中考第一轮复习专题三函数及其图像(精).doc

专题3.2 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（基础篇）（真题专练）一、单选题1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A （﹣1，1）B （﹣1，﹣2），C （3，﹣2），D （3，1），一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．A ．（3，1）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（3，﹣2）2．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数()0ky k x=≠图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y kx k =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．y ＝﹣2x B ．y ＝﹣2x +3C ．y 2x=（x ＜0） D ．y ＝﹣x 2+4x +3（x ＜2）4．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）在平面直角坐标系中，点()3,0A ，()0,4B ．以AB 为一边在第一象限作正方形ABCD ，则对角线BD 所在直线的解析式为（ ） A ．147y x =-+B ．144y x =-+C ．142y x =-+D ．4y =5．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直线y x b =+和4y kx =+与x 轴分别相交于点(4,0)A -，点(2,0)B ，则040x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为（ ）A ．42x -<<B ．4x <-C ．2x >D ．4x <-或2x >6．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数ky x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小，那么一次的数y kx k =-+的图像经过第（ ） A ．一，二，三象限 B ．一，二，四象限 C ．一，三，四象限D ．二，三，四象限7．（2021·福建·中考真题）如图，一次函数()0y kx b k =+>的图象过点()1,0-，则不等式()10k x b -+>的解集是（ ）A ．2x >-B ．1x >-C ．0x >D ．1x >8．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，O 是坐标原点，点B 在x 轴上，在OAB 中，AO ＝AB ＝5，OB ＝6，点A 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）图象上，则k 的值（ ）A ．﹣12B ．﹣15C ．﹣20D ．﹣309．（2021·湖南湘西·中考真题）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为21y x 的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象与x 轴没有交点B ．当0x >时0y >C ．图象与y 轴的交点是1(0,)2- D ．y 随x 的增大而减小10．（2021·四川达州·中考真题）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<11．（2021·浙江杭州·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+二、填空题12．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(–2)1-，，若//AB y轴，且9AB =，则点B 的坐标是________．13．（2021·广西河池·中考真题）从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P 的坐标，则点P 在第四象限的概率是__________．14．（2021·辽宁丹东·中考真题）在函数y =中，自变量x 的取值范围_________． 15．（2021·湖北黄石·中考真题）将直线1y x =-+向左平移m （0m >）个单位后，经过点(1，−3)，则m 的值为______．16．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图象交于A ，B 两点，若A 点坐标为-，则12k k +=__________．17．（2021·四川眉山·中考真题）一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围是______．18．（2021·江苏苏州·中考真题）若21x y +=，且01y <<，则x 的取值范围为______． 19．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间()h t 与行驶的平均速度()km/h v 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h 内到达，则速度至少需要提高到__________km/h ．20．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点,A D 分别在函数36,y y x x-==的图像上，点,B C 在x 轴上．若四边形ABCD 为正方形，点D 在第一象限，则D 的坐标是_____________．21．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象经过点()1,2A 和点()1,B m -，则m 的值为______________．22．（2021·湖南邵阳·中考真题）已知点()11,A y ，()22,B y 为反比例函数3y x=图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“>”“=”或“<”）23．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数2y x =与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12y y +的值是____________．24．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC 和△A ′B ′C ′是两个边长不相等的等边三角形，点B ′、C ′、B 、C 都在直线l 上，△ABC 固定不动，将△A ′B ′C ′在直线l 上自左向右平移．开始时，点C ′与点B 重合，当点B ′移动到与点C 重合时停止．设△A ′B ′C ′移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，y 与x 之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC 的边长是___．三、解答题25．（2021·甘肃兰州·中考真题）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，1l ，2l 分别表示小军与观光车所行的路程()m y 与时间()min x 之间的关系． 根据图象解决下列问题：（1）观光车出发______分钟追上小军； （2）求2l 所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．26．（2021·河南·中考真题）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A ，B 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：（1）第一次小李用1100元购进了A ，B 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率100%=⨯利润成本）27．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=相交于()()2,3,,2A B m --两点． （1）求12,y y 对应的函数表达式；（2）过点B 作//BP x 轴交y 轴于点P ，求ABP △的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式21k k x b x+<的解集．参考答案1．A【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．解： A （﹣1，1）B （﹣1，﹣2），C （3，﹣2），D （3，1）∴ 四边形ABCD 是矩形()1--2=1+2=3AB ∴=()=3--1=4BC343414AB BC CD AD ∴+++=+++=∴瓢虫转一周，需要的时间是14=72秒 2021=2887+5⨯ ，∴ 按A →B →C →D →A 顺序循环爬行，第2021秒相当于从A 点出发爬了5秒，路程是：52=10⨯个单位，10=3+4+3，所以在D 点()3,1 ．故答案为：A【点拨】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD 一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 2．D【分析】根据题意可得0k >，进而根据一次函数图像的性质可得y kx k =-的图象的大致情况．解：反比例函数()0ky k x=≠图象的两个分支分别位于第一、三象限， 0k ∴>△一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限． 观察选项只有D 选项符合． 故选D【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得0k >是解题的关键． 3．D【分析】一次函数当a ＞0时，函数值y 总是随自变量x 增大而增大，反比例函数当k ＞0时，在每一个象限内，y 随自变量x 增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．解：A ．一次函数y =-2x 中的a =-2＜0，y 随x 的增大而减小，故不符合题意． B ．一次函数y =-2x +3中的a =-2＜0，y 随自变量x 增大而减小，故不符合题意．C ．反比例函数y =2x （x ＜0）中的k =2＞0，在第三象限，y 随x 的增大而减小，故不符合题意．D ．二次函数y =-x 2+4x +3（x ＜2），对称轴x =2ba-=2，开口向下，当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，故符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键． 4．A【分析】过点D 作DE x ⊥轴于点E ，先证明()ABO DAE AAS ≅，再由全等三角形对应边相等的性质解得(7,3)D ，最后由待定系数法求解即可． 解：正方形ABCD 中，过点D 作DE x ⊥轴于点E ， 90ABO BAO BAO DAE ∠+∠=∠+∠=︒ABO DAE ∴∠=∠90,BOA AED AB AD ∠=∠=︒= ()ABO DAE AAS ∴≅ 3,4AO DE OB AE ∴==== (7,3)D ∴设直线BD 所在的直线解析式为(0)y kx b k =+≠， 代入()0,4B ，(7,3)D 得473b k b =⎧⎨+=⎩ 174k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 147y x ∴=-+，故选：A ．【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．A【分析】根据图像以及两交点(4,0)A -，点(2,0)B 的坐标得出即可． 解：△直线y x b =+和4y kx =+与x 轴分别相交于点(4,0)A -，点(2,0)B ，△观察图像可知040x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为42x -<<，故选：A ．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键． 6．B【分析】根据反比例函数的增减性得到0k >，再利用一次函数的图象与性质即可求解． 解：△反比例函数ky x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小， △0k >，△y kx k =-+的图像经过第一，二，四象限， 故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 7．C【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数()()10y k x b k =-+>的图像，再由图像即可以判断出 ()10k x b -+>的解集．解：如图所示，将直线()0y kx b k =+>向右平移1个单位得到 ()()10y k x b k =-+>，该图像经过原点，由图像可知，在y 轴右侧，直线位于x 轴上方，即y >0， 因此，当x >0时，()10k x b -+>， 故选：C ．【点拨】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 8．A【分析】过A 点作AC △OB ，利用等腰三角形的性质求出点A 的坐标即可解决问题． 解：过A 点作AC △OB ，△AO ＝AB ，AC △OB ，OB ＝6， △OC ＝BC ＝3，在Rt △AOC 中，OA ＝5，△AC 4==，△A （﹣3，4），把A （﹣3，4）代入y ＝k x，可得k ＝﹣12 故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．A【分析】根据函数图象可直接进行排除选项．解：由图象可得：10x -≠，即1x ≠，A 、图象与x 轴没有交点，正确，故符合题意；B 、当01x <<时，0y <，错误，故不符合题意；C 、图象与y 轴的交点是()0,2-，错误，故不符合题意；D 、当1x <时，y 随x 的增大而减小，且y 的值永远小于0，当1x >时，y 随x 的增大而减小，且y 的值永远大于0，错误，故不符合题意；故选A ．【点拨】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．10．C【分析】根据k >0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．解：△210k +>，△反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， △B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是双曲线k y x=上的两点，且320x x >>， △点B 、C 在第一象限，0＜y 3＜y 2，△A （x 1，y 1）在第三象限，△y 1＜0，△132y y y <<．故选：C ．【点拨】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．11．A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．解：当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，对于A 选项则有210m m +-=，由一元二次方程根的判别式可得：241450b ac -=+=>，所以存在实数m ，故符合题意；对于B 选项则有210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；对于C 选项则有110m m---=，化简得：210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；对于D 选项则有110m m--+=，化简得：210m m -+=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；故选A ．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．12．(2,8)-或(2,10)--【分析】由题意，设点B 的坐标为(-2，y )，则由AB =9可得(1)9y --=，解方程即可求得y 的值，从而可得点B 的坐标．解：△//AB y 轴△设点B 的坐标为(-2，y )△AB =9 △(1)9y --=解得：y =8或y =－10△点B 的坐标为(2,8)-或(2,10)--故答案为：(2,8)-或(2,10)--【点拨】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．13．13【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P 在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算，即可求解．解：画出树状图为：共有6种等可能的结果，它们是：（-2，4），（-2，5），（4，-2），（4，5），（5，4），（5，-2）， 其中点P 在第四象限的结果数为2，即（4，-2），（5，-2），所以点P 在第四象限的概率为：2163= ． 故答案为：13 ． 【点拨】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率是解题的关键．14．3x ≥【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：根据题意得：3020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥ △自变量x 的取值范围是3x ≥．故答案为：3x ≥．【点拨】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．3【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为()1y x m =-++，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即可．解：将一次函数y =-x +1的图象沿x 轴向左平移m （m ≥0）个单位后得到()1y x m =-++， 把(1，−3)代入，得到：()311m -=-++，解得m =3．故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．16．8-【分析】将A 点坐标为-分别代入正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x =的解析式中即可求解．解：1y k x =和2k y x=过点A -12k ==-2(6k -=-12(2)(6)8k k +=-+-=-故答案为8-．【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，有理数的加法运算，正确的实用待定系数法求解析式是解题的关键．17．32a <- 【分析】由题意，先根据一次函数的性质得出关于a 的不等式230a +<，再解不等式即可．解：一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，230a ∴+<， 解得：32a <-， 故答案是：32a <-． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．18．102x << 【分析】根据21x y +=可得y ＝﹣2x+1，k ＝﹣2＜0进而得出，当y ＝0时，x 取得最大值，当y ＝1时，x 取得最小值，将y ＝0和y ＝1代入解析式，可得答案．解：根据21x y +=可得y ＝﹣2x+1，△k ＝﹣2＜0△01y <<，△当y ＝0时，x 取得最大值，且最大值为12， 当y ＝1时，x 取得最小值，且最小值为0， △102x << 故答案为：102x <<． 【点拨】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 19．240 【分析】由设,k t v=再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把 2.5t =h 代入函数解析式求解v 的值，结合图象上点的坐标含义可得答案. 解：由题意设,k t v= 把()200,3代入得：2003600,k tv ==⨯=600,t v∴= 当 2.5t =h 时，6002402.5v ==km/h ， 所以列车要在2.5h 内到达，则速度至少需要提高到240km/h ，故答案为：240km/h .【点拨】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.20．（2，3）【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D 点坐标为（m ，6m），则A 点坐标为（2m - ，6m ），进而列出方程求解． 解：△四边形ABCD 为正方形，△设D 点坐标为（m ，6m ），则A 点坐标为（2m - ，6m ）， △m -（2m -）=6m ，解得：m =±2（负值舍去）， 经检验，m =2是方程的解，△D 点坐标为（2，3），故答案是：（2，3）．【点拨】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．21．2-【分析】由题意易得2k =，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．解：把点()1,2A 代入反比例函数()0k y k x=≠得：2k =， △12m -⨯=，解得：2m =-，故答案为-2．【点拨】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．22．>【分析】根据反比例函数的性质，当反比例系数k ＞0，在每一象限内y 随x 的增大而减小可得答案． 解：△ 反比例函数的解析式为3y x =，k ＞0，△ 在每个象限内y 随x 的增大而减小，△ 1＜2，△1y ＞2y ．故答案为：>．【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 23．0【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得12y y +解：一次函数2y x =与反比例函数()0k y k x =≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 一次函数2y x =与反比例函数()0k y k x=≠的图象关于原点对称， ∴12y y +0= 故答案为：0【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键． 24．5【分析】在点B '到达B 之前，重叠部分的面积在增大，当点B '到达B 点以后，且点C '到达C 以前，重叠部分的面积不变，之后在B '到达C 之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B 'C '的长度为a ，BC 的长度为a ＋3，再根据△ABC 的面积即可列出关于a 的方程，求出a 即可．解：当点B '移动到点B 时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B 'C '＝a ，A B C S '''∆=过点A '作A 'H △B 'C '，则A 'H 为△A 'B 'C '的高，△△A 'B 'C '是等边三角形，△△A 'B 'H ＝60°，△sin60°＝A H A B '''=△A 'H ，△12A B C S a '''∆=⋅2= 解得a ＝﹣2（舍）或a ＝2，当点C '移动到点C 时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC ＝a ＋3＝2＋3＝5，△△ABC 的边长是5，故答案为5．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B '到达B 之前是一个阶段，然后点C '到达C 是一个阶段，最后B '到达C 又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可． 25．（1）6；（2）300-4500y x =；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【分析】（1）由图像可知，1l ，2l 的交点，即为两者到达同一位置，所以在21分钟时观光车追上小军，而观光车是在15分钟时出发的，所以观光车出发6分钟后追上小军；（2）设2l 所在直线对应的函数表达式为y kx b =+，将经过两点（15,0）和（21,1800）带入表达式y kx b =+，得300-4500y x =；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m 的路程，小军到达观景点的时间为33min ，通过2l 所在直线对应的函数表达式300-4500y x =，可知，观光车到达观景点的时间为25min x =，因此观光车比小军早33min 25min 8min -=到达观景点．解：（1）由图像可知，在21min 时，1l ，2l 相交于一点，表示在21min 时，小军和观光车到达了同一高度，此时观光车追上了小军, 观光车是在15min 时出发,△21min-15min=6min ,△观光车出发6分钟后追上小军；（2）设2l 所在直线对应的函数表达式为y kx b =+，由图像可知，直线2l 分别经过（15,0）和（21,1800）两点，将两点带入2l 函数表达式y kx b =+得：150211800k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：3004500k b =⎧⎨=-⎩△2l 函数表达式为300-4500y x =；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m 的路程，小军到达观景点的时间为33min ，△观光车2l 函数表达式为300-4500y x =，△将=3000y 带入300-4500y x =，可知观光车到达观景点所需时间为=25min x ， △33min-25min=8min ，△观光车比小军早8分钟到达观景点．答：（1）观光车出发6分钟追上小军；（2）2l 所在直线对应的函数表达式为300-4500y x =；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【点拨】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．26．（1）A 款20个，B 款10个；（2）A 款10个，B 款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可；（3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算．解：（1）设A ，B 两款玩偶分别为,x y 个，根据题意得：30{4030=1100x y x y +=+ 解得：2010x y =⎧⎨=⎩ 答：两款玩偶，A 款购进20个，B 款购进10个．（2）设购进A 款玩偶a 个，则购进B 款(30)a -个,设利润为y 元则(5640)(4530)(30)y a a =-+--=1615(30)a a +-=450+a （元） A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半1(30)2a a ∴≤- 10a ∴≤，又0,a ≥010,a ∴≤≤ 且a 为整数，10-<∴当10a =时，y 有最大值max 460.y ∴=（元）∴A 款10个，B 款20个，最大利润是460元．（3）第一次利润20(5640)10(4530)=470⨯-+⨯-（元）∴第一次利润率为：470100%=42.7%1100⨯ 第二次利润率为：460100%=46%1040+2030⨯⨯⨯ 42.7%46%<∴第二次的利润率大，即第二次更划算．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键．27．（1）11y x =-+，26y x =-；（2）152ABP S =；（3）20x -<<或3x > 【分析】（1）由题意先求出2y ，然后得到点B 的坐标，进而问题可求解；（2）由（1）可得ABP △以PB 为底，点A 到PB 的距离为高，即为点A 、B 之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；（3）根据函数图象可直接进行求解．解：（1）把点()2,3A -代入反比例函数解析式得：6k =-， △26y x=-， △点B 在反比例函数图象上，△26m -=-，解得：3m =，△()3,2B -，把点A 、B 作代入直线解析式得：112332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=⎩， △11y x =-+；（2）由（1）可得：()2,3A -，()3,2B -，△//BP x 轴，△3BP =，△点A 到PB 的距离为()325--=， △1153522ABP S =⨯⨯=； （3）由（1）及图象可得：当21k k x b x +<时，x 的取值范围为20x -<<或3x >． 【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．。

