2021届吉林省吉林市蛟河市第一中学校高三第一次月考数学(理)试题(解析版)

2021届吉林省吉林市蛟河市第一中学校高三第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】化简集合A ，根据集合B 的元素特征，即可求解 【详解】{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A. 【点睛】本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题. 3．已知命题P ：2,10x R x x ∀∈-+>，则p ⌝为（ ）A ．2000,10x R x x ∃∈-+≤B ．2000,10x R x x ∃∉-+≤C ．2,10x R x x ∀∈-+≤D ．2,10x R x x ∀∉-+>【答案】A【解析】根据命题的否定即可写出非命题. 【详解】因为P ：2,10x R x x ∀∈-+>所以p ⌝为：2000,10x R x x ∃∈-+≤故选A. 【点睛】本题主要考查了含全称量词命题的否定，属于中档题. 4．“()30x x -<”是“12x -<”成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式确定x 的范围，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由()30x x -<得03x <<，① 由12x -<得13x．②若①则②成立，故①是②的充分条件； 若②则①不一定成立，故②不是①的必要条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义进行判断． 5．已知20.8a =，0.82b =，2log 0.8c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】C【解析】把各数与中间值0，1比较即得． 【详解】200.81<<，0.821>，2log 0.80<，所以b a c >>． 故选：C ． 【点睛】本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．属于基础题. 6．下列求导数运算正确的是（ ）A ．()cos sin x x '=B ．()33ln 3x x '=C ．()ln ln -1x x x '=D ．sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案. 【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确； 由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确；由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确； 由于1sin cos 333x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选项D 不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.7．若函数f (x )=2sin22,1,log (1),1x x x x +≤⎧⎨->⎩在[-π,a ]上的最大值为3,则a 的取值范围为（ ）A ．[-3π4,π4] B ．[-3π4,9] C ．[π4,9] D ．[-3π4,+∞) 【答案】B【解析】分当34a ππ-≤<-，-3π4≤a ≤1，1a >三种情况讨论，分别求出函数在[-π,a ]上的最大值，验证是否符合题意即可. 【详解】当34a ππ-≤<-时，()3f x <不合题意； 当-3π4≤a ≤1时, 在[-π,a ]上f (x )max =f (-3π4)=f (π4)=3,符合题意； 当1a >时，若-π≤x ≤1，f (x )max =f (-3π4)=f (π4)=3， 若1x a <≤，f (x )max =f (a )=log 2(a -1),因为函数f (x )=()2sin22,1,log 1,1x x x x +≤⎧⎨->⎩在[-π,a ]上的最大值为3,所以log 2(a -1)≤3，解得19a <≤，综上可得a 的取值范围为[-3π4,9]. 故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.8．函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin x xx xf x e e -+=+ B ．()2sin 1x xf x x =+ C ．()()sin x x x f x e e x -=+D ．()()sin x xx f x e e π-+=+ 【答案】A【解析】由图象分析出函数()y f x =的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =为奇函数，且当0x >时，()0f x >. 对于B 选项，函数()2sin 1x xf x x =+的定义域为R ， ()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x ---===+-+，该函数为偶函数，排除B 选项； 对于C 选项，令()0xxx e e-+≠，可得0x ≠，则函数()()sin x x xf x e e x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()()sin sin x x x xx xf x f x x e e x e e ----===-++，该函数为偶函数，排除C 选项； 对于D 选项，()()sin sin x x x xx xf x e e e eπ--+==-++，则()1sin110f e e -=-<+，不合乎题意，排除D 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数图象选择函数解析式，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.10．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+【答案】C【解析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.11．