勾股定理解决最短路径问题及折叠问题

勾股定理应用——最短路径问题
学习目标：1.认识平面图形和立体图形的关系，会图形间的互相转化。

2.能在平面图形中构建勾股定理模型解决实际问题。

一、尝试练习、联系生活
1.两点之间，最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是,它的一边长是圆柱的,
它的另一边长是圆柱的.
二、合作交流、探究新知
例1:如图所示,圆柱体的底面周长为6cm,高AC为4cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.
三、变式训练、拓展延伸
变式1：有一圆柱形油罐,油罐底面周长是12米,高AB是5米,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?
变式2：如果圆柱换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？
变式3：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
四、方法迁移、自我检测
1、如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm的金鱼缸，如果鱼缸中的A 点有一条金鱼,它想尽快吃到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A 和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？。

专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．A．10B．50C．10D．70【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．D．35【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A．B．5cm C．4cm D．【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）A．B．C．D．【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12B．15C．18D．21【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．13【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，【典例2】P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）A．52cm B．30cm C．D．60cm【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m 时，这段葛藤的长是（）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．26B．13+C．13D．2【变式2-4】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【变式3-5】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．D．【变式2-6】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【变式2-7】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A．B．3C．D．2【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）cm．A．10B．50C．120D．130【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．【变式3-3】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A 点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．C．12D．18【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【变式4-4】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为．【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【变式5-4】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD 于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于．【变式5-5】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为cm3．【变式5-6】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝．【变式5-7】（2022春•温州期末）图1是一款平衡荡板器材，示意图如图2，A，D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G，H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG＝GH＝DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结G′Q，测得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此时荡板G′H′距离地面0.6m，则点D离地面的距离为m．【变式5-8】（2022•公安县模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝84cm，BC＝30cm，CP＝36cm，侧面如图1所示，EF为隔板，等分上下两层．下方内桶BCFG绕底部轴（CP）旋转打开，如图2，将其打开后点G卡在隔板上，此时可完全放入下方内桶的球体的最大直径为25.2cm，求BG的长度为cm．。

3、如图，长方体的长为 15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为 沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？ 5，—只蚂蚁如果要2、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点 A 开始 经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 ____________ cm ；如果从点 A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ,那么所用细线最短需要 I"4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世 •著名的恩施大峡谷 (A )和世界级自然保护区星斗山(B )位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB = 50km , A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A 、B两景区运送游客•小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直，垂足为P ), P 到A 、B 的距离之和Si = PA+PB,图2是方案二的示意图(点 A 关于直线X 的对 称点是A',连接BA'交直线X 于点P ), P 到A 、B 的距离之和 ◎= PA+PB.(1 )求S 、S 2,并比较它们的大小； (2 )请你说明PA+PB 的值为最小； (3 )拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图 3所示的直角C30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、.并求出这个最小值.坐标系，B到直线Y的距离为B、Q组成的四边形的周长最小YkCt6、如图，在锐角厶ABC中，AB= ,2，/ BAC= 45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，则BM+M的最小值是.7、如题，在长方形ABCD中，将?ABC沿AC对折至？AEC位置，CE与AD 交于点F.(1)试说明：AF=FC⑵如果AB=3 BC=4,求AF的长。

勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。

其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。

下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。

1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。

通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。

一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。

2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。

这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。

在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。

3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。

勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。

4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。

当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。

另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。

5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。

我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。

在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。

希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。

专题2.11运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】【浙教版】【题型1正方体中的最短路径】【题型2长方体中的最短路径】【题型3圆柱中的最短路径】【题型4圆锥中的最短路径】【题型5台阶中的最短路径】【题型6由垂线段最短求最短路径】【题型7由将军饮马求最短路径】【题型8不规则图形中求最短路径】【题型1正方体中的最短路径】【例1】（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）1．如图，在棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B 点最少要花多长时间？【变式1-1】（23-24八年级·四川乐山·期末）2．如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（）A B C D 【变式1-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）3．如图，有一棱长为3dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A 到点D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE 、BCGF 、EFGH 、CDHG 四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（ ）dm ．A ．15B ．9C ．D ．【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）4．棱长分别为5cm 3cm ，两个正方体如图放置，点P 在11E F 上，且11113E P EF =，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．【题型2 长方体中的最短路径】【例2】（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期末）5．如图是一块长、宽、高分别是6cm 4cm 、和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）+B C DA．(3cm【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）6．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要米．【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）7．如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）、、，点E到点D的距离为8．如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm30cm20cm10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（）A．B．C．50cm D．45cm【题型3圆柱中的最短路径】【例3】（23-24八年级·广西北海·期中）BC=，点P移动9．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若6的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）A．4B．4p C．8D．10【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）10．如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为dm．【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）BC=，11．如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高3cm用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．【变式3-3】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）12．如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高5AB =，P 点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A 点爬到P 点，然后再爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为 ．【题型4 圆锥中的最短路径】【例4】（23-24八年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）13．已知圆锥的底面半径是4cm ，母线长为12cm ，C 为母线PB 的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A 爬到C 的最短距离是 ．【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）14．如图，小明用半径为20，圆心角为q 的扇形，围成了一个底面半径r 为5的圆锥.（1）扇形的圆心角q 为 ；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A 出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是 .【变式4-2】（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）15．某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）vA．30cm B．cm C．60cm D．20πcm【变式4-3】（23-24八年级·安徽·单元测试）16．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A B．C．D．【题型5台阶中的最短路径】【例5】（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）17．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B 是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（）A ．60cmB ．80cmC ．100cmD ．