函数的表达方法
表达函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.结合其意义,优点与不足,分别说明如下. (1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法.用解析式表示函数的优点是简明扼要,规范准确.已学利用函数的解析式,求自变量x=a时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表,描点,画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性,增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂. (2)通过列表给出y与x的对应数值,表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生. (3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法.用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化,点的对称,最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的,局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确. 由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用,扬长避短,优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.
函数的表示法 1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法 2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ” 给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象. 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 6.复合函数：如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f （u ），u=g （x ），那么y 关于x 的函数y=f （g （x ））叫做函数y=f （u ）（外函数）和u=g （x ）（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y.例如：函数212x y += 是由y=2u
1 表示函数图像的三种方法 在本章中，我们将学习三种表示函数的方法． 一、列表法 通过表格的形式来表示两个变量的函数关系，称为列表法．用表格表示函数就是把自变量的一组值和其对应的函数值列成一个表格．这样表示函数的好处是非常直观，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接从表格中找到与它对应的函数值，使用较方便．但列表法表示函数具有一定的局限性，列出的数值是有限的，而且从表格中也不容易看到自变量和与其函数值之间的对应关系． 例1 信件的质量m (克) 020m <≤ 2040m <≤ 4060m <≤ 邮费y (元) 0.80 1.20 1.60 m y m 的不同取值范围内的对应的y 值． 二、解析式法 两个变量之间的函数关系，一般情况下可以用含有这两个变量的等式表示．即解析式法，也叫关系式法．用解析法表示函数关系能准确地表示出自变量与其函数之间的数量关系，能很准确的得到所有自变量与其对应的函数值．但利用解析式表示的函数关系，在求函数值时，有时计算比较复杂，而且有的函数关系不一定能用解析式表示出来．如，函数解析式21y x =-能很好的表示y 与x 的对应关系，y 是x 的函数． 三、图象法 将自变量与其对应的函数值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即可得到函数的图象，用图象表示函数关系的方法，就叫图象法．用图象法表示函数形象直观，通过图象，可形象地把函数的变化趋势表示出来，根据函数的图象还能较好地研究函数的性质．画函数的图象时，要根据不同函数类型的图象特征，选用适当的方法．需要注意的是从函数图象上一般只能得到近似的数量关系． 例2 如图表示的是某市6月份一天气温随时间变化的情况，请观察此图，并说说可以得到哪些结 论？ 解：从图象上观察到这一天的最高气温是36℃; 这天共有9个小时的气温在31℃以上; 这天在3～15（点） 内温度在上升; 通过计算可以得出次日凌晨1点的气温大约在23～26（℃）之间．
函数的表示方法 ★知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ★重、难点突破 重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法 令)(12R t t x ∈=+，则21-= t x ，从而)(9552 1 6)21( 4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法 因为9)12(5)12(410)12(564)12(2 2 2 ++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法 因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2 )(，从而由564)12(2 +-=+x x x f 可 求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x x f x f 3)1(2)(=+① 以 x 1代x 得 x x f x f 1 3)(2)1(⋅=+②
1、细说函数的三种表示方法 2、一次函数漏（错）解例析 3、求函数最值问题请注意取值范围 4、画好实际问题中的一次函数图象 5、运用一次函数图象解题 6、一次函数与不等式（组）结合来解题 1、细说函数的三种表示方法 本章的学习，我们将遇到函数的三种表示方法，即解析式法、列表法、图象法。下面与大家细说这三种方法的优缺点： 一、解析式法 用数学式子表示函数关系的方法叫解析式法．如：y＝2x＋4，s＝－5t＋600等． 例1、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现要将水箱注满，已知每分钟注入水10L．请你写出水箱内水量Q（L）与时间t（分）的函数关系式，并注明取值范围． 【分析】本题是求实际问题的函数解析式，要求我们会用函数解析式表示变量之间的关系．解：所列函数关系式为：Q＝200＋10t（0≤t≤30）． 解析式法的优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。 缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算；但有些函数，不一定能用解析式法表示或表示出来非常繁琐。 二、列表法 列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法。 优点：直观，即对于表中自变量的每一个值，不通过计算，就可从表中找到与它对应的函数值。 缺点：有局限性，即在表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中也不易看不出变量间的对应规律。
如下表，就是邮局信件的一种邮资表： 三、图象法 在平面直角坐标系中，以自变量的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数的方法称为图象法。 优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念图形化。 缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。 如，右图是“龟兔赛跑”的图象图：从图中我们可以直观地看出兔子跑了一段时间后看到缓慢爬行的乌龟还在后面，就骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。（S 表示路程，t 为时间） 函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据 不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。 2、一次函数漏（错）解例析 在解与一次函数有关的问题时，若考虑片面，思维不周，或方法不当，就会造成漏解现象，下面试举几例，加以剖析，以引起同学们的注意． 一、匆视定义错解 例1．若函数y ＝(2m －8)x ||3 m -＋1是一次函数，求m 的值． 错解：根据一次函数的定义，得|m |－3＝1，∴ m ＝±4． 【剖析】错解中忽略了一次函数y ＝k x ＋b （k ≠0）中的隐含条件“k ≠0”． 正解：根据一次函数的定义，得||31280.m m -=??-≠? ， ∴44.m m =±??≠?， ∴ m ＝－4． 二、忽视正比例函数是特殊的一次函数而造成错解 例2．一次函数b kx y +=不经过第三象限，则下列正确的是（ ）． Ａ．0,0>b k
