高三二轮复习专题2.函数的图像与性质docx

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数图象与性质高考导航对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练．2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.1．(2017·山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.[答案]D2．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x[解析]A项中的函数为非奇非偶函数，B项和C项中的函数是偶函数，D项中的函数满足奇函数的定义，故选D.[答案]D3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是() A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3][解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.[答案]D4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()[解析]f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，因为0<8－e 2<1，所以0<f (2)<1，排除选项A ，B.当0≤x ≤2时，y ′＝4x －e x ，在平面直角坐标系中分别作出当0≤x ≤2时函数y 1＝4x ，y 2＝e x 的图象，如图所示．可知，当0≤x ≤x 0时，e x >4x ，y ′<0，即y ＝2x 2－e |x |单调递减；当x 0<x ≤2时，4x >e x ，y ′>0，即y ＝2x 2－e |x |单调递增，故选D.[答案]D5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.[解析]因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝f (1)，因此f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，故f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. [答案]－2考点一 函数及其表示1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[对点训练]1．(2017·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1) D ．(0,1][解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案]C2．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 [解析]因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x <5，所以0≤x ＋2<7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1<7，解得13≤x <83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.[答案]D3．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．[解析]由题意得2x －1≥0，解得x ≥12，又∵f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴当x ＝12时，f (x )取最小值，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，且f (x )无最大值．∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞4．(2017·福建厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．[解析]当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12. [答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12(1)函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．②抽象函数：根据f[g(x)]中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)函数值域问题的4种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法．考点二函数的图象及其应用1．作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．3．用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式【例1－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin2x1－cos x的部分图象大致为()[思维流程]看条件――→奇偶性单调性析选项――→特殊点、线得结果[解析]由题意，令函数f (x )＝sin2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ1－cos π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，排除D.故选C.[答案]C角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等【例1－2】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)[思维流程]理解伙伴点组→当x <0时，作y ＝f (x )的对称图形→画y ＝kx －1与y ＝ln x (x >0)图象→由相切时的k 值求范围[解析]依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2.当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又y＝ln x的导数为y′＝1 x，则km－1＝ln m，k＝1m，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．[答案]B识别函数图象应关注的5点(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势．(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性．(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复．(5)取特殊值代入进行检验．[对点训练]1．[角度1](2017·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x[解析]由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.[答案]A2．[角度2](2017·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．[解析]令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.[答案]⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 考点三 函数的性质及其应用1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 3．函数的周期性对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)4．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例2－1】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析]易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数，∴f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．故选A.[答案]A 角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合[思维流程]f (x )是R 上的偶函数且在(－∞，0)上单调递增――→对称性f (x )在(0，＋∞)上单调递减→脱去“f ”→解关于a的不等式[解析]解法一：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故0<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.解法二：依题意，令f (x )＝－|x |， 由f (2|a －1|)>f (－2)，得－|2|a －1||>－|－2|， 则|a －1|<12，解得12<a <32.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32函数3个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．【易错提醒】 在确定函数的奇偶性和单调性时，不能忽略函数的定义域．[对点训练]1．[角度1]下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A ．y ＝x 2＋2B ．y ＝－4x 3C ．y ＝－x ＋1x D ．y ＝x |x |[解析]∵函数y ＝x 2＋2是偶函数，∴选项A 不满足题意；∵x 增大时，－4x 3减小，即y 减小，∴y ＝－4x 3为减函数，∴选项B 不满足题意；y ＝－x ＋1x 在定义域内不单调，∴选项C 不满足题意；y ＝x |x |为奇函数，且y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0.∵y ＝x 2在[0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(－∞，0)上单调递增，且y ＝x 2与y ＝－x 2在x ＝0处的函数值都为0，∴y ＝x |x |在定义域内是增函数．故选D.[答案]D2．[角度2](2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2[解析]由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.[答案]D热点课题2 函数图象辨析[感悟体验]1．(2017·长沙模拟)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[解析]由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin2x ，故选B.[答案]B2．(2017·南昌二模)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )[解析]当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.[答案]C。

