全等三角形的判定学案(横版)

全等三角形的性质与判定教案教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解并掌握全等三角形的定义及基本性质。

学生能够识别并应用全等三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS等。

2. 过程与方法：通过观察、操作、讨论等教学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

引导学生通过合作学习，共同探讨和解决问题，提升团队协作能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养严谨的数学思维。

培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。

教学重点：全等三角形的定义和基本性质。

全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。

教学难点：正确理解和应用全等三角形的判定方法。

在实际问题中准确识别和应用全等三角形的性质。

教学准备：多媒体课件、教学用具（如直尺、圆规、三角形纸片）、学生练习册。

教学过程：一、导入新课1. 生活实例引入：展示生活中常见的全等现象，如书本封面、地砖等，引导学生观察并思考。

2. 提问：这些图形有什么共同点？引出全等三角形的概念。

二、讲授新课1. 全等三角形的定义：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。

2. 全等三角形的性质：对应边相等。

对应角相等。

对应边上的高、中线、角平分线、垂直平分线等对应相等。

3. 全等三角形的判定方法：SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

SAS（边角边）：两边及它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

ASA（角边角）：两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

4. 例题讲解：通过例题演示如何应用全等三角形的判定方法。

三、巩固练习1. 基础练习：学生独立完成一些简单的判定题，检验对全等三角形判定方法的理解。

2. 小组合作：分组讨论一些稍复杂的实际问题，引导学生利用全等三角形的性质解决问题。

四、课堂小结1. 回顾知识点：总结全等三角形的定义、性质和判定方法。

2. 强调难点：强调在判定全等三角形时需要注意的细节和易错点。

19.7直角三角形全等的判定-学案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直角三角形全等的判定一、课前练习已知:如图,AB⊥BC,DC⊥BC,根据下列条件能否判定两个直角三角形ABC与DCB全等,为什么?(1)AB=DC;(2)∠A=∠D;(3)∠ACB=∠DBC;(4)AC=DB.二、阅读理解1.阅读教材P112～113.2.直角三角形全等的判定定理是3.判定直角三角形全等的方法有: 、、、 .4.尝试:想一想把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼在一起,有哪几种不同的拼法其中,哪几种拼法可以创设边或角对应相等的条件,依据已学过的定理来判断这两个三角形全等5.阅读中遇到的问题有三、新课探索已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A＇B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,AB=A′B′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.由前面“的证明方法的启示,是否可以考虑也将这两个三角形拼在一起,构造图形,创设条件请尝试把两个图形拼在一起,看看有几种不同的拼法.拼法中,哪几种不可取为什么例题1 已知:如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.例题2 求证:在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.四、课内练习1.如图,AB、CD垂直相交于点O,根据下列条件,要判定△AOC与△DOB全等,分别用哪条判定定理?(1)∠A=∠D,AC=DB;(2)AO=DO,CO=BO;(3)AC=DB,CO=BO;(4)∠C=∠B,CO=BO.2.已知:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足分别为点E、F.求证:EB=FC.3.已知:如图,EC⊥AB,FD⊥AB,垂足分别为C、D,AF=BE,FD=EC.求证:AC=BD.4.已知:如图,AB⊥BC,AE⊥ED,垂足分别为点B、E,AB=AE,∠1=∠2.求证:BC=ED.5.已知:如图,AD⊥CD,BC⊥CD,D、C分别为垂足,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,BC=DF.求证:AD=FC.BM直角三角形全等的判定一、选择题1、如图，在△ABC 中，MD 垂直平分AB ，交AB 于M ，交BC 与D,NE 垂直平分AC ，交AC 于N ，交BC 于E ，若∠BAC=100°，则∠DAE 的度数为（ ）° ° ° °2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F ，则图中全等的直角三角形的对数为（ ） A ．3二、填空题1、已知Rt △ABC ≌Rt △A ’B ’C ’,∠C=∠C ’=90°,AB=5,BC=4,AC=3,则△A ’B ’C ’的周长为___________，面积为__________，斜边上的高_____________.2、如图，在△ABC 中，∠C=90°,AM 平分∠CAB ，CM=10cm ，那么点M 到AB的距离是_______cmABCDEM N ABCDEFOAC三、简答题1、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别是B 、C ，AB=DC ，AE=DF 求证：AF=DEABCEFD。