140cm【变式5-1】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）18．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm ，3dm ，3dm ，点M 和点N 是这个台阶上两个相对的端点，M 点有一只蚂蚁，想到N 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N 的最短路程（ ）A ．10dmB ．20dmC ．30dmD ．36dm【变式5-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）19．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m ，34m 和14m ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）A ．3.5mB ．4.5mC ．5mD ．5.5m【变式5-3】（23-24八年级·山东济南·期末）20．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm 、长是50cm 、宽是40cm ，一只蚂蚁沿台阶从点A 出发爬到点B ，其爬行的最短线路的长度是 ．【题型6 由垂线段最短求最短路径】【例6】（12-13八年级·浙江杭州·阶段练习）21．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，4AC BC ==，点D ，E 分别是AB 、AC 的中点，在CD上找一点P ，连接AP 、EP ，当AP EP +最小时，这个最小值是 ．【变式6-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）22．如下图，某国道通过A 、B 两个村庄，而C 村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C 村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C 村到A 、B 两村的距离分别为6km 、8km ，A ，B 两村的距离为10km ，那么这条水泥路的最短距离为多少？【变式6-2】（23-24·四川宜宾·模拟预测）23．如图A ，B ，C 为三个村庄，A ，B 两村沿河而建且相距17千米，A ，C 相距B ，C 相距13千米，C 村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（ ）万元A ．6BC ．4.5D ．7.5【变式6-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）24．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，3AC =，4BC =，5AB =，AD 平分CAB Ð交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 ．【题型7 由将军饮马求最短路径】【例7】（23-24八年级·福建宁德·阶段练习）25．如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 km ．【变式7-1】（23-24八年级·云南昭通·期中）26．如图，河CD 的同侧有A 、B 两个村，且AB =，A 、B 两村到河的距离分别为2km AC =，6km BD =．现要在河边CD 上建一水厂分别向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w （元）．【变式7-2】（15-16八年级·江苏无锡·阶段练习）27．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a 、b 、c ．显然，90DAB B Ð=Ð=°，AC DE ^．请用a 、b 、c 分别表示出梯形ABCD 、四边形AECD 、EBC V 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：ABCD S =梯形______，EBC S =△______，AECD S =四边形______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理222a b c +=．知识运用：（1）如图2，铁路上A 、B 两点（看作直线上的两点）相距40千米，C 、D 为两个村庄（看作两个点），AD AB ^，BC AB ^，垂足分别为A 、B ，25AD =千米，16BC =千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若40AB =千米，24AD =千米，16BC =千米，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC PD =，求出AP 的距离．()016x <<．【变式7-3】（23-24八年级·福建福州·期中）28．如图，已知直线a b ∥，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，12AB =，试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足M N a ⊥且AM MN NB ++的长度和最短，则此时AM NB += ．【题型8 不规则图形中求最短路径】【例8】（23-24八年级·云南昆明·期中）29．如图，教室墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上，若PA =米，2AB =米，点P 到AF 的距离是4米，一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是（ ）米A B C ．5D 【变式8-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）30．在一个长11cm ，宽5cm 的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD ，它的底面边长为1cm 的等边三角形，一只蚂蚁从点A 处到点C 处的最短路程是 cm ．【变式8-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）31．如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘20m ==AB CD ，点E 在CD 上，4m =CE ，一滑行爱好者从A 点滑行到E 点，则他滑行的最短距离为 m （π的值为3）．【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）32．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A 爬行到点B 的最短路程为（ ）A．+B．4+C．2D．41．()2.5s 【分析】把正方形的点A 所在的面展开，然后在平面内，由于展开图有两种情况：在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2；一条直角边长等于4，另一条直角边长等于3；利用勾股定理求点A 和点B 间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．再比较即可得到答案．【详解】解：如图所示，分两种情况讨论：①如图1，将正方体的正前和右侧两面展开，使点A ，B 在同一平面内．则点A 到点B 的最短路径是线段AB ，由题意，得4cm =AO ，3cm BO =，根据勾股定理，得()5cm AB ===；②如图2，将正方体的正前和上底两面展开，使点A ，B 在同一平面内，则点A 到点B 的最短路径为线段AB ，由题意，得2cm AO =，5cm BO =，根据勾股定理．得)cm AB ===．5>，∴图1中的路径最短，∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为()52 2.5s ¸=．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎么爬行最近”这类问题的关键．2．B【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM 爬行路程最短，2BC =Q ，M 为BC 的中点，3,2M D A D \==，A M \==故选：B ．3．C【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和D 点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键．【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD 即为最短路线，展开后由勾股定理得：222AD AM DM =+，∴22296117AD =+=，即有：)cm AD =，故选：C ．