交河道于点N′P′得到两座桥N′M′P′Q′此时AM′+M′N′+N′P′+P′Q′+BQ′的值最小．△四边形AJN′M′是平行四边形△AM′=JN′同理：BQ′=P′K延长AH交BK的延长线于点W．△WH=BE=9WF=AD=7△WJ=WH+AH−AJ=9+1−2=8WK=AD+BF−BK=7+1−2=6在Rt△JWK中JK=√KW2+WJ2=√62+82=10∴AM′+M′N′+N′P′+P′Q′+BQ′=HN′+2+N′P′+2+P′K=4+JK=14∴AM+MN+NP+PQ+QB的最小值为14．故选：C．16．解：取AB的中点G连接CE EG．由已知得AG=AE=6∠A=60°△△AEG是等边三角形△∠AGE=∠AEG=60°．△∠AEF+∠GEF=∠GEF+NEG=60°△∠AEF=∠NEG．△AE=EG NE=FE△△AEF△△GEN△∠A=∠NGE=60°△∠BGN=60°．△BG=EG∠BGN=∠NGE NG=NG△△BNG△△ENG△BN=EN．要求BN+CN最小就是求CN+NE最小即BN+CN=NE+CN≥CE．作EH⊥CD交延长线于点H△AB∥CD△∠EDH=∠A=60°．在Rt△DEH中DE=4∠DEH=30°△DH=2EH=2√3△CH=CD+DH=12+2=14．在Rt△CEH中CE=√CH2+EH2=√142+(2√3)2=4√13．所以BN+CN的最小值是4√13．故选：D．17．解：∵正方形OABC的边长是3∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3∴D(3,k3)E(k33)∴BE=3−k3BD=3−k3∵△ODE的面积为4∴3×3−12×3×k3−12×3×k3−12×(3−k3)2=4∴k=3或−3（舍去）∴D(3,1)E(1,3)作E关于y轴的对称点E′连接DE′交y轴于P则DE′的长=PD+PE的最小值∵CE=CE′=1=AD∴BE′=4BD=2∴DE′=√BE′2+BD2=√42+22=2√5即PD+PE的最小值为2√5故选：B．18．解：作点A关于x轴的对称点A′连接A′B如图所示：则P A+PB的最小值即为A′B的长将点A（3 a）代入y=2x得a=2×3=6△点A坐标为（3 6）将点A（3 6）代入y=x+b得3+b=6解得b=3△点B坐标为（0 3）根据轴对称的性质可得点A'坐标为（3 -6）△A′B=√32+(−6−3)2=3√10△P A+PB的最小值为3√10．故选：D．19．解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P交半圆O于点G连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知BG△EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知当点D′ G O三点共线时PD+PG最小．△D′C′=4 OC′=6△D′O=√42+62=2√13△D′G=2√13−2△PD+PG的最小值为2√13−2故选C.20．解：如图点D是点B关于直线AC的对称点连接DE交AC于点P根据点的对称性PB=PD则y=PE+PB=PD+PE=DE为最小故ED=2√5设正方形的边长为a则AE=12a在Rt△ADE中由勾股定理得：DE2=AD2+AE2即a2+(12a)2=(2√5)2解得：a=4（负值已舍去）故选：C．。

专题18 勾股定理—最短路径问题（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.39试卷说明：本套试卷结合沪教新版版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2分）如图，在一个长为20m，宽为16m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C 处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（）A．24m B．C．D．16m2．（2分）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm3．（2分）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（）dm．A．15 B．9 C．D．4．（2分）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（）A．12cm B．C．D．9cm5．（2分）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm6．（2分）如图，有一个圆柱，底面圆的直径，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短路程为（）A．11cm B．12cm C．9cm D．10cm7．（2分）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（）A．B．C．D．8．（2分）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）A．13m B．m C．5m D．12m9．（2分）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80cm，高AB＝60cm，宽DF ＝40cm．在顶点E处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（）cm．A．B．C．D．10．（2分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（2分）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6米，AB＝4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米．12．（2分）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是cm．13．（2分）在一个长2.5米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长0.5米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．14．（2分）在底面直径为2cm，高为4cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（π取3）15．（2分）如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点C到顶点B的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点A爬到点C，则爬行的最短路程为．16．（2分）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．17．（2分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是cm．18．（2分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm（假设蜂蜜不会下滑）．19．（2分）如图，一个无盖的长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点A爬到点B，那么需要爬行的最短路程为cm．20．（2分）如图，有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A2爬到点C1处，则它爬行的最短路程为cm．三、解答题：本大题共8小题，共60分．21．（6分）如图，一只蚂蚁在底面半径为10cm，高为20πcm的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？22．（6分）如图，后面靠墙，底面着地放置一个长、宽、高分别为15，10，20的长方体，已知BC＝5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？（不经过靠墙的面；画出示意图再解答）23．（8分）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．（1）你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1的长度l1＝，路线2的长度l2＝；②所以选择哪条路线较短？试说明理由．24．（8分）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？25．（8分）（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？26．（8分）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面圆的直径为cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）27．（8分）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图（1）正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图（2）长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处；（3）如图（3）是底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体表面爬到点C处．28．（8分）请阅读下列材料：问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．设路线1的长度为l1，则l1＝AB+BC＝2+8＝10；设路线2的长度为l2，则l2＝＝＝；∵＝102﹣（4+16π2）＝96﹣16π2＝16（6﹣π2）＜0∴即l1＜l2所以选择路线1较短．（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1：l1＝．路线2：l2＝．②所以选择哪条路线较短？试说明理由．（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．。