12.2 三角形全等的判定学案一、教学目标1.理解三角形的全等概念，并掌握三角形全等的基本判定方法；2.能够应用全等三角形的性质解决实际问题；3.提高学生的逻辑推理和证明能力。

二、教学重点1.三角形全等的基本判定方法；2.利用全等三角形的性质解决实际问题。

三、教学难点1.灵活应用全等三角形的性质解决实际问题。

四、教学过程1. 导入新知通过展示两组图形，让学生观察图形中的特征，并思考两组图形是否相等。

引导学生讨论图形的特征，引出三角形全等的概念。

2. 引入全等三角形的基本判定方法•SSS 判定法：若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等；•SAS 判定法：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等；•ASA 判定法：若两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则这两个三角形全等；•RHS 判定法：若两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形全等。

通过示例演示每种判定法的应用，让学生理解全等三角形的判定依据和过程。

3. 练习与巩固让学生在小组内互相出题，提供两个三角形，要求判断它们是否全等，并给出相应的判定依据。

同时，鼓励学生设计一些有趣的问题，通过全等三角形的性质解决。

4. 拓展应用引入实际问题，例如，两座高塔的高度无法直接测量，但可以利用三角形的全等性质来解决。

通过具体案例演示如何利用全等三角形的性质解决实际测量问题。

五、课堂小结总结三角形全等的判定方法，并强调全等三角形在解决实际问题中的应用。

鼓励学生通过多练习，提高对全等三角形的理解和应用能力。

六、作业1.完成课堂练习题；2.设计一个实际问题，利用全等三角形的性质进行解决；3.预习教材相关内容，为下一堂课做准备。

七、教学反思本节课通过引入图形观察和讨论，让学生主动思考，引出全等三角形的概念。

通过示例和练习，帮助学生掌握全等三角形的基本判定方法，并在实际问题中应用。

课堂氛围活跃，学生参与度高。

在今后的教学中，可以进一步提供更多的实际问题，培养学生的解决问题和推理能力。

学案《直角三角形全等的判定》学习目标：已知斜边及一直角边，会作Rt △；理解直角三角形全等的判定公理“HL ”公理；会用“HL ”公理判定两个直角三角形全等。

课 前 活 动 单1．在小组内叙述SSS 公理，SAS 公理，ASA 公理及AAS 的具体内容.2．已知：∠ɑ，∠β，线段a ，如图.求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.3．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使 △ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC=DFB ．BC=EFC ．∠A=∠D D ．∠C=∠F课 堂 活 动 单活动一：小组交流课前单，并派代表汇报。

活动二：探究两个直角三角形全等的条件对于两个直角三角形，若满足一边一锐角对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等；若满足两直角边对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等。

思考：若满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，再画一个Rt △A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC ，A′B′=AB. (1)你能画出满足上述条件的△A ′B ′C ′吗？应该怎样画呢？β aCDFα(2)把画好的△A′B′C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？这反映了什么规律？基本事实：直角三角形判定定理。

简写为或符号语言表示：小结：判定两个直角三角形全等的方法有种，分别是即时反馈：1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD。

求证：BC=AD3．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由小结本课收获？课后作业单一、选择题1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，AC=DF B．AC=EF，BC=DFC．AB=DE，BC=EF D．∠C=∠F，BC=EF2. 已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，AD=BC，∠C=∠D=90°，下列结论中不成立的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DAE与△CBE不一定全等D．∠1=∠24.如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC 于F，则图中全等的直角三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题5. 如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图所示，BA∥DC，∠A=90°，AB=CE，BC=ED，则△CED≌△，AC= ，∠B=∠．7. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ．三：解答题8.如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．9.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD=CD．试说明BE=CF．11．如图，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共（）A.5对B.4对C. 3对D.2对12．如图，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：BF是△ABC中AC边上的高.。