函数的概念及其表示方法 【知识点一】函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x)，x A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ；； . 【知识点二】函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
【知识点三】映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b 叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 2.如何确定象与原象 对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【考点精讲】 1. 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值。 2.对函数概念的理解应注意以下几点： ①变化过程中； ②两个变量； ③一个变量随另一个变量的变化而变化； ④对于自变量x 的每一个确定的值，函数y 都有唯一的值与它对应（但有可能有多个 不同的自变量数值对应一个函数值）。 3. 函数的表示方法：函数是从数量角度反映变化规律的数学模型。解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用表示方法。 ①解析式法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式。用解析式来表示函数关系 的方法叫做解析式法。 ②列表法：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 ③图象法：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【典例精析】 例题1 下列关于x ，y 的关系式：① 5x －2y ＝1；② y ＝3|x|；③ x·y 2＝2，其中表示y 是x 的函数的是（ ） A. ② B. ②③ C. ①② D. ①②③ 思路导航：在x·y 2＝2中，即2 2 y x ，当x ＝1时，y y x 对应着两个y 值，和函数的概念不相符，所以它不是函数。 答案：C 点评：y 是x 的函数用函数关系式表示时，应用含有x 的式子表示y 。因此，本题应首先对式子进行变形，用含有x 的式子表示y 。 例题2 下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ） 思路导航：从图象可以看出每个图象中y 都随着x 的变化而变化，并且都存在两个变量，所以当x 是一个确定的值时，y 有唯一确定的值与之对应，就是函数，当不是唯一确定的值
函数及其表示方法 一、目标认知 学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情 境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法． 二、知识要点梳理 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x)，x A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： 知识点二、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有
函数的几种表示法以及优点和缺点 表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法．结合其意义、优点与不足，分别说明如下． 1利用解析式如学过的代数式表示函数的方法叫做解析法．用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确．已学利用函数的解析式，求自变量＝a时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质如对称性、增减性等，探求函数的应用等．不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求与的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂． 2通过列表给出与的对应数值、表示是的函数的方法叫做列表法列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生 3利用图象表示是的函数的方法叫做图象法．用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大或小值等性质．图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确． 由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象． 注意问题 设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应．那么就说是自变量，是的函数．这段话给出了函数的概念，要全面理解它的含义，应从字词语句入手思考．
（1）函数的概念的基础是一个变化过程中有两个变量与，要研究它们之间的关系． （2）对于的每一个值，就是变量允许取的任意一个值，这些值组成了自变量的取值范围． （3）对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，说明变量与有确定的对应关系，即是的函数．其中“唯一”的意义是“有一个且只有一个”．综上所述，不难发现，（1）是基础，（2）是自变量的取值范围，（3）是与的对应规律．因为函数的本质是对应，函数关系是变量与的一种特殊关系．所以自变量的取值范围和两个变量的对应规律缺一不可．在初中阶段，理解函数概念必须抓住这两个要素．要判断两个（或几个）函数是不是同一个函数，也必须根据函数的这两个要素思考、鉴别、确定，即不仅要求它们的对应规律相同，还需要它们的自变量的取值范围相同．
函数的表示法解读 函数有三种常用的表示方法解析法意义列表法意义图像法意义相互转化 1、解析法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式. 优点：①简明、全面地概括了变量间的关系，便于运用解析式研究和应用函数的性质. ②通过解析式可求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 2、列表法 即列出表格来表示两个变量的函数关系. 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用. 3、图像法 即用图像表示相对应的函数值. 优点：能直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，使我们可通过图像来研究函数的某些性质. 特别提示 以下两类问题值得我们很好地研究： ①如何在条件下确定函数：欲确定一个函数，即是要设法得到这个函数的表示，这时要注意从解析式能否确定、是否可以列出相应的表格和是否可以作出函数的图像这三个方面去考虑，通常情况下的优先考虑是设法求出函数的解析式 ②在给出函数表示方法的根底上研究函数的性质：无论是用哪一种方法表示出函数，都已经确定了函数中两个变量之间的关系，这一关系反映了该函数的各种性质，具体研究时，主要围绕函数的定义域、值域、图像等方面思考，注意数形结合思考问题 4.难点疑点突破 〔1〕函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果函数解析式的构造时，可用待定系数法；复合函数f［g(x)］表达式时，可用换元法，这时要注意自变量的取值范围；当表达式简单时，也可用配凑法，假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组，消参的方法求出f(x). 〔2〕函数的图像是函数关系的一种表示形式，它反映了从“图形〞方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质，也可以帮助我们记忆各类函数的根本性质.函数的图像可能是一条光滑的直线，也可能是直线或折线或其中的一局部，还可能是一些间断点.描点法是作函数的图像的根本方法.