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高数答案第七章

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第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：1、 求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标. 解：（1） xoy 面（a,b,-c ）,yoz 面（-a,b,c ）, xoz 面（a,-b,c ）; (2）ox 轴（a,-b,-c ）, oy 轴（-a,b,-c ）, oz 轴（-a,-b,c ）; (2）关于原点（-a,-b,-c ）。

2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置(3,4,0),(0,4,3),(3,0,0),(0,1,0).A B C D -解：xoy 面：z=0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0.ox 轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A 在xoy 面上，B 在yoz 面上， C 在x 轴上， D 在y 轴上。

3、 在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标. 解：设C （0，0，z ），有|AC|=|BC|，解得：z=149，所求点为(0,0, 149). 4、 设2,3,u a b c v a b c =-+=-+-试用,,a b c 表示23.u v - 解：235117u v a b c -=-+.5、已知两点1(4,2,1)M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模，方向余弦和方向角.解：{}121,M M =-，122M M =，方向余弦为1c o s 2α=-，2cos 2β=-，1cos 2γ=，方向角23πα=，34πβ=，3πγ=.6、设向量a 的模2,a =方向余弦1cos 0,cos ,cos 2αβγ===求.a解：设{},,a x y z =，则02x =，122y =，22y=，所以0x =，1y =，z ={0,1,3a =7、设有向量12,PP 122,PP=它与x 轴、y 轴的夹角分别为34ππ和，如果已知1(1,0,3),P 求2P 的坐标.解：设2P 的坐标为(,,)x y z ，{}121,,3PP x y z =--，11cos 232x π-==，所以2x =；cos 242y π==，所以y =122,PP =，所以2=，解得2z =或4z =，所以2P 的坐标为2)或者4).8、求平行于向量}{6,7,6a =-的单位向量.解：36493611a =++=，与a 平行的单位向量为}{16,7,611±-，即为}676,,111111⎧-⎨⎩，或者}676,,111111⎧--⎨⎩.§7.2 数量积 向量积 混合积必作题： P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：1、已知向量}{1,2,2a =-与{}2,3,b λ=垂直，向量}{1,1,2c =-与}{2,2,d μ=平行，求λμ和的值.解：a b ⊥，2620a b λ⋅=-+=，2λ=a b ，11222u-==，4u =-. 2、已知向量23,3,2a i j k b i j k c i j =-+=-+=-,分别计算以下各式.⑴ ((a bc a c b -））； ⑵ ()()a b b c +⨯+；⑶ ()a b c ⨯. 解：⑴ ((88824a bc a c b c b j k -=-=--）） ⑵ ()()(344)(233)a b b c i j k i j k j k +⨯+=-+⨯-+=--⑶ 231()1132120a b c -⨯=-=-.3、已知3,3OA i k OB j k =+=+，求ABO ∆的面积. 解：33OA OB i j k ⨯=--+ABO ∆的面积11922S OA OB =⨯=. §7.3 曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10. 必交题：1、一动点与两定点()()2,3,14,5,6A B 和等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点(,,)P x y z ，因为PA PB =，所以222222(2)(3)(1)(4)(5)(6)x y z x y z -+-+-=-+-+-，解得动点的轨迹方程为632252x y z ++=. 2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴ 1y x =+； ⑵ 224x y +=； ⑶ 221x y -=；⑷ 22x y =； ⑸ 220x y +=.解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面⑷抛物线；抛物柱面 ⑸原点；Oz 坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴ 2221499x y z ++=； ⑵ 222()z a x y -=+. 解：⑴xOy 坐标面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转形成，或者xOz 坐标面上椭圆22149x z +=绕Ox 轴旋转形成。

