从平面向量到空间向量教学设计

《从平面向量到空间向量》——说课稿安徽省砀山中学 张允玲各位评委、老师：大家好!我叫张允玲，来自砀山中学，我说课的内容是高中数学选修2-1《从平面向量到空间向量》，欢迎各位评委、老师提出宝贵意见。

要完成本节课的内容我认为需要“三探”结合：师探、生探、共探。

师探——分析教材、学情，确定教学目标、教学重难点、教学方法。

教材分析空间向量是处理立体几何问题另一种方法。

空间向量的引入为解决三维空间图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

空间向量的教学应该引导学生运用类比地方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

教学中应注意维数增加所带来的影响。

本节首先把平面向量推广到空间，有了平面向量以及空间平行概念的基础，这种推广对学生已不再困难。

本节内容分两个部分，第一部分是空间向量的概念，通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量，向量的起点，向量的终点，自由向量，向量,a b的夹角；第二部分是向量，直线，平面，通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线的方向向量，平面的法向量等概念。

这样设计降低了学生理解难度，突出了转化和类比的数学思想。

学情分析本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量概念，数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺。

所以，通过教师的引导,学生自主探索,不断地完善自我的认知结构。

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征 ，我制定如下教学目标、教学重难点： 教学目标：1.知识与技能：经历向量由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，理解直线的方向向量和平面的法向量的概念2.过程与方法：通过本节学习，经历向量由平面向量向空间向量推广的过程，通过向量概念推广的过程体会其中蕴含的数学思想——类比3.情感态度与价值观：通过本节的学习，培养学生合作交流、独立思考的个性品质教学重点、难点教学重点：理解向量的夹角，直线的方向向量，平面的法向量教学难点：理解共面向量的概念教法分析为了突出重点，突破难点我选择的教学方法是：诱思探究法本节课我将采用 “类比”的教学思想，教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探究，交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。

《从平面向量到空间向量》教案一、教学目标(teaching objective)：1．知识目标(knowledge objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明．2．能力目标(capability objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量．会作空间任一向量的分解图．类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力．3．情感目标(emotion objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系．二、教学难点(teaching difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量．灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题．三、教学重点(teaching focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系．四、教学手段(teaching method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学．五、教学过程（teaching procession ）1．引入（intruduce ）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理．用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示．我们研究一下怎么表示．（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a 都可以表示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数．2．推广（extend ）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？1A 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c ．师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明． 老师板演证明：设空间三个不共面的向量OA =a OB =b ，OC =c ，OP =p 是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则OP =OD +DP ，由空间两直线平行的充要条件知DP = z c ，由平面 向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面， 则OD = x a +y b ，所以，存在x ，y ，z 使得OP =x a +y b + z c ．这样的实数x ，y ，z 是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x ，y ，z 的实数x 1，y 1，z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x ，y ，z 是唯一的实数．这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理． 老师介绍相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量． 师：对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量．④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底．⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维．如：a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底．能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底．通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想．特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若z=0，则p与a、b共面．当x=0，y=0时，p与c共线；当x=0，z=0时，p与b共线；当\y=0，z=0时，p与a共线．说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展．这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）．3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：14．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1，用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ线．解：（1）由P 是CA 1的中点，得AP =21（1AA +AC ）=21（c +AD +AB ）=21（a +b +c ） （2）AN =AM +MN =AM +211CC =21（c +a ）+b +21c =b +c +21a法2：AN =1AA +N A 1=1AA +11D A +N D 1=c +b +21a（3）AQ =AC +CQ =AC +541CA =AC +54（1AA +CA ）=51AC +541AA=51(b +a )+54c 例2．在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系．解：由例1得：AQ =51(b +a )+54c ，1OC =OC +1CC =21AC +1AA=21（b +a ）+c 则AQ 和1OC 与（b +a ）和c 共面，又AQ ≠λ1OC ，则AQ 和OC 1所在直线不能平行，只能相交．追问：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则O 应在AC 的什么位置？分析：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则1OC =λAQ =λ[51(b +a )+54c ]又1OC =OC +1CC ，设OC =μAC =μ（b +a ）则λ[51(b +a )+54c ]=μ（b +a ）+c ，即51λb +51λa +54λc =μb +μa +c ，由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知：41,4515451=μ=λ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λλ=μ，所以，OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理．请学生板演平面几何证法：A 1AQCCC 1ORAB C DO易证△AA 1Q ≌△CC 1R ，则CR=A 1Q=41CQ ，又CQ CR AC OC =， 所以AC OC =415．练习(exercises)已知向量a =1e －22e +33e ，b =21e +2e ，c =61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？a +b =31e －2e +33e ，c =2（a +b ），则a +b 与c 共线即平行 c －3b =61e －22e +63e －61e －32e ＝63e －52eb －2a =21e +2e －21e +42e －63e =－63e +52ec －3b 与b －2a 共线但反向．思维发散训练：已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒定量研究异面直线线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线）向量平行（直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点）公理（2 如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容． 7．作业(homework)：。

