从平面向量到空间向量27页PPT

思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可.
解 :(1)与������������ 相等的向量有:������1 ������1 , ������1 ������1 , ������������. (2)与������������1 相反的向量有:������1 ������, ������1 ������ , ������1 ������, ������1 ������. (3)与������������ 平行的向量有:������������, ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������������ , ������������ .
解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相 等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向 量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要 相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性
质,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量������������ 与������1 ������1 的方向相同,模也相 等,所以������������ = ������1 ������1 ,故③正确.命题④显然正确.
(5)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反. ( × )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的有关概念 【例1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)试写出与������������相等的向量; (2)试写出与������������1 相反的向量; (3)试写出与������������平行的向量.
; ; .

(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一 点O， 且 ，
则x+y=1是 P、A、B三 点共线的：
OP xOA y AB
A.充分不必要 条件 B.必要不充分 条件
5.设点P在直线AB上并且
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b

A→D与向量D→A，C→B，C→1B1，D→1A1的方向相反，
所以A→D的相反向量有：D→A，C→B，C→1B1，D→1A1，
共 4 个．
(3)因为 AA1∥BB1∥CC1∥DD1，所以与向量 A→A1平行的向量有：B→B1，C→C1，D→D1，A→1A，B→1B， C→1C，D→1D，共 7 个． 【名师点评】 第(3)问易得到错解B→B1，C→C1， D→D1，共 3 个，原因是忽略了互为相反向量的 两个向量是不同的．
变式训练 2.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为正 方形 ABCD 的中心，过点 O 作一线段 l，使 l 的方向向量为A→A1.
解：连接A1C1，B1D1， 交于点O1，则线段 OO1所在直线即为所求作的直线l.图略．
平面的法向量
例3
如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′ 中 ，
π
〈
〉 a，2b
________时，向量a与b垂直，
记作a⊥b.
〈
〉 a，0或bπ _________时，向量a与b平行，
记作a∥b.
做一做
1.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中(如图)， 〈A→D，
→ CB
〉＝
________，〈A→B，C→1C〉＝
________．
答案：π
π 2
(4)几类特殊的向量 ①单位向量：模为1的向量． ②零向量：模为0的向量，记为0.零向量的方 向是任意的． ③相等向量：方向相同且模相等的两个向量. 在空间中，同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量．
想一想 2.直线l的方向量有多少个？与直线l有什么关 系？ 提示：与A→B平行的任意非零向量 a 都是直线

③与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)有A→′B′，D→C，D→′C′. ④向量A→A′的相反向量有A→′A，B→′B，C→′C，D→′D.
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在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量 的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相 同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相 反．
①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量； ③试写出与向量A→B相等的所有向量； ④试写出向量A→A′的所有相反向量．
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D [(1)①中向量a与b的方向不一定相同，故①错；命题②显然 正确； 对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向 不一定相同，故不一定相等，故③错．故选D.]
[提示] 球面．
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2．空间向量的夹角 (1)文字叙述：a，b 是空间中两个非零向量，过空间任意一点 O， 作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a 与向量 b 的夹角，记作 __〈__a_，__b_〉__．
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(2)图形表示： 角度
〈a，b〉＝_0_ 〈a，b〉是_锐__角_
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1.判断正误 (1)直线l的方向向量是唯一的． (2)0向量是长度为0，没有方向的向量． (3)空间向量就是空间中的一条有向线段． (4)不相等的两个空间向量的模必不相等．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
() () () ()
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2.给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③
(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段___表示.
(3)表示法②字起母点表是示A，法终：点用是字B母，表则示向，量若a也向可量以a的

第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
平面 BB1D1D 的法向量可以是A→C，C→A，A→1C1，C→1A1中的任 一个．
第二章 2.1
名师辩误作答
第二章 2.1
[例5] 下列命题中正确的是( ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb [误解] A(或B或D) [正解] C
(1)举出图中与向量A→F相等的向量； (2)向量E→C是否与H→G平行？ (3)举出图中与向量B→G相反的向量． [分析] 两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相 同．向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致．两空间向量 平行与否与向量的方向无关．
第二章 2.1
[解析] (1)与向量A→F相等的向量有向量M→H和向量D→E. (2)由于点 H、M、G 分别为线段 EF、AD、BC 的中点，所 以 HG∥EC，即向量E→C与H→G平行． (3)与向量B→G相反的向量有G→B、C→G、M→A、D→M、E→H和H→F.
第二章 2.1
[解析] (1)直线 AA1 的方向向量可以是A→A1，B→B1，C→C1， D→D1，A→1A，B→1B，C→1C，D→1D中的任一个；
直线 BD 的方向向量可以是B→D，B→1D1，D→B，D→1B1中的任一 个．