4．．【分析】求出两种展开图PA 的值，比较即可判断；【详解】解：如图，有两种展开方法：方法一∶PA ==，方法二∶PA ==．故需要爬行的最短距离是．故答案为：．【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．C【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线．【详解】解：AB 就是蚂蚁爬的最短路线．但有三种情况：当：3AD =，4610DB =+=．AB ．当4=AD ，639DB =+=．AB ．当6AD =，347DB =+=AB ．>>∴第三种情况最短．故选：C ．6．【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，8AA n ¢=米，6A B ¢=米，由勾股定理得，AB ===（米）；故答案为：．7．10【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为AC 的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键．【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，\蚂蚁的爬行的最短路径为AC 的长，538AB \=+=（cm ），AC \==10=，\蚂蚁的爬行的最短路径为10cm ，故答案：10．8．C【分析】考虑蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E ，从正面和右侧面沿直线爬到点E ，从左侧面和上面沿直线爬到点E ，画出图形，利用勾股定理求出距离，进行比较即可解答．【详解】解：当蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E ，如图所示：此时40cm 20cm BC CD ==，，则30cm EC ED DC =+=，50cm BE \==；当蚂蚁从正面和右侧面沿直线爬到点E ，如图所示：此时20cm,40cm AB AD ==，则50cm AE AD DE =+=，BE \==；从左侧面和上面沿直线爬到点E ，如图所示：此时20cm,40cm AB AD ==，则60cm BD AB DA =+=，BE \==；50<<Q \蚂蚁需要爬行的报短距离是50cm ，故选：C ．【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．9．C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接AS ，再利用勾股定理即可得出AB 的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键．【详解】解：如图，连接AS ，在圆柱的侧面展开图ABCD 中，6BC =，BC AB ^，设AB x =，∵点P 移动的最短距离为5，∴5AS =，∵点S 是BC 的中点，∴116322BS BC ==´=，∴4AB ===，∴圆柱的底面周长为：2248AB =´=．故选：C ．10．【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．∵圆柱底面的周长为12dm ，圆柱高为9dm ，∴9dm,6dm AB BC BC ¢===，∴22296117AC =+=，∴AC =，∴这圈金属丝的周长最小为2AC =．故答案为：．11．【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A 到C 缠绕了一圈半，则 1.569cm AB =´=，3cm BC =，根据两点之间线段最短求出AC 长即可解决问题．【详解】解：如图所示，∵无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.569cm AB =´=，3cm BC =，由勾股定理得：AC ===故答案为：．12．1313【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【详解】解：如图，根据题意，5AB CD ==，AC BD ==36182=，∵P 点位于圆周顶面13处，∴136123BP =´=，6PD BD BP =-=，∴小虫爬行的最短路程13AP PC =+==故选：13．13．【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是8cm p ，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是120°，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．【详解】解：圆锥的底面周长是：()248cm p p ´=，则128180n p p ´=120n =°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，如图所示，∴60APB Ð=°，∵PA PB =，∴PAB V 是等边三角形，∵C 是PB 的中点，∴AC PB ^，∴90ACB Ð=°，∵在圆锥侧面展开图中12AP cm =，6PC cm =，∴在圆锥侧面展开图中：)AC cm ===，∴蚂蚁在圆锥侧面上从A 爬到C 的最短距离是：，故答案为：．【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．14． 90°##90度 【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．【详解】解（1）Q 圆锥的底面周长2π510π=´=，π2010π180q ´\=，解得90q =°；故答案为90°．（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造Rt AOA ¢V ，根据两点之间线段最短得最短路程为：=．故答案为【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键．15．B【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120°，进而即可求解．【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为20πcm ，∴2π=20πr解得：10r =∵π3020π180n ´=解得：120n =∴侧面展开图的圆心角为120°如图所示，AC 即为所求，过点B 作BD AC ^，∵120ABC Ð=°，BA BC =，则30BAC Ð=°∵30AB =，则15BD =∴AD =2AC AD ==故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为120°解题的关键．16．C【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后90BAC Ð=°，连接BP ，根据勾股定理求出BP 即可．【详解】解：圆锥底面是以BC 为直径的圆，圆的周长是6BC p p =，以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，弧长是6l p =，设展开后的圆心角是n °，则66180n p p ´=，解得：180n =，即展开后1180902BAC Ð=´°=°，132AP AC ==，6AB =，则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长就是展开后线段BP 的长，由勾股定理得：BP ===故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．17．C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出AB的长即可得出结论．【详解】解：如图所示，()3010301080cm+++=，()AB==．100cm故选C．18．C【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高分别为24dm,3dm,3dm,∴30dmMN==即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm，故选：C．19．C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算AB 的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，则4m AC =，3133m 44BC æö=+´=ç÷èø，在Rt ABC △中，5m AB ===，所以蚂蚁所走的最短路线长度为5m ．故选：C ．20．130cm【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．