若函数()()e ,01,1,0xx f x af x x ⎧<≤⎪=⎨+≤⎪⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,1【答案】B【解析】先求出0x ≤时()f x 解析式为()n x nf x a e +=，式其在(),0-∞单调递增，所以0n a >，再结合0x ≤时()f x 最大值()00e e n n f a =≤，即可求出a 的取值范围.【详解】由题知，当(]()*,1x n n n ∈--+∈N 时，(]0,1x n +∈()*n ∈N ，所以()()()()212n n x n f x af x a f x a f x n a e +=+=+==+=，要使()f x 单调递增，只需0n a >且()00e e n nf a =≤，则0a >且1e nna ≤， 即0a >且1e a ≤，故10ea <≤． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，利用函数在定义域内单调递增求参数的取值范围，属于中档题.12．已知函数()3284,0,7,0.x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩若函数()()221g x f x x a =+--有6个不同的零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(]4,7 B ．()1,7-C ．()4,8D ．()1,8-【答案】A【解析】首先分情况讨论，求出当2210x x +->与2210x x +-≤时()()221g x f x x a =+--的解析式，函数的零点等价于()221y f x x =+- 与y a=两个函数图象交点的个数，数形结合即可求解. 【详解】当2210x x +->时，解得：()(),1212,x ∈-∞--⋃-++∞ 此时()222124104f x x x x +-=+-+，()()221g x f x x a =+--的零点等价于224104y x x =+-+与y a =对于()(),1212,x ∈-∞--⋃-++∞两个函数图象交点的个数， 作出224104y x x =+-+与y a =的图象如图所示则当412a <<时，()g x 有4个不同的零点， 当4a =或12a ≥时，()g x 有2个不同的零点． 当4a <时，()g x 没有零点，，当2210x x +-≤时，解得1212x -≤≤-+()221f x x +-=()32217x x a +-+=此时，设221t x x =+-，则20t -≤≤，380t -≤≤，因为37t a =-， 所以当7a >或1a <-时，()g x 没有零点， 当1a =-时，()g x 有1个零点， 当17a -<≤时，()g x 有2个不同的零点 因为()g x 有6个不同的零点，41217a a <<⎧⎨-<≤⎩所以47a <≤．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数与方程知识，函数的零点等价于对应方程的根，采用分类讨论与数学结合的思想，属于中档题.二、填空题13．设集合{}24,21,A a a=--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______． 【答案】3-【解析】先通过已知可得219a -=或29a =，解方程求出a ，然后带入集合验证，满足互异性即可. 【详解】∵{}24,21,A a a=--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意；当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性． 若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B A B =-=--=-=，∴3a =-． 故答案为：3-． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题.14．已知()2:log 12p a +<，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，若()p q ⌝∨为假命题，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(]1,1-【解析】分别解出命题,p q 成立时的x 的取值范围，根据()p q ⌝∨为假命题即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2:log 12p a +<，014a ∴<+<，即13a -<<，因此:1p a ⌝≥-或3a ≥，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，即0[1,2]x ∃∈，0012a x x >-， 因此[]000min 12,1,2a x x x ⎛⎫>-∈ ⎪⎝⎭，易知[]00012,1,2y x x x =-∈上单调递增， 1a ∴>，()p q ⌝∨为假命题，p ∴⌝假，q 假，11a ∴-<≤.故答案为：(]1,1-. 【点睛】本题主要考查的是复合命题的真假，本题解题的关键是正确求出命题,p q 成立时的x 的取值范围，考查学生的计算能力，是中档题.15．已知函数()()21e x f x a x x =++在区间(),1-∞-内不单调，则a 的取值范围为______．【答案】1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】利用导数求出函数()()21e x f x a x x =++的极值点，若()f x 在区间(),1-∞-内不单调，则可得极值点位于区间(),1-∞-内，即可求解. 【详解】∵()()21e x f x a x x =++，x ∈R ，∴()()()()()211e 12xxf x a x x x a e'=+++=++．当0,()0,(,1)a f x x ≥'<∈-∞-恒成立， 则()f x 在区间(),1-∞-内单调递减，不合题意； 当0a <时，令()()()120xf x x a e'=++=，1x =-或()ln 2x a =-，∵()f x 在区间(),1-∞-内不单调， ∴()ln 21a -<-，且20a ->，解得1,02e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭． 故答案为：1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值点，属于中档题.16．