《直角三角形全等的判定》 学案设计授课老师：吴婉铭一、我的目标知识技能：1．能说出“斜边、直角边”方法判断直角三角形全等的内容．2．会运用“斜边、直角边”方法证明两个直角三角形全等．数学思考：经历作图，比较证明等探究过程，促使自我分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力有所提高．解决问题：能灵活运用“斜边、直角边”方法证明两个直角三角形全等．情感态度：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性．学习重点：能运用各种方法判定两个直角三角形全等．学习难点：能阐述、理解“斜边、直角边”（HL ）方法，灵活运用“斜边、直角边”（HL ）方法来判定两个直角三角形全等。

二、我能参与（一）温故知新师：前面我们已经学习了一般三角形全等的判定方法，分别有哪些？生： （ ）， （ ）， （ ）， （ ） 师：上面的判定方法适用于一般三角形全等的判定，如果两个三角形是直角三角形，那么这些判定方法适用吗？生：师：对于两个直角三角形，已知直角相等了，还要满足几个条件，这2个直角三角形就全等？如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，（1）若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （ 用简写法）。

（2）若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）。

（3）若∠A=∠D ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）。

（4）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）。

归纳：两个直角三角形全等的类型：？（一句话概括：？ ） AB CE FD（二）我能实践如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮他想个办法吗？师：有一条直角边被花盆遮住无法测量即意味着有一条直角边是未知的。

全等三角形的判定小测试 总分10分 得分___________ 1．（5分）如图，已知 ABC 中，∠B ＝40°，∠BAC ＝32°，BC 边上的高为AD ，则∠CAD ＝________°．2．（5分）如图，在△ABC 中，∠A ＝72°，∠ABD ＝13∠ABC ，∠ACE ＝13∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，则∠BOC ＝________°．【教学目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素； 2．掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的证明和计算；3．掌握全等三角形的判定定理，能够运用判定定理判定两个三角形全等，能够运用全等证线段、角相等．【教学重难点】重难点：1．重点：全等三角形的判定及性质；2．难点：全等三角形的性质及判定的应用．考点：全等三角形的概念 知识点与方法技巧梳理：能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个全等三角形中，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角． △ABC 和△A′B′C′ 是全等的三角形，记作△ABC ≌△A′B′C′． 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等．【例1】（2016黄冈中学）如图，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝36°，∠EAB ＝24°，∠C ＝32°，则∠DAC ＝________°．【变式】1．已知△ABC 与△DEF 全等，AB ＝DF ，BC ＝EF ，那么∠C ＝（ ）A ．∠DB ．∠EC ．∠FD ．∠B2．如图，若△ABD ≌△EBC ，且AB ＝3，BC ＝5，则DE 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5C3．如图，锐角△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，△ADC ≌△ADC ′， △AEB ≌△AEB ′，且C′D ∥EB ′∥BC ，BE 与CD 交于点F ， BAC x ∠=︒，则∠BFC 的大小是__________°.（用含x 的式子表示）考点2：全等三角形的判定 知识点与方法技巧梳理：角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“ASA ”）． 边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“SAS ”）． 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“SSS ”）．角角边定理 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“AAS ”）． 斜边直角边定理 斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（简称“HL ”）【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，延长AC 到F ，使DF ＝BC ，求证：△BDC ≌△DEF ．【例2】已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，BD 交CE 于点O ．求证：∠CAB ＝∠EAD ＝∠BOC ．【例3】在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上且BF ＝BE ．线段CF 与线段AE 有何关系？请给出证明．C'A B C D E FE B F【能力提升】1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，EF交AP于Q点．（1）证明：AE＝CF，BE＝AF；（2）证明：△EPF为等腰直角三角形；（3）若AB＝6，求四边形AEPF的面积；（4）比较∠AEP与∠AQF的大小.2．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式使点B，F，C，D在同一条直线上．（1）求证：AB⊥ED；（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对．．3．（2014龙岩）已知：BF平分△ABC的外角∠ABE，D为BF上一动点．AB CPFE Q（1）如图1，若DA ＝DC ，求证：∠ABC ＝∠ADC ；（2）如图2，在D 的运动过程中，试比较BA ＋BC 与DA ＋DC 的大小，并说明理由．4．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕点B 旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F ． （1）当MBN ∠旋转到AE CF =时（如图1），求证：①BE BF =；②AE CF EF +=； （2）当MBN ∠旋转到AE CF ≠时（如图2），求证：AE CF EF +=；（3）当MBN ∠旋转到图3位置时，请你猜想线段AE 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明．ACBFD E 图2AC B FDE 图1N M F E D C B A图1 N M FE D C BA 图2 N M FE D C B A 图35．（2014重庆B 卷）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，AD ⊥AB 交BE 的延长线于D ，CF ⊥BD 交AB 于F ，CG 平分∠ACB 交BD 于G ．求证：（1）AF ＝CG ；（2）CF ＝2DE ．6．在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA ＝∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． （1）求证：BF ∥AC ； （2）若AB ＝BC （如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段， 并证明你的结论．A B D C G EF 图 2FH E D CB A图 1F【家庭作业】1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝6，求 △BDE 的周长．2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，过点B 作直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，DE ⊥AD 交MN 于点E ，求证：DE ＝AD ．C B A ED A B C D M N E。