复习回顾
平面向量的有关概念
（（12））向零向量向量量：既av：的有0v 模大规（小定长又0度有v//）方av,向记的作量：叫av做向量.
记作：av,
v b,
uuuuv AB.
（3）单位向量： av 1
（4）相等向量：av
v b
（5）相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫作相反向量,
记作:
uuuv AB
（3）在 ABB中由已知得 EF // AB D
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur EF // AB, EF // BA, EF // DC.
F C
A
E
B
练习1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D' 中:
（1）举出与向量
uuur AB
相等的向量;
uuuur BB
uuur
（3）E和F分别是AB和BB'的中点, 在正方体中能找到3个与EF平
行的向量吗?
D'
C'
解:（1）相等:
uuur uuur uuuuur uuur uuuuur uuur
DC AB, AB AB, DC AB; A'
B'
（2）是相反向量:
uuuur uuuuur uuur uuuuur uuur uuuuur CD AB,CD AB, BA AB;
第二章 空间向量与立体几何
在数学4（必修）中，我们学习了平面向量，认识到向量在 数学和物理中的广泛应用；认识到向量与数学运算既有区别又 有联系.
空间向量是处理立体几何问题的另一种方法. 空间向量的引 入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十 分有效的工具.

的是
(填写相应序号).
①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向
量;
②一个平面的所有法向量互相平行;
③如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面
也垂直;
④如果a,b与平面α平行,且n⊥a,n⊥b,那么n就是
平面α的一个法向量.
[答案](2)①②③ [解析] (2)当a与b共线时,n就不一 定是平面α的法向量,故④错误.
重点难点
[重点] 1．对空间向量的概念的理解与表示． 2．空间向量的运算和运算律．
[难点] 理解直线的方向向量、平面的法向量等．
教学建议
本章从数量表示和几何意义两方面把对向量及其运算的认识从二维情形提 升到三维情形，这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程． 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤 和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想，其主要 思想方法是： (1)类比、猜想、归纳、推广(让学生经历由平面向空间推广的过程)； (2)能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题．
(1)空间向量就是空间中的 来．
一条有向线段；
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也
(2)不相等的两个空间向量 可以相等，只要它们的方向不相同即可．
的模必不相等；
备课素材
备课素材
2．空间向量与平面向量类比运用 与平面向量进行类比，注意空间向量与平面向量的联系与区别，准确把握空间向 量的概念是解答问题的关键．
预习探究
大小 平面
方向
起点
终点
空间
自由向量
长度
模
预习探究
夹角 <a,b>
0或π
解:球面.
预习探究

(1)<������������, ������'������'>= (2)<������������, ������'������' >= (3)<������������, ������'������'>=
; ; .
解析:(1)∵������'������' = ������������ , ∴<������������ , ������'������'>=<������������, ������������ >. 又∵∠CAB=45°,∴<������������, ������'������' >=45°. (2)<������������, ������'������' >=180°-<������������, ������'������' >=180°-45°=135°. (3)<������������, ������'������'>=<������������ , ������������>=90°.
一
二
思考辨析
【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模 一定相等. 答案:B
一
二
思考辨析
【做一做2】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起 点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ������������ = ������1 ������ ;1 ④若空间向量m,n,p满足 m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相 等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向 量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要 相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性

第二章 2.1
[点评] 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点 相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量A→A1平移 至B→B1处，由于B→1C，B→B1的起点不相同，所以得到的∠BB1C 为 应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！
第二章 2.1
如 图 ， M ， N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′的棱 BB′，B′C′的中点，求：
第二章 2.1
探索拓研创新
第二章 2.1
法向量
对于平行四边形 ABDC，图 中的五个向量中各个向量之间的关系如 何？在图中画出平行四边形 ABDC 的一个 法向量．
[分析] 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、 相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平 面内两个相交向量即可．
第二章 2.1
向量的有关概念
给出下列五个命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间两向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
第二章 2.1

加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，也可以用空间向量表示，包括 大小和方向。
解决实际问题的应用
物理问题
空间向量在解决物理问题 中有着广泛的应用，如力 的平衡、动量守恒、机械 能守恒等。
航天工程
在航天工程中，空间向量 被广泛应用于火箭发射、 卫星轨道计算、重力场研 究等方面。
机器人技术
在机器人技术中，空间向 量被用于描述机器人的运 动轨迹、姿态控制、传感 器数据等方面。
混合积
$overrightarrow{AB} cdot (overrightarrow{CD} times overrightarrow{EF})$表示一个 标量，其值为$left| overrightarrow{AB} right| cdot left| overrightarrow{CD} right| cdot left| overrightarrow{EF} right| cdot sintheta$。
转动惯量
描述物体转动惯性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。转动惯 量的方向与转动轴的方向一致，大小等于质量与质点到转动轴距离平方的乘积。
电场与磁场的研究
电场
描述电场中电荷受力情况的物理量，由电荷分布和电场强度矢量共同决定。在空间向量中，电场强度矢量是一个 既有大小又有方向的矢量，遵循矢量运算法则。
03
空间向量在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据力的平行四边形法则，两个 力可以合成一个合力，合力的大 小和方向由平行四边形的边长和 夹角确定。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的大小和方向由平行四 边形的边长和夹角确定。
速度和加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 可以用空间向量表示，包括大小和方 向。