专题3.10 “设参求值”解决函数动点问题（真题专练）中考中“设参求值”是解题中常用的方法，其解题步骤为：设参数-表示点的坐标-表示线段长-建立等量关系-建立方程-解方程消参。

在函数中常常用此方法解决动点问题，设参数可以一个或两个，据题特征而定。

一、单选题1．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在OAB 中，45BOA ∠=︒，点C 为边AB 上一点，且2BC AC =．如果函数()90y x x=>的图象经过点B 和点C ，那么用下列坐标表示的点，在直线BC 上的是（ ）A ．（-2019，674）B ．（-2020，675）C ．（2021，-669）D ．（2022，-670）2．（2017·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝相交于点A 、B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB的面积为 A ．2＋3或2－3B ．＋1或－1C ．2－3D ．－13．（2019·四川眉山·中考真题）如图，一束光线从点()4,4A 出发，经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,，则点C 的坐标是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,24．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（ ）A ．12y x =B ．y x =C ．32y x =D ．2y x =5．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上，若点B 的横坐标为72-，则点A 的坐标为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎝C ．12,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎭6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边BC 与x 轴平行，A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点，若菱形ABCD 面积为8，则k 值为（ ）A ．-B ．-C ．8-D ．-7．（2021·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AD y ⊥轴，垂足为E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴正半轴上，反比例函数(0ky k x=≠,0)x >的图象同时经过顶点C D 、．若点C 的横坐标为5，2BE DE =，则k 的值为（ ）A ．403 B ．52C ．54D ．2038．（2019·广西玉林·中考真题）已知抛物线21:(1)12C y x =--，顶点为D ，将C 沿水平方向向右（或向左）平移m 个单位，得到抛物线1C ，顶点为1D ，C 与1C 相交于点Q ，若160DQD ︒∠=，则m 等于（ ）A ．±B ．±C ．﹣2或D ．﹣4或9．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A B C D 10．（2017·湖北荆门·中考真题）已知：如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为6，点在边上，点在边上，且.反比例函数的图象恰好经过点和点.则的值为 （ ）A．B．C．D．11．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE BC⊥于E点，交BD于M点，反比例函数0)y x=>的图象经过线段DC的中点N，若4BD=，则ME的长为（）A．53ME=B．43=MEC．1ME=D．23 ME=12．（2017·广西·中考真题）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD△x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF△x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题13．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，点P在反比例函数3yx=的图像上且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数kyx=()0k<的图像相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为______．14．（2019·四川乐山·中考真题）如图，点P是双曲线C：4yx=（0x>）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：122y x=-于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是______.15．（2014·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为_____．16．（2018·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和B 1，B 2，B 3，…分别在直线y=15x+b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形．如果点A 1（1，1），那么点A 2018的纵坐标是_____．17．（2018·黑龙江大庆·中考真题）已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的△O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．18．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,39P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为___________．19．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数2yx 的图象交于A 、B 两点，且3CBAC ，P 为CB 的中点，设点P 的坐标为(,)(0)P x y x >，写出y 关于x 的函数表达式为：________．20．（2011·广西钦州·中考真题）如图，一次函数y=－2x 的图象与二次函数y=－x 2+3x 图象的对称轴交于点B ．（1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y=－x 2+3x 图象在y 轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点． 若以CD 为直角边的PCD 与OCD 相似，则点P 的坐标为 ．21．（2015·浙江湖州·中考真题）如图，已知抛物线C 1：y=a 1x 2+b 1x+c 1和C 2：y=a 2x 2+b 2x+c 2都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一个交点分别为M 、N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是___________22．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数2y x =与反比例数()0ky k x=>的图像交于A ，B 两点，点M 在以()2,0C 为圆心，半径为1的C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是_______．三、解答题23．（2019·四川乐山·中考真题）如图，已知过点(1,0)B 的直线1l 与直线2l ：24y x =+相交于点(1,)P a -.（1）求直线1l 的解析式； （2）求四边形PAOC 的面积.24．（2014·江苏苏州·中考真题）如图，已知函数12y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a>2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数12y x b =-+和y ＝x 的图象于点C ，D（1）求点A 的坐标； （2）若OB ＝CD ，求a 的值．25．（2015·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34y x =与一次函数7y x =-+的图像交于点A ， （1）求点A 的坐标；（2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC=75OA ，求△OBC 的面积.26．（2017·浙江台州·中考真题）如图，直线：与直线：相交于点.（1）求的值；（2）垂直于轴的直线与直线，分别交于点，若线段长为2，求的值.27．（2017·江苏无锡·中考真题）（2017江苏省无锡市）操作：“如图1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点P 作PC △x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q ．”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．（1）点P （a ，b ）经过T 变换后得到的点Q 的坐标为 ；若点M 经过T 变换后得到点N （6，，则点M 的坐标为 ．（2）A 是函数y =图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B ． △求经过点O ，点B 的直线的函数表达式；△如图2，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．28．（2017·湖北荆州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 长为半径作△Q ．（1）求证：直线AB 是△Q 的切线；（2）过点A 左侧x 轴上的任意一点C （m ，0），作直线AB 的垂线CM ，垂足为M ．若CM 与△Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与△Q 同时相切？若存在，请直接写出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2019·山东东营·中考真题）已知抛物线24y ax bx+＝﹣经过点()()20,40A B ，-，，与y 轴交于点C．（）求这条抛物线的解析式；1（）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 2的坐标；（）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为,D M为抛物线的顶点，在直线DE 3上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B 、C 点的坐标，再写出BC 解析式，再判断点在BC 上．解：作BD OA ⊥，CE OA ⊥，45BOA ∠=︒，BD OD ∴=，设(,)B a a ，∴9a a=， 3a ∴=或3a =-（舍去）， 3BD OD ∴==，(3,3)B ， 2BC AC =．3ABAC ，BD OA ⊥，CE OA ⊥，//BD CE ∴，.ABD ACE ∴∆∆∽3BD ABCE AC==， ∴33CE=， 1CE ∴=，图象经过点C ，∴91x=， 9x ∴=，设BC 的解析式为y kx b =+，3319k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴143y x =-+，当2019x =-时，677y =， 当2020x =-时，16773y =， 当2021x =时，26693y =-， 当2022x =时，670y =-， 故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出BC 的解析式是解题的关键． 2．A 【解析】如图，分线段AB 在双曲线和直线y=x 交点的左右两侧两种情况，设点C 的坐标为（m ，0），则点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（m ， ），因AC+BC=4，所以m+=4，解得m=2± ，当m=2-时，即线段AB 在双曲线和直线y=x 交点的左侧，求得AC=2-,BC=2+,所以AB=(2+)-(2-)=2,即可求得△OAB 的面积为；当m=2+时，即线段AB 在双曲线和直线y=x 交点的右侧，求得AC=2+,BC=2-,所以AB=(2+)-(2-)=2,即可求得△OAB的面积为，故选A.3．B 【解析】【分析】延长AC 交x 轴于点D ，利用反射定律，可得1OCB ∠=∠，利用ASA 可证()COD COB ASA ∆≅∆，已知点B 坐标，从而得点D 坐标，利用A ，D 两点坐标，求出直线AD 的解析式，即可求得点C 坐标．如图所示，延长AC 交x 轴于点D ．设()0,C c△这束光线从点()4,4A 出发，经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,， △由反射定律可知，1OCB ∠=∠， △△1=△OCD ， △OCB OCD ∠=∠， △CO DB ⊥于O ， △COD COB ∠=∠=90°，在COD ∆和COB ∆中OCD OCBOC OC COD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△()COD COB ASA ∆≅∆， △1OD OB ==， △()1,0D -，设直线AD 的解析式为y kx b =+，△将点()4,4A ，点()1,0D -代入得：440k bk b =+⎧⎨=-+⎩，解得：4545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线AD 的解析式为：4455y x =+， △点C 坐标为40,5⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ．【点拨】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大． 4．D 【解析】【分析】根据已知解析式求出点A 、B 的坐标，根据过原点O 且将AOB 的面积平分列式计算即可； 如图所示，当0y =时，240x -+=， 解得：2x =， △()2,0A ，当0x =时，4y =， △()0,4B ， △C 在直线AB 上， 设(),24C m m -+，△12OBC C S OB x =⨯⨯△，12OCA C S OA y =⨯⨯△，△2l 且将AOB 的面积平分， △OBC OCA S S =△△， △y C C OB x OA ⨯=⨯， △()4224m m =⨯-+， 解得1m =， △()1,2C ，设直线2l 的解析式为y kx =， 则2k =， △2y x =； 故答案选D ．【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键． 5．A 【解析】【分析】构造K 字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A 点坐标与C 点坐标关系，而P 是矩形对角线交点，故P 是AC 、BO 的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 解：过C 点作CE △x 轴，过A 点作AF △x 轴，△点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上， △2OCE S =△，12OAF S =△， △CE △x 轴，△90CEO ∠=︒，90OCE COE ∠+∠=︒， △在矩形OABC 中，90AOC ∠=︒， △90AOF COE ∠+∠=︒， △OCE AOF ∠=∠， △OCE AOF △△，△2CE OEOF AF ==， △2CE OF =，2OE AF =，设点A 坐标为1(,)x x，则点B 坐标为2(,2,)x x -，连接AC 、BO 交于点P ，则P 为AC 、BO 的中点， △27()2x x +-=-，解得：112x =，24x =-（不合题意，舍去）， △点A 坐标为1(,2)2，故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k 的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A 与点C 的坐标关系． 6．A 【解析】【分析】过点A 作AE BC ⊥，设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据菱形的面积得到AB 的长度，在Rt ABE △中应用勾股定理即可求解．解：过点A 作AE BC ⊥，△A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点， △设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，△2AE =，244kk k BE =-+=-， △菱形ABCD 面积为8， △8BC AE ⋅=，解得4BC =， △4AB BC ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE =+，即22242BE =+，解得BE = △k =- 故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键． 7．A 【解析】【分析】由题意易得5,AB BC CD AD AD//BC ====，则设DE =x ，BE =2x ，然后可由勾股定理得()225425x x -+=，求解x ，进而可得点5,5k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2,45k D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据反比例函数的性质可求解． 解：△四边形ABCD 是菱形， △,AB BC CD AD AD//BC ===，△AD y ⊥轴，△90DEB AEB ∠=∠=︒， △90DEB CBO ∠=∠=︒， △点C 的横坐标为5，△点5,5k C ⎛⎫⎪⎝⎭，5AB BC CD AD ====，△2BE DE =，△设DE =x ，BE =2x ，则5AE x =-，△在Rt △AEB 中，由勾股定理得：()225425x x -+=， 解得：122,0x x ==（舍去）， △2,4DE BE ==， △点2,45k D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，△245k k ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得：403k =； 故选A ．【点拨】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何的综合是解题的关键． 8．A 【解析】【分析】先表示出平移后的函数为21(1)12y x m =---，得到(1,1)D -，1(1,1)D m +-，求出Q点的横坐标为：22m +，代入21(1)12y x =--求得22,128m m Q ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，再根据等腰直角三角形的性质得到2222211128m mm ⎛⎫+⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，解出m 即可求解. 抛物线21:(1)12CC y x =--沿水平方向向右（或向左）平移m 个单位得到21(1)12y x m =---△(1,1)D -，1(1,1)D m +-，△Q 点的横坐标为：22m +， 代入21(1)12y x =--求得22,128m m Q ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 若160DQD ︒∠=，则1DQD ∆是等边三角形， △1||QD DD m ==，由勾股定理得，2222211128m mm ⎛⎫+⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，解得m =± 故选A ．【点拨】此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质. 9．B 【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 解：作QM△x 轴于点M ，Q′N△x 轴于N ，设Q(m ，122m -+)，则PM=1m﹣，QM=122m -+， △△PMQ=△PNQ′=△QPQ′=90°， △△QPM+△NPQ′=△PQ′N+△NPQ′，△△QPM=△PQ′N ， 在△PQM 和△Q′PN 中， '90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△PQM△△Q′PN(AAS)，△PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，△ON=1+PN=132m -，△Q′(132m -，1m ﹣)，△OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5， △OQ′故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 10．A 【解析】试题分析：过点C 作CE△x 轴于点E ，过点D 作DF△x 轴于点F ，设BD=a ，则OC=3a ，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C 、D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a 、k 的值，此题得解． 过点C 作CE△x 轴于点E ，过点D 作DF△x 轴于点F ，如图所示． 设BD=a ，则OC=3a ．△△AOB 为边长为6的等边三角形，△△COE=△DBF=60°，OB=6． 在Rt△COE 中，△COE=60°，△CEO=90°，OC=3a ， △△OCE=30°，△OE=a ，CE=，△点C （，）．同理，可求出点D 的坐标为（6﹣a ，a ）．△反比例函数（k≠0）的图象恰好经过点C 和点D ， △k=×a=（6﹣a ）×a ，△a=，k=．故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形. 11．