【详解】解：将台阶展开成平面图形：在Rt ABC △中，50cm AC =，120cm BC =，()130cm AB ===，其爬行的最短长度()130cm AB =，故答案为：130cm ．21．【分析】连接BE ，BP ，根据等腰三角形的性质可得CD 垂直平分AB ，从而得到AP =BP ，进而得到BE 就是PA PE +的最小值，再由勾股定理求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，连接BE ，BP ，∵4AC BC ==，点是的中点，∴CD 垂直平分AB ，∴AP =BP ，∴AP +PE =BP +PE ≥BE ，∴BE 就是PA PE +的最小值，∵Rt ABC V 中，4AC BC ==，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴2CE =，∴BE ==∴PA PE +的最小值是．故答案为：【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识是解题的关键．22．这条水泥路的最短距离为4.8km【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，根据垂线段最短确定这条水泥路的最短距离是解本题的关键；过点C 作CD AB ^，根据垂线段最短可知这条水泥路的最短距离为CD 的长度，利用勾股定理的逆定理得ABC V 为直角三角形，然后利用面积相等即可求解．【详解】解：过点C 作CD AB ^，垂足为D 点，则这条水泥路的最短距离为CD 的长度，，在ABC V 中，6km AC =，8km BC =，10km AB =，则2226810+=，即：222AC BC AB +=，∴ABC V 为直角三角形，1122ABC S AB CD AC BC =×=×V Q ∴()68 4.8km 10AC BC CD AB ´´===，\这条水泥路的最短距离为4.8km ．23．D【分析】本题主要考查了勾股定理，正确理解勾股定理的含义是解题关键．过点C 作CH AB ^，设AH x =千米，则()17BH x =-千米，由勾股定理可得2222AC AH BC BH -=-，列出方程求解，再用勾股定理求出CH 即可得出答案．【详解】如图，过点C 作CH AB ^，设AH x =千米，则()17BH x =-千米，222222,CH AC AH CH BC BH =-=-Q ，2222AC AH BC BH \-=-，(()22221317x x \-=--，5x \=，5AH \=千米，5CH \===（千米），\费用最低为5 1.57.5´=万元．故选：D24．125【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在AB 上取点F ¢，使AF AF ¢=，过点C 作CH AB ^，垂足为H ．因为EF CE E C F E +=¢+，推出当C 、E 、F ¢共线，且点F ¢与H 重合时，FE EC +的值最小．【详解】解：如图所示：在AB 上取点F ¢，使AF AF ¢=，∵,FAE F AE AE AE ¢Ð=Ð=,∴()SAS FAE F AE ¢V V ≌,∴EF EF ¢=.在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC Ð=°==\5AB ==．过点C 作CH AB ^，垂足为H ．1122AC BC AB CH ×=×Q ，\125AC BC CH AB ×==，∵EF CE E C F E +=¢+，∴当C 、E 、F ¢共线，且点F ¢与H 重合时，EF EC +的值最小，最小值为CH 的长，EF EC +的值最小为125，故答案为：125．25．17【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN ，由题意先作A 关于MN 的对称点，连接A `B ，构建直角三角形，则A `B 就是最短路线；在Rt △A `DB 中，∠A `DB =90°，BD =8km ，A `D =AD +A `A ，利用勾股定理即可求出A `B ．【详解】如图，做出点A 关于小河MN 的对称点A `，连接A `B 交MN 于点P ，则A `B 就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt △A `DB 中，由勾股定理求得()`km A B ．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km ．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．26．20000元【分析】作A 点关于CD 的对称点为A ¢，连接A B ¢交CD 于点O ，过点A 作AF BD ^于点F ，过点A ¢作A E BD ¢^交BD 的延长线于点E ，分别利用勾股定理求出AF 和A B ¢的长即可．【详解】解：如图，作点A 关于CD 的对称点A ¢，连接BA ¢交CD 于O ，点O 即为水厂的位置．分过点A ¢作A E CD ¢∥交BD 的延长线于点E ，过点A 作AF BD ^于点F ，则AF A E =¢，2km DF AC ==，2km DE A C =¢=．∴()624km BF BD FD =-=-=．在Rt ABF V 中，(22222436AF AB BF =-=-=，∴6km AF =，∴6km A E ¢=．在Rt A BE ¢V 中，8km BE BD DE =+=，由勾股定理得()10km A B ===¢．∴20001020000w =´=（元）．故铺设水管的总费用为20000元．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．27．小试牛刀：()12a a b +；()12b a b -；212c ；()()2111222a a b b a b c +=-+；知识运用：（1）41；（2）16AP =（千米）；知识迁移：20．【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；知识运用：（1）连接CD ，过点C 作AD 的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得CD ．（2）作CD 的垂直平分线，交AB 于点P ，分别在Rt APD V 和Rt PBC V 中用勾股定理表示出CP 与PD 联立方程求解即可．知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．【详解】解：小试牛刀：()12ABCD S a a b =+梯形， ()12EBC S b a b =-V ， 212AECD S c =四边形， 则它们满足的关系式为：()()2111222a ab b a bc +=-+．知识运用：（1）如图2①，连接CD ，作CE AD ^于点E ，40AB EC ==Q ，16AE BC ==，9ED \=，有勾股定理得到：222DE CE CD +=41CD \==（千米）∴两个村庄相距41千米．（2）连接CD ，作CD 的垂直平分线交AB 于点P ，设AP x =千米，则()40BP x =-千米，在Rt ADP V 中，2222224DP AP AD x =+=+ ，在Rt BPC △中，()222224016CP BP BC x =+=-+，∵PC PD =，∴()2222244016x x +=-+，解得，16x =，即16AP =千米．知识迁移：如图3，过AB 作点C 的对称点C ¢，连接DC ¢交AB 于点P ，过C ¢作C E AB ¢∥，根据对称性：3AE BC BC ¢===，设PB x =，则16AP x =-，有勾股定理得，PC PC ¢==DP =∴20DC DP PC ¢¢=+==．【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目．28．【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM NB +的值最小即可．过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ¢，使得AA MN ¢=，连接A B ¢，则A B ¢与直线b 的交点即为N ，过N 作M N a ⊥于点M ．则A B ¢为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】解：过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ¢，使得4AA ¢=，连接A B ¢，与直线b 交于点N ，过N 作直线a 的垂线，交直线a 于点M ，连接AM ，过点B 作BE AA ¢^，交射线AA ¢于点E ，如图．AA a ¢^Q ，M N a ⊥，N AA M \¢^．又4AA MN ¢==Q ，\四边形AA NM ¢是平行四边形，AM A N ¢\=．由于AM MN NB ++要最小，且MN 固定为4，所以AM NB +最小．。