利用勾股定理求最短路径问题【考法导图】解题技巧：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。

1◎类型1台阶中的最值问题1(2017秋·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是()A.12B.13C.14D.15【答案】B【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．【详解】将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．2(2023·全国·九年级专题练习)一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程为()A.481B.25C.30D.35【答案】B【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长AB．由勾股定理得：AB2=202+2+3×32=252，解得：AB=25．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3(2020·山东淄博·统考一模)地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？()A.50cmB.100cmC.150cmD.200cm【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，则斜边=102+102=102，∴长方形地毯的长为：10×102=1002≈141.4cm，故选C．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．4(2023春·八年级课时练习)如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为()A.5B.3C.13D.25【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=25，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．2◎类型2正方体中的最值问题1(2023·江苏常州·校考一模)如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是()A.3B.2C.5D.3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将正方体展开，则AC=2，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得AB=AC2+BC2=5，∴需要爬行的最短路程是5，故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．2(2023秋·陕西西安·八年级统考期末)如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为()A.10B.213C.13D.25【答案】C【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出BM的长即可；【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，∵正方体的棱长为2，M是EH的中点，∴∠Q=90°，MQ=2，BQ=1+2=3，由勾股定理得BM=22+32=13，故选：C．【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线．3(2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习)如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是()A.10cmB.4cmC.17cmD.5cm【答案】C【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=(2+2)2+222=17(cm)，故选：C．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．4(2023春·北京大兴·八年级北京市第八中学大兴分校校考阶段练习)如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为()A.23B.13C.14D.17【答案】B【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，∴AD=2，MD=3，∴AM=22+32=13，故选：B．【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．3◎类型3长方体中的最值问题1(2023春·全国·八年级专题练习)如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为()A.3米B.4米C.5米D.6米【答案】C【分析】分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可．【详解】解：由题意，有以下三个路径：①如图，路径一：则这只昆虫爬行的路程为22+(2+3)2=29(米)；②如图，路径二：则这只昆虫爬行的路程为32+(2+2)2=5(米)；③如图，路径三：则这只昆虫爬行的路程为22+(3+2)2=29(米)；因为29>5，所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键．2(2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习)如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是()A.12cmB.74cmC.80cmD.90cm【答案】B【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=(3+4)2+52=74 cm；如图2所示，(3+5)2+42=45cm，如图3所示，32+(5+4)2=310cm，∵74<45<310，∴蚂蚁所行的最短路线为74cm.【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题.3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A 出发，沿棱柱外表面到C′点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()A.229cmB.14cmC.(213+4)cmD.10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：如图1中，AC =AB2+BC 2=42+102=116=229，如图2中，AC =AC2+CC 2=82+62=10，∵10<229，∴爬行的最短路径是10cm．故选:D【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．4(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是()A.130B.126C.10D.86【答案】C【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是8和6，则所走的最短线段是82+62=10；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是11和3，所以走的最短线段是112+32=130；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和5，所以走的最短线段是92+52=106；∵10<106<130，三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程=10，故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．4◎类型4圆柱(锥)中的最值问题1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，圆柱的底面半径为6πcm ，AC 是底面圆的直径，点P 是BC 上一点，且PC =4cm ，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是()A.45cmB.213cmC.56cmD.10cm【答案】B【分析】把圆柱侧面展开后，连接AP ．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出AP 的长．【详解】侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面半径为6cm，π∴圆柱的底面周长为12cm，∴AC′=6cm．在Rt△ACP中，AP=42+62=213(cm)．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想．2(2022春·全国·八年级假期作业)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．A.15B.20C.18D.30【答案】A【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，∴DE=DH-EH=12-4=8cm，∴BE=DE+DB=8+4=12cm，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC=BE2+CE2=122+92=15cm，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，故选;：A．【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．3(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离()A.261cmB.234cmC.413cmD.10cm【答案】D【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：BC=10cm，AB=12×12=6cm，CE=2cm，∴BE=BC-CE=8cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AC=AB2+BE2=62+82=10cm，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键．4(2019·全国·八年级专题练习)如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长12m，高5m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要()A.12mB.13mC.17mD.20m【答案】B【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，利用勾股定理求出AB的长即可得到答案．【详解】解：将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，由题意可知，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m，∴由勾股定理可得：AB=AC2+BC2=52+122=169=13m，∴梯子最短需要13m．故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到Rt△ABC中，这样就可利用“勾股定理”求出AB的长度，从而得到梯子的最短长度．。

1.3勾股定理的应用-勾股定理与最短路径问题一、选择题1．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）A．9B．13C．14D．252．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm3．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面π爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（ ）A．5B．5C．73D．44．今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A．20πcm B．40πcm C．102cm D．202cm5．已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）A．29cm B．5cm C．37cm D．4.5cm6．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm7．小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为（ ）米．A．16B．82C．146D．1788．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）A．229B．45C．10D．3149．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）A．1089B．505C．120D．13010．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．A．5B．5πC．3+4πD．3+8π二、填空题11．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．12．如图所示，一圆柱高AB为2cm，底面直径BC为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm（π取3）．13．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是 cm．14．如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为 ．15．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是9cm，9cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，它至少要爬行 cm．16．如图所示，有一个正方体盒子，其棱长为2dm，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B 处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，它所走的最短路程是 dm．（结果保留根号）17．如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24cm．则蚂蚁爬行的最短距离为 cm．18．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C'处，若长方体的长AB＝4cm，宽BC＝2cm，高BB'＝1cm，则蚂蚁爬行的最短路径长是 ．三、解答题19．如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇，这只蜘蛛从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬到B点，最短路程是多少？（π取3）20．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？21．如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块π蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．22．如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．（1）求出点A到点B的距离；（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？23．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm 的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？24．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）答案一、选择题B．D．A．D．B．D．B．C．B．A．二、填空题11．74．12．6．13．285．14．20cm．15．30．16．25．17．65．18．5cm．三、解答题19．如图所示，将圆柱体侧面展开，连接AB，则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程．根据题意得AC＝20cm，BC＝πR＝5π＝5×3＝15cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝BC2+AC2＝152+202＝625，所以AB＝25cm，即最短路程是25cm．20．如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122+162=20（cm）；如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+102=2106（cm）．如图3中，MN =222+62=2130（cm ），∵20＜2106＜2130，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm ．21．将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB =12底面周长=12×π×16π=8（cm ），AP =12BC ＝6（cm ），所以AP =82+62=10（cm ），故蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离为10cm ．22．（1）将长方体沿CF 、FG 、GH 剪开，向右翻折，使面FCHG 和面ADCH 在同一个平面内，连接AB ，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=BD2+AD2=152+152=152cm；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=BH2+AH2=202+102=105cm，则需要爬行的最短距离是152cm．连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB=BB′2+AB′2=252+52=526cm，综上所述，点A到点B的距离为：152cm，105cm，526cm；（2）由（1）知，∵点A到点B的距离为：152cm，105cm，526cm；∴152＜105＜526，∴则需要爬行的最短距离是152cm．23．如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202―162=12（cm），则该圆柱底面周长为24cm．24．（1）如图，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C、D、E，取AB的四等分点C′、D′、E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短细线长，∵AC2＝AA′2+A′C2，AC=122+52=13，∴AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC＝52，答：彩带的长度是52cm；（2）如图，将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，在直角△AMC中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm，由勾股定理得：AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520，则AC′＝2130cm，答：蚂蚁走的最短路程是2130cm．。