D C B AE D C B A BA E F D C N MPC B A 三角形全等的判定（HL ）学案学习目标：掌握判定直角三角形全等的特殊方法，会用HL 判定直角三角形全等，继续培养动手操作能力及观察比较和逻辑推理能力。

1、根据教材P42探究5，可知：当两个直角三角形满足：1） 边相等；2）一条 边相等，那么这两个三角形 。

简记为 或 。

2、现在我们判定两个三角形全等的方法有： ， ， ， 。

特别地，判定两个直角三角形全等的方法是 。

（当然前面的判定方法对直角三角形仍适用）3、仔细阅读教材P42例5，看看使用HL 证明两个三角形全等与使用SSS 、SAS 等证明过程有何异同。

不同之处：1） 2） 相同之处：1） 2） 3）4、如图，C 是线段BD 的中点，A B ⊥BD,ED ⊥BD,且AB=ED ，求证△AB C ≌△EDC 。

5、如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE=BF ，求证：AE=DF.6、（思考）如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=16，BC=8，一条线段MN=AB ，M,N 分别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线AP 上运动，问M 点运动到什么位置，才能使△AMN 与△ABC 全等？预习思考：1、在使用边角边证明两个三角形全等时，我们特别强调这里的角必 须是两边的夹角，否则会出现右侧这样的两个图形。

如图：△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，∠B=∠B ，AC=AD.但显然△ABC 和△ABD 并不全等。

试想：出现这样的原因在哪里呢？2、如果把三角形的形状固定，如两个三角形都是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，再满足两边相等并且其中一组对应边的对角相等，那可以判定这两个三角形全等吗？（自己作图试一试）。

正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。

【学习目标】
1、理解直角三角形全等的判定方法“hl”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；
3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、
(3)、如图，ab⊥be于b，de⊥be于e，
①若∠a=∠d，ab=de，
根据（用简写法）
根据（用简写法）
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

作法：
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）
(4)用数学语言表述上面的判定方法
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、
“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”
二、合作探究
三、学以致用
根据（用简写法）
2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）
a、两条直角边对应相等
b、斜边和一锐角对应相等
在rt△和rt△中
∵∴≌
（）
∴ = （）
∴（内错角相等，两直线平行）
四、能力提升：（学有余力的同学完成）
五、当堂检测。