（2）xOz 坐标面上z a x =+绕Oz 轴旋转形成，或者yOz 坐标面上z a y =+绕Oz 轴旋转形成.4、指出下列方程表示什么曲面⑴ 222194x y z ++=； ⑵ 22349z x y =+； ⑶ 222x y z +=； ⑷ 2224x y z --=.解：⑴ 椭球面 ⑵ 椭圆抛物面 ⑶ 圆锥面 ⑷ 旋转双叶双曲面.5、建立单叶双曲面22211645x y z +-=与平面230x z -+=的交线关于xoy 面的投影柱面与投影曲线方程. 解：将曲面与平面方程联立，消去变量z 得到投影柱面222(3)116420x y x ++-=，投影曲线为222(3)1164200x y x z ⎧++-=⎪⎨⎪=⎩. 6、画出下列各曲面所围立体图形.⑴22z x y =+， 1z =；⑵z =， 0z =；⑶z =， 22z x y =+. 解：略§7.4 空间曲线及其方程必作题：P324--325：3，4，5，6，7，8. 必交题：1、下列方程组各表示什么曲线？⑴ 5123y x y x =+⎧⎨=-⎩ ； ⑵ 221493x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩； ⑶ 22461x y z z ⎧-=⎨=⎩； ⑷ 224804y z x y ⎧+-+=⎨=⎩；⑸ 22222236(1)(2)(1)25x y z x y z ⎧++=⎨-+++-=⎩. 解：⑴ 直线 ⑵ 椭圆 ⑶ 双曲线 （4） 抛物线 ⑸ 圆 2、求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围立体在xoy 坐标面和xoz 坐标面的投影.解：在xOy 平面投影222()24a a x y -+≤，0z =在xOz平面投影z ≤，0y =，0x ≥1、 将曲线的一般方程2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩化为参数方程.解：3sin x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，02t π≤≤§7.5 平面及其方程必作题： P329---330：2，4，6，7，8. 必交题：1、求满足下面条件的平面方程 ⑴ 过点()3,0,1-且与向量}{3,7,5a =-垂直;⑵ 过点()1,0,1-且与二向量}{2,1,1a =，}{1,1,0b =-平行; ⑶ 过点()5,7,4-且在三坐标轴上的截距相等且不为零; ⑷ 过z轴，且与平面20x y +-=的夹角为.3π 解：⑴ 3(3)75(1)0x y z --++=，即3754x y z -+=⑵ 2113110i j ka b i j k ⨯==+--，所以(1)3(1)0x y z -+-+=，即34x y z +-=⑶ 设平面方程为x y z a ++=，过点()5,7,4-，所以2a =，即 2x y z ++=⑷ 设平面方程为0Ax By +=，cos 3π=解得 3A B=-或3B A =，所以方程为30Bx By -+=，即30x y -+=，或者30Ax Ay +=，即30x y +=.2、求两平行平面1:10x y z π+-+=与2:22230x y z π+--=之间的距离.解：在1π上任取一点(0,0,1)，距离d ==§7.6 空间直线及其方程必作题：P335---336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16.必交题1、 求过点(0,2,4)且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程.解：方向向量{}{}{}1,0,20,1,32,3,1s =⨯-=- 以直线方程为24231x y z --==- 2、求直线30:0x y z L x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面:10x y z π--+=间的夹角.解：{}{}{}1,1,31,1,12,4,2s =⨯--=-，{}1,1,1n =--sin 0ϕ==，所以0ϕ=3、求点(3,1,2)P -到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：{}{}{}1,1,12,1,10,3,3s =-⨯-=--在直线上任取一点(1,0,2)M ，{}2,1,0PM =-，{}3,6,6PM s ⨯=-- 距离322PM s d s⨯==第七章总复习必作题: P337---338: 总习题七. 必交题: 第七章模拟检测题 1、填空题(1) 设25a b +与a b -垂直，23a b +与5a b -垂直，则(,)a b = .3π或23π(2) 已知(2,2,1), (8,4,1)a b ==-，则 a 在b 的投影为 ；与a 同方向的单位向量为 ；b 的方向余弦为 . 1；221,,333⎧⎫⎨⎬⎩⎭；8cos 9α=，4cos 9β=-，1cos 9γ= (3) 空间曲线22222()z x y z x y ⎧=+⎨=-+⎩在xOy 面上的投影曲线的方程为 . 221x y z ⎧+=⎨=⎩(4) 与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z +++==都平行且过原点的平面方程为 . 0x y z -+=(5) 点(3,5,7)P 关于平面263420x y z -++=的对称点的坐为 .9713109(,,)494949-1、 选择题(1) 设3a b =，(1,1,1)a b ⨯=，则向量a 与b 的夹角为（ D ）;A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π (2) 设两直线L 1：11112x y z +-==，L 2：12134x y z +-==，则此两条直线（ A ）;A ．异面B ．相交C ．平行D ．重合 (3) 通过x 轴且垂直于平面54230x y z --+=的平面方程为（ B ）;A ．20z y -= B. 20y z -= C ．20x z -= D ．20z x -= (4) 平面24330x y z ++-=与平面290x y z +--=的夹角为（ D ）;(5) 点(1,1,0)M -到直线2330:0y z L x y --=⎧⎨-=⎩的距离为（ B ）.A ．11 B ．11 C ．11 D ．113、计算题(1) 求点A （-1，2，0）在平面210x y z +-+=上的投影.解：垂涎方程为12121x y z +-==-，令12121x y zt +-===-代入平面方程解得23t =-，所以53x =-，23y =，23z =，即投影为522(,,)333-(2) 设平面过点（0，1，3），且平行于直线1121x z -+==，又垂直于已知平面210x y z +-+=，求此平面方程.解：法线向量{}{}{}2,1,11,1,21,5,3n =-⨯=，所求平面方程为(0)5(1)3(3)0x y z -+-+-=，即5314x y z ++=(3) 求直线13231x y z-+==绕z 轴旋转一周所成曲面方程. 解：{}2,3,1s =，cotγ==曲面方程为z γ=，即22213(1)(3)z x y =-++(4) 求以点A （3，2，1）为球心，且与平面2318x y z +-=相切的球面方程.解：点A 到平面的距离d r ===球面方程为222(3)(2)(1)14x y z -+-+-=.(5) 求空间曲线2211x z x y +=⎧⎨+=⎩在三个坐标面上的投影曲线方程. 解：在xOy 平面的投影2210x y z ⎧+=⎨=⎩，在y O z 平面的投影22(1)1z y x ⎧-+=⎨=⎩ 在xOz 平面的投影10x z y +=⎧⎨=⎩.4、证明题(1) 证明向量32, 234, 3126a i j k b i j k c i j k =-++=--=-++共面.证明：132()23403126a b c -⨯⋅=--=-，所以三个向量共面.或者5c a b =+，三个向量线性相关，所以共面.(2)已知两直线方程为1223:112x y z L -+-==-，2111:121x y z L -+-==-，证明直线1L 与2L 相交. 证明：直线2111:121x y z L -+-==-过点(1,1,1)-，而该点满足 1223:112x y z L -+-==-的方程：121213112--+-==-，且 {}{}1,1,21,2,10-⨯-≠，所以两直线不平行，也就不重合，故两直线相交.。

