高数A第7章课件：第七章习题课2

证: 必要性. 设 a∥b , 取 ＝± b 当b与a
a
正向、反向时分别取正、负号,
且
b
a a
a故b • ຫໍສະໝຸດ .a b再证数 的惟一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
而a 0,故 0,即.
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充分性. 已知 b＝ a , 则
当0时, a , b 同向 当0时, a , b 反向
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 : 0时，a与a同向 ，aa; 0时, a与a反向 ，aa;
0时, a0.
1aa
总之:
aa
1aa;
运算律 : 结合律 (a) (a)a
分配律 ()aaa
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0， 或0. 其无确定的方向 负向量: 模相等, 且方向相反的向量, 记作 ab.
单位向量: 模为 1 的向量. 与 a 同向的单位向量记作
a 0.
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向量的加法
平行四边形法则: b ab
a
三角形法则: ab b
a
向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
所以点 B (–2, –1, –3) .
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(3) 求xOy 面上点 C 的坐标，使A C ∥ a 解: (3) 设点 C (x, y, 0)，则 A C (x 6 ,y 3 , 3 )
因为 AC//a. 所以 x6y33. 4 1 3
解得 x = 2, y = –2，因此点 C (2, –2, 0).
第二节
第七章
向量及其线性运算,
向量的坐标
一、向量的基本运算 二、向量的坐标, 向量运算的坐标表示

x x0 x x0
x x0
第七节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
关于无穷小量和无穷大量有如下定理
定理1 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)

夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 10 M2
M1 L
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例8.直线
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
转曲面的方程.
提示: 在 L 上任取一点
旋转轨迹上任一点, 则有
z x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
z
L
rr
Mo
M0
y
x
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cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
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例6.
求过直线L:
x 5y z 0 xz40
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
n1
4
n
其法向量为 n1 {1 , 5, 1 }.
已知平面的法向量为 n {1, 4, 8}
习题课

y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]