实用文案一、选择题（共17小题）1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、B、5cmC、D、7cm2、（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A、B、2C、3D、33、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A、5B、25C、10+5D、354、（2005•山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（）A、40cmB、20cmC、20cmD、10cm5、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A、6cmB、12cmC、13cmD、16cm6、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A、（3+2）cmB、cmC、cmD、cm7、（2004•梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A、 aB、（1+）aC、3aD、 a8、（2004•济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A、B、3C、5D、9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A、12cmB、10cmC、14cmD、无法确定10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A、10cmB、12cmC、19cmD、20cm11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（）A、8B、2C、2D、2+212、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A、7B、C、D、513、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A、4.8B、C、5D、14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A、5cmB、cmC、4cmD、3cm15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）A、3B、C、D、116、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）A、3米B、4米C、5米D、6米17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（）A、40cmB、20cmC、20cmD、20cm二、填空题（共13小题）18、（2007•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_________ m．（结果不取近似值）19、（2007•怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是_________ ．（结果保留根号）20、（2007•金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC 的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为_________ ．21、（2007•梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是_________ ．22、（2008•昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是_________ cm．（π取3）23、（2008•青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是_________ cm（结果用带根号和π的式子表示）．24、（2009•青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________ cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________ cm．25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为_________ cm．26、（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B 的最短路程是_________ ．27、（2005•青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为_________ ．28、（2003•泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是_________ cm．29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_________ cm．（π取3）30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_________ ．答案与评分标准一、选择题（共17小题）1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、B、5cmC、D、7cm考点：平面展开-最短路径问题。

蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

用勾股定理巧求最短距离无论在平时练习或中考试题中，常出现一类利用勾股定理，求空间图形中两点之间通过表面的最短路径问题．对于这类题目，一般要将其转化为平面图形中两点之间线段最短的问题来解决．例1 如图1（1），已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）．析解：如图1（2），假设将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，就会得到长方形AA ′D ′D ．连接AC ，则线段AC 就是小虫爬行的最短路线．在Rt △ABC 中，AB=2π×2π×21=2，BC=2，由勾股定理，得 AC 2=AB 2＋BC 2=22＋22=8，∴=例2如图2（1），正四棱柱的底面边长为5㎝，侧棱长为8㎝，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A 沿棱柱的表面到顶点C ′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？B（1） （2） （图1）D′A ′D C BA DCBAD 'C 'B 'A 'CBAC 'B 'A '（1） （2） （3）（图2）BAD ' C 'B 'A '分析：由题可知，沿正四棱柱的表面从A到C′的走法有两大类：过底面或过侧面．由对称性知只需考虑两种情况：（1）沿面A′AB到面A′B′C′；（2）沿面A′AB到面B′BC．将立体图形转化为平面图形后，由两点之间线段最短确定最短路线。

解：（1）沿底边A′B′，将底面A′B′C′和侧面A′AB展开如图2（2），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线．在Rt△ABC′中，AB=5，BC′=BB′＋B′C′=8＋5=13，由勾股定理，得AC′ 2=AB2＋B′C′ 2=52＋132=194，∴AC′（2）沿侧棱BB′，将侧面A′AB和侧面B′BC展开如图2（3），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线．在Rt△ACC′中，AC=AB＋BC=5＋5=10，CC′=8，由勾股定理，得AC′ 2=AC2＋CC′ 2=102＋82=164，∴AC′==∴蚂蚁需要爬行的最短路程的长是点评：在将空间图形中最短路径问题转化为平面图形问题来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能性，只有这样才能得到正确的答案．用勾股定理解决最短路线问题行程最短问题是日常生活中常见的问题之一，其解法一般要用到勾股定理，现举几例如下：例1 如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A 走到B ，为了避开拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为3ｍ和4ｍ的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该“路”的长为5ｍ，因此，行人仅仅少走了2米（即10步）路．【点评】爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。