已知函数()2e xf x x =+，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是______．【答案】12,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由已知得()()f x f x -=，得出函数()f x 为偶函数，再判断函数()f x 的单调性，建立不等式，解之可得答案. 【详解】∵函数()2xf x x e =+，所以()()()22xxf x x ex e f x --=-+=+=，所以函数()f x 为偶函数，又当0x>时，()2xf x x e =+，且函数()f x 在()0,∞+上为增函数．所以函数()f x 在(),0-∞上为减函数，∴由不等式()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得112133x -<-<，解得1233x <<． 故答案为：12,33⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断，根据函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.三、解答题17．设A={x|2x 2+ax+2=0}，B={x|x 2+3x+2a=0}，A∩B={2}． （1）求a 的值及集合A 、B ；（2）设集合U=A∪B，求（C u A ）∪（C u B ）的所有子集． 【答案】（1）a=﹣5，A={2，12}，B={2，﹣5}；（2）见解析 【解析】（1）由题意得2∈A，2∈B，代入方程后可得5a =-，然后解方程可得集合A 、B ；（2）结合（1）中的结论得到（C u A ）∪（C u B ），然后写出它的所有子集即可． 【详解】（1）根据题意得2∈A，2∈B， 将x=2代入A 中的方程得：8+2a+2=0， 解得a=﹣5，∴A={x|2x 2﹣5x+2=0}={2，12}，B={x|x 2+3x ﹣10=0}={2，﹣5}． （2）由题意得全集U=A∪B={2，12，﹣5}，A∩B={2}，∴（C u A ）∪（C u B ）=∁U （A∩B）={12，﹣5}，∴（C u A ）∪（C u B ）的所有子集为∅，{﹣5}，{12}，{﹣5，12}．【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是正确地得到相关集合，再根据要求求解，属于基础题．18．已知函数()316f x x x =+-．（1）求()f x '；（2）求曲线()y f x =过点()2,14-的切线的方程．【答案】（1）()231f x x ='+；（2）16y x =-或2870y x =-．【解析】（1）利用函数的求导法则可求得()f x '；（2）设所求切点的坐标为()3000,16x x x +-，利用导数求出所求切线的方程，将点()2,14-的坐标代入切线方程，求出0x的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程. 【详解】（1）()316f x x x =+-，则()231f x x ='+；（2）设切点为()3000,16x x x +-，()231f x x ='+，所以，切线的斜率为2031k x =+，所求切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-．将2x =，14y =-代入切线方程，得()()()3200001416312x x x x --+-=+-．整理得()20030x x -=，解得00x =或3.当00x =时，1k =， 切线方程为()142y x --=-，化简得16y x =-； 当03x =时，28k =，切线方程为()()14282y x --=-，化简得2870y x =-． 综上所述，曲线()y f x =过点()2,14-的切线的方程为16y x =-或2870y x =-． 【点睛】本题考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.19．已知函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点，求c 的取值范围. 【答案】320,27⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】通过求导可预判函数的增减性，要满足有三个零点，需满足函数的极大值点大于0，函数的极小值点小于0，即可求解c 的范围 【详解】∵32()44f x x x x c =+++，∴2()384f x x x '=++.令()0f x '=，得23840x x ++=， 解得2x =-或23x =-. ()f x 与()'f x 在区间(,)-∞+∞上的情況如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在1(4,2)x ∈--，23222,,,033x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===. 由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时 函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，极值点与函数零点的关系，属于中档题 20．某种新型快艇在某海域匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度：x （千米/时）的函数解析式可以表示为()31130120144000360y x x x =-+<≤．已知该海域甲、乙两地相距120千米．（1）当快艇以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当快艇以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少约为多少升？（精确到0.1升）【答案】（1）10升；（2）当快艇以60千米/小时的速度行驶时，耗油最少，最少约为8.7升．【解析】（1）计算出快艇从甲地到乙地所行使的时间以及每小时的耗油量，进行可求得快艇从甲地到乙地的耗油量；（2）设耗油量为()h x ，计算出函数()h x 的解析式，利用导数可求得函数()h x 的最小值及其对应的x 值，即可得解. 