D 【解析】【分析】根据菱形的性质得出D 点的坐标，利用反比例函数0)y x >的图象经过线段DC 的中点N ，求出C 点的坐标，进而得出30ODC ∠=︒；根据菱形的性质可得260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，可判定ABC 是等边三角形；最后找到ME 、AM 、AE 、OB 之间的数量关系求解． △菱形ABCD ，4BD = △2OD OB ==△D 点的坐标为（0，2） 设C 点坐标为（c x ，0） △线段DC 的中点N △设N 点坐标为（2cx ，1）又△反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N132c =⋅，解得c x即C 0），OC =在Rt ODC 中，3tan 2OC ODC OD ∠===△30ODC ∠=︒△菱形ABCD△260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，30OBC ODC ∠=∠=︒ △ABC 是等边三角形又△AE BC ⊥于E 点，BO OC ⊥于O 点 △2AE OB ==，AO BE =△AO BE =，90AOB AEB ∠=∠=︒，AMO BME ∠=∠ △()AOM BEM AAS ≅ △AM BM = 又△在Rt BME 中，sin 30MEBM=︒ △1sin 30=2ME AM =︒ △1122333ME AE ==⨯= 故选：D ．【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角30的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为60︒角的等腰三角形是等边三角形．特殊角30的三角函数，1sin 30=2︒，cos30︒tan 30︒． 12．D 【解析】试题分析：设点A 、B 横坐标为a ，则点A 纵坐标为，点B 的纵坐标为，△BE△x 轴，△点F 纵坐标为，△点F 是抛物线上的点，△点F 横坐标为x==，△CD△x 轴，△点D 纵坐标为，△点D 是抛物线上的点，△点D 横坐标为x==2a ，△AD=a ，BF=，CE=，OE=，△则= ==，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征；综合题． 13．3【解析】【分析】由题意，先求出点P 的坐标，然后表示出点A 和点B 的坐标，即可求出答案． 解：△点P 在反比例函数3y x=的图像上且横坐标为1， △点P 的坐标为：（1，3），如图，AP△x 轴，BP△y 轴， △点A 、B 在反比例函数ky x=()0k <的图像上， △点A 为（,33k），点B 为（1，k ），△直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为： 3tan 313kk α-==-； 故答案为：3．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题． 14．3 【解析】【分析】令PQ 与x 轴的交点为E ，根据双曲线的解析式可求得点A 、B 的坐标，由于点P 在双曲线上，由双曲线解析式中k 的几何意义可知△OPE 的面积恒为2，故当△OEQ 面积最大时△POQ 的面积最大.设Q （a ，122a -）则S △OEQ =12 ×a×（122a -）=214-a a =21(1)12-+a ，可知当a=2时S △OEQ 最大为1，即当Q 为AB 中点时△OEQ 为1，则求得△POQ 面积的最大值是是3.△122y x=-交x轴为B点，交y轴于点A,△A（0，-2），B（4，0）即OB=4，OA=2令PQ与x轴的交点为E△P在曲线C上△△OPE的面积恒为2△当△OEQ面积最大时△POQ的面积最大设Q（a, 122a-）则S△OEQ=12×a×（122a-）=214-a a=21(1)12-+a当a=2时S△OEQ最大为1即当Q为AB中点时△OEQ为1故△POQ面积的最大值是是3.【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.15．y=﹣12x+32【解析】【分析】在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理计算出AB=5，再根据折叠的性质得BA′=BA=5，CA′=CA，则OA′=BA′﹣OB=2，设OC=t，则CA=CA′=4﹣t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22=（4﹣t）2，解得t=32，则C点坐标为（0，32），然后利用待定系数法确定直线BC的解析式解：△A（0，4），B（3，0），△OA=4，OB=3，在Rt△OAB中，，△△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处， △BA′=BA=5，CA′=CA ， △OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2， 设OC=t ，则CA=CA′=4﹣t ， 在Rt △OA′C 中， △OC 2+OA′2=CA′2，△t 2+22=（4﹣t ）2，解得t=32，△C 点坐标为（0，32），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （3，0）、C （0，32）代入得3k+b=03b=2⎧⎪⎨⎪⎩，解得1k=-23b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩△直线BC 的解析式为y=﹣12x+32故答案为y=﹣12x+32．【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式． 16．20173()2【解析】分析：因为每个A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A 的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A 的纵坐标，可以表示A 的横坐标，代入解析式可求点A 的纵坐标，规律可求．详解：分别过点A 1，A 2，A 3，…向x 轴作垂线，垂足为C 1，C 2，C 3，…△点A 1（1，1）在直线y=15x+b 上△代入求得：b=4 5△y=15x+45△△OA1B1为等腰直角三角形△OB1=2设点A2坐标为（a，b）△△B1A2B2为等腰直角三角形△A2C2=B1C2=b△a=OC2=OB1+B1C2=2+b把A2（2+b，b）代入y=15x+45解得b=3 2△OB2=5同理设点A3坐标为（a，b）△△B2A3B3为等腰直角三角形△A3C3=B2C3=b△a=OC3=OB2+B2C3=5+b把A2（5+b，b）代入y=15x+45解得b=9 4以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的32倍则A2018的纵坐标是(32)2017故答案为(32)2017点睛：本题为一次函数图象背景下的规律探究题，结合了等腰直角三角形的性质，解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律．17．0<m＜13 2【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，△k=﹣5 12；由y=﹣512x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣512x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=125m，△A（125m，0），B（0，m），即OA=125m，OB=m，在Rt△OAB中，135m ==，过点O作OD△AB于D，△S△ABO=12OD•AB=12OA•OB，△12OD•135m=12×125m×m，△m＞0，解得OD=1213m，由直线与圆的位置关系可知1213m ＜6，解得m＜132，故答案为0<m＜13 2.【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.18【解析】【分析】由已知得到点P 的坐标为(m ，33m +)，求得PO =利用二次函数的性质求解即可． 解：△240m n -+=，△24n m =+，则23933n m -=+， △点P 的坐标为(m ，33m +)，△PO = △100>，△210189m m ++当1892010m =-=-时，有最小值， 且最小值为910，△PO【点拨】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 19．283y x =【解析】【分析】过点A 作AN △y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM △AN ，13AN AC BM CB ==，设A (-a ，a 2)，则B (3a ，9a 2)，求出C (0，3a 2)，从而得P (32a ，26a )，进而即可得到答案．解：过点A 作AN △y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM △AN ， △CBM CAN ∽， △3CB AC ，△13AN AC BM CB ==， 设A (-a ，a 2)，则B (3a ，9a 2)， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则2293a ka b a ka b ⎧=-+⎨=+⎩，解得：223k a b a =⎧⎨=⎩，△直线AB 的解析式为：y =2ax +3a 2， △C (0，3a 2)， △P 为CB 的中点，△P (32a ，26a )，△2326x ay a⎧=⎪⎨⎪=⎩，即：283y x =，故答案是：283y x =．【点拨】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．20．（1）3(,)23-；（2）(2，2)，15(,)24，1111(,)416，1326(,)525【解析】（1）△抛物线y=-x 2+3x 的对称轴为x=332(1)2-=⨯-，△当x=32时，y=-2x=-3，即B 点（32，-3）；（2）设D （0，2a ），则直线CD 解析式为y=-2x+2a ，可知C （a ，0），即OC ：OD=1：2， 则OD=2a ，OC=a ，根据勾股定理可得：． 以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，当△CDP=90°时，若PD ：DC=OC ：OD=1：2，则a ，设P 的横坐标是x ，则P 点纵坐标是-x 2+3x ，根据题意得：222222222(32))(3)()x x x a x x x a +-+-=+=-++-，解得：1212{x a ==，则P 的坐标是：（15,24），若DC ：PD=OC ：OD=1：2，同理可以求得P （2，2），当△DCP=90°时，若PC ：DC=OC ：OD=1：2，则P （1111,416）， 若DC ：PD=OC ：OD=1：2，则P （1326,525）．21．2y =+,2y =+（答案不唯一，只要符合条件即可）．【解析】试题分析：因点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，所以把抛物线C 2看成抛物线C 1以点O 为旋转中心旋转180°得到的，由此即可知a 1，a 2互为相反数，抛物线C 1和C 2的对称轴直线关于y 轴对称，由此可得出b 1=b 2．抛物线C 1和C 2都经过原点，可得c 1=c 2，设点A （m ，n ），由题意可知B （-m ，-n ），由勾股定理可得ABMN=︱4m ︱，又因四边形ANBM 是矩形，所以AB=MN,4m =，解得223,m n m n ==即，设抛物线的表达式为2()y a x m n =-+，任意确定m 的一个值，根据m n =n 的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式即可．l例如，当m=1时，抛物线的表达式为2(1)y a x =-把x=0，y=0代入解得a=即2y =+，所以另一条抛物线的表达式为2y =+．考点：旋转、矩形、二次函数综合题．22．3225【解析】【分析】根据题意得出ON 是ABM 的中位线，所以ON 取到最大值时，BM 也取到最大值，就转化为研究BM 也取到最大值时k 的值，根据,,B C M 三点共线时，BM 取得最大值，解出B 的坐标代入反比例函数即可求解．解：连接BM ，如下图：在ABM 中，,O N 分别是,AB AM 的中点，ON ∴是ABM 的中位线，12ON BM ∴=， 已知ON 长的最大值为32， 此时的3BM =，显然当,,B C M 三点共线时，取到最大值：3BM =，13BM BC CM BC =+=+=，2BC ∴=，设(,2)B t t ，由两点间的距离公式：2BC ==，22(2)44t t ∴-+=， 解得：124,05t t ==（取舍）， 48(,)55B ∴， 将48(,)55B 代入()0k y k x=>， 解得：3225k =， 故答案是：3225． 【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM 取最大值时k 的值．23．（1）1y x =-+；（2）52【解析】【分析】（1）根据P 点是两直线交点，可求得点P 的纵坐标，再利用待定系数法将点B 、点P 的坐标代入直线l 1解析式，得到二元一次方程组，求解即可.（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C （0，1），由四边形∆∆=-PAB BOC PAOC S S S 可求得四边形PAOC 的面积解：（1）△点P 是两直线的交点，将点P （1，a ）代入24y x =+得2(1)4⨯-+=a ，即2a =则P 的坐标为(1,2)-，设直线1l 的解析式为：y kx b =+(0)k ≠，那么02k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=⎩. 1l ∴的解析式为：1y x =-+.（2）直线1l 与y 轴相交于点C ，直线2l 与x 轴相交于点A∴C 的坐标为(0,1)，A 点的坐标为(2,0)-则3AB =，而四边形∆∆=-PAB BOC PAOC S S S ，∴PAOC S 四边形1153211222=⨯⨯-⨯⨯= 【点拨】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.24．（1）(6，0)；（2）4.【解析】试题分析：（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣12x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣12x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣12a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣12a+3）=3，然后解方程即可．试题解析：解：（1）△点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，△点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣12x+b得﹣1+b=2，解得b=3，△一次函数的解析式为y=﹣12x+3，把y=0代入y=﹣12x+3得﹣12x+3=0，解得x=6，△A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣12x+3得y=3，△B点坐标为（0，3），△CD=OB，△CD=3，△PC△x轴，△C点坐标为（a，﹣12a+3），D点坐标为（a，a）△a﹣（﹣12a+3）=3，△a=4．考点：两条直线相交或平行问题．25．（1）A(4，3)；（2）28.【解析】【分析】（1）点A是正比例函数34y x=与一次函数y=-x+7图像的交点坐标，把34y x=与y=-x+7联立组成方程组，方程组的解就是点A的横纵坐标；（2）过点A作x轴的垂线，在Rt△OAD中，由勾股定理求得OA的长，再由BC=75OA求得OB的长，用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标，利用BC的长求得a值，根据12OBCS BC OP∆=⋅即可求得△OBC的面积.解：（1）由题意得:347y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43xy=⎧⎨=⎩，△点A的坐标为（4,3）.（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，5OA△775755BC OA==⨯=.△P（a，0），△B（a,34a）,C（a,-a+7），△BC=37(7)744a a a--+=-，△7774a-=，解得a=8.△11782822OBCS BC OP∆=⋅=⨯⨯=.26．（1）m-1（2）a=或a=【解析】试题分析：（1）把点P（1，b）分别代入l1和l2,得到b和m的值.（2）将直线x=a分别与直线l1、l2联立求出C和D的坐标，根据CD=2,列出关于a的方程求出a的值即可.试题解析：（1）把点P（1，b）代入y=2x+1,得b=2+1=3，把点P（1，3）代入y=mx+4,得m+4=3,△m=-1.（2）直线x=a与直线l1的交点C为（a,2a+1）,与直线l2的交点D为（a,-a+4）.△CD=2,△|2a+1-（-a+4）|=2,即|3a -3|=2,△3a -3=2或3a -3=-2,△a=或a=.考点：1、待定系数法求一次函数解析式，2、两条直线相交或平行问题27．（1）（a +，12b ）；（9，-；（2）△y =；△34． 【解析】【分析】（1）连接CQ 可知△PCQ 为等边三角形，过Q 作QD△PC ，利用等边三角形的性质可求得CD 和QD 的长，则可求得Q 点坐标；设出M 点的坐标，利用P 、Q 坐标之间的关系可得到点M 的方程，可求得M 点的坐标；（2）△可取A （2，利用T 变换可求得B 点坐标，利用待定系数示可求得直线OB 的函数表达式；△由待定系数示可求得直线AB 的解析式，可求得D 点坐标，则可求得AB 、AD 的长，可求得△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．解：（1）如图1，连接CQ ，过Q 作QD△PC 于点D ，由旋转的性质可得PC=PQ ，且△CPQ=60°，△△PCQ 为等边三角形，△P （a ，b ），△OC=a ，PC=b ，△CD=12PC=12b ，，△Q （，12b ）；设M （x ，y ），则N 点坐标为（，12y ），△N （6，△612x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得9x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ △M （9，﹣；（2）△△A 是函数图象上异于原点O 的任意一点， △可取A （2，72，12△B （72， 设直线OB 的函数表达式为y=kx ，则72△直线OB 的函数表达式为； △设直线AB 解析式为y=k′x+b ，把A 、B坐标代入可得2'7'2k b k b ⎧+=⎪⎨+⎪⎩k b '⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △直线AB 解析式为y=， △D （0），且A （2，B （72，△34OAB OAD S AB S AD ===△△．28．（1）证明见解析；（2）m =4﹣354t 或m =4﹣54t ；（3）（﹣38，0）或（278，0）或（﹣272，0）或（32，0）． 【解析】试题分析：（1）只要证明△PAQ△△BAO ，即可推出△APQ=△AOB=90°，推出QP△AB ，推出AB 是△O 的切线；（2）分两种情形求解即可：△如图2中，当直线CM 在△O 的左侧与△Q 相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．△如图3中，当直线CM在△O的右侧与△Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．试题解析：（1）如图1中，连接QP．在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，△AB==5，△AP=4t，AQ=5t，△，△△PAQ=△BAO，△△PAQ△△BAO，△△APQ=△AOB=90°，△QP△AB，△AB是△O的切线．（2）△如图2中，当直线CM在△O的左侧与△Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM 是正方形．易知PQ=DQ=3t，CQ=•3t=，△OC+CQ+AQ=4，△m+t+5t=4，△m=4﹣t．△如图3中，当直线CM在△O的右侧与△Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．△OC+AQ﹣CQ=4，△m+5t﹣t=4，△m=4﹣t．（3）存在．理由如下：如图4中，当△Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=，由（2）可知，m=﹣或．如图5中，当△Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，由（2）可知，m=﹣或．综上所述，满足条件的点C 的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．考点：一次函数综合题29．(1) 2142y x x +-＝;（2）点P 的坐标为()2,4--；（3）315,48G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1） 用待定系数法即可得到答案;（2）连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由题意得到AOC OCP OBPS S S S ∴++＝()2216x ++＝．即可得到答案. （3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.解：1（）抛物线4y ax bx +-＝经过点()()2,0,40A B -，， 424016440a b a b +-=⎧∴⎨--=⎩， 解得1,21a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2142y x x +-＝； 2（）如图1，连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中40x -＜＜，四边形ABPC 的面积为S ，由题意得0,4C -（），AOC OCP OBP S S S S ∴++＝()1124422x =⨯⨯+⨯⨯-2114422x x ⎛⎫+⨯⨯--+ ⎪⎝⎭， 24228x x x ---+＝，2412x x -+＝-，。