1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

10题 11 12 1311. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

1514 16 17 第2题 第3题 ABCD.1283016．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．17．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm ，8cm ，4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图一个牧童在小河的南4km的A处牧马而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处他想把他的马牵到小河边去饮水然后回家他要完成这件事情所走的最短路径是km．2．如图长方体的长为3cm 宽为2cm 高为1cm的长方体蚂蚁沿着表面从A爬行到B 的最短路程是．3．如图在△ABC中AD是BC边上的高垂足为D已知BD=1,AD=CD=2,BC上方有一动点P且点P到A,D两点的距离相等则△BCP的周长最小值为．4．如图这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图该U型池可以看成是长方体去掉m的半圆其边缘AB＝CD＝15m 一个“半圆柱”而成中间可供滑行部分的截面是直径为32π点E在CD上CE＝3m一滑板爱好者从A点滑到E点则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计）5．如图四边形ABCD∠BAD＝60° ∠ADC＝150° 且BD∠DC已知AC的最大值是3 则BC＝．6．如图在一个长为5m宽为3m的长方形草地上放着一根长方体的木块它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程约为m．（精确到1m）7．如图C为线段BD上一动点分别过B D作AB⊥BD ED⊥BD连接AC EC已知AB=5DE=1BD=8设CD=x．请用含x的代数式表示AC+CE的长为根据上述方法求出√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为．8．如图四边形ABCD为矩形AD=3AB=4点E是AD所在直线的一个动点点F 是对角线BD上的动点且BF=DE则AF+BE的最小值是．9．如图长方形BCFG是一块草地折线ABCDE是一条人行道BC＝12米CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD践踏绿草管理部门分别在B D处各挂了一块牌子牌子上写着“少走米踏之何忍”．10．如图BD是RtΔABC的角平分线点F是BD上的动点已知AC=2AE=2√3−2∠ABC=30°则（1）BE=（2）AF+EF的最小值是．11．如图AB是半圆O的直径半圆的半径为4 点C D在半圆上OC⊥AB,BD=2CD 点P是OC上的一个动点则BP+DP的最小值为．12．如图一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直点P在墙面上若P A＝AB＝5米点P到AD的距离是4米有一只蚂蚁要从点P爬到点B它的最短行程是米13．如图在Rt∠AOB中∠AOB＝90° OA＝4 OB＝6 以点O为圆心3为半径的∠O与OB交于点C过点C作CD∠OB交AB于点D点P是边OA上的动点则PC+PD的最小值为．14．如图台阶阶梯每一层高20cm宽40cm长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是．15．已知正方形ABCD的边长为1 点E F分别是边BC CD上的两个动点且满足BE= CF连接AE AF则AE+AF的最小值为．16．如图在菱形ABCD中AB=4∠ABC=60°M为AD中点P为对角线BD上一动点连接PA和PM则PA+PM的最小值是．17．如图圆柱形容器高为18cm 底面周长为24cm 在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处则蚂蚁从外币A 处到达内壁B处的最短距离为．18．如图直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A B两点点C的坐标是（1 0）DE分别是AB OA上的动点当∠CDE的周长最小时点E的坐标是．19．如图菱形ABCD的边长为4 ∠BAD＝120° E是边CD的中点F是边AD上的一个动点将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF' 连接AF' BF' 则∠ABF'的周长的最小值是．20．如图已知矩形ABCD中AB＝4 AD＝3 E F分别为AB DC上的两个动点且EF∠AC则AF+FE+EC的最小值为．参考答案1．解：如图做出点A关于小河MN的对称点A` 连接A`B交MN于点P则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt∠A`DB中由勾股定理求得A`B=√A`D2+DB2=√(7+4+4)2+82=17(km)．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．2．解：如图1AB= √52+12=√26（cm）如图2AB= √32+32=3√2（cm）如图3AB= √22+42=√20=2√5（cm）故沿长方体的表面爬到对面顶点B处只有图2最短其最短路线长为：3√2cm．故答案为：3√2.3．解：∠P到AD两点的距离相同∠P在线段AD的垂直平分线上取AD的中点H作HF//BC作B关于HF的对称点E连接CE与直线FH交于P点P 即为所求∠∠BFH=90° BF=EF EP=BP∠要使∠BCP的周长最小∠BP+CP最小即为CE长又∠EF//BC∠ADC=90°∠∠FHD=∠HDB=90°∠四边形BDHF是矩形AD=1∠FBD=90°∠BF=DH=EF=12∠BE=2∠CE=√BC2+BE2∠CE=√13∠BCP的周长最小值=BC+BP+CP=3+√13故答案为：3+√13．4．解：如图是其侧面展开图：AD=12π⋅32π=16（m）AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）在Rt∠ADE中AE=√AD2+DE2=√162+122=20（m）．故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20．5．解：如图取BC的中点F以BC为边在∠BCD另一侧作等边三角形∠BCG连接DG DF FG∠∠ADC＝150° 且BD∠DC∠∠ADB＝150°﹣90°＝60°∠∠BAD＝60°∠∠ADB＝∠BAD＝60°∠∠ABD是等边三角形而∠BCG也是等边三角形∠AB＝DB BC＝BG∠ABD＝∠CBG＝60°∠∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC即∠ABC＝∠DBG在∠ABC和∠DBG中{AB=DB ∠ABC=∠DBG BC=BG∠∠ABC∠∠DBG（S A S）∠AC＝DG∠AC 的最大值是3∠DG 的最大值也是3在∠DGF 中 DG ≤DF +FG∠当DF FG 在同一条直线上时 DG 取最大值3 即DG ＝DF +FG ＝3 ∠BD ∠DC BC 的中点F∠DF ＝BF ＝CF ＝12BC∠等边三角形∠BCG BC 的中点F∠GF ∠BC ∠BGF ＝∠CGF ＝12∠BGC ＝30°∠BF ＝CF ＝12BG ＝12BC∠设DF ＝BF ＝CF ＝x 则BC ＝BG ＝2x∠FG ＝√BG 2−BF 2=√(2x)2−x 2=√3x∠DF +FG ＝x +√3x ＝3解得：x ＝3√3−32∠BC ＝2x ＝2×3√3−32＝3√3﹣3故答案为3√3﹣3．