【详解】（1）当40x =时，快艇从甲地到乙地行驶了120340=（小时）， 耗油量：31140403310144000360⎛⎫⨯-⨯+⨯=⎪⎝⎭（升）．当快艇以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油10升； （2）当速度为x 千米/小时，快艇从甲地到乙地行驶了120x小时，设耗油量为()h x 升，依题意得()321112013601314400036012003h x x x x x x ⎛⎫=-+⋅=+- ⎪⎝⎭()0120x <≤，()()3322360600120600600x x h x x x x-'=-=<≤． 令()0h x '=，得60x =，当()0,60x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当(]60,120x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数． 所以，当60x =时，()min 268.73h x =≈． 当快艇以60千米/小时的速度行驶时，耗油最少，最少约为8.7升． 【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若()()2g x f x x=+在[)1,+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是()0,1、单调递增区间是()1,+∞，极小值是1，没有极大值；（2）[)0,+∞.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+， 当2a =-时，()()()21122x x f x x x x+-'=-=，由此利用导数性质能求出函数()f x 的单调区间和极值. （2）由()22ln g x x a x x =++得()222a g x x x x '=+-，令()222x x xϕ=-，则()224x x xϕ'=--，由此利用导数性质能求出a 的取值范围. 【详解】解：（1）易知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，当2a =-时，()()()21122x x f x x x x+-'=-=. 当x 变化时，()f x '和()f x 的值的变化情况如下表：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是()0,1、单调递增区间是()1,+∞，极小值是()11f =，没有极大值.（2）由()22ln g x x a x x =++，得()222a g x x x x'=+-. 若函数()g x 在[)1,+∞上的单调增函数，则()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立， 即不等式2220ax x x-+≥在[)1,+∞上恒成立. 也即222a x x ≥-在[)1,+∞上恒成立. 令()222x x x ϕ=-，则()224x x xϕ'=--.当[)1,x ∈+∞时，()2240x x x ϕ'=--<，()222x x xϕ=-在[)1,+∞上为减函数，∴()()max 10x ϕϕ==. 所以0a ≥，∴a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x ty ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程：（2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB⋅的取值范围.【答案】（1）1y =+， 2220x y x +-=；（2）33. 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）设()(),,,A B A B ραρα，则A ρ=2 B cos ρα=，由此能得出OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）直线l的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得，直线:1l y =+， 又曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，且222,cos x y x ρρθ=+=，∴曲线22:20C x y x +-=；（2）直线l的极坐标方程为ρ=由题知A ρ=2 B cos ρα=，∴||||A B OA OB ρρ⋅=== ，∵03a π<<，||||OA OB ∴⋅∈. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，同角三角函数基本关系式的应用，正切函数图像和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.23．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知常数a 是实数，曲线1C 的参数方程为22444x t ty t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin a θθ=． （1）写出1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与2C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为28160y x --=，2C 的直角坐标方程为0x ay -=（2）8 【解析】（1）将1C 的参数方程消去t ，得到1C 的普通方程.对2C 的极坐标方程两边乘以ρ，由此求得2C 的直角坐标方程.（2）联立12,C C 的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得AB 的表达式，进而求得AB 的最小值. 【详解】（1）1C 的普通方程为28160y x --=2C 的直角坐标方程为0x ay -=（2）设()()1122,,,A ay y B ay y ，则AB =由20{8160x ay y x -=--=得28160y ay --=，264640a ∆=+> ∴12128{16y y a y y +==-，∴8AB =≥ 当0a =时，8AB = ∴AB 的最小值等于8 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式，属于中档题.。