函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．预计2018年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．1．函数(1)映射：集合A(A 中任意x)――→对应法则f集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应)．(2)函数：非空数集A―→非空数集B 的映射，其三要素：定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零；学——科网 (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(Ⅴ)正切函数y ＝tan x 中，x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z.②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域． 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性如果对于函数y ＝f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数)．(2)函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(或f (x 1)>f (x 2))，则称f (x )在区间D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增(减)函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f (x )在给定区间(a ，b )上恒有f ′(x )>0(f ′(x )<0)，则f (x )在区间(a ，b )上是增(减)函数，(a ，b )为f (x )的单调增(减)区间．判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等．(3)函数的周期性设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．(4)最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (或f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值(或最小值)． 3．函数图象(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )，y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k .③对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.高频考点一 函数表示及定义域、值域例1、（2018年江苏卷）函数的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【变式探究】 (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12，选B.答案：B(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x ， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12【变式探究】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78C.34D.12解析：基本法：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.答案：D高频考点二 函数的奇偶性 对称性例2、（2018年全国Ⅱ卷理数）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D 【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D; ，所以舍去C ；因此选B.【变式探究】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使成立，则x 满足11x -≤≤，从而由得13x ≤≤，即满足成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.【变式探究】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：基本法：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B.|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.速解法：y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|为偶函数． 故f (x )·g (x )＝奇，A 错，|f (x )|g (x )＝偶，B 错． f (x )|g (x )|＝奇，C 正确． 答案：C【变式探究】已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 016，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2 016D ．4 032解析：基本法：函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，则f (x )最小值与最大值的关系为f (x )min＝－f (x )max ，所以g (x )min ＝f (x )min ＋2 016，g (x )max ＝f (x )max ＋2 016，则g (x )max ＋g (x )min ＝0＋2 016＋2 016＝4 032.故选D.速解法：因为函数f (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称．而g (x )＝f (x )＋2 016的图象是由f (x )的图象向上平移2 016个单位长度得到的，故g (x )的图象关于点(0，2 016)对称，所以g xmax ＋gxmin2＝2 016，即g (x )max ＋g (x )min ＝4 032.故选D.答案：D高频考点三 函数单调性、周期性与对称性 例3、（2018年全国Ⅱ卷理数）若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。

第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。

（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。

④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。

（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。

②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。

例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。

第1讲函数的图象与性质[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称． 例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 018的值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 018 D ．32 018 答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 018＝1，故选A.(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．－1B ．－12C ．－13D.13答案 C解析 函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，函数为减函数，当x <0时，函数为增函数．若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，所以2(1＋m )x ≤(1＋m )(1－m )．当m ＋1>0时，x ≤1－m 2，所以m ＋1≤1－m 2，解得m ≤－13，所以－1<m ≤－13；当m ＋1＝0时，不等式成立；当m ＋1<0时，x ≥1－m 2，所以m ≥1－m 2，m ≥13，与m <－1矛盾，此时无解．故－1≤m ≤－13，m 的最大值为－13.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D.又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C.