6．解：由题意可知 将木块展开 如图长相当于是AB +2个正方形的宽∠长为5+2×1＝7m 宽为3 m ．于是最短路径为：√32+72=√58≈8 m ．故答案为8．7． 解：AC +CE =√BC 2+AB 2+√CD 2+DE 2=√(8−x)2+25+√x 2+1 当A C E 三点共线时 AC +CE 的值最小如右图所示 作BD =12 过点B 作AB ∠BD 过点D 作ED ∠BD 使AB =2 ED =3连接AE交BD于点C设BC=x则AE的长即为代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．过点A作AF∠BD交ED的延长线于点F得矩形ABDF则AB=DF=2 AF=BD=12 EF=ED+DF=3+2=5所以AE=√AF2+EF2=√122+52=13即√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为13故答案为：√(8−x)2+25+√x2+113．8．解：如图延长BC至G使得BG=BD连接GF∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=∠ABC=90°,AD//CB∴∠EDB=∠FBC在△EDB与△FBG中{ED=BF ∠EDB=∠FBG BD=BG∴△EDB≌△FBG∴BE=GF∴AF+BE=AF+GF≥AG 在Rt△ABD中AD=3,AB=4BD=√AD2+AB2=5∴BG=5在Rt△ABG中BG=5,AB=4AG=√AB2+BG2=√42+52=√41∴AF+BE的最小值是√41．故答案为：√41．9．解：在Rt△BCD中∴BD=√BC2+CD2=13则BC+CD−BD=12+5−13=4（米）故答案为：410．解：（1）∠AC=2∠ABC=30°∠BAC=90°∠BC=2AC=4∠AB=√BC2−AC2=√42−22=2√3∠BE=AB−AE=2√3−(2√3−2)=2故答案为：2（2）如图所示作E点关于BD的对称点G连接EG AG GF∠BD是∠ABC的平分线∠点G在线段BC上∠根据对称性可得EF=GF BG=BE=2∠EF+AF=GF+AF≥AG∠当点A F G三点共线时GF+AF的长度最短即EF+AF的最小值为AG的长度．∠GC=BC-BG=4-2=2又∠∠ABC=30°∠BAC=90°∠∠C=60°又∠AC=2∠△AGC是等边三角形∠AG=AC=2．∠AF+EF的最小值是2．故答案为：2．11．解：作点D关于OC的对称点为D1连接BD1OD1过点D1作D1Q⊥AB由题知OC⊥AB BD=2CD∠BC=3CD可得CD对应的圆心角∠COD=30°又点D关于OC的对称点为D1∠∠COD1=30°∠AOD1=60°∠BD1长为BP+DP的最小值在RtΔQOD1中OD1=4∠OQ=2D1Q=2√3在RtΔQD1B中BQ=OQ+OB=6D1Q=2√3∠BD1=√62+(2√3)2=4√3故填：4√312．解：如图过P作PG∠BF于G连接PB∠AG=4 AP=AB=5∠PG=√AP2−AG2=3BG=9∠PB=√GB2+GP2=3√10故这只蚂蚁的最短行程应该是3√10故答案为：3√1013．解：延长CO交∠O于点E连接ED交AO于点P则PC+PD的值最小最小值为线段DE的长．∠CD∠OB∠∠DCB＝90°∠∠AOB＝90°∠∠DCB＝∠AOB ∠CD∠AO∠CD AO =BCBO∠CD 4=36∠CD＝2在Rt∠CDE中DE＝√CD2+CE2=√22+62=2√10∠PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．14．解：如图所示∠楼梯的每一级的高宽长分别为20cm宽40cm长50cm ∠AB=√502+[2(20+40)]2=130(cm)即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．15．解：连接DE∠BE=CF且四边形ABCD为正方形∠CD-CF=BC-BE即DF=CE在△ADF和△DCE中{AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=CE∴△ADF∠∠DCE∠AF=DE AE+AF=AE+DE以BC为对称轴作A点关于BC的对应点A′连接DA′与BC交点即为点E∠点A和点A′关于BC对称∠AE=A′EAE+DE=A′E+DE=A′D由勾股定理可得：A′D=√AD2+A′A2=√22+12=√5∠AE+AF的最小值为√5故答案为：√516．解：作点M关于BD的对称点N交CD于点N连接AN则AN就是P A+PM的最小值∠在菱形ABCD 中 AB =4 ∠ABC =60° M 为AD 中点 AC ∠BD∠∠ADC =60° DA =DC 点N 为CD 的中点∠∠DAC 是等边三角形 AN ∠CD∠AC =AD =AB =4∴AN =√AD 2−DN 2=√42−22=2√3故答案为：2√317．解∠如图 将杯子侧面展开 作A 关于EF 的对称点A ′ 连接A ′B 则A ′B 即为最短距离． 根据勾股定理 得A ′B =√A ′D 2+BD 2=√122+162=20m ．故答案为：20cm ．18．解：如图 点C 关于OA 的对称点C ′（-1 0） 点C 关于直线AB 的对称点C ″ ∠直线AB 的解析式为y =-x +7∠直线C C ″的解析式为y =x -1由{y =−x +7y =x −1得{x =4y =3∠F（4 3）∠F是C C″中点∠可得C″（7 6）．连接C′C″与AO交于点E与AB交于点D此时∠DEC周长最小∠DEC的周长=DE+EC+CD=E C′+ED+D C″=C′C″=√82+62=10．故答案为10．19．解：取AD中点G连接EG F'G BE作BH∠DC的延长线于点H∠四边形ABCD为菱形∠AB＝AD∠∠BAD＝120°∠∠CAD＝60°∠∠ACD为等边三角形又∠DE＝DG∠∠DEG也为等边三角形．∠DE＝GE∠∠DEG＝60°＝∠FEF'∠∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG即∠DEF＝∠GEF'由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'所以EF＝EF'．在∠DEF和∠GEF'中{DE=GE∠DEF=∠GEF′EF=EF′∠∠DEF∠∠GEF'（SAS）．∠∠EGF'＝∠EDF＝60°∠∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形可得A E关于GF'对称∠AF'＝EF'∠BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE在Rt∠BCH中∠∠H＝90° BC＝4 ∠BCH＝60°∠CH=12BC=2,BH=2√3,在Rt∠BEH中BE＝√BH2+EH2＝√12+16＝2√7∠BF'+EF'≥2√7∠∠ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2√7故答案为：4+2√7．20．解：过B作BH∠EF交CD于H过A作AG∠EF且使AG＝EF连接GE∠四边形AGEF是平行四边形∠AF＝GE∠当G E C三点共线时AF+EC最小∠EF ∠AC∠BH ∠AC∠∠HBC +∠BCA ＝90° ∠BCA +∠ACH ＝90° ∠∠HBC ＝∠ACH∠tan∠HBC ＝tan∠ACD 即HC BC =AD CD∠AB ＝4 AD ＝3∠ HC 3=34∠HC ＝94∠BH =√BC 2+CH 2=√9+(94)2=154∠AF +EF +EC ≥GC +BH∠GA ∠AC∠∠ACG 为直角三角形∠AB ＝4 AD ＝3∠AC ＝5∠EF ＝BH ＝AG∠AG ＝154∠GC ＝√AG 2+AC 2=√52+(154)2=254∠GC +EF ＝254+154＝10∠AF +FE +EC 的最小值为10故答案为：10．。