《从平面向量到空间向量》教案
教材解析
本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．需注意：
（1）根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系．
（2）通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）．
（3）对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．
（4）通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．。

高中数学备课教案平面向量与空间向量高中数学备课教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解平面向量的定义，掌握平面向量的表示方法；2. 理解空间向量的定义，掌握空间向量的表示方法；3. 能够进行平面向量和空间向量的基本运算，包括加法、减法、数量乘法等；4. 能够解决平面向量和空间向量的几何问题，包括向量共线、向量夹角等。

二、教学重点1. 平面向量的定义和表示方法；2. 空间向量的定义和表示方法；3. 平面向量和空间向量的基本运算；4. 平面向量和空间向量的几何问题。

三、教学过程1. 引入（5分钟）向学生介绍什么是向量，引导学生思考向量的应用场景，如力学、几何等。

2. 理论讲解（30分钟）（1）平面向量的定义和表示方法：a. 向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示；b. 平面向量一般用字母加箭头表示，如AB→；c. 平面向量的大小用线段的长表示，方向用箭头表示。

（2）空间向量的定义和表示方法：a. 空间向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示；b. 空间向量一般用字母加箭头表示，如PQ→；c. 空间向量的大小用线段的长表示，方向用箭头表示。

（3）平面向量和空间向量的基本运算：a. 平面向量和空间向量的加法：将两个向量的起点放在一起，以两个向量的终点为新向量的终点，新向量的方向和大小由原向量相加规律确定；b. 平面向量和空间向量的减法：将两个向量的起点放在一起，以两个向量的终点为新向量的终点，新向量的方向和大小由原向量相减规律确定；c. 平面向量和空间向量的数量乘法：用一个实数乘以向量的大小，得到新的向量。

（4）平面向量和空间向量的几何问题：a. 向量共线问题：若两个向量的方向相同或相反，则称它们共线；b. 向量夹角问题：若两个向量的夹角为α，则称这两个向量的夹角为α。

3. 实例演练（40分钟）提供一系列平面向量和空间向量的实例，让学生自主思考和解答，加深对向量的理解和应用。

4. 讲解与总结（15分钟）根据学生的解答情况，对实例中的问题逐一进行讲解，并综合总结平面向量和空间向量的基本概念、运算规律以及几何问题的解题方法。

第二章第一节从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力.四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

课题：从平面向量到空间向量使用说明：1.阅读探究课本P25-26页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】理解空间向量的概念，掌握其表示方法，掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念. 【重点难点】重点：理解两个空间向量的夹角, 直线l 的方向向量, 平面的法向量等概念. 难点：正确找出已知平面的法向量.一、知识链接 复习：平面向量基本概念： 1.向量定义：具有 和 的量叫向量， 2.向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 3. 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记作 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a的相反向量记作 . 叫相等向量. ______________________叫平行向量,平行向量也叫共线向量. 二、教材助读 阅读课本，完成下列问题，并与同伴交流：1、空间向量、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的定义分别是什么？2、空间向量的表示方法有哪些？举例说明。

3、空间自由向量的特点是什么？4、空间向量的夹角是如何定义的？范围呢？5、空间直线的方向向量是怎样定义的？有何特征？6、平面的法向量是如何定义的？有何特征？预习自测1.基础知识探究 2.给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4预习案 探究案中：如图正方体''''D C B A ABCD 相等吗？与向量向量AB C D B A DC '','',)1(是相反向量吗？与⑵向量'',,''B A BA CD D C 平行的向量吗？个与找到的中点，在正方体中能和分别是和）（EF BB AB F E 3'3综合应用探究3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中： （1）找出以向量 为法向量的一个平面；（2）找出平面ACD 1的一个法向量.【当堂检测】2.如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，分别给出直线AD,直线BC,直线B 1C 1的一个方向向量.我的收获.,,)3(;)2(;)1(,13131平行的向量举出与的相反向量举出向量相等的向量举出与向量中在长方体练习EF AB AF A A AE AD AD D C B A ABCD 、='=''''-。