故选B.(2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f (x )＝e x ＋a e －x 与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析 因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a2>0，所以a <0，因为f ′(x )＝e x －a e －x ，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2018·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lnx －1x ＋1的图象大致为( )答案 B解析 由于x ≠0，故排除A.f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln －x －1－x ＋1＝－f (x )，又函数f (x )的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C. f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫ln 13＝－sin(ln 3)<0， 排除D ，故选B.(2)(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝|x |＋ax(a ∈R )的图象不可能是( )答案 C解析 对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x ≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x <0且a >0时，f (x )＝－x ＋a x 在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x <0且a <0时，f (x )＝－x ＋a x≥2－x ·ax＝2 －a ，当且仅当x＝－－a 时等号成立，当x >0且a <0时，f (x )＝x ＋ax 在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C不可能．故选C.热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ， ∴3y <2x <5z .故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3) D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤1，得a ∈⎝⎛⎦⎤0，14，故选A. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2018·天津)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D 解析 c ＝121log 3＝log 23>log 2e ＝a ，即c >a . 又b ＝ln 2＝1log 2e <1<log 2e ＝a ，即a >b .所以c >a >b .故选D.(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为________．(填序号)答案 ④解析 方法一 f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22，此时f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，此时f (x )单调递减．方法二 当x ＝1时，y ＝2，所以排除①②.当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2 316>2，所以排除③.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 b <a <c解析 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1) ＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2， 则0<f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1>0,20.8>0,3>0，且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而20.8<21＝log 24<log 25.1， 所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________. 答案 6解析 若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，故选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数g (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性． 答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时， x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3； 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]， f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，∴f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}．令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 取特殊值，用排除法求解， f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝⎛⎭⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0， 排除C ，D ，故选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x 是奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或3 答案 C解析 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2x a ＋2x 在定义域内恒成立， 整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2x a ＋2x ，即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1， 当a ＝1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13， 当a ＝－1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝－1－2x －1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3.综上可得f ()a 的值为－13或3.3．(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C 解析 f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x ＝⎩⎨⎧－log a(－x )，x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log ax ，x >0.故选C.4．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2答案 C解析 由题意得f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x ＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x ＋1)－21＋2x ＝－1＋21＋2x ，故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.5．(2018·天津市十二重点中学联考)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15(log 3)f ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 C解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝15(log 3)f ＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35， 0<0.20.5＝55<12， ∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35， 即b <a <c ，故选C.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.7．(2018·广东省六校联考)函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f (x )＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ，由1＋ln|x |≠0，得x ≠±1e ，则函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ∪⎝⎛⎭⎫－1e ，0∪⎝⎛⎭⎫0，1e ∪⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.∵f (－x )＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－x )＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除D. 