专题3.1 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识讲解）【基本考点要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； ⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ； 点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.特别说明：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标.考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.特别说明：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大；②当k<0时，y 随x 的增大而减小．特别说明：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k. 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：k y x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象 ①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k . （4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ） （6）“反比例关系”与“反比例函数”： 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系.特别说明：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1． 已知点P （3a ﹣15，2﹣a ）．（1）若点P 到x 轴的距离是1，试求出a 的值；（2）在（1）题的条件下，点Q 如果是点P 向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q 的坐标；（3）若点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P 的坐标．【答案】（1）1a =或3a =；（2）(12,4)Q -或(6,2)Q -；（3）(6,1)P --或(3,2)P --． 【分析】（1）根据“点P 到x 轴的距离是1”可得21a -=，由此即可求出a 的值；（2）先根据（1）的结论求出点P 的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）先根据“点P 位于第三象限”可求出a 的取值范围，再根据“点P 的横、纵坐标都是整数”可求出a 的值，由此即可得出答案．解：（1）点P 到x 轴的距离是1，且(315,2)P a a --，21a ∴-=，即21a -=或21a -=-，解得1a =或3a =；（2）当1a =时，点P 的坐标为(12,1)P -， 则点Q 的坐标为(12,13)Q -+，即(12,4)Q -， 当3a =时，点P 的坐标为(6,1)P --， 则点Q 的坐标为(6,13)Q --+，即(6,2)Q -， 综上，点Q 的坐标为(12,4)Q -或(6,2)Q -； （3）点(315,2)P a a --位于第三象限，315020a a -<⎧∴⎨-<⎩，解得25a <<， 点P 的横、纵坐标都是整数，3a ∴=或4a =，当3a =时，3156,21a a -=--=-，则点P 的坐标为(6,1)P --， 当4a =时，3153,22a a -=--=-，则点P 的坐标为(3,2)P --， 综上，点P 的坐标为(6,1)P --或(3,2)P --．【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键．举一反三：【变式】已知点()22,5P a a -+，解答下列各题． （1）点P 在x 轴上，求出点P 的坐标；（2）点Q 的坐标为=()4,5，直线PQ y ∥轴；求出点P 的坐标；（3）若点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求22012021a +的值． 【答案】（1）()12,0P -； （2）()4,8P ； （3）220120212020a += 【分析】（1）利用x 轴上P 点的纵坐标为0求解即可得；（2）利用平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；（3）在第二象限，且到x 轴、y 轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数的性质列方程求解可得1a =-，将其代入代数式求解即可．（1）解：∵点P 在x 轴上，∵P 点的纵坐标为0， ∵50a +=， 解得：5a =-， ∵2212a -=-， ∵()12,0P -．（2）解：∵直线PQ y ∥轴，∵224a -=， 解得：3a =， ∵58a +=， ∵()4,8P ． （3）解：∵点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等， ∵2250a a -++=． 解得：1a =-． ∵22012021a + ()220112021=-+2020=，∵22012021a +的值为2020．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．2．在平面直角坐标系中，将点(),1A a a -先向左平移3个单位得点1A ，再将1A 向上平移1个单位得点2A ，若点2A 落在第三象限，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <<B ．3a <C ．2a >D ．2a <或3a >【答案】A【分析】根据点的平移规律可得()2311A a a --+，，再根据第三象限内点的坐标符号可得．解：点()1A a a -，先向左平移3个单位得点1A ，再将1A 向上平移1个单位得点()2311A a a --+，，点'A 位于第三象限，30110a a -<⎧∴⎨-+<⎩， 解得：23a <<， 故选：A ．【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．举一反三：【变式1】平面直角坐标系中，将点A （2m ，1）沿着x 的正方向向右平移（23m +）个单位后得到B 点，则下列结论：①B 点的坐标为（223+m ，1）；①线段AB 的长为3个单位长度；①线段AB 所在的直线与x 轴平行；①点M （2m ，23m +）可能在线段AB 上；①点N （22m +，1）一定在线段AB 上．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B 点的坐标，进而判断∵，根据平移的性质即可求得AB 的长，进而判断∵，根据平移的性质可得线段AB 所在的直线与x 轴平行，即可判断∵，根据纵坐标的特点即可判断∵∵解：∵点A （2m ，1）沿着x 的正方向向右平移（23m +）个单位后得到B 点， ∵B 点的坐标为（223+m ，1）； 故∵正确；则线段AB 的长为23m +； 故∵不正确；∵A （2m ，1），B （223+m ，1）；纵坐标相等，即点A ，B 到x 轴的距离相等 ∵线段AB 所在的直线与x 轴平行； 故∵正确若点M （2m ，23m +）在线段AB 上； 则231m +=，即21m =-，不存在实数21m =- 故点M （2m ，23m +）不在线段AB 上； 故∵不正确同理点N （22m +，1）在线段AB 上； 故∵正确综上所述，正确的有∵∵∵，共3个 故选B【点拨】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．类型二、一次函数3．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）112y x =-；（2）112m ≤≤ 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：1m =，然后结合函数图象可进行求解．解：（1）由一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为112y x =-； （2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：()12212m -=⨯--，解得：1m =，函数图象如图所示：∵当2x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值时，根据一次函数的k 表示直线的倾斜程度可得当12m =时，符合题意，当12m <时，则函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：112m ≤≤． 【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．举一反三：【变式】在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0,1)-．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1y x =-；（2）1m ≤ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（0，-1）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，0），即可得出当1x >时，y x m =-+都小于1y x =-，根据1x >，可得m 可取值1，可得出m 的取值范围．解：（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到， ∵1k =．∵一次函数y x b =+的图象过点(01)-，， ∵1b =-．∵这个一次函数的表达式为1y x =-． （2）由（1）得y=x -1， 解不等式-x+m ＜x -1得12m x +>由题意得11,2m +≤ 故m 的取值范围1m ≤【点拨】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．4．为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100粒，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？【答案】为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．【分析】设完成计划需购买x 个篮球，需要投入的费用为w 元，根据总价=单价×数量，即可得出w 关于x 的函数关系式，由购买篮球的总费用不低于购买实心球的总费用，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．解：设完成计划需购买x 粒篮球，需要投入的费用为w 元．依题意，得w=80（1+20%）x +36（100-x）．化简得：w=60x+3600．因为购买篮球的总费用不低于购买实心球的总费用，所以：80（1+20%）x ≥36（100-x），解得x≥3 2711．又x是整数，所以x的最小值为28．因为k=60＞0，所以，w随x的增大而增大，所以，当x=28时，w的最小值为60×28+3600=5280．答：为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各量之间的关系，找出题目中得函数关系式是解题的关键．【变式】2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）请求出a的值；（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．【答案】（1）4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）720a =元；（3）当100m <时选活动一：一律打9折合算；当100m =时选活动一：活动二均可，当100m >时选活动二合算．【分析】（1）利用购买100瓶费用400元，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；（2）利用两函数值相等联立方程组 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解方程组均可； （3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶分类三种情况两函数作差比较均可．解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，19410y x =⨯⋅， 1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩， 故答案为4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩． （2）联立 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩， 解得720{200a x ==， ∵720a =；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶， 当2200m 时，即100m <时选活动一：一律打9折合算；∵12 3.6242 1.6050y y m m m m -=⨯-⨯=-<≤，；()12 3.62 3.22800.880050100y y m m m m -=⨯-⨯-=-<<≤；当100m =时选活动一：活动二均可，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=-==；当100m >时选活动二合算，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=->>．【点拨】本题考查列一次函数关系，利用一次函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，掌握列一次函数关系的方法，利用函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计．类型三、反比例函数5．如图，一次函数11y k x b =+的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,2，点B 的纵坐标为1-．（1）求这两个函数的表达式；（2）点C 为反比例函数图象上的一点，且点C 在点A 的上方，当CAB AOB S S =△△时，求点C 的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y 1=x +1，反比例函数的解析式为y 2=2x；（2）C 点的坐标为（-．【分析】（1）把A 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 2的值，把点B 的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据题意点C 就是直线y =x +1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C 的坐标．解：（1）把点A （1，2）代入反比例函数y 2=2k x得，k 2=1×2=2， ∵反比例函数的解析式为y 2=2x ， 将y =-1代入y 2=2x 得，-1=2x，交点x =-2， ∵B （-2，-1），将A 、B 的坐标代入y 1=k 1x +b 得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∵一次函数的解析式为y 1=x +1；（2）∵y 1=x +1，∵直线与y 轴的交点为（0，1），∵点C 为反比例函数图象上的一点，且点C 在点A 的上方，S ∵CAB =S ∵AOB ，∵点C 就是直线y =x +1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，将直线y =x +1向上平移1个单位后得到y =x +2，解22y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（舍） ， ∵C 点的坐标为（-．【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．举一反三：【变式】如图，反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象与矩形OABC 的边AB ，BC 分别交于点F ，点E ，点D 为x 轴负半轴上的点，4CDE S =△．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：BE BF CE AF=．【答案】（1）8y x=；（2）见解析 【分析】 （1）连接OE ，根据矩形的性质得到//BC AD ，得到4COE DCE S S ==△△，由点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上，于是得到结论； （2）设8,E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,F n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是得到8,B n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0A n ，求得CE m =，BE n m =-，()888n m BF m n mn-=-=，8AF n =，即可得到结论． 解：（1）如图，连接OE ．∵四边形OABC 是矩形，∵//BC AD ．∵4COE DCE S S ==△△．∵点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>的图象上， ∵8k ．∵反比例函数的表达式为8y x=； （2）点F ，点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>的图象上， ∵设8,E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,F n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵8,B n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,0)A n ． ∵CE m =，BE n m =-，888()n m BF m n mn -=-=，8AF n=． ∵BE n m CE m-=，8()8n m BF n m mn AF m n--==． ∵BE BF CE AF=．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，反比例函数k 的几何意义，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．类型四、函数综合应用6、已知：如图，双曲线y=k x（k ≠0）与直线y ＝mx （m ≠0）交于A （2，4）、B 两点，点D 是x 轴上一点，C 在双曲线上且是AD 的中点．（1）求双曲线和直线AB 的函数表达式；（2）连结BC ，求△ABC 的面积．【答案】（1）8y x=；y =2x ；（2）12 【分析】 （1）把A 点坐标代入双曲线和直线AB 的解析式中求解即可；（2）分别求出B ，C 的坐标，然后求出三角形ABC 的三边长，利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 为直角三角形，然后求解面积即可．解：（1）∵双曲线y=k x（k ≠0）与直线y ＝mx （m ≠0）交于A （2，4）， ∵4242k m⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得28m k =⎧⎨=⎩， ∵双曲线的解析式为8y x=，直线AB 的解析式为2y x =； （2）设8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0D n ， ∵C 是AD 的中点， ∵240,22n C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭即2,22n C +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵82m=， ∵4m =,∵C （4，2）， 联立82y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得24x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∵B （-2，-4），∵()()22242248AC =-+-=，()()222244272BC =--+--=，()()222224480AB =--+--=，∵222AC BC AB +=，∵∵ABC 是直角三角形，∵111222ABC S =AC BC=⨯△．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．举一反三：【变式】如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0m ,，0m <，点B 与点A 关于原点对称，直线y =与双曲线k y x=交于C ，()1,D t 两点． （1）求双曲线的解析式；（2）当四边形ACBD 为矩形时，求m 的值．【答案】（1）y =（2）-2 【分析】 （1）由点D 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出t 值，进而得出点D 的坐标，代入双曲线即可求出解析式；（2）根据勾股定理得出OD 长度，再根据矩形的性质可得出OB ＝OA=OC=OD =2，根据点 A 的坐标即可求出m 值．解：（1）将()1,D t 代入y =，得：t =∵(D ，∵1k =∵双曲线的解析式是y =．（2）由(D 得：2OD =． ∵四边形ACBD 为矩形，∵12AO BO AB ==，12CO DO CD ==，AB CD =， ∵2AO BO CO DO ====，又∵0m <，∵2m =-．【点拨】本题考查了正比例函数的性质与反比例函数的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形性质找出OA=OD ，本题属于中档题，难度不大，熟知各函数和各图形的性质是解题关键.7．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标是（3，4），BA ①x 轴于点A ，点B 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，将①OAB 向右平移，得到①O 'A 'B '，O 'B '交双曲线于点C （3a ，a ）．（1）求k ，a 的值；（2）求出①OAB 向右平移到O A B '''△的距离；（3）连接OB ，BC ，OC ，求①OBC 的面积．【答案】（1）12k =，2a =；（2）∵OAB 向右平移4.5个单位长度得到O A B '''△；（3）9OBC S =【分析】（1）根据题意可直接进行求解k 的值，然后再把点C 代入进行求解即可；（2）过点C 作CD ∵x 轴于点D ，由（1）可得CD =2，进而可得点D 为O A ''的中点，然后问题可求解；（3）由（1）及题意易得OBC ADCB S S =梯形，然后根据梯形的面积公式进行求解即可． 解：（1）∵点B 坐标是（3，4），BA ∵x 轴于点A ，点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∵3412k =⨯=，∵O 'B '交双曲线于点C （3a ，a ），∵312a a ⋅=，解得：2a =±，∵x ＞0，∵2a =；（2）过点C 作CD ∵x 轴于点D ，如图所示：由（1）可得：点()6,2C ，∵OD =6，CD =2，由平移的性质可得：4,3AB A B OA O A ''''====，90OAB O A B '''∠=∠=︒， ∵CD//A B ''，∵O DC O A B ''''∽， ∵12CD O D A B O A '==''''， ∵ 1.5O D '=，∵ 4.5OO OD O D ''=-=，∵∵OAB 向右平移4.5个单位长度得到O A B '''△；（3）如（2）图，∵,OBC ODC OAB ODCB ADCB ODCB SS S S S S =-=-四边形梯形四边形，由反比例函数k 的几何意义可得2OAB ODC k S S ==， ∵OBC ADCB S S =梯形，由（2）可得：3,4,2,6OA AB CD OD ====，∵3AD OD OA =-=，∵()()11243922OBC ADCB S S CD AB AD ==⨯+⨯=⨯+⨯=梯形．【点拨】本题主要考查反比例函数k 的几何意义及与几何的综合，熟练掌握反比例函数k 的几何意义及函数的性质是解题的关键．。

