固体物理第7课晶格振动一维单原子链ppt课件

一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质

m2 当 q 0 sin(qa) qa
22
a / m q VEla q stic VElastic a /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
q
a
2 /msin(aq)
2
max 2 /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
n Aei(tna)q
2 q
格波波矢 qv 2 nv
格波相速度
vp
q
不同原子间相位差 n'a qna (n q'n)aq
m2
a
频率极小值 min0
频率极大值 max 2 /m
0 q 02 /m
a
只有频率在 02 /m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 q0, a
2 sin(aq)
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 n
再增加N个原子之后

(q)
nn+)(00M
=c0q
2mcos+12aq m M2m2
ei12aq 2Mmcos
aq
q
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
久期方程：
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mm
cos
aq
＝
M Mm
m
1
1
4 Mm
M m2
sin 2
1 2
aq
q
a
a
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
π nn
Aei12aq B
2cos 12aq ei12aq 2M2
M
2mcos12 aqei12aq m M2m22Mmcosaq
j
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。
•
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以
E
N j=1
nj
1 2
为 j
单元交换能量。
• 声子具有能量 q ，也具有准动量 Mn nn12n ，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
i 1 aq
M
2
2mcos
1 2
aqe
2
m2 2Mmcosaq
M
m
Rei
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。

N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2

2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2

体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E

3N i 1
i

3N i 1

ni

1 2

hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向