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。

7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。

一、选择题（共17 小题）1、（ 2011?广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm，点P 是母线BC 上一点，且 PC= BC．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（）A、B、 5cmC、D、 7cm2、（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（PB 的长为）6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆A、B、 2C、 3D、 33、（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（）A、 5C、 10+5B、25D、 354、（2005?山西）如图，点 A 和点 B 分别是棱长为由 A 处向 B 处爬行，所走的最短路程是（）20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面A 40cmB 20cmC、 20cmD、 10cm5、（ 2005?贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为的表面爬行到点 C 的最短路程大约是（）24cm，高BD 为 4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点 D 出发沿着圆柱A、 6cmB、 12cmC、 13cmD、 16cm6、（2004?淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm， 4cm 和 3cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A、（ 3+2） cmB、cmC、cmD、cm7、（2004?梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A、aB、（ 1+） aC、 3aD、a8、（2004?济宁）如图，正方体盒子的棱长为2， BC 的中点为M ，一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A、B、 3C、 5D、9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程（π取 3）是（）A、 12cmB、 10cmC、 14cmD、无法确定10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π =3），在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 相对的 B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A、 10cmB、 12cmC、 19cmD、 20cm11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M 处，它到BB1的中点N 的最短路线是（）A、 8B、 2C、 2D、 2+212、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（）A、 7B、C、D、 513、如图是一个长4m，宽 3m，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长的四等分）有一只壁虎， B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A、 4.8B、C、 5D、14、有一长、宽、高分别是 5cm， 4cm， 3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则需要爬行的最短路径长为（）A 处沿长方体的表面A、 5 C、 4cmcmB、D、 3cmcm15、如图，边长为 1 的立方体中，一只蚂蚁从 A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到 B 顶点的最短路程是（）A、 3B、C、D、 116、如图所示：有一个长、宽都是的最短路径为（）2 米，高为3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A 点爬到 B 点，那么这只蚂蚁爬行A、 3 米B、 4 米C、 5 米D、 6 米17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从 A 点出发向 B 爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（）A、 40cmB、 20cmC、 20cmD、 20cm二、填空题（共13 小题）18、（ 2007?呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是P 处_________m．（结果不取近似值）19、（ 2007?怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路程是_________．（结果保留根号）20、（ 2007?金昌）如图，圆锥的母线长OA 为 8，底面圆的半径为的中点 B 处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为4．若一只蚂蚁在底面上点_________．A 处，在相对母线OC21、（ 2007?梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由 A 至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是_________．22、（ 2008?昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于 16cm，底面半径等干它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，需要爬行的最短路程是4cm，在圆柱下底面的 A 点有一只蚂蚁，_________ cm．（π取 3）23、（ 2008?青海）如图，有一圆柱体，它的高为 20cm，底面半径为想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是7cm．在圆柱的下底面 A 点处有一个蜘蛛，它_________ cm（结果用带根号和π的式子表示）．24、（ 2009?青岛）如图，长方体的底面边长分别为面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要那么所用细线最短需要 _________ cm ．1cm 和_________3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点A 开始经过 4 个侧cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，25、（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为2cm 和 4cm，高为_________ cm．5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过 4 个侧面爬26、（ 2006?茂名）如图，点A、 B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点B 的最短路程是_________．27、（ 2005?青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从 A 点到 C1点的最短距离为_________．28、（ 2003?泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm 的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是_________ cm．29、如图，有一圆柱，其高为食物，则蚂蚁经过的最短距离为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面_________ cm．（π取 3）A 点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B 处的30、一只蚂蚁从长、宽都是_________．3 ，高是8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是24．（本小题10 分）问题探究：（ 1）如图①所示是一个半径为3，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从 A 点2π出发沿圆柱的侧面爬行一周到达 B 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′′A，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）（ 2）如图②所示是一个底面半径为2 ，母线长为4 的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 3点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（ 3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从 A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线行的最短路程．PA 上的一点，求蚂蚁爬B′BP PAAA AA图①图②图③（第 24 题）答案与评分标准一、选择题（共17 小题）1、（ 2011?广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上一点，且 PC= BC．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（）A、B、 5cmC、D、 7cm考点：平面展开 -最短路径问题。

第1页 共2页 1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒BB ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是5．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

10题 11 12 1311. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .12．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

勾股数(填空选择)及详解中(Zhong)考题1、附加题：观察以下几组勾(Gou)股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出(Chu)有以上规律的第(Di)⑤组(Zu)勾股数：_________．2、观察下列一(Yi)组数：列(Lie)举：3、4、5，猜(Cai)想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_________，c=_________．3、满足a2+b2=c2的三个正整数，称为_________．4、观察下列一类勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；…请你根据规律写出第4组勾股数为_________．5、观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________，第n组勾股数是_________．6、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_________，_________．7、在数3，5，12，13四个数中，构成勾股数的三个数是_________．8、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数_________，_________，_________．9、有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是_________．10、观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：_________．11、一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为_________．12、观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是_________．13、数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…都是勾股数，若n为直角三角形的一较长直角边，用含n的代数式表示斜边为_________．深圳市菁优网络科技有限公司14、写出三组勾股(Gu)数，使每组勾股数中必出现(Xian)12，_________；_________；_________；15、我们把符(Fu)合等式(Shi)a2+b2=c2的(De)a、b、c三个称为(Wei)勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，_________，_________；…16、以下列各(Ge)组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其(Qi)中能构成直角三角形的有_________．17、观察下列勾股数组：a b c6 8 108 15 1710 24 2612 35 37………用含有字母a的代数式分别表示b，c，则b=_________，c=_________．18、写出常见的勾股数_________、_________．19、请写出一组你知道的勾股数，它们是_________．20、若8，a，17是一组勾股数，则a=_________．二、选择题（共10小题）21、下列各组数中，是勾股数的一组是（）A、4，5，6B、5，7，12C、12，13，15D、21，28，3522、下列各组数为勾股数的是（）A、7，12，13B、3，4，7C、8，15，17D、1.5，2，2.523、若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是（）A、a+1，b+1，c+1B、a2，b2，c2C、2a，2b，2cD、a﹣1，b﹣1，c﹣124、在下列四组数中，不是勾股数的一组是（）A、15，8，17B、9，12，15C、3，5，7D、7，24，2525、下列各组数中，是勾股数的为（）A、1，2，3B、4，5，6C、3，4，5D、7，8，926、下列几组数中，为勾股数的是（）A、，，B、3，4，6C、5，12，13D、0.9，1.2，1.527、下列各组数是勾股数的(De)为（）A、2，4，5B、8，15，17C、11，13，15D、4，5，628、分别以下列四(Si)组数为一个三角形的三边的长(Chang)①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角(Jiao)三角形的有（）A、4组(Zu)B、3组(Zu)C、2组(Zu)D、1组(Zu)29、下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）A、a=3，b=4，c=5B、a=6，b=8，c=10C、a=5，b=12，c=13D、a=13，b=16，c=1830、下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）A、a=3，b=4，c=5B、a=5，b=12，c=13C、a=2，b=3，c=4D、a=10，b=24，c=26答案与(Yu)评分标准一(Yi)、填空题（共(Gong)20小(Xiao)题）1、附加(Jia)题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有(You)以上规律的第(Di)⑤组勾(Gou)股数：11，60，61．考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