学生用第三章 函数及其图象 微专题1 函数及其图象考点精炼精练1 函数的概念1．下列关系式：①x 2－x ＝6：②s ＝5t：③y =x ≥0）④y ＝2x ＋3；⑤S ＝πR 2；其中为函数关系的是 （填序号）.2．下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A B D精练2 自变量的取值范围及函数值 3．若函数11y x =-有意义，则x 的取值范围是 .4．（1）函数212x y x +=-中，自变量x 的取值范围是 ； （2）函数y =x 的取值范围是 .5．函数y 中自变量x 的取值范围是 .6．函数y ＝x 2－1，当x ＝4时，函数值为 .精练3 函数的图象及应用7．如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿若扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t 时，蚂蚁与O 点的距离为s ，则s 关于t 的函数图象大致是（ ）OAB DC B A8．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y （单位：m ）与他所用的时间（单位：min ）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ）A .小涛家离报亭的距离是900mB .小涛从家去报亭的平均速度是60m ／minC .小涛从报亭返回家中的平均速度是80m ／minD .小涛在报亭看报用了15mini n9．在一条笔直的航道上依次有A ，B ，C 三个港口，一艘轮船从A 港出发，匀速航行到C 港后返回到B 港，轮船离B 港的距离y （千米）与航行时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若航行过程中水流速度和轮船的静水速度保持不变，则水流速度为 千米／小时.微专题2 一次函数基础知识考点精练精练1一次函数的图象与性质1.将直线y＝x－1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx＋b则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（）A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于（1，0）C.与y轴交于（0，1）D.y随x的增大而减小2.若正比例函数y＝kx（是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 .3.当k＜0时，一次函数y＝kx－k的图象不经过第象限.4.直线y＝x－1经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1y2.5.若点M(k－1，k＋1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y＝(k－1)x＋k的图象不经过．．．第象限.6.一次函数y＝kx＋b满足kb＞0，且y随x的増大面减小，则此函数的图象不经过．．．第象限.精练2一次函数与方程（组）或不等式（组）7.如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n（n≠0）的交点的横坐标为－2.y第 7 题图（1）关于x的方程－x＋m＝nx＋4n的解是；（2）关于x的不等式－x＋m＞mx＋4n＞0的解集为 .8.如图，函数y＝－2x与y＝ax＋3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是 .＋3第 8 题图9.一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是（）A.x≥2B.x≤2C.x≥4D.x≤410.如图，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A（1，k），则不等式组kx－6＜ax＋4＜kx的解集为 .4第 10 题图精练3待定系数法求一次函数的解析式11.一条直线经过点A（2，3），B（－1，－3），则这条直线的解析式为 .12.一条直线经过点（2，－1），且与直线y＝－3x＋1平行.则这条直线的解析式为 .13.将直线y＝2x＋4向右平移5个单位后得到的直线的解析式为 .14.已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P＇，且P在直线y＝kx＋3上，把直线y＝kx＋3向上平移2个单位，所得的直线解析式为 .15.已知直线y ＝3x －6与直线l 关于y 轴对称，则直线l 的解析式为 .16.已知直线经过点（0，－2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则直线的解析式为（ ）A .223y x =+B .223y x =-C .223y x =--D .223y x =±-微专题3 反比例函数基础知识【考点精炼】一 反比例函数的图象与性质➢ 精炼1 反比例函数的定义、图象与性质 1. 若y =（a +1）2a 2x -是反比例函数，则a 的值为 .2.反比例函数的图象xk=y 过点P （1，2），则该反比例函数的图象位于（ ） A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第二、四象限 D .第三、四象限 2.3. 若点A （-1，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3）在双曲线x3=y -的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . ➢➢ 精炼2 k 的几何意义 4.如图，反比例函数x2=y 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积是 .二 求反比例函数的解析式——中考热点➢ 精炼3 求反比例函数的解析式5. 若反比例函数xk=y 的图象经过点（-1，-2），则k 的值为 .6.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C ，D 在x 轴上，且BC //AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 .7.如图，直线y =2x +4与反比例函数xk=y 的图象相交于点A （-3，a ）和B 点. （1）求k 的值； （2）直接写出不等式x >5x 6-的解集.三 反比例函数与方程（组）、不等式（组）➢ 精炼4 反比例函数与方程（组）相结合 8.如图，双曲线xm=y 与直线y =kx +b 交于点M ，N ，且M 点的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为-1，则关于x 的方程xm=kx +b 的解为（ ） A . -3，1 B . -3，3 C . -1，1 D . -1，3➢➢ 精炼5 反比例函数与不等式（组）相结合9.如图，已知一次函数y 1=x -3和反比例函数y 2=x4的图象在平面直角坐标系中交于A ，B 两点，当y 1>y 2时，x 的取值范围是 .微专题4 二次函数基础（一）二次函数的图象与性质一 二次函数的图象与性质【考点精炼】精炼1 二次函数的定义1.若函数y =（m +1）1+m x 是二次函数，则m 的值是（ ） A .-1 B .-1或1 C .0 D .1精炼2 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标 2.抛物线y =（x -2）2的对称轴是（ ） A .x =1 B .x =-1 C .x =0 D .x =23.抛物线y =2（x +3）2+5的顶点坐标是（ ）A .（3，5）B .（-3，5）C .（3，-5）D .（-3，-5）精炼3 二次函数的增减性、最值4. 在二次函数y =-5（x +2）2-3中，当x 时，y 随x 的增大而减小；当x = 时，有最 值.5.飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式为y =60t -23t 2.在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m .精炼4 二次函数的图象与系数6.如图，二次函数图象y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，对下列结论：①ab >0；②abc >0；③1>b ac42，期中错误的个数是（ ） A .3 B .2 C .1 D .07.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a +c <b ；④b 2-4ac >0，其中结论正确的个数共有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个二 二次函数与方程（组）、不等式（组）➢ 精炼5 二次函数与方程（组）相结合8. 若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根分别是x 1=2，x 2=3，则抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点坐标分别是 .9.抛物线y =x 2+3x +2与坐标轴的交点个数是 个.10.抛物线y =2x 2+8x +m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .精炼6 二次函数与不等式（组）相结合11.如图，是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知：不等式ax 2+bx +c <0的解集是 .12.二次函数y =kx 2-2x -1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A .k >-1 B .k ≥-1且k ≠0 C .k ≥-1 D .k >-1且k ≠0微专题5 二次函数基础（二）求二次函数的解析式（1）——第24题第（1）问【考点精炼】精炼1 利用一般式y =ax 2+bx +c （a ≠0）求解析式 1.已知点A （-1，1），B （4，6）在抛物线y =ax 2+bx 上，求抛物线解析式.2.二次函数图象经过点（-1，3）（1，3）（2，6），求这个二次函数解析式.3.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于A （1，0），B （3，0），与y 轴相交于点C （0，3），求抛物线解析式.4.已知抛物线y =ax 2-2ax +b 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴相交于点B （0，49），求该抛物线解析式.5.已知抛物线y =21x 2+bx +c 与y 轴相交于点C （0，-1），与x 轴交于点A （2，0）和B 点，求此抛物线解析式.➢精炼2 利用顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）求解析式6.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（2，0），顶点坐标为（1，-3），求此抛物线解析式.7.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值为-2，对称轴为直线x=3，且过点（0，1），求此抛物线解析式.8.已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴的交点B（0，3），求这条抛物线解析式.9.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=-2，求抛物线解析式.10.抛物线y=ax2-2ax+c（a<0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线的顶点为G，求抛物线解析式，并写出点G的坐标.11.已知抛物线的顶点（2，k）在直线y=x+1上，且点（1，1）在抛物线上，求抛物线解析式.微专题6 二次函数基础（三）求二次函数的解析式（2）——第24题第（1）问精炼3 利用平移、对称、旋转求解析式12.将抛物线y=-x2+bx+c向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得抛物线y=-x2+2x+8，求原抛物线解析式.13.已知抛物线C 1：y =31x 2+x -34与抛物线C 2关于y 轴对称，求抛物线C 2的解析式.14.将抛物线y =a （x -h ）2+k 向左平移2个单位，后将抛物线沿x 轴翻折得到抛物线y =-21（x +3）2-2，求原抛物线解析式.15.将抛物线y =x 2-2x +3绕它的顶点旋转1800，求旋转后的抛物线的解析式.微专题7 二次函数基础（四）求点的坐标、定点、定直线——第24题第（1）问【考点精炼】➢ 精炼1 求点的坐标1.如图，直线y =kx +3k 与抛物线y =41x 2+1交于点B ，C ，若k =1，求点B ，C （点B 在点C 的左边）的坐标.2.如图，抛物线y =41x 2+x +43交x 轴于A ，B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C ，求S △ABC .3.已知抛物线y =21x 2+2mx -4m -2（m ≥0）与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点的左边，求点B 的坐标.4.已知点A ，B 是抛物线C 1：y =x 2上的两点（A 左B 右），若点A ，B 都在直线y =5x -6上，求线段AB 的中点坐标.5.抛物线y =-x 2+2mx （m >0）与x 轴交于另一点A ，顶点为C ，直接写出A 的坐标为 ；点C 的坐标为 .（都用含m 的式子表示）精炼2 定点、定直线6.已知抛物线y =21x 2-mx +21m 2+21m +1的顶点为A ，求证：抛物线的顶点A 在定直线l 上，并求出定直线l 的解析式.7.已知抛物线y =--x 2+（2m +1）x -m 2-m +2.求证：抛物线的顶点在一条直线上.8.抛物线y =-ax 2-4a -4（a >0）过定点P ，求定点P 的坐标. 教师用第三章 函数及其图象 微专题1 函数及其图象考点精炼精练1 函数的概念1．下列关系式：①x 2－x ＝6：②s ＝5t：③y =x ≥0）④y ＝2x ＋3；⑤S ＝πR 2；其中为函数关系的是 （填序号）. 【答案】：②④⑤2．下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A B C D【答案】：C精练2 自变量的取值范围及函数值3．若函数11y x =-有意义，则x 的取值范围是 . 【答案】：x ≠1. 4．（1）函数212x y x+=-中，自变量x 的取值范围是 ； （2）函数y =x 的取值范围是 . 【答案】： （1）x ≠2； （2）x ≥－1. 5．函数y 中自变量x 的取值范围是 . 【答案】：x ≥－1且x ≠1.6．函数y ＝x 2－1，当x ＝4时，函数值为 . 【答案】：15精练3 函数的图象及应用7．如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿若扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t 时，蚂蚁与O 点的距离为s ，则s 关于t 的函数图象大致是（ ）OAB DC B A【答案】：B8．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y （单位：m ）与他所用的时间（单位：min ）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ）A .小涛家离报亭的距离是900mB .小涛从家去报亭的平均速度是60m ／minC .小涛从报亭返回家中的平均速度是80m ／minD .小涛在报亭看报用了15mini n【答案】：D9．在一条笔直的航道上依次有A ，B ，C 三个港口，一艘轮船从A 港出发，匀速航行到C 港后返回到B 港，轮船离B 港的距离y （千米）与航行时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若航行过程中水流速度和轮船的静水速度保持不变，则水流速度为 千米／小时.【答案】：10微专题2 一次函数基础知识考点精练精练1一次函数的图象与性质1.将直线y＝x－1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx＋b则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（）A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于（1，0）C.与y轴交于（0，1）D.y随x的增大而减小【答案】：C2.若正比例函数y＝kx（是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 . 【答案】：k＝－1答案不唯一3.当k＜0时，一次函数y＝kx－k的图象不经过第象限.【答案】：三4.直线y＝x－1经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1y2.【答案】：≤5.若点M(k－1，k＋1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y＝(k－1)x＋k的图象不经过．．．第象限.【答案】：一6.一次函数y＝kx＋b满足kb＞0，且y随x的増大面减小，则此函数的图象不经过．．．第象限.【答案】：一精练2一次函数与方程（组）或不等式（组）7.如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n（n≠0）的交点的横坐标为－2.y第 7 题图（1）关于x的方程－x＋m＝nx＋4n的解是；【答案】：x＝－2；（2）关于x的不等式－x＋m＞mx＋4n＞0的解集为 .【答案】：－4＜x＜－2.8.如图，函数y＝－2x与y＝ax＋3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是 .第 8 题图＋3【答案】：x＜－19.一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是（）A.x≥2B.x≤2C.x≥4D.x≤4第 9 题图【答案】：B10.如图，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A（1，k），则不等式组kx－6＜ax＋4＜kx的解集为 .4第 10 题图【答案】：1＜x＜52.精练3待定系数法求一次函数的解析式11.一条直线经过点A（2，3），B（－1，－3），则这条直线的解析式为 .【答案】：y＝2x－112.一条直线经过点（2，－1），且与直线y＝－3x＋1平行.则这条直线的解析式为 . 【答案】：y＝－x＋513.将直线y＝2x＋4向右平移5个单位后得到的直线的解析式为 .【答案】：y＝2x－614.已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P＇，且P在直线y＝kx＋3上，把直线y＝kx＋3向上平移2个单位，所得的直线解析式为 .【答案】：y＝－5x＋515.已知直线y ＝3x －6与直线l 关于y 轴对称，则直线l 的解析式为 . 答案：y ＝－3x －616.已知直线经过点（0，－2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则直线的解析式为（ ）A .223y x =+B .223y x =-C .223y x =--D .223y x =±-【答案】：D微专题3 反比例函数基础知识【考点精炼】一 反比例函数的图象与性质➢ 精炼1 反比例函数的定义、图象与性质 4. 若y =（a +1）2a 2x -是反比例函数，则a 的值为 .答案：12.反比例函数的图象xk=y 过点P （1，2），则该反比例函数的图象位于（ ） A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第二、四象限 D .第三、四象限 答案：B5. 若点A （-1，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3）在双曲线x3=y -的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 答案：y 2<y 3<y 1➢ 精炼2 k 的几何意义 4.如图，反比例函数x2=y 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积是 .答案：4二 求反比例函数的解析式——中考热点➢ 精炼3 求反比例函数的解析式 6. 若反比例函数xk=y 的图象经过点（-1，-2），则k 的值为 . 答案：26.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C ，D 在x 轴上，且BC //AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 .答案：x3=y - 7.如图，直线y =2x +4与反比例函数xk=y 的图象相交于点A （-3，a ）和B 点. （3）求k 的值； （4）直接写出不等式x >5x 6-的解集.答案：（1）k =6；（2）x <-1或5<x <6（提示：将双曲线向右平移5个单位）三 反比例函数与方程（组）、不等式（组）➢ 精炼4 反比例函数与方程（组）相结合 8.如图，双曲线xm=y 与直线y =kx +b 交于点M ，N ，且M 点的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为-1，则关于x 的方程xm=kx +b 的解为（ ） A . -3，1 B . -3，3 C . -1，1 D . -1，3答案：A➢ 精炼5 反比例函数与不等式（组）相结合9.如图，已知一次函数y 1=x -3和反比例函数y 2=x4的图象在平面直角坐标系中交于A ，B 两点，当y 1>y 2时，x 的取值范围是 .答案：-1<x <0或x >4微专题4 二次函数基础（一）二次函数的图象与性质一 二次函数的图象与性质【考点精炼】➢ 精炼1 二次函数的定义1.若函数y =（m +1）1+m x 是二次函数，则m 的值是（ ） A .-1 B .-1或1 C .0 D .1 答案：D➢ 精炼2 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标 2.抛物线y =（x -2）2的对称轴是（ ） A .x =1 B .x =-1 C .x =0 D .x =2 答案：D3.抛物线y =2（x +3）2+5的顶点坐标是（ ）A .（3，5）B .（-3，5）C .（3，-5）D .（-3，-5） 答案：B➢ 精炼3 二次函数的增减性、最值5. 在二次函数y =-5（x +2）2-3中，当x 时，y 随x 的增大而减小；当x = 时，有最 值. 答案：-2；-2；>；-36. 飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式为y =60t -23t 2.在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m . 答案：24➢ 精炼4 二次函数的图象与系数6.如图，二次函数图象y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，对下列结论：①ab >0；②abc >0；③1>b ac42，期中错误的个数是（ ） A .3 B .2 C .1 D .0答案：C7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a+c<b；④b2-4ac>0，其中结论正确的个数共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C二二次函数与方程（组）、不等式（组）➢精炼5 二次函数与方程（组）相结合9.若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别是x1=2，x2=3，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标分别是.答案：（2，0）；（3，0）10.抛物线y=x2+3x+2与坐标轴的交点个数是个.答案：311.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为.答案：8➢精炼6 二次函数与不等式（组）相结合11.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集是.答案：-1<x<312.二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k>-1B.k≥-1且k≠0C.k≥-1D.k>-1且k≠0答案：B微专题5 二次函数基础（二）求二次函数的解析式（1）——第24题第（1）问【考点精炼】➢ 精炼1 利用一般式y =ax 2+bx +c （a ≠0）求解析式1.已知点A （-1，1），B （4，6）在抛物线y =ax 2+bx 上，求抛物线解析式.答案：y =21x 2-21x2.二次函数图象经过点（-1，3）（1，3）（2，6），求这个二次函数解析式.答案：y =x 2+23.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于A （1，0），B （3，0），与y 轴相交于点C （0，3），求抛物线解析式.答案：y =x 2-4x +34.已知抛物线y =ax 2-2ax +b 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴相交于点B （0，49），求该抛物线解析式.答案：y =43x 2-23x -495.已知抛物线y =21x 2+bx +c 与y 轴相交于点C （0，-1），与x 轴交于点A （2，0）和B 点，求此抛物线解析式.答案：y =21x 2-21x -1➢ 精炼2 利用顶点式y =a （x -h ）2+k （a ≠0）求解析式6.已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过点（2，0），顶点坐标为（1，-3），求此抛物线解析式.答案：y =3x 2-6x7.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的最小值为-2，对称轴为直线x =3，且过点（0，1），求此抛物线解析式. 答案：y =31x 2-2x +18.已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y 轴的交点B （0，3），求这条抛物线解析式.答案：：y =41（x -4）2+19.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于原点及点A ，且经过点B （4，8），对称轴为直线x =-2，求抛物线解析式.答案：y =41x 2+x11. 抛物线y =ax 2-2ax +c （a <0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为（1，0），点O 为坐标原点，OC =3OA ，抛物线的顶点为G ，求抛物线解析式，并写出点G 的坐标. 答案：y =--x 2+2x +3，G （1，4）11.已知抛物线的顶点（2，k ）在直线y =x +1上，且点（1，1）在抛物线上，求抛物线解析式.答案：将（2，k ）代入y =x +1得k =3，设抛物线y =-a （x -2）2+3，将（1，1）代入y =-a （x -2）2+3中得：a =-2，所以抛物线解析式为y =-2（x -2）2+3微专题6 二次函数基础（三）求二次函数的解析式（2）——第24题第（1）问➢ 精炼3 利用平移、对称、旋转求解析式12.将抛物线y =-x 2+bx +c 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得抛物线y =-x 2+2x +8，求原抛物线解析式.答案：y =--x 2+2x +8=-（x -1）2+9，所以原抛物线的解析式y =-（x +1）2+12=-x 2-2x +1113.已知抛物线C 1：y =31x 2+x -34与抛物线C 2关于y 轴对称，求抛物线C 2的解析式. 答案：C 1：y =31x 2+x -34=31（x +23）2-1225，因为抛物线C 2与C 1关于y 轴对称 所以抛物线C 2的解析式为：y =31（x -23）2-1225=y =31x 2-x -3414.将抛物线y =a （x -h ）2+k 向左平移2个单位，后将抛物线沿x 轴翻折得到抛物线y =-21（x +3）2-2，求原抛物线解析式.答案：y =-21（x +3）2-2顶点为（-3，-2），右移两个单位后得到点（-1，-2），（-1，-2）关于x 轴的对称点为（-1，2），所以原抛物线解析式为y =21（x +1）2+215.将抛物线y =x 2-2x +3绕它的顶点旋转1800，求旋转后的抛物线的解析式.答案：y =-（x -1）2+2微专题7 二次函数基础（四）求点的坐标、定点、定直线——第24题第（1）问【考点精炼】➢ 精炼1 求点的坐标1.如图，直线y =kx +3k 与抛物线y =41x 2+1交于点B ，C ，若k =1，求点B ，C （点B 在点C 的左边）的坐标.答案：B （2-23，5-23），C （2+23，5+23）2.如图，抛物线y =41x 2+x +43交x 轴于A ，B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C ，求S △ABC .答案：A （-3，0），B （-1，0），C （0，43），S △ABC =21×2×43=43 3.已知抛物线y =21x 2+2mx -4m -2（m ≥0）与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点的左边，求点B 的坐标. 答案：B （2，0）.（提示：令y =0，用因式分解或求根公式）4.已知点A ，B 是抛物线C 1：y =x 2上的两点（A 左B 右），若点A ，B 都在直线y =5x -6上，求线段AB 的中点坐标. 答案：A （2，4），B （3，9），所以AB 的中点坐标为（25，213）5.抛物线y =-x 2+2mx （m >0）与x 轴交于另一点A ，顶点为C ，直接写出A 的坐标为 ；点C 的坐标为 .（都用含m 的式子表示）答案：A （2m ，0），C （m ，m 2）➢ 精炼2 定点、定直线 6.已知抛物线y =21x 2-mx +21m 2+21m +1的顶点为A ，求证：抛物线的顶点A 在定直线l 上，并求出定直线l 的解析式. 答案：y =21x 2-mx +21m 2+21m +1=y =21（x -m ）2+21m +1，所以A （m ，21m +1），所以点A 在直线l ：y =21x +17.已知抛物线y =--x 2+（2m +1）x -m 2-m +2.求证：抛物线的顶点在一条直线上. 答案：y =--x 2+（2m +1）x -m 2-m +2=-[x -(m +21)2]+49，所以抛物线的顶点为（m +21，49），所以抛物线的顶点定在直线y =49上.8.抛物线y =-ax 2-4a -4（a >0）过定点P ，求定点P 的坐标.答案：y =-a (x 2-4)-4，当x 2=4时，y =-4，定点P （2，-4）或P （-2，-4）。