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高等数学第七章 习题答案

高等数学第七章 习题答案

习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。

2． 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？ 答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4． 解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6． 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。

高等数学高教版课后习题答案

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2．
z r 3 (2 s i n2 c o s s i n3 c o s 3 2 s i n c o s 2 ) 。
4．
dz 3 12t 2 。 dt 1 9t 2 24t 4 16t 6
5． 6．
dz e x (1 x) 。 dx 1 x 2 e 2 x
答案与提示
第七章 多元函数微分学
§ 1 多元函数的极限与连续 1． （1）0； （2）2； （3）0； （4）不存在； （5）0； （6）不存在； （7）0； （8）不存在。 8 2． （1） ln 2 ； （2）0； （3） ； （4）0。 5 3． （1）不连续； （2）不连续； （3）连续。 4． （1）当 x m 且 y n （ m, n Z ）时连续； （2）当 x 2 y 2 1 时连续； （3）除点 (a, b) 外都连续。 5． （1）当 | x || y | 时连续； （2）除点 (0, 0) 外都连续。 § 2 全微分与偏导数
（3）
2z ， cos xf1 sin 2 xf11 2 x
2z ， sin x sin yf12 xy
2z ； cos yf 2 sin 2 yf 22 2 y
（4）
2z 4 xy 3 f12 y 4 f 22 ， 2 yf1 4 x 2 y 2 f11 x 2
x 2 x y2 （2） J y x2 y2 y x y2 x 2 x y2
2
xdx ydy du x 2 y 2 ， 。 dv ydx xdy x2 y2
（3）
（4）
z z x xy y (ln x 1) ， x xy 1 ln x 。 x x
高数答案第七章