又1>1e，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2 ＝1－(－2)1－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e 2<0，故可排除C.故选A.8．(2018·德阳二诊)已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，则2x ，3y ，5z 的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0， 令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k <0)， ∴x 2＝2k －1，y 3＝3k －1，z 5＝5k －1， 可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z ＝51－k ，又1－k >0，∴函数f (x )＝x 1－k 在(0，＋∞)上单调递增， ∴2x <3y <5z.故选A.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋122x ->1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x ＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝⎛⎭⎫72＝________. 答案 －32解析 由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫72＝－1－⎝⎛⎭⎫－122＝－32. 11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，1解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ， 故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方， 由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12， 解得14≤a <1.B 组 能力提高13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x ＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( ) A ．2 B ．2 019 C ．2 018 D ．0 答案 A解析 由题意得f (x )＋f (－x )＝2， ∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数， ∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2. 故选A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f (x )，x ∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当x ∈[0,2)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2， 函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数f (x )，当x ∈[0,2)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，分析可得：当0≤x ≤1时，f (x )＝12－2x 2，此时f (x )的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32，当1<x <2时，f (x )＝f (2－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 则此时有－32<f (x )<12，又由函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2， 则在x ∈[6,8)上，f (x )＝33·f (x －6)， 则有－812≤f (x )≤272，则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812，则函数f (x )在区间[6,8]上的最大值为812，最小值为－812；对于函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，g ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x.分析可得：在(0,1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数， 在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数， 则函数g (x )在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)， 使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，必有g (x )min ≤f (x )max ，即32＋m ≤812，得m 的取值范围为(－∞，39]．15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，若g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎫1x －1<g (x )＋g ⎝⎛⎭⎫1x ，则x 的取值范围是____________________．答案 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1} 解析 因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，因此g (x )＝1x 2＋1.因为g (x )＋g ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x 2＋1＋11x 2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎫1x －1<g (x )＋g ⎝⎛⎭⎫1x ，得1(x ＋5)2＋1＋(x －1)21＋(x －1)2<1， 即1(x ＋5)2＋1<11＋(x －1)2，解得x >－2，结合分母不为零得x 的取值范围是 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是_______． 答案 ⎣⎡⎦⎤18，2解析 如图所示，若对任意x ∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f (x )的图象恒在y ＝|x |图象的下方，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≤3， ①f (0)≤0， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝x 与y ＝－x 2＋2x －2a 相切或相离，所以x ＝－x 2＋2x －2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程x 2－x ＋2a ＝0， Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2. 综上，18≤a ≤2.。

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时.f (x ＋1)＝1.f (2x )＝1.不合题意．综上.不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞.0)． 故选D ．方法二：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知.当x ＋1≤0且2x ≤0时.函数f (x )为减函数.故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时.f (2x )＞1.f (x ＋1)＝1. 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上.不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞.－1]∪(－1,0)＝(－∞.0)． 故选D ．6．(20xx·江苏卷.5)函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}. [解析] 由log 2x －1≥0.即log 2x ≥log 22.解得x ≥2.所以函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}．7．(20xx·全国卷Ⅲ.16)已知函数f (x )＝ln(1＋x2－x )＋1.f (a )＝4.则f (－a )＝－2.[解析] ∵ f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x2－x )＋1＋ln(1＋x2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2.∴ f (a )＋f (－a )＝2.∴ f (－a )＝－2.命题方向1 函数的图象及其应用例1 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ).当x ∈[0,2]时.f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ∈[0，1)，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( A )的取值范围是(－1, 3).log(23．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.若对于任意给定的不等实数x1、x2.不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立.则不等式f(1－x)<0的解集为( C ) A．(－∞.0) B．(0.＋∞)C．(－∞.1) D．(1.＋∞)[解析]由条件式得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0.∴x1<x2时.f(x1)>f(x2).x1>x2时.f(x1)<f(x2).∴f(x)为减函数.又f(x)为R上的奇函数.∴f(0)＝0.∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x)<f(0).∴1－x>0.∴x<1.故选C．4.如图.过单位圆O上一点P作圆O的切线MN.点Q为圆O上一动点.当点Q由点P逆时针方向运动时.设∠POQ＝x.弓形PRQ的面积为S.则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是( B )[解析]S＝f(x)＝S扇型PRQ＋S△POQ＝12(2π－x)·12＋12sin x＝π－12x＋12sin x.则f′(x)＝12(cos x－1)≤0.所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数.当x＝0和x＝2π时.分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时.cos x逐渐减小.切线斜率逐渐减小.曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时.cos x逐渐增大.切线斜率逐渐增大.曲线越来越平缓.结合选项可知.B正确．。