§1 从平面向量到空间向量[对应学生用书P15]小刚从学校大门口出发，向东行走100 m ，再向北行走600 m ，最后乘电梯上行20 m 到达住处．问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？提示：是．问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？提示：用空间向量．问题3：若设大门口向东行走100 m 为a ，再向北行走600 m 为b ，最后乘电梯上行20 m 为c ，则a ，b ，c 夹角分别是多少？提示：π2.空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：(2)向量的夹角：①定义：过空间任意一点O 作向量a ，b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．②范围：[0，π]．③当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .④当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行，记作a ∥b .(3)特殊向量：如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有哪些？A ' ，DC ，CD，问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD 垂直的向量有几个？ 提示：8个．向量、直线、平面(1)方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 为直线l 的方平行的任意非零向量a 也是直线l 的方向向量．(2)法向量：如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．[对应学生用书P16][例1]①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤在正方体ABCD－A1B1C1D1⑥空间中任意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．[思路点拨] 用空间向量的有关概念进行判断．[精解详析] 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．[答案] ①②④⑤[一点通]与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A．一个圆B．两个孤立的点C．一个球面D．以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．答案：C2．下列命题中正确的个数是( )①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：C3．如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.(1)相等的所有向量；(2)(3)(4)解：(1)(2)(3)(4)[例2] 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，求(1)，，．(2)，．[思路点拨] 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a ，b 夹角范围是[0，π]． [精解详析] (1)∵正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′， ∴AB ∥A ′B ′，AD ⊥D ′C ′，AB ∥C ′D ′.0，〉＝π2，π.(2)∵正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，∴AD ∥BC .〉＝π4.连接AC ，则△ACD ′为等边三角形．〉＝2π3.[一点通]与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角〉＝π4，而〈〉＝3π4.4．正四面体S －ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB ________.解析：如图所示，∵E ，F 为中点，∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形， ∴∠SAC ＝π3，〉＝2π3.答案：2π35．在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AA ′＝1，AD ＝6，求．解：如图，连接A ′C ′，BC ′.∴∠BA ′C ．由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A ′BC ′中A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝2，A ′C ′＝AB 2＋AD 2＝3， BC ′＝AD 2＋AA ′2＝7.∴cos ∠BA ′C ′＝A ′C ′2＋A ′B 2－BC ′22·A ′C ′·A ′B ＝12.∴∠BA ′C ′＝π3.〉＝π3.[例3] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量．[思路点拨] (1)只要作出过F 与DE 平行的直线即可． (2)作出过F 与平面PBC 垂直的直线即可． [精解详析] (1)连接EF .∵E ，F 分别是PC ，PB 的中点， ∴EF 綊12BC .又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD .取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形，∴MF ∥DE .DE 的一个方向向量．(2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE 平面PCD ， ∴DE ⊥BC .又PD ＝CD ，E 为PC 中点，∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.PBC的一个法向量．由(1)PBC的一个法向量．[一点通]直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．6．直线的方向向量是( )A．唯一的B．相等的C．平行的D．相反的解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量．答案：C7．下列说法中不正确的是( )A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如图所示，取BC中点F，连EF，BC1，则EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，AD1的方向向量．(2)连B1C，则B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.ABC1D1的法向量．1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．[对应课时跟踪训练 五 ]1．空间向量中，下列说法正确的是( )A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C．如果两个向量平行，并且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．答案：D2．下列说法中正确的是( )A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|C．如果两个向量平行，则这两向量相等D．在四边形ABCD解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向ABCD是平行四边形．答案：B3．在四边形ABCD＝，则四边形ABCD为( ) A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又＝，即AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．答案：B4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( )A BC D解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，ACC1A1的法向量．答案：A5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，________．解析：A1B1⊥面BCC1B1A1D⊥AD1，而AD1∥BC16．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则________.DC1，解析：连接DB，BC在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.答案：60°7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)(2)(3)解：(1)8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1a b c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求，，．解：由题意知，六边形EFGHPQ 为正六边形，所以〈PQ ＝∠HPQ ＝2π3；FGH ＝2π3；〉等于∠QEF 的补角，即〈〉＝π3.。