高数答案第七章

第七章空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：1、求点(a,b,c)分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.解：（1）xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）,xoz面（a,-b,c）;(2）ox轴（a,-b,-c）,oy轴（-a,b,-c）,oz轴（-a,-b,c）;(2）关于原点（-a,-b,-c）。

2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征,指出下列各点的位置A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,1,0).解：xoy面：z=0，yoz面：x=0，xoz面：y=0.ox轴：y=0,z=0，oy轴：x=0,z=0，oz轴：x=0,y=0，A在xoy面上，B在yoz面上，C在x轴上，D在y轴上。

3、在z轴上求与点A(4,1,7)和点B(3,5,2)等距离的点的坐标.解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=149 ，所求点为(0,0,149).4、设uab2c,va3bc,试用a,b,c表示2u3v.解：2u3v5a11b7c.5、已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方向角.解：M1M21,2,1，M1M22，方向余弦为c o s 12，cos22，cos12，方向角23，34，3.16、设向量a的模a2,方向余弦13cos0,cos,cos,22求a.x 解：设ax,y,z，则02 ，y122，y322，所以x0，y1，z3，a0,1,37、设有向量P1P2,P1P22,它与x轴、y轴的夹角分别为和，如果已34知P1(1,0,3),求P2的坐标.解：设P的坐标为(x,y,z)，P1P2x1,y,z3，2 x11cos232，所以x2；y2cos242，所以y2，又P P，所以122,212(z3)2，解得z2或z4，所以P2的坐标为(2,2,2)或者(2,2,4).8、求平行于向量a6,7,6的单位向量.解：a36493611，与a平行的单位向量为16,7,611 ，即为676,,111111，或者676,,111111.§7.2数量积向量积混合积必作题：P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：1、已知向量a1,2,2与b2,3,垂直，向量c1,1,2与d2,2,平行，求和的值.解：ab，ab2620，22ab，11222u，u4.2、已知向量a2i3jk,b ij3k,ci2j,分别计算以下各式.⑴(ab）c(a c）b；⑵(ab)(bc)；⑶(a b)c.解：⑴(ab）c(ac）b8c8b8j24k⑵(a b)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk231(a b)c1132.⑶1203、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面积.解：OAOB3i3j kABO的面积119SOAOB.22§7.3曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点A2,3,1和B4,5,6等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点P(x,y,z)，因为PAPB，所以222222(x2)(y3)(z1)(x4)(y5)(z6)，解得动点的轨迹方程为632x2y5z. 22、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴yx1；⑵224xy；⑶221 xy；⑷22xy；⑸220 xy.解：⑴直线；平面⑵圆；援助面⑶双曲线；双曲柱面3⑷抛物线；抛物柱面⑸原点；Oz坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴222xyz4991；⑵222(za)xy.解：⑴xOy坐标面上椭圆22xy491绕Ox轴旋转形成，或者xOz坐标面上椭圆22xz491绕Ox轴旋转形成。