专题二函数的图象与性质(见学生用书P7)(见学生用书P7)1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a，0)中心对称；若f(x ＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若y＝f(x)在x∈R时，恒有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±1f（x），则函数y＝f(x)的周期为2|a|.5．函数的图象重点结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a －x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数的图象关于点(a，b)成中心对称．(见学生用书P 8)考点一 函数及其表示考点精析1．构成函数概念的三要素(1)三要素是指定义域、对应法则、值域．(2)三要素中只要有一个不同，两个函数就是不同的函数．(3)三要素都相同的两个函数是一个函数．2．当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．也就是：(1)分式的分母不得为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)三角函数中的正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .例 1－1(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6]考点：函数定义域的求法．分析：可以根据选项，用排除法，也可以直接列出使函数解析式有意义的x 的不等式组，解不等式组即可．解析：(方法1)当x ＝3和当x ＝5时，函数均没有意义，故可排除选项B 、D ；当x ＝4时，函数有意义，可排除选项A.故选C.(方法2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，x ≠3， 解得2<x ≤4且x ≠3，所以定义域为(2，3)∪(3，4]．答案：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据题目及选项特点，可用直接法，也可用排除法，属基础题．例 1－2已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数f (2x －1)的定义域为________．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据题目给出的函数f (x )的定义域，由2x －1在函数f (x )的定义域内求解x 的范围得函数f (2x －1)的定义域．解析：函数f (x )的定义域为(－3，0)，则由－3<2x －1<0，解得－1<x <12.∴函数f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 点评：本题考查了复合函数的定义域及其求法，给出函数f (x )的定义域[a ，b ]，求解函数f [g (x )]的定义域，只需由a ≤g (x )≤b 求解x 的取值集合即可，是基础题．规律总结函数的概念及其表示是研究函数的基础，因而也是高考重点考查对象．考查时，一般较少直接考查，主要在考查其他知识的同时间接考查；若直接考查，函数的定义域问题则是其热点问题，应重点突破．偶尔也会涉及到函数的概念，甚至映射的概念．因此我们在二轮复习中对本考点内容复习的策略是：重点突破函数的定义域问题，兼顾函数概念乃至映射概念，不要留下知识的盲点，造成不必要的丢分．变式训练【1－1】 已知函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数y ＝f (x ＋3)＋f (x 2)的定义域为( )A ．[－2，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，2]解析：∵函数f (x )的定义域为[0，4]，要求函数y ＝f (x ＋3)＋f (x 2)的定义域，∴x ＋3∈[0，4]且x 2∈[0，4]，∴－3≤x ≤1且－2≤x ≤2，∴抽象函数的定义域是[－2，1]．答案：A【1－2】 若函数f (x )＝lg(x ＋2x －m )在区间[1，2]上有意义，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，6)C ．[1，2]D ．(－∞，3]解析：令对数的真数t ＝x ＋2x －m ，则它的导数为t ′＝1＋2x ln 2，再由x ∈[1，2]，可得t ′>0，故函数t ＝x ＋2x －m 在区间[1，2]上为增函数，故函数f (x )＝lg(x ＋2x －m )在区间[1，2]上是增函数．再由函数f (x )＝lg(x ＋2x －m )在区间[1，2]上有意义，可得当x ＝1时，t >0，即1＋2－m >0，解得m <3.答案：A考点二 函数的图象及其应用考点精析1．作图：常用描点法或变换作图法．2．识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面，找准解析式与图象的对应关系．3．用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数的性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例 2－1(2014·长郡二模)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin 2x ＋1；③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4； ④f (x )＝sin x ＋3cos x .其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点：函数的图象与图象变化．分析：由于f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再根据函数图象的平移变换规律，可得它与f (x )＝2sin x ＋π4的图象间的关系．而其余的两个函数的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标(或纵坐标)的伸缩变换，故不是“同簇函数”．解析：由于①f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 与②f (x )＝2sin 2x ＋1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 与④f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f (x )＝2sin 2x ＋1与③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 故把③f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向左平移π12， 可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象， 故③和④是“同簇函数”．答案：D点评：本题主要考查新定义，函数图象的平移变换规律，属于基础题．例 2－2(2014·武汉调研)如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的大致图象是( )考点：函数图象的识别与应用问题．分析：认真阅读、理解题目意思，找出面积S 与时间t 的变化关系．解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.答案：C点评：本题考查阅读理解能力和函数图象的识别，根据题意，明确S 与t 的变化关系，找出其对应的图象，属中档题．规律总结函数的图象是函数的一个重要组成部分，是数形结合的桥梁．因而本考点内容是高考重点考查对象，考查的热点问题是“用图”．这类问题一般处在高考试卷的选择、填空题的压轴位置．因此需要我们在二轮复习中重点关注和重点突破．变式训练【2－1】 (2015·山西四校联考)函数y ＝2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1的图象大致为( )解析：y ＝2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x 22x －1＝cos 6x 2x －2－x，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D.答案：D【2－2】 (2014·太原一模)已知方程|sin x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是( )A ．sin α＝αcos βB ．sin α＝－αcos βC ．cos α＝βsin βD ．