第一章 质点力学-3

这时 闭合路径积分等于零
F dr F dl 0
（保守力定义之三）
L
※ 假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运
动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。
□保守力的判据：
由场论知 F dl F ds 0
L
S
L 为任意
F 0
Fz Fy 0, y z
即：
cosq sinq 7q 6 7dq
98p 2 70p
例2 （P38）在上题中，如
Fx 2x 3y 4z 5, Fy z x 8, Fz x y z 12
则结果如何？
解：略
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
16
§1、8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
通过求解
阻力，则叫单摆。如单摆从幅角 q0（ q0不一定很小）
的地方自由落下，试用两种不同方法（机械能守恒与 运动定律 ）求摆锤通过最低点时的速度。
解： （1）机械能守恒
1 2
mv2
mgl
0
mgl
cosq0
于是得到 v 2gl 1 cosq0
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
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（2）运动定律求解
Fx x 2y z 5, Fy 2x y z, Fz x y z 6
求此质点沿螺旋线 x cosq, y sinq, z 7q 运行自q=0至 q=2p时，力对质点所作的功。
解： 先检验一下，作用力是不是保守力？
Fz Fy 11 0, y z
Fx Fz 11 0, z x
微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse）
积分形式 力对时间的积累
dP Fdt

d v
通过积分，可以得到轨道方程 r r()
33
例 狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都 为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。
求狗的速度、加速度和轨道方程。
狐狸的角速度 d v
dt R

狗有横向和纵向速度
v r,vr v2v2
狗的横向和纵向加速度
a2d dd d r t trd d2 2t,ard d22 rtr d d t2


A (r ,,t) A re r A e
与直角坐标系的变换
xrco ,syrsin
27
正交基矢与极坐标的微分关系
正交基矢只依赖 ，与 r 无关
当θ变化时，正交基矢同时改变方向 满足微分关系
der
de
de de r
e
er
d r(t)

参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展， 构成三维平直空间
参考系：参考空间+测量时间的时钟
z 坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可建立各种坐标系。
时间的零点也可任选
O
y
x
相对运动的参考系
两个参考系之间若有相对运动，
他们观测同一个运动物体 是否会得到相同的距离和时间？
v
z
O
y
x
质点
由繁到简 将物体模型化为一个点——质点
dt dt
加速度
v(t)
dR
d
R


⊙k
a d v d R d R R v d td t d t a 心 v , a 切 R
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曲线的曲率和曲率半径
曲率 d dl

加速度为
这一分加速度叫切向加速度，表示质点速率变化的快慢。 还可以得到

例1—3 P8

1.2.3 一般曲线运动
质点运动学中最一般的运动为曲线运动，可以表示为

例1—4 P10
1.3 牛顿运动定律及其应用


1.3.1 牛顿第一定律
牛顿第一定律：任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体所作的 力迫使它改变这种状态为止。
2.变力的功
变力对物体做的功为


例1—15 P22


1.5.2 保守力的功
1.重力的功

此式表明，重力对物体所做的功只与物体的始末位置有关，与物体的运动路径无关。

2.弹性力的功

此式表明，弹性力对物体所做的功只与物体的始末位置有关，与物体的运动路径无关。

3.万有引力的功

此式表明，万有引力作的功业只与始末位置有关，而与路径无关。

1.3.4 力学中常见的几种作用力
1.万有引力

2.弹性力
因变形而产生的恢复力称为弹性力。

3.摩擦力
滑动摩擦力的大小与正压力成正比，即


1.3.5 牛顿定律的应用

例1—5 P14 例1—6 P15 例1—7 P16
1.4 动量 动量守恒定律


1.4.1 质点的动量定理

这表明，作用在质点系上的合外力在某段时间内的冲量等于质点系在同一时间内动量 的增量。

1.4.3 动量守恒定律

例1—11 例1—12 例1—13 例1—14
P19 P20 P20 P21

例 题
质点作直线运动，运动方程为（ ）： 质点作直线运动，运动方程为（SI）：
x = 12t − 6t
2
时质点的位置、 求 （1）t=4s时质点的位置、速度和加速度； ） 时质点的位置 速度和加速度； （2）质点通过原点时的速度和加速度； ）质点通过原点时的速度和加速度； （3）质点速度为零时所在的位置。 ）质点速度为零时所在的位置。 解：（1）由运动方程可得速度及加速度表达式为： ）由运动方程可得速度及加速度表达式为： dx υ = = 12 − 12t dt dυ a= = −12 dt 时质点的位置、 在t=4s时质点的位置、速度和加速度分别为： 时质点的位置 速度和加速度分别为： -48m、-36m/s和-12m/s2。 、 和
dr = 2i − 2t j 解： v = dt
t = 0 v0 = 2i
t = 2 v2 = 2i − 4 j
−4 = −63 26′ 2
大小： v2 = 22 + 42 = 4.47m / s 大小： 方向： θ = arctan 方向：
v θ为 2与x轴的夹角
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 题 关系为 x=10+8t-4t2,求： x=10+8t质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 =0、 秒时的速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（） 时刻 1 t
= ∆xi + ∆yj + ∆zk
注 意 a) b)
位移是矢量， 位移是矢量，有大小和方向
Δr r1 o z A r2
∆ r 与∆r 的区别
为标量， ∆r为标量，∆r 为矢量