23高数切片讲义第7章课后习题与答案

23高数切片讲义第7章课后习题与答案

第七章 无穷级数【基础练习题52】1. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：（1）1n ∞；（2）1111133557(21)(21)n n ； （3）11ln 1n n ∞. 2. 判定下列级数的收敛性：（1）1111+3693n； （2）13 ； （3）22331111111123232323n n. （4）23111111112322323323n n. 【基础练习题52解析】1.【解析】 （1）因为1)1,lim ,n n n S S ∞∞所以根据定义可知级数1n ∞发散.（2）由于1111(21)(21)22121n u n n n n，从而1111111111,23352121221n S n n n1lim ,2n n S 所以根据定义可知级数收敛. （3）341ln 2lnln ln ln(1)23n n S n n， 因lim n n S ∞∞，故级数发散. 2.【解析】（1）此级数的部分和1111111113693323n S n n，而111lim 123n n∞∞，故lim n n S ∞∞，即该级数发散.（2）此级数的一般项n u ，11lim lim 13nn n n u∞∞，不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散.（3）此级数的一般项1123n n n u ，注意到112n n ∞与113n n ∞分别是公比12q 与13q 的等比级数，而1q ，故112n n ∞与113n n ∞均收敛. 根据收敛级数的性质可知，原级数11123n n n ∞收敛.（4）此级数的一般项1123n n u n ，又1111122n n n n ∞∞发散，113n n ∞收敛，根据级数的性质可知，原级数11123n n n∞发散.【基础练习题53】1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）111135(21)n ； （2）22212131112131nn ； （3）1112536(1)(4)n n . 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）232333*********nnn ； （2）213n n n ∞；（3）12!n nn n n ∞. 3. 判定下列级数的收敛性：（1）233333234444nn；（2）11(2)n n n n ∞； （3. 4. 判定下列级数的收敛性：（1） 2111nn n n. （2）11ln 1nn.（3）1113n nn n. （4）211ln nn n.5. 设1ln 1nn u ，则级数 （ ） （A ）1nn u和21nn u都收敛. （B ）1nn u和21nn u都发散.（C ）1nn u收敛而21nn u发散. （D ）1nn u发散而21nn u收敛.6. 设有下列命题：○1若 1212)(n n n u u 收敛，则1n n u 收敛.○2若1n n u 收敛，则11000n n u 收敛.○3若1lim 1n n n u u ，则1n n u 发散.○4若 1)(n n n v u 收敛，则 1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 （ ） （A ）○1○2. （B ）○2○3. （C ）○3○4. （D ）○1○4. 【基础练习题53解析】1.【解析】（1）解法一 11 (1,2,)212n u n n n ，由于级数11n n ∞发散，故各项乘12后的级数112n n ∞也发散，由比较审敛法知原级数1121n n ∞发散. 解法二 因1121lim 12n n n∞，而11n n∞发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散.（2）221111n n n u n n n n ，而11n n ∞发散，由比较审敛法知原级数发散.（3）因21(1)(4)lim 11n n n n ∞，211n n∞收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数收敛.2.【解析】（1）因1113333lim limlim 1(1)22212n nn n n n n n n u n n n u n ∞∞∞，故级数发散. （2）因2221121(1)1(1)lim lim lim 13333n n n n n n nu n n n u n ∞∞∞，故级数收敛. （3）因11122(1)!2!lim lim lim 21(1)1e nn n n n n n n n nu n n n n n u n∞∞∞，故级数收敛. 3.【解析】 （1）1133limlim 144n n n nu n u n ∞∞，由比值审敛法知级数收敛.（2）11lim1(2)n n n n n ∞，而级数11n n∞发散，由极限形式的比较审敛法知原级数发散. （3）121lim lim 10n n n n u n∞∞，故级数发散. 4. 【解析】（1）记21n n u n，则n u 单调递减，且21lim lim 0,n n n n u n 由莱布尼茨判别法知，交错级数2111nn n n收敛. （2）记ln 1n u ，则n u单调递减，且lim lim ln 1ln10,n n n u由莱布尼茨判别法知，交错级数11ln 1nn收敛.（3）记3n n nu，则n u 单调递减，且lim lim 0,3n n n n n u 由莱布尼茨判别法知，交错级数1113n nn n收敛. （4）因为221111ln ln ln nnn n n n n，对于交错级数21ln nn n，记1ln n u n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n由莱布尼茨判别法知，交错级数21ln nn n收敛.