sin β＝－βsin α解析：∵|sin x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个根，∴函数y ＝|sin x |和函数y ＝kx 在(0，＋∞)上有两个交点，由题可知x >0且k >0，画出两个函数的图象，如图所示．函数y ＝|sin x |和函数y ＝kx 在(0，π)上有一个交点A (α，sin α)，在(π，2π)上有一个切点B (β，sin β)时满足题意，α，β是方程的根．当x ∈(π，2π)时，f (x )＝|sin x |＝－sin x ，f ′(x )＝－cos x ，∴在B 处的切线为y －sin β＝f ′(β)(x －β)，将x ＝0，y ＝0代入方程，得sin β＝－βcos β，∴sin ββ＝－cos β. ∵O ，A ，B 三点共线，∴－sin αα＝－sin ββ， ∴sin αα＝－cos β，∴sin α＝－αcos β. 答案：B考点三 分段函数考点精析对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同．在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，且分别注明各部分的自变量的取值情况．例 3－1(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54C ．－34D ．－14考点：分段函数的正向求值与逆向求值问题．分析：分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，再代入函数解析式计算f (6－a )．解析：当a ≤1时，则2a －1－2＝－3，2a －1＝－1，a 无解．当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＋1＝8，a ＝7.从而f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，故选A.答案：A点评：分段函数的求值问题应根据自变量的值所属区间选定相应的解析式代入求解，即对号入座．例 3－2设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．考点：函数的周期性，分段函数的解析式求法及其图象的作法． 分析：由于f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，由f (x )的表达式可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43；再由f (－1)＝f (1)得2a ＋b ＝0，解关于a ，b 的方程组可得到a ，b 的值，从而得到答案．解析：∵f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴1－12a ＝b ＋43.① 又f (－1)＝f (1)，f (1)＝b ＋22，f (－1)＝1－a ，∴b ＋22＝1－a ，即2a ＋b ＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.∴a ＋3b ＝－10.答案：－10点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到关于a ，b 的方程组并求得a ，b 的值是关键，属于中档题．规律总结新《课程标准》和《考试大纲》对分段函数提出了明确的具体要求(原来的《考试大纲》未明确提出要求)：了解简单的分段函数，并能简单的应用．因此分段函数问题是近几年高考命题的热点之一．变式训练【3－1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x －5，x >6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋4，x ≤6，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且数列{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是__________．解析：由题意知：数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧a n －5，n >6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2n ＋4，1≤n ≤6，由于数列是递增数列，∴4－a 2>0，即a <8.又∵a 7>a 6，∴a 2>28－3a ，解得a >4或a <－7.故a 的取值范围是4<a <8或a <－7.答案：(4，8)或(－∞，－7)【3－2】 (2014·南充一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数g (x )＝a cos πx 2－2a ＋12(a <0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是__________________．解析：∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f (x )＝2x 3x ＋1， ∴f ′(x )＝6x 2（x ＋1）－2x 3（x ＋1）2＝4x 3＋6x 2（x ＋1）2， 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f ′(x )>0， 函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数， ∴f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，函数f (x )为减函数， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，16. ∴在[0，1]上f (x )∈[0，1]．又g (x )＝a cos πx 2－2a ＋12，当x ∈[0，1]时，cos πx 2∈[0，1]，∴g (x )∈－2a ＋12，－a ＋12.若存在x 1、x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，说明函数g (x )的最大值与最小值中至少有一个在[0，1]中，∴0≤－2a ＋12≤1或0≤－a ＋12≤1，解得－14≤a ≤14，或－12≤a ≤12，又a <0，∴实数a 的取值范围是a |－12≤a <0.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |－12≤a <0 考点四 函数性质的综合运用考点精析1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．2．函数奇偶性的应用应用函数的奇偶性可先求参数的值，画关于原点对称区间上函数的图象，再求解析式、函数值、判断单调性．3．函数周期性若T 为f (x )的一个周期，则f (x ＋nT )＝f (x )(n ∈Z )．4．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或二元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．注意：(1)对于同增(减)的不连续的单调区间不能写成并集，只能分开写．(2)对于解析式较复杂的函数，可通过换元法转化为熟悉的函数，再求最值(值域)．例 4－1(2014·湖北卷)如图所示，函数y ＝f (x )的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)，则正实数a 的取值范围是________．考点：考查函数图象的读图及函数求值问题，考查恒成立问题等知识．分析：通过分析题意，把问题转化为x 轴上区间的长度问题，寻找满足条件的临界值．解析：(方法1)由题中图象知f (x )为奇函数，当x ≤－2a 或x ≥2a 时，f (x )为增函数，要使∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)成立，因为f (4a )＝f (－2a )＝a ，故只需4a －(－2a )<1，即a <16.又a 为正实数，故a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，16. (方法2)“∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝f (x －1)的图象的上方”，函数y ＝f (x －1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16 点评：熟练掌握函数图象的作图、识图、用图，灵活运用数形结合、等价转化的思想方法及正确理解题意是解题的关键．规律总结函数性质的综合是高考重点考查对象，主要考查函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及给出新定义性质等．其中函数单调性往往结合导数在一起以解答题形式来考查．变式训练【4－1】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：易判断f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2. ∵f ′(x )＝11＋x ＋2x （1＋x 2）2>0，∴f (x )在(0，＋∞)是增函数，∴不等式可化为f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，即3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.答案：A(见学生用书P 11)例 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝x －2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32 考场错解：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期．设x ∈[－1，0]，则x ＋4∈[3，4]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，∴f (x )在[－1，0]上是增函数．