中考专题总复习3---一次函数、反比例函数的图像、性质与应用★重点★正、反比例函数，一次函数的图象和性质。

一、平面直角坐标系1．各象限内点的坐标的特点2．坐标轴上点的坐标的特点3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1 函数中的三个概念：常量，自变量，因变量。

2．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

3．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。

4．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数 （定义→图象→性质） 1． 正比例函数⑴定义：y=kx(k ≠0) 或y/x=k 。

⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，…②k<0，… 2． 一次函数⑴定义：y=kx+b(k ≠0)⑵图象：直线过点（0,b ）—与y 轴的交点和（-b/k,0）—与x 轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况： 4.反比例函数⑴定义：三种形式：1-==kx xky 或xy=k(k ≠0)。

⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y 随x …;②k<0时，图象位于…，y 随x …;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、 一．填空题 1．（2010年上海）一辆汽车在行驶过程中，路程 y （千米）与时间 x （小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为 y = 60 x ，那么当 1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为_____________.【答案】y=100x －40图32．（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。

正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x xky 的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________。

专题3.3 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（巩固篇）（真题专练）一、单选题1．（2021·四川自贡·中考真题）如图，()8,0A ，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,62．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）已知：AOCD 的顶点()0,0O ，点C 在x 轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA 于点M ，交OC 于点N ．①分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOC ∠内相交于点E ．①画射线OE ，交AD 于点()2,3F ，则点A 的坐标为（ ）A ．5,34⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(3C ．4,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(23．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在四边形DEFG 中，①E ＝①F ＝90°，①DGF ＝45°，DE ＝1，FG ＝3，Rt ①ABC 的直角顶点C 与点G 重合，另一个顶点B （在点C 左侧）在射线FG 上，且BC ＝1，AC ＝2，将①ABC 沿GF 方向平移，点C 与点F 重合时停止．设CG 的长为x ，①ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·辽宁营口·中考真题）已知一次函数y kx k =-过点()1,4-，则下列结论正确的是（ ）A ．y 随x 增大而增大B ．2k =C ．直线过点()1,0D ．与坐标轴围成的三角形面积为25．（2021·贵州安顺·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线()1,2,3,4,5,6,7n n y k x b n =+=，其中12345,k k b b b ===，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ） A ．17个B ．18个C ．19个D ．21个6．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在OAB 中，45BOA ∠=︒，点C 为边AB 上一点，且2BC AC =．如果函数()90y x x=>的图象经过点B 和点C ，那么用下列坐标表示的点，在直线BC 上的是（ ）A ．（-2019，674）B ．（-2020，675）C ．（2021，-669）D ．（2022，-670）7．（2021·湖北荆门·中考真题）在同一直角坐标系中，函数y kx k =-与(0)||ky k x =≠的大致图象是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①8．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，点A 在曲线到12(0)y x x=>上，点B 在双曲线2(0)ky x x=<上，//AB x 轴，点C 是x 轴上一点，连接AC 、BC ，若ABC 的面积是6，则k 的值（ ）A ．6-B ．8-C ．10-D ．12-9．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD 的边OB 与x 轴的正半轴重合，//AD OB ，DB x ⊥轴，对角线,AB OD 交于点M ．已知:2:3,AD OB AMD =的面积为4.若反比例函数ky x=的图象恰好经过点M ，则k 的值为（ ）A ．275B ．545C ．585D ．1210．（2021·山东威海·中考真题）一次函数()1110y k x b k =+≠与反比例函数()2220k y k x=≠的图象交于点(1,2)A --，点(2,1)B ．当12y y <时，x 的取值范围是（ ） A ．1x <- B ．10x -<<或2x > C ．02x <<D ．02x <<或1x <-11．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点()()()1235,,3,,3,y y y --都在反比例函数()0ky k x=>的图像上，则（ ） A ．312y y y >> B ．123y y y >>C ．132y y y >>D ．213y y y >>二、填空题12．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，①D 经过A ，B ，O ，C 四点，①ACO ＝120°，AB ＝4，则圆心点D 的坐标是________13．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A 1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A 2（1，0），A 3（1，1），A 4（﹣1，1），A 5（﹣1，﹣1），A 6（2，﹣1），A 7（2，2），…．若到达终点A n （506，﹣505），则n 的值为 _______．14．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y 14=x 12+与直线l 2：y ＝kx +3相交于点A ，则方程组11423y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩的解为 ___．15．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．16．（2021·广西贺州·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．17．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将OAD △沿直线OD 折叠后得到'OA D △，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过'A 点，则k 的值为_______．18．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABCS =，则k =_____．19．（2021·四川巴中·中考真题）如图，平行于y 轴的直线与函数y 1k x =（x ＞0）和y 22x=（x＞0）的图象分别交于A 、B 两点，OA 交双曲线y 22x=于点C ，连接CD ，若OCD 的面积为2，则k ＝_______．20．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)k y k x =≠的图象上，若在ky x =的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．21．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，点A 是反比例函数1(0)k y x x=<图象上一点，AC x ⊥轴于点C 且与反比例函数2(0)k y x x=<的图象交于点B ，3AB BC = ，连接OA ，OB ，若OAB 的面积为6，则12k k +=_________．22．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）23．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点a y x =与by x=（a ＞b ＞0）在第一象限的图象分别为曲线C 1，C 2，点P 为曲线C 1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交C 2于点A ，作x 轴的垂线交C 2于点B ，则阴影部分的面积S ①AOB ＝_______．（结果用a ，b 表示）24．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在(0,0)ky k x x=≠<的双曲线上．点O E 、的对应点分别是点C A 、．若点A 为OE 的中点，且1AEF S =△，则k 的值为____．25．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数2y x =与反比例数()0ky k x=>的图像交于A ，B 两点，点M 在以()2,0C 为圆心，半径为1的C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是_______．三、解答题26．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？27．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C ，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴，交直线34y x =于点D ，连接OC ，AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________，__________）； （2）求证：四边形OADC 是平行四边形；（3）动点P 从点O 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，直到点D 为止；动点Q 同时从点D 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时，CPQ 的面积是__________．①当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，请直接写出此时t 的值．28．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数12y x b =-+与反比例函数()100y x x =-<，()0ky x x=>图象分别交于()2,A m -，()4,B n ，与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数()0ky x x =>和一次函数12y x b =-+的表达式；（2）求AOB 的面积．29．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线32y x =与双曲线()0k y k x=≠交于A ，B 两点，点A 的坐标为(),3m -，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC 并延长交x 轴于点D ，且2BC CD =．（1）求k 的值并直接写出．．．．点B 的坐标； （2）点G 是y 轴上的动点，连接GB ，GC ，求GB GC +的最小值；（3）P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ABPQ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可 【详解】解：由题意可知：AC =AB ①()8,0A ，()2,0C - ①OA =8，OC =2 ①AC =AB =10在Rt ①OAB 中，6OB = ①B (0，6) 故选：D【点拨】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 2．A 【分析】由题意得：OE 平分①AOC ，结合AD ①OC ，可得AO=AF ，设AH =m ，则AO =AF =2+m ，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知：OE 平分①AOC ，①①AOF =①COF ，①在AOCD 中，AD ①OC ， ①①COF =①AFO ， ①①AOF =①AFO ，①AO=AF ， ①()2,3F ， ①FH =2，OH =3，设AH =m ，则AO =AF =2+m ， ①在Rt AOH 中，AH 2+OH 2=AO 2， ①m 2+32=(2+m ) 2，解得：54m =， ①A 5,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A ．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF ，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 3．B 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B 到达点G 之前，即0＜x ＜1时，求出y 和x 的关系式，确定图象，第二个是点C 到达点H 之前，即1＜x ＜2时，求出y 和x 的关系式，确定图象，第三个是点C 到达点F 之前，即2＜x ＜3时，求出y 和x 的关系式，确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点D 作DH ①EF ，①①DGF ＝45°，DE ＝1，FG ＝3， ①EH ＝2，DH ＝EF ＝2，当0＜x ＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x ， ①y ＝212x ，①102>， ①该部分图象开口向上，当1＜x ＜2时，如图，设A 'B '与DG 交与点N ，A 'C '与DG 交与点M ， 则S 重叠＝S ①GMC '﹣S ①GNB '， 设B 'K ＝a ，则NK ＝2a ， ①GC '＝x ，B 'C '＝1， ①GB '＝x ﹣1，①①GKN 是等腰直角三角形， ①GK ＝NK ， ①x ﹣1＋a ＝2a ， ①a ＝x ﹣1， ①NK ＝2x ﹣2，①21(1)(22)212GNB S x x x x '∆=--=-+，①212GMC S x '∆=， ①S 重叠＝212x ﹣（x 2﹣2x ＋1）＝21212x x -+-，①102-<， ①该部分图象开口向下，当2＜x ＜3时，重叠部分的面积为S ①ABC ，是固定值， ①该部分图象是平行x 轴的线段， 故选：B ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定y 和x 之间的函数关系式，从而确定图象． 4．C 【分析】将点()1,4-代入一次函数解析式，求出k 的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．解：①一次函数y kx k =-过点()1,4-， ①4k k =--，解得2k =-，①一次函数为22y x =-+，y 随x 增大而减小，故A 和B 错误； 当1x =时，0y =，故C 正确；该一次函数与x 轴交于点()1,0，与y 轴交于点()0,2， ①与坐标轴围成的三角形面积为11212⨯⨯=，故D 错误；故选：C ．【点拨】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 5．B 【分析】因为题中已知12345,k k b b b ===，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题． 【详解】解：①直线()1,2,3,4,5,6,7n n y k x b n =+=，其中12345,k k b b b === ①第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点， ①这5条直线最多有7个交点，第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个， 第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个， ①得出交点最多就是7＋5+6＝18条， 故选：B ．【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点． 6．D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B 、C 点的坐标，再写出BC 解析式，再判断点在BC 上．解：作BD OA ⊥，CE OA ⊥，45BOA ∠=︒，BD OD ∴=，设(,)B a a ，∴9a a=， 3a ∴=或3a =-（舍去）， 3BD OD ∴==，(3,3)B ， 2BC AC =．3ABAC ，BD OA ⊥，CE OA ⊥，//BD CE ∴，.ABD ACE ∴∆∆∽3BD ABCE AC==， ∴33CE=， 1CE ∴=，图象经过点C ，∴91x=， 9x ∴=，(9,1)C设BC 的解析式为y kx b =+，3319k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴143y x =-+，当2019x =-时，677y =， 当2020x =-时，16773y =， 当2021x =时，26693y =-， 当2022x =时，670y =-， 故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出BC 的解析式是解题的关键． 7．B 【分析】根据k 的取值范围，分别讨论k ＞0和k ＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】 解：当k ＞0时，一次函数y=kx -k 经过一、三、四象限， 函数的(0)||ky k x =≠（k≠0）的图象在一、二象限， 故选项①的图象符合要求． 当k ＜0时，一次函数y=kx -k 经过一、二、四象限， 函数的(0)||ky k x =≠（k≠0）的图象经过三、四象限， 故选项①的图象符合要求． 故选：B ．【点拨】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k 值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y 轴的交点与一次函数的常数项相关． 8．C 【分析】根据//AB x 轴可以得到6ABCAOBS S==，转换成反比例函数面积问题即可解题．【详解】连接OA 、OB ，设AB 与y 轴交点为M ，①//AB x 轴 ①AB ①y 轴，6ABCAOBS S==①12BOMS k =，1212AOMS =⨯= ①6ABCAOBBOMAOMS S SS==+=①1162k += 解得10k =± ①点B 在双曲线2(0)ky x x=<上，且B 在第二象限 ①0k < ①10k =- 故选C【点拨】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k 的关系是解题的关键． 9．B 【分析】过点M 作ME ①x 轴于点E ，则有ME ①BD ，2MEOk S=，进而可得ADM BOM ∽、OME ODB ∽，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．【详解】解：过点M 作ME ①x 轴于点E ，如图所示：①DB x⊥轴，①ME①BD，①//AD OB，①ADM BOM∽，①:2:3AD OB=，①249 ADMBOMS ADS OB⎛⎫==⎪⎝⎭，①AMD的面积为4，①9BOMS=，①:2:3AD OB=，①:3:5OM OD=，由题可知①OMB、①OBD的高是相同的，则有35BOM OBDS S=，①453OBDS=，①ME①BD，①OME ODB∽，①2925 OMEODBS OMS OD⎛⎫==⎪⎝⎭，①275OMES=，由反比例函数k 的几何意义可得：2MEOk S =，①0k >， ①545k =； 故选B ．