对于正项级数21ln n n，因为11ln n n ，又21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln n n发散. 故由级数收敛的性质知，级数211ln nn n发散. 5.【答案】 C. 【解析】1nn u为交错级数，又满足莱布尼茨判别法的条件，故收敛.2211ln 1,n n n u又n时，221ln 1n ，且级数11n n发散，由比较审敛法的极限形式知，21nn u发散.6.【答案】 B.【解析】级数加括号后收敛不能推本身级数收敛，故○1错，反例可取通项 1nn u ； 级数加上，去掉或改变前有限项不改变级数的敛散性，故○2正确； 命题○3正确：由1lim 1n n n u u 知，1lim 1n n nu u ，故当n 充分大时，正数列n u 是单调递增的，故当n 时，n u 0，则n u 0，由级数收敛的必要条件知，1n n u 发散；命题○4显然结论反了，可取11,nn u v n n排除.【基础练习题54】1. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）11n ；（2）111(1)3n n n n∞； （3）12341111111111(1)3232323232n n； （4）21ln nn n n.2. 级数 111cos n n a n（常数0a ） （ ）（A ）发散.（B ）条件收敛.（C ）绝对收敛.（D ）收敛性与a 有关.【基础练习题54解析】1.【解析】 （1）112(1)n n u n，11121nn n un∞∞是发散的；又1nn u∞是交错级数，满足1n n u u ，且lim 0n n u ∞，故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.（2）因1111lim lim 133n n n nu n u n ∞∞，由比较审敛法知级数1n n u ∞收敛，故原级数绝对收敛.（3）1(1)32n n n u ，因11132n nn n u ∞∞是公比1 (1)2q q 的等比级数，故收敛，从而原级数绝对收敛.（4）因为2211ln ln nn n n n n n，又11ln n n n ，且21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln nn n n发散.因为21ln nn n n为交错级数，令1ln n u n n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n n 由莱布尼茨判别法知，交错级数 21ln nn n n收敛. 综上，级数21ln nn n n条件收敛.2.【答案】 C.【解析】先判定是否绝对收敛，即判定正项级数 1111cos 1cos nn n a a n n的敛散性，因为n 时，22211cos ,22a a a n n n 又级数222211122n n a a nn收敛，由比较审敛法的极限形式知，级数11cos n a n收敛，即原级数绝对收敛.【基础练习题55】1. 求下列幂级数的收敛区间.（1）23232222225101n nx x x x n ；（2）221212n nn n x ∞； （3）1nn ∞；（4）1132nnnn x n. 2. 求下列幂级数的收敛域.（1）2323nx x x nx ；（2）2221(1)2nn x x x n； （3）23231323333nnx x x x n ；（4）211(1)21n nn x n ∞.3. 已知幂级数1nn n a x在1x 处条件收敛，则幂级数11nn n a x的收敛半径为 . 4. 已知幂级数11nn n a x在2x 处收敛，在0x 处发散，则幂级数11nn n a x的收敛域为 .【基础练习题55解析】1.【解析】（1）级数可表示为2121n nn x n，因为122211lim2,21n nn n n故收敛半径为112R，收敛区间为11,.22（2）记 2221,2n n nn u x x因为 221122212limlim ,2122nn n n n n n nn x u x x n u x x由正项级数比值审敛法知，212x时收敛，解得收敛区间为 .（3）记nn u x 因为1lim 5,n n n nu x x u x 由正项级数比值审敛法知，51x 时收敛，解得收敛区间为 4,6. （4）记1,32nn nn x u x n因为11111132limlim ,1332n n n n n n n nnn x n x u x x u x n由正项级数比值审敛法知，13x时收敛，解得收敛区间为 3,3 .2.【解析】（1）级数可表示为1nn nx，因为1lim1,n n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数显然发散（不满足级数收敛的必要条件），故收敛域为 1,1 .（2）级数可表示为211(1)nnn x n，因为122(1)1lim1,(1)n nn n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数2111(1)nn n收敛， 当1x 时，级数2111n n收敛， 故收敛域为 1,1 .（3）级数可表示为13nnn x n，因为 11131lim ,133n n n n n 故收敛半径为13R，收敛区间为 3,3 ，又当3x 时，级数11n n发散， 当3x 时，级数11nn n收敛，故收敛域为 3,3 .