专题1.3 勾股定理之最短路径问题专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！一．选择题（共12小题）1．（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）A B．4cm C D．5cm【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长，【解答】解：如图，它运动的最短路程AB==cm）．故选：C．2．（2022春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．A．14B．12C．10D．8【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为12cm，求出AB的值；再在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AD的长，AD即为所求．【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB＝6cm．∵BD＝8cm，在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，∴AD10（cm），即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．故选：C．3．（2022春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．A．15B C．12D．18【分析】将圆柱沿过A的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，则先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C，再利用勾股定理求A'C的长即可．【解答】解：如图所示，将圆柱沿过A的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，故先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C，根据两点之间线段最短，即可得到此时AF+CF最小，并且最小值为A'C的长度，如图所示，延长过C的母线，过A'作A'D垂直于此母线于D，由题意可知，A'D＝18÷2＝9（cm），CD＝12﹣4+4＝12（cm），由勾股定理得：A'C=15（cm），故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，故选：A．4．（2022秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）A B C D．5米【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2＝22+1.52＝6.25，∴AC＝2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故选：D．5．（2022秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）A B．5C D【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，∴AB=5；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，∴AB=只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，∴AB=∵5∴蚂蚁爬行的最短距离是5．故选：B．6．（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）cm．A．B．C．120D．130【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，∴AB=cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是，故选：B．7．（2022秋•揭阳校级月考）如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】过B作BD⊥AC于D，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则AD＝4，BD＝3，∴A，B间的最短路程d=5，故选：B．8．（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，∴CF＝15m，在Rt△CDF中，DF==25（m），故他滑行的最短距离约为25m．故选：C．9．（2022春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝7cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝1cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）A．10cm B．C．D．【分析】利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：如图1中，MN=10（cm），如图2中，MN==10（cm），∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，故选：A．10．（2022秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，则AA′=15（cm）．故选：D．11．（2022秋•青岛期末）棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）A．+10)cm B．C D．+3)cm【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断．【解答】解：如图，有两种展开方法：方法一：PA=，方法二：PA=．．故选：C．12．（2022•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．A．8B．10C．12D．13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，∴PQ=13cm．故选：D．二．填空题（共8小题）13．（2022春•德城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是　25　cm．【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=25（cm）；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=cm）；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB==cm）；∵25＜∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．故答案为：25．14．（2022•潍城区一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个m，其边缘AB＝CD＝24m，点E在CD 长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为12π上，CE＝4m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为．【分析】根据题意可得，AD＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，线段AE即为滑行的最短路线长．在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．【解答】解：将半圆面展开可得：AD＝12m，DE＝DC﹣CE＝20m，在Rt△ADE中，AE==m），即滑行的最短路线长为，故答案为：15．（2022春•仁怀市月考）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B 村到河边的距离分别为2km和7km，且AB两村庄相距13km，则铺设水管的最短长度是　15　km．【分析】作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置；利用了轴对称的性质可得AP＝A′P，在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出AE的长，再在Rt△A′CB中利用勾股定理算出A′B的长，根据两点之间线段最短的性质即可求解．【解答】解：作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即所铺设水管最短；过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，设这两线交于点C，过A作AE⊥BC于E，则四边形AA′CE和四边形AMNE是矩形，∴EN＝AM＝2，EC＝AA′＝2+2＝4，A′C＝AE，在Rt△ABE中，依题意得：BE＝BN﹣EN＝7﹣2＝5，AB＝13，根据勾股定理可得：AE=12，在Rt△B A′C中，BC＝BE+EC＝5+4＝9，A′C＝12，根据勾股定理可得：A′B=15，∵PA＝PA′，∴PA+PB＝A′B＝15（km），故答案为：15．16．（2022秋•锦江区校级期末）在一个长4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+等腰直角三角形的两腰，∴长为2+2﹣10（米）；宽为4米．=故答案为：17．（2022秋•高新区校级期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG＝3米，AP＝AB＝5米，∴PG＝4米，∴BG＝8米，∴PB==故这只蚂蚁的最短行程应该是故答案为：18．（2022春•德州期中）如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B【分析】根据题意画出图形，过A作EA⊥CD于E，连接AB，则AB长为最短距离，求出OD＝OC，∠DAC＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出AE＝DE＝EC＝1，根据勾股定理求出即可．【解答】解：如图展开：过A作EA⊥CD于E，连接AB，则AB长为最短距离，∵四边形DFGC是正方形，DC＝BC＝2，∴OD＝OC，∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ECA＝45°，∵AE⊥DC，∴DE＝EC，∵∠DAC＝90°，DC＝1，∴AE＝DE＝EC=12在△AEB中，∠AEB＝90°，BE＝1+2＝3，EA＝1，由勾股定理得：AB19．（2022秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是　15　cm．【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．【解答】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，∴AB==15cm，故答案为：15．20．（2022秋•凤城市期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为　100　cm．【分析】作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．在直角△A′EG中，A′E＝80cm，EG＝60cm，∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G=100cm．∴最短路线长为100cm．故答案为：100．三．解答题（共10小题）21．（2022春•宜城市期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为125m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m，BM的长为75m．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN==45（m），∴AN＝AB﹣BN＝125﹣45＝80（m），在Rt△AMN中，AM100（m），∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝100+75＝175（m）；（2）∵AB＝125m，AM＝100m，BM＝75m，∴AB2＝BM2+AM2，∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC，∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝75m．22．（2022秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解析展开a，b，c与d在同一平面内，如图所示．由题意可知，甲蚂蚁走的路径为A1B，A1B=cm）．乙蚂蚁走的路径为A2B，A2B==cm）．所以A1B＞A2B，故乙蚂蚁先到达目的地．23．（2022秋•江北区期末）在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是　③　；最长的方案是　①　．（2）请根据数学知识说明理由．【分析】（1）根据“化曲面为平面”，且利用“两点之间线段最短”可知，爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①；（2）分别求出三种方案蚂蚁爬行的路程，比较即可求解．【解答】解：（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①．故答案为：③；①；（2）爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①．理由如下：‘’设立方体纸盒的棱长为a，则a＞0．方案：①A→B→C→E蚂蚁爬行的路程为：AB+BC+CE＝a+a+a＝3a；方案；②A→C→E蚂蚁爬行的路程为：AC+CE=a+1）a；方案；③A→D→E．1）a＜3a，∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①．24．（2022秋•二道区期末）如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB＝12，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是　C　；（2）求该金属丝的长．【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）因为圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．故答案为：C；（2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB＝12，∴该长度最短的金属丝的长为2AC＝=26．25．（2022秋•随县期末）如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为a，对角线为b，长方形对角线为c．一只蚂蚁从A点爬行到C点．（1）求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由；（2）如果把右边的正方形EFBC沿EF翻转90°得到如图2所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从A点到C点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）【分析】（1）根据两点之间线段最短求解；（2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线．【解答】解：（1）从A﹣B﹣C路线长：a+a+a＝3a，从A﹣D﹣C路线长：a+a+a＝3a，从A﹣E﹣C路线长：a+b．（3分）根据两点之间，线段最短．可得AD+DE＞AE，即a+a＞b，（6分）所以a+a+a＞a+b，即3a＞a+b（7分）（说明：只要写出理由“两点之间，线段最短”即给6分）故从A到C的最短路线长为a+b；（8分）（2）从A到C的最短路线长为C，（10分）图中的点M为线段EF的中点．（11分）位置如图．（13分）26．（2022秋•罗湖区期中）（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．（2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；（3）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：=13（cm）．（2）分三种情况可得：AG=＞AG＞AG=，；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=13（Cm）．27．（2022秋•元宝区校级期中）一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，问：丝带共有多长？【分析】根据题意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色丝带的长即可．=150cm，答：丝带共有150cm．28．（2022秋•东明县期中）东明县是鲁西南的化工基地，有东明石化集团，洪业化工集团，玉皇化工集团等企业，化学工业越来越成为东明县经济的命脉，化工厂里我们会经常看到如图储存罐，根据需要，在圆柱形罐的外围要安装小梯子，如果油罐的底面半径为6米，高24米，梯子绕罐体半圆到达罐顶，则梯子至少要多长？【分析】把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，根据题意，BC＝24m，AB=1•2π•6≈18m，2在Rt△ABC中，AC30m，答：梯子至少要30m．29．（2022秋•福田区期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB＝∠A′O′B′＝90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：（1）A′B，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1+1　cm；（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2（π取3）；（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3≈1.4）【分析】（1）由∠A′O′B′＝90°，可知△B′A′O′为等腰直角三角形，故此A′B′=′O ′，然后根据l1＝A′B′+AA′求解即可；（2）先求得弧A′B′的长，然后根据勾股定理求得矩形AA′B′B的对角线的长度即可；（3 1.4代入从而可求得l1、l2的近似值，从而可作出判断．【解答】解：（1）∵∠A′O′B′＝90°，O′A′＝O′B′，∴A′B′＝A′B′=′O′＝∴l1＝A′B′+AA′＝1．故答案为：1．=6π＝18．（2）A′B′=90°×2π×12360°将圆柱体的侧面展开得到如图1所示矩形AA′B′B．∵A′B′=18，∴A′B′＝18．在Rt△ABB′中，AB′=故答案为：（3）∵l1＝1≈12×1.4+1＝17.8∴l21=316.84．∵l22=2=325，∴l21＜l22．∴l1＜l2．∴甲蚂蚁先到达食物处．30．（2022秋•安岳县期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：（1）选择图1或图2中任一个图形来验证勾股定理；（2）利用勾股定理来解决下列问题：如图3，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为16cm，在杯外离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口3cm．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？【分析】（1）根据正方形的面积等于四个直角三角形的面积与正方形面积的即可得出结论；（2）蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面上爬行，如果将这半个侧面展开，根据：“两点之间，线段最短“，所求的最短路程就是这一个展开图AC的长．在R t△ABC中，AB＝底面周长的一半＝8cm，BC＝12﹣3﹣3＝6cm．，所以由勾股定理得：AC＝10cm，所以蚂蚁爬行的最短路程为10cm．ab+c2，【解答】解：（1）若选图1，则由图形可知：（a+b）2＝4×12整理得：a2+b2＝c2；ab+（b﹣a）2＝c2，若选图2，则由图形可知：4×12整理得：a2+b2＝c2．（2）如图所示，∵在Rt△ABC中，AB＝底面周长的一半＝8cm，BC＝12﹣3﹣3＝6cm，∴由勾股定理得：AC=10cm，∴蚂蚁爬行的最短路程为10cm．。