【点拨】本题主要考查反比例函数k 的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k 的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．D 【分析】先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x 的取值范围即可． 【详解】解：①两函数图象交于点(1,2)A --，点(2,1)B①112=12k b k b --+⎧⎨=+⎩，221k -=-，解得：1=11k b ⎧⎨=-⎩，k 2=2 ①11y x =-，22y x=画出函数图象如下图：由函数图象可得12y y <的解集为：0＜x ＜2或x ＜-1．故填D ．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键． 11．A 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】 解：①()0ky k x=>， ①在每个象限内，y 随着x 的增大而减小， ①-5<-3<0<3， ①312y y y >>， 故选：A ．【点拨】此题考查反比例函数的增减性：当k >0时，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小；当k <0，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大．12．D （1） 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到①ABO ＝60°，再根据圆周角定理得到AB 为①D 的直径，则D 点为AB 的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB ＝2，OA ＝以A （0），B （0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D 点坐标． 【详解】解：①四边形ABOC 为圆的内接四边形， ①①ABO ＋①ACO ＝180°， ①①ABO ＝180°−120°＝60°， ①①AOB ＝90°， ①AB 为①D 的直径， ①D 点为AB 的中点，在Rt①ABO 中，①①ABO ＝60°，①OB ＝12AB ＝2，①OA ＝①A （0），B （0，2），①D 点坐标为（1）．故答案为（1）．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．13．2022【分析】 终点()506505n A -，在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n 的值． 【详解】解：①()506505-，是第四象限的点， ①()506505n A -，落在第四象限． ①在第四象限的点为()()()()61014213243506505n A A A A ---⋯-，，，，，，，，． ①64121042214432=⨯-+=⨯-+=⨯-+，，，18442=⨯-+⋯，， ①450522022n =⨯-+=．故答案为：2022【点拨】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．14．21x y =⎧⎨=⎩【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①直线l 1：y 14=x 12+与直线l 2：y ＝kx +3相交于点A （2，1）， ①方程组11423y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩； 故答案为：21x y =⎧⎨=⎩． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．15．（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ①x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =①1OM MN ==，MON ∠=45°①1ONM =∠90°①1ON NM =①1ON NM ⊥①11OM MM ==①1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）①2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点拨】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.16．(--【分析】过P 作PD ①OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得①ABO =①OAB =45°，再证明①PCB ①①OP A ，从而求出BD ＝OD ＝【详解】如图所示，过P 作PD ①OC 于D ，①一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，①A (-4，0)，B (0，4)，即：OA =OB ，①①ABO =①OAB =45°，①①BDP 是等腰直角三角形，①①PBC ＝①CPO ＝①OAP ＝45°，①①PCB ＋①BPC ＝135°＝①OP A ＋①BPC ，①①PCB ＝①OP A ，又①PC ＝OP ，①①PCB ①①OP A （AAS ），①AO ＝BP ＝4，①Rt ①BDP 中，BD ＝PD ＝BP＝①OD ＝OB −BD ＝，①P （-）．故答案是：P （-，．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．17．48【分析】过A '作EF OC ⊥于F ，交AB 于E ，设(,)A m n '，OF m =，A F n '=，通过证得①A OF '∽①DA E '，得到310103m n n m ==--，解方程组求得m 、n 的值，即可得到A '的坐标，代入(0)k y k x =≠即可求得k 的值．【详解】解：过A '作EF OC ⊥于F ，交AB 于E ，90OA D ∠'=︒，90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒，90OA F AOF ∠'+∠'=︒，DA E AOF ∴∠'=∠'，A FO DEA ∠'=∠'，∴①A OF '∽①DA E '， ∴OF A F OA A E DE A D''==''，设(,)A m n '，OF m ∴=，A F n '=，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，103DE m ∴=-，10A E n '=-， ∴310103m n n m ==--， 解得6m =，8n =，(6,8)A ∴'， 反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过A '点， 6848k ∴=⨯=，故答案为48．【点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得A '的坐标是解题的关键．18．18【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，通过设参数表示出①ABC 的面积，从而求出参数的值，再利用①ABC 与矩形ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得 k 的值．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ．//AB x 轴，DBE COE ∴∽，DB BE DE CO CE EO∴==，32BE CO CE AD ==， 32DB DE BE CO CO EO CE AD ∴====， 设3CO a =，3DE b =，则2AD a =，2OE b =，332DB a ∴=，5OD b =， 92a BD ∴=， 132a AB AD DB ∴=+=， 1113513222ABC a S AB OD b =⋅⋅=⨯⨯=， 45ab ∴=， 94551822ODBF a ab S BD OD b ⋅=⋅===矩形， 又反比例函数图象在第一象限，18k ∴=，故答案为18．【点拨】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．19．8【分析】设A （m ，k m ），则B （m ，2m ），D （m ，0），C （n ，k n ），由112=222OCD C m S OD y m n n ===△得出12n m =，再根据()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△求解即可得到答案. 【详解】解：设A （m ，k m ），则B （m ，2m ），D （m ，0），C （n ，k n ）， ①112=222OCD C m S OD y m n n ===△， ①12n m =， 又①()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△ 112m n k m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭12n k m =14k = ①124k = 解得8k故答案为：8.【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数的几何意义，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20． 【分析】利用30的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．【详解】解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C 在(0)k y k x=≠上，k ∴=设)M m (0)m > 30MOF ∠=︒tan MOF ∴∠=解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．21．20【分析】利用反比例函数比例系数k 的几何意义得到S ①AOC =12|1k |=-112k ，S ①BOC =12|2k |=-212k ，利用AB =3BC 得到S ①ABO =3S ①OBC =6，所以-212k =2，解得2k =-4，再利用-112k =6+2得1k =-16，然后计算1k +2k 的值．【详解】解：①AC ①x 轴于点C ，与反比例函数y =2k x （x ＜0）图象交于点B ， 而1k ＜0，2k ＜0，①S ①AOC =12|1k |=-112k ，S ①BOC =12|2k |=-212k ， ①AB =3BC ，①S ①ABO =3S ①OBC =6，即-212k =2，解得2k =-4， ①-112k =6+2，解得1k =-16， ①1k +2k =-16-4=-20．故答案为：-20．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k |，且保持不变．22． 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【详解】11OB A △为等腰三角形∴直线1OB 的解析式为y x = 由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴==()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =- ∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B 综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B 总结规律可得n B坐标为：故答案为： 【点拨】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．12a 22b a- 【分析】设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ），阴影部分的面积S ①AOB ＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【详解】解：设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ）， ①点P 为曲线C 1上的任意一点，①mn ＝a ，①阴影部分的面积S ①AOB ＝mn 12-b 12-b 12-（m b n -）（n b m-） ＝mn ﹣b 12-（mn ﹣b ﹣b 2b mn+）＝mn ﹣b 12-mn +b 22b mn- 12=a 22b a-． 故答案为：12a 22b a-． 【点拨】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn ＝a 可解决问题． 24．24-【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG 和EO 之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG 和OD 之间的关系，设EG =x ，FG =y ，用它们表示出D 点坐标，接着得到B 点坐标，利用1AEF S =△，得到1xy =，再利用反比例函数的定义，计算出B 点横纵坐标的积，即为所求k 的值．【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE =GA ，CG =OG ，BC =OD ，①点A 为OE 的中点，①AE =OA ， ①1244EG EG EG OE AE EG ===, ①MN ①y 轴， ①14FG EG OD EO ==， ①=4OD FG ，①1AEF S =△， ①112AE FG ⋅=, ①1212EG FG ⨯⋅=， ①1EG FG ⋅=，设EG =x ，FG =y ，则OG =3x ，OD =4y ，①()0,4D y ，因为D 点和B 点关于MN 对称，①()6,4B x y -①1EG FG ⋅=，①1xy =①6424x y -⋅=-,①点B 恰好落在(0,0)k y k x x=≠<的双曲线上， ①24k =-，故答案为：24-．【点拨】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．25．3225【分析】根据题意得出ON 是ABM 的中位线，所以ON 取到最大值时，BM 也取到最大值，就转化为研究BM 也取到最大值时k 的值，根据,,B C M 三点共线时，BM 取得最大值，解出B 的坐标代入反比例函数即可求解．【详解】解：连接BM ，如下图：在ABM 中，,O N 分别是,AB AM 的中点，ON ∴是ABM 的中位线，12ON BM ∴=， 已知ON 长的最大值为32， 此时的3BM =，显然当,,B C M 三点共线时，取到最大值：3BM =，13BM BC CM BC =+=+=，2BC ∴=，设(,2)B t t ，由两点间的距离公式：2BC ==，22(2)44t t ∴-+=， 解得：124,05t t ==（取舍）， 48(,)55B ∴， 将48(,)55B 代入()0k y k x=>， 解得：3225k =， 故答案是：3225．【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM 取最大值时k 的值． 26．（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x 元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x -6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设可以购买m 瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m ）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x 元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为()6x -元/瓶， 由题意可得，180********x x =⋅-， 解得30x =，经检验30x =是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.（2）设利润为y 元，购进甲品牌洗衣液m 瓶，则购进乙品牌洗衣液()120m -瓶，由题意可得，()30241203120m m +-≤，解得40m ≤，由题意可得，()()()363028*********y m m m =-+--=+，①20k =>，①y 随m 的增大而增大，①当40m =时，y 取最大值，240480560y =⨯+=最大值.答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．【点拨】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．27．（1）3-，5，0；（2）见解析；（3）①12；①55+【分析】（1）代入C 点坐标即可得出k 值确定直线的解析式，进而求出A 点坐标即可； （2）求出AD 点坐标，根据CD OA =，//CD OA ，即可证四边形OADC 是平行四边形； （3）①作CH OD ⊥于H ，设出H 点的坐标，根据勾股定理计算出CH 的长度，根据运动时间求出PQ 的长度即可确定CPQ ∆的面积；①根据对角线相等确定PQ 的长度，再根据P 、Q 的位置分情况计算出t 值即可．【详解】解：（1）直线15(0)y kx k =+≠经过点(3,6)C ，3156k ∴+=，解得3k =-，即直线的解析式为315y x =-+，当0y =时，5x =，(5.0)A ∴，（2）线段CD 平行于x 轴，D ∴点的纵坐标与C 点一样，又D 点在直线34y x =上， 当6y =时，8x =，即(8,6)D ，835CD ∴=-=，5OA =，OA CD ∴=，又//OA CD ，∴四边形OADC 是平行四边形；（3）①作CH OD ⊥于H ，H 点在直线34y x =上，∴设H 点的坐标为3(,)4m m ， 2223(3)(6)4CH m m ∴=-+-，2223(8)(6)4DH m m =-+-， 由勾股定理，得222CH DH CD +=， 即2222233(3)(6)(8)(6)544m m m m -+-+-+-=， 整理得245=m 或8（舍去）， 3CH ∴=，810OD =，∴当1t =时，10118PQ OD t t =--=--=，11831222CPQ S PQ CH ∆∴=⋅=⨯⨯=， ①10OD =，当05t 时，102PQ t =-，当510t 时，210PQ t =-，当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，PQ AC =，(5AC ==当05t 时，102t -=，解得5t =当510t 时，210t -=解得5t =综上，当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时t 的值为55+【点拨】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．28．（1）()80y x x =>，142y x =-+；（2）12． 【分析】（1）把点A 的坐标代入()100y x x =-<m 的值，得出A 的坐标代入12y x b =-+，求出一次函数的解析式，进而求得点B 的坐标，利用B 点的坐标求得()0ky x x =>的解析式；（2）根据一次函数解析式求得点C 的坐标，再将y 轴作为分割线，求得①AOB 的面积；【详解】解：（1）①()2,A m -，在函数()100y x x=-<的图象上， ①m =5，①A (-2，5)，把A (-2，5)代入12y x b =-+得：15(2)2b =-⨯-+， ①b =4，①一次函数12y x b =-+的表达式为：142y x =-+， ①()4,B n 在函数142y x =-+的图象上， ①n =2，①()4,2B ，把()4,2B 代入()0k y x x =>得：2=4k ，①k =8， ①反比例函数的解析式为：()80y x x=>； （2）①C 是直线AB 与y 轴的交点，直线AB ：142y x =-+， ①当x =0时，y =4，①点C （0，4），即OC =4，①A (-2，5)，()4,2B ，①AOB AOC BOC S S S =+△△△=12×4×2+12×4×4=12；【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C 点坐标是解题的关键．29．（1）6k =，B (2，3)；（2）（3）P （132，0）或（0，133）. 【分析】（1）根据直线32y x =经过点A (),3m -，可求出点A （-2，-3），因为点A 在()0k y k x =≠图象上，可求出k ，根据点A 和点B 关于原点对称，即可求出点B ；（2）先根据2BC CD =利用相似三角形的性质求出点C ，再根据对称性求出点B 关于y 轴的对称点B ’，连接B ’C ，即B ’C 的长度是GB GC +的最小值；（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】（1）解：因为直线32y x =经过点A (),3m -， 所以332m -=⨯， 所以m =-2，所以点A （-2，-3），因为点A 在()0k y k x=≠图象上， 所以()236k =-⨯-=， 因为32y x =与双曲线()0k y k x=≠交于A ，B 两点， 所以点A 和点B 关于原点对称，所以点B (2，3)；（2）过点B ，C 分别作BE ①x 轴，CF ①x 轴，作B 关于y 轴对称点B’，连接B’C ，因为BE ①x 轴，CF ①x 轴，所以BE //CF ，所以BED CFD , 所以BE BD CF CD=， 因为2BC CD =， 所以31BE BD CF CD ==， 因为B （2，3），所以BE =3，所以CF =1，所以C 点纵坐标是1，将1C y =代入6y x=可得：x =6， 所以点C （6，1），又因为点B’是点B 关于y 轴对称的点，所以点B’（-2，3），所以B’C ==，即GB GC +的最小值是（3）解：①当点P 在x 轴上时，当①ABP =90°，四边形ABPQ 是矩形时，过点B 作BH ①x 轴，因为①OBP =90°，BH ①OP ,所以OHBBHP ，。