（4）记 21(1),21n nn x u x n 因为2311221(1)23lim lim ,(1)21n n n n n n n nx u x n x x u x n由正项级数比值审敛法知，21x 时收敛，解得收敛区间为 1,1 .又1x 时，级数11(1)21nn n ∞收敛，当1x 时，111(1)21n n n ∞收敛， 故收敛域为 1,1 .3.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数1nnn a x的收敛半径为101R ，收敛区间为 1,1 .故幂级数 11nn n a x在111x ，即02x 时收敛，收敛区间为 0,2，收敛半径为1.4.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数11nn n a x在121x ，即02x 内绝对收敛，在101x ，即02x x 或时发散，又幂级数在2x 处收敛，在0x 处发散，故收敛域为 0,2.【基础练习题56】求下列幂级数的和函数：（1）2(1)1212n n n n ∞； （2）1211(1)21n n n x n ∞； （3）1(1)nn n x ∞； （4）1(1)nn x n n ∞.【基础练习题56解析】（1）2(1)21()2n n nn u x x ，221()21lim lim ()2122n n n nu x xx n u x n ∞∞. 当212x 时，原级数收敛；当212x，因级数的一般项()n u x )u ∞，故级数发散. 因此原级数的收敛域为212x，即(.设和函数为()S x ，即2(1)121()2n nn n S x x∞，从0到x 积分并逐项积分：22121101002211()d 22221,(2212nxn n n n n n n x x S x x x x x xx x x∞∞∞上式两端对x 求导，得22222()2(2)x x S x x x，(x . （2）121(1)()21n n n u x x n ，221()21limlim()21n n n n u x n x x u x n ∞∞.当1x 时，级数收敛；当1x 时，因级数一般项()n u x 0 ()u ∞，故级数发散；当1x ，级数11(1)21n n n ∞与1(1)21nn n ∞是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，则1211(1)()21n n n S x x n ∞，且(0)0S .在(1,1) 内，上式两端对x 求导，得12222211()(1)(1)()1n n nnn n n n S x xxx x∞∞∞. 于是，201()()(0)()d d arctan 1xxS x S x S S x x x x x.又由于幂级数在1x 处收敛，且arctan x 在1x 处连续，故()arctan S x x ， [1,1]x .（3）令1x t ，幂级数1nn nt∞的收敛域为(1,1) . 记其和函数为()t ，即有1111()nn n n n n t nt t ntt t∞∞∞21(1)t t t t t， (1,1)t . 于是原级数的和函数21()(1)(2)x S x x x， (0,2)x .（4）()nn n u x a x ，1(1)n a n n. 由1limlim 12n n n n a n a n ∞∞，得幂级数的收敛半径1R . 当1x 时，级数11(1)n n n∞与1(1)(1)n n n n ∞均收敛，故幂级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，即1()(1)nn x S x n n ∞.当0x ，(0)0S ；当01x 时，11()(1)n n x xS x n n ∞，上式两端对x 求导，得1[()]nn x xS x n∞，再求导，得111[()]1n n xS x x x∞. 注意到0[()]0x xS x ，上式两端从0到x 积分，得0d [()]ln(1)1xxxS x x x，再积分，得()ln(1)d (1)ln(1)xxS x x x x x x ，于是，1()ln(1)1xS x x x， (1,0)(0,1)x .由于幂级数在1x 处收敛，故和函数分别在1x 处左连续与右连续，于是111(1)lim ()lim ln(1)11x x xS s x x x.因此111ln(1),[1,0)(0,1),()0,0,1,1.x x x S x x x【基础练习题57】1. 将函数1()f x x展开成(3)x 的幂级数. 2. 将函数21()32f x x x 展开成(4)x 的幂级数.3. 将函数11()ln 41xf x x展开成x 的幂级数.4. 将函数12()arctan 12xf x x展开成x 的幂级数.【基础练习题57解析】1.【解析】利用011n n x x ∞，(1,1)x 得01111113333331133133,(1,1),333nn x x x x x x∞ 即101(1)(3)3n nn n x x ∞，(0,6)x . 2.【解析】2111132(1)(2)12x x x x x x ，其中0111114413(4)33313nn x x x x∞， 4(1,1)3x ，即(7,1)x ；0111114422(4)22213nn x x x x∞， 4(1,1)2x ，即(6,2)x . 于是2110001141411(4),32223323n nnn n n n n x x x x x∞∞∞(7,1)(6,2)(6,2)x .3.【解析】11111212111111()ln ln 1ln 14141111,11411141211,1.421221n n n n n nn n n n n n x f x x x x x x x x n n x n x x x n n其中4.