专题17.4 勾股定理中最短路径问题专项训练（30道）【人教版】1．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．√14B．√18C．√20D．√262．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．√208cm D．100cm3．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（）A．√21B．5C．√29D．√374．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）A．3√17cm B．10cm C．5√5cm D．√113cm5．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（）A．2√29B．4π√π2+25C．2√25π2+4D．146．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A．√73厘米B．10厘米C．8√2厘米D．8厘米7．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）A．√7米B．√11米C．√13米D．5米8．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．229．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．810．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A 到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm二．填空题（共10小题）11．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝16m，宽AD＝9m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从B点爬到D点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m的路程．12．在一个长6+2√2米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是√2米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．13．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是cm．14．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是cm．15．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上．（1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．（2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．16．如图，长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A 到点B ．（1）蚂蚁爬行的最短距离是 cm ；（2）若从C 处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于 cm ．17．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池的示意图，该U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm 的半圆，其边缘AB ＝CD ＝15m ，点E 在CD 上，CE ＝3m ，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离约为 m ．（边缘部分的厚度忽略不计）18．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD ＝80cm ，高AB ＝60cm ，水深AE ＝40cm ．在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60cm ，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm ．19．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是cm．20．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是分米．三．解答题（共10小题）21．如图是一个玻璃容器，在ABCD面的外面一点E处有一个蚂蚁，里面F点处有一小块食物，蚂蚁要想爬到里面去吃食物，请你帮它选择一条最近的爬行路线．（保留作图痕迹）22．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是；最长的方案是．（2）请根据数学知识说明理由．23．如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为m的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要m；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？24．如图，已知圆柱底面的直径BC＝8，圆柱的高AB＝10，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是．（2）求该长度最短的金属丝的长．25．如图，长方体的长BE＝30cm，宽AB＝20cm，高AD＝40cm，点M在CH上，且CM＝10cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？26．如图，长方体的长AB＝5cm，宽BC＝4cm，高AE＝6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G 处（即A→N→G）．（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？27．如图①所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面ABB1A1和面A1B1C1D1；②沿面和ABB1A1和面BCC1B1；③沿面AA1D1D 和面A1B1C1D1．（1）图②为第一种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；（2）若AB＝4，BC＝2，BB1＝1，请通过计算，判断第几种方式所走路线最短？最短路线长为多少？（3）若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a＞b＞c，请直接写出最短路线的长（用a，b，c的代数式表示）．28．吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处．29．图（1）为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图（2）．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条．（2）试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A′B′C′的大小关系．30．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：（1）用语言叙述勾股定理；（2）选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；（3）利用勾股定理来解决下列问题：如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？。