专题09.勾股定理中的的最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。

人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。

对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。

对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。

注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023·陕西·八年级期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为24cm，高AB为18cm，现在要以点A为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点A的正上方的点B处，则彩色胶带最短要（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【答案】D【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，例2．（2023·广东·八年级期中）如图，一个底面圆周长为边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点A．413cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接则12412cm2BD=⨯=，又因为即蚂蚁沿表面从点A到点B【点睛】本题考查勾股定理的应用均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，圆柱高3米，底面周长2米，2222 1.5 6.25AC ∴=+=， 2.5AC ∴=，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m ．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。

勾股定理最短路径勾股定理是一个十分有趣的数学理论，它给出了如何求一个直角三角形的斜边长的方法。

而当我们将这个定理应用于求解最短路径问题时，它又能为我们提供非常有价值的思路。

首先需要了解的是，什么是最短路径问题。

这是一个常见的计算机科学问题，它在很多实际应用场景中都非常有用。

比如在地图导航软件中，我们需要根据起点和终点，找到一条最短路线，以帮助人们快速到达目的地。

类似的，当我们在网络中传输数据时，也需要考虑选择一条最短路径，以保证网络传输效率。

那么，在最短路径问题中，勾股定理可以起到什么作用呢？我们知道，勾股定理可以计算直角三角形的斜边长，也就是说，如果我们在地图上画一个直角三角形，那么它的斜边长就可以使用勾股定理计算得到。

而在地图导航软件或者其他最短路径问题中，我们也可以将地图或网络抽象成一个由许多个点和边组成的图形，我们只需要找到起点和终点之间的最短路径，就可以得到我们要求的答案。

在具体求解问题时，我们可以使用Dijkstra算法等一些经典的最短路径算法来寻找起点和终点之间的最短路径。

而在这些算法中，勾股定理可以帮助我们在计算距离时，更准确地确定每个点之间的距离，从而更容易得到最优解。

例如，在寻找地图上两个城市之间的最短路径时，我们可以将这两个城市看作直角三角形的直角点，使用勾股定理计算这两个城市之间的直线距离，作为它们之间的距离，在最短路径算法中进行求解。

总的来说，勾股定理在最短路径问题中的应用是十分广泛的，它能够提供有价值的思路和方法，帮助我们更准确地计算距离和寻找最优解。

当然，在具体应用时还需要根据实际情况进行微调和改进，综合应用各种算法和工具，才能得到最好的结果。

为了总结本文中的内容，我们可以提出以下几点建议：1. 在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两个点之间的直线距离，作为它们之间的距离，从而在最短路径算法中起到作用。

2. 在具体使用时，可以根据实际情况进行微调和改进，综合应用各种算法和工具，以得到最好的结果。

『勾股定理在最短路径问题中的应用』一、引言在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。

本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。

二、最短路径问题概述最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。

这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。

寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。

三、勾股定理在最短路径问题中的应用1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。

通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。

2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。

3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。

通过勾股定理，地图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从而节省时间和成本。

四、结论和回顾通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中的重要应用。

勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。

我们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用它解决现实生活中的问题。

五、个人观点在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。

勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。

我相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解决各种实际问题，提高生活质量和效率。