又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋2，即f (x )在[0，1]上也是增函数．又∵sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12. 故选A 项．专家把脉：上面解答错在由f (x )＝f (－x )得f (x )＝x ＋2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图象不熟悉．对症下药：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1，0]，则x ＋4∈[3，4]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2.∴f (x )在[－1，0]上是增函数．又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[0，1]上是减函数．A ：sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12； B ：sin π3>cos π3⇒f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3； C ：sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)；D ：sin 32>cos 32⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32. 故正确答案为C.(见学生用书P 151)一、选择题1．(2013·广东卷)函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0， 解得x >－1且x ≠1.∴函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是(－1，1)∪(1，＋∞)． 答案：C2．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：由已知可知x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D.答案：D3．(2014·雅礼二模)已知f (x )＝a （x －1）（x －3）(a <0)，定义域为D ，任意m ，n ∈D ，点P (m ，f (n ))组成的图形为正方形，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：要使函数有意义，则a (x －1)(x －3)≥0.∵a <0，∴(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3，∴定义域D ＝[1，3]．∵任意m ，n ∈D ，点P (m ，f (n ))组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2.∵f (1)＝f (3)＝0，∴函数的最大值为2，即a (x －1)(x －3)的最大值为4.设g (x )＝a (x －1)(x －3)＝ax 2－4ax ＋3a ，∴当x ＝2时，g (x )有最大值g (2)＝－a ＝4，即a ＝－4.答案：D4．(2015·河北唐山上学期期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， ∴ ⎩⎨⎧a <12，a ≥－1，∴ －1≤a <12.故选C.答案：C5．(2014·福建卷)现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，则按照图象顺序对函数序号排序正确的一组是( )A ．①④③②B ．④①②③C ．①④②③D ．③④②①解析：分析函数的解析式，可得：①y ＝x ·sin x 为偶函数；②y ＝x ·cos x 为奇函数；③y ＝x ·|cos x |为奇函数；④y ＝x ·2x 为非奇非偶函数．且当x <0时，③y ＝x ·|cos x |≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③.答案：C6．(2015·湖北武汉模拟)若不等式x 2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[－2，2]C ．(－∞，－2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞ 解析：不等式x 2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立等价于|x |2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |. 令t ＝|x |，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，g (t )＝t ＋1t . ∵g (t )在⎝⎛⎦⎥⎤0，12单调递减． ∴g (t )≥12＋2＝52，故－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－52， 所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞. 答案：D7．(2014·兰州、张掖联考)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A ．－1<k ≤－12B ．k <1C.12≤k <1D ．k >－1 解析：函数f (x )的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，显然在定义域上函数f (x )单调递增．依题可知在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.答案：A8．(2014·岳阳二模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)解析：∵y ＝f (x ＋a )是偶函数，∴f (－x ＋a )＝f (x ＋a )，∴f (x )关于x ＝a 对称．∵偶函数在(－∞，a )上是增函数，∴在(a ，＋∞)上是减函数．∵x 1<a ，x 2>a ，|x 1－a |<|x 2－a |，∴去掉绝对值得a －x 1<x 2－a ，即2a －x 1<x 2，且2a －x 1>a ，x 2>a .由(a ，＋∞)上是减函数知f (2a －x 1)>f (x 2)．∵f (x )关于x ＝a 对称，∴f (2a －x 1)＝f (x 1)，∴f (x 1)>f (x 2)．答案：A二、填空题9．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1. 令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以f (x )max ＋f (x )min ＝2.故M ＋m ＝2.答案：210．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的整数解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于______．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，其图象如图所示．由图易得函数的值域为(0，＋∞)．令t ＝f (x )，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0，可化为t 2＋bt ＋c ＝0.若此方程无正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0无根；若此方程有一个非1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有两根；若此方程有一个等于1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有三根；此时t ＝f (x )＝1，x 1＝0，x 2＝1，x 3＝2，∴x 21＋x 22＋x 23＝5；若此方程有两个非1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有四根；若此方程有一个非1，一个等于1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有五根．综上x 21＋x 22＋x 23＝5.答案：511．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝__________．解析：由于f (1)＝e 1－1＝1，再根据f (1)＋f (a )＝2⇒f (a )＝1.当a >0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1⇒a 2＝12⇒a ＝±22，由于－1<a <0，得出a ＝－22.故a ＝1或－22.答案：1或－2212．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，∴当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0等价为f （x 1）－f （－x 2）x 1－（－x 2）>0， ∴函数f (x )在[－1，1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )的最小值为f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1，1]恒成立， 即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1，1]恒成立，∴m 2－2am －3≤0.设g (a )＝m 2－2am －3，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝m 2＋2m －3≤0，g （1）＝m 2－2m －3≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3， ∴－1≤m ≤1.即实数m 的取值范围是[－1，1]． 答案：[－1，1]——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。