【解析】因为2222212014()1212112122141411411214,,,22nn n n n n n f x x x x x x x x x其中其中 故12021100()d arctan1214d π11214,.42122xx n n n n n n n n f x f f x xx xx x n其中又当12x 时，级数21211110001122142*********n n n n n n n n n n x n n n收敛，又12()arctan12x f x x 在12x 处连续，故展开范围可以包含端点12x ，即有 2110π11214,,.42122n n n n x f x x n【基础练习题58】1. 设 f x 是周期为1的周期函数，其在区间11,22上的定义为 11,0,211,0,2x x f x x x则 f x 的傅里叶级数在32x处收敛于 . 2. 将函数e ,0,()1,0x x f x x 展开成傅里叶级数.3. 将函数() (0)2xf x x展开成正弦级数. 4. 将函数2()2 (0)f x x x 分别展开成正弦级数和余弦级数.5. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）： （1）211()1 22f x x x；（2）21,0,()1,0 3.x x f x x【基础练习题58解析】1. 【解析】由迪利克雷收敛定理知，1122311110022222111002221111lim 1lim 10.2222x x S S f f f f x x【注】可画出 f x 的图形，辅助求解. 2.【解析】 设()x 是()f x 经周期延拓而得的函数，它在(,) 内连续，x 是()x 的间断点. 又()x 满足收敛定理的条件，故在(,) 内它的傅里叶级数收敛于()f x .0011e e d d xa x x，211(1)e e cos d cos d n x n a nx x nx x n(1,2,)n ，01e sin d sin d xn b nx x nx x21[1(1)e ]1(1)1n n n n n(1,2,)n . 故2211e 11(1)e (1)e 1(1)()cos sin 11n n n n n n f x nx nx n n n∞(,)x .3.【解析】 作(),(0,],()0,0,(),(,0).f x x x x f x x()x 是()f x 的奇延拓. 令()x 是()x 的周期延拓，则()x 满足收敛定理的条件，而在2 ()x k k Z 处间断，又在(0,] 上，()()x f x ，因此()x 的傅里叶级数在(0,] 上收敛于()f x .0 (0,1,2,)n a n ,200221sin d cos sin 222n x x b nx x nx nx n n1 (1,2,)n n， 故11()sin n f x nx n∞，(0,]x . 4.【解析】（1）展开成正弦级数令222, [0,],()2, (,0).x x x x x是()f x 的奇延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件，而在(21) ()x k k Z 处间断，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0, 上收敛于()f x .0n a (0,1,2,)n ，202sin d n b x nx x2230422cos sin cos x x nx nx nx n n n2334(1)(1)22n n n n n(1,2,)n ， 故2331422()(1)sin nn f x nx n n n，[0,)x .（2）展开成余弦函数令2()2x x ，(,]x 是()f x 的偶延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件且处处连续，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0,] 上收敛于()f x .0n b (0,1,2,)n ，220042d 3a x x， 22082cos d (1)n n a x nx x n(0,1,2,)n . 故2212(1)()8cos 3nn f x nx n∞，[0,]x . 5.【解析】（1）函数()f x 是半周期12l的偶函数，故21 1220011222200122223301220(1,2,),211(1)d ,1622(1)cos d 4(1)cos(2)d 11221224sin(2)cos(2)sin(2)248(1)(1,2,),n n n b n a x x n x a x x x n x x x x n x n x n x n n n n n因()f x 满足收敛定理的条件且处处连续，故有1221111(1)()cos(2)12n n f x n x n∞，(,)x ∞∞. （2）函数()f x 的半周期3l .303033011()d (21)d d 133a f x x x x x， 30333011()cos d (21)cos d cos d 33333n n x n x n x a f x x x x x 226[1(1)]n n， (1,2,)n ， 30333011()sin d (21)sin d sin d 33333n n x n x n x b f x x x x x16(1)n n， (1,2,)n . 因()f x 满足收敛定理的条件，其间断点为3(21)x k ，k Z ，故有1221166()[1(1)]cos (1)sin 233n n n n x n x f x n n∞， \{3(21)}x k k R Z .。