函数与图像一、知识结构框架二、概念复习1、平面直角坐标系（1）定义：平面有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。

在平面直角坐标系的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。

（2）各象限点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0。

（3）点P （x, y ）坐标的几何意义：点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； 点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |； 点P （x, y ）到原点的距离是22y x +点P （x, y ）到任意Q （a ，b ）的距离是 √(x −a )2+(y −b )2 （4）关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； 点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -； 点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --；2、函数 （1）常量和变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。

（2）函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

（3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法（4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 3、一次函数其他性质：① 平移性：y =kx +b 可由 y =kx 平移得到； 当 y 1=k 1x +b 与 y 2=k 2x +c 平行时，k 1=k 2② 垂直性：当 y 1=k 1x +b 与 y 2=k 2x +c 垂直时，k 1·k 2=−1. 3.1题型考察 （1）函数判断例1：下列解析式中，不是函数关系式的是（ ）A .y= x (x ≥0)B .y=－x (x ≥0)C . y=±x (x ≥0) D. y= －x (x ≤0) 例2：下列各曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． （2）函数自变量的取值范围 例1：函数y =√x−1x−2自变量x 的取值范围是 .例2：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=12x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x -（3）函数在实际生活中的图像表达例题：李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）（4）一次函数的定义及性质例：已知函数y=(m-1)x+m2-1是正比例函数，则m= .（5）用待定系数法求函数解析式例：已知一次函数过点（2，8），（6，20），则一次函数解析式为 .4、反比例函数其他性质：①恒值性：图像上任意一点到X轴，Y轴的垂线围成的矩形面积，等于|k|，k为比例系数。