北师大版数学高二从平面向量到空间向量参考导学案 北师大版选修2-1

2.1 从平面向量到空间向量学习目标：1、 知识与能力目标：（1） 使学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；（2） 掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念。

2、 过程与方法：通过空间向量概念的生成，向学生渗透由特殊到一般、类比转化的数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力；3、 情感、态度与价值观通过空间向量图形的展示，培养学生朴素的审美“情趣”，优化学生的思维品质。

学习重点：（1）空间向量的概念生成，空间向量的夹角。

（2）空间直线的方向向量和平面的法向量。

学习难点：平面的法向量。

学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。

学习过程：一、课前预习：1．空间向量(1)在空间中，既有 又有 的量，叫作空间向量．(2)向量用小写字母表示，如：a →，b →或a ，b .也可用大写字母表示，如：AB →，其中 叫做向量的起点， 叫做向量的终点．(3)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用 或 表示．(4)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a ，b ，在空间中任取点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 叫作向量a ，b 的夹角，记作 ．(5)向量夹角的范围：规定 .(6)特殊角：当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ； 当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b ，记作 .2．向量、直线、平面(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线 或 的非零向量，一条直线的方向向量有 个．(2)如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的 ，叫作平面α的法向量．平面α有 个法向量，平面α的所有法向量都 ．二、新课学习问题探究一 向量概念1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？2 向量怎样表示？3向量的夹角指什么4 什么叫向量的垂直与平行？跟踪训练1 下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →问题探究二 向量、直线、平面怎样描述空间直线的方向？例1 已知空间四边形ABCD 的各条边和对角线长都等于a ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AD 的中点．(1)给出直线EG 、FG 的一个方向向量；(2)给出平面CDE 的一个法向量．跟踪训练2 (1)正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 〈A 1C 1→，BC 1→〉＝________.(2)写出平面ABC 1D 1的一个法向量三、当堂检测1．下列命题中，假命题是 ( )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2. 判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.53.如图，正四面体S —ABC 中，向量SA →和BC →的夹角________．4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面B 1BDD 1的一个法向量为_____________．四、课堂小结五、课后作业。

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。

课题：空间向量及其运算(一)教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：用向量解决立几问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的X围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明 教学过程： 一、复习引入： 1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a；坐标表示法(,)a xi yj x y =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型 几何方法坐标方法运算性质向 量的加 法1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AB BC AC +=向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-AB BA=-OB OA AB-=向量的乘法1aλ是一个向量,满足:2λ>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时,aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的数量积ba•是一个数10=a或0=b时,ba•=020≠a且0≠b时,),cos(||||bababa=•2121yyxxba+=•abba•=•)()()(bababa•=•=•λλλcbcacba•+•=•+)(22||aa=22||yxa+=||||||baba≤•3重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,ee是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211eeaλλ+=(2)两个向量平行的充要条件a∥b⇔a＝λb⇔01221=-yxyx(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝O⇔02121=+yyxx(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段⇔所成的比为λ，即1PP ＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点),(y x P 按向量),(k h a = 平移后得到点),(y x P '''，则OP '＝OP +a或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=-(6)正、余弦定理 正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=二、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量aC'B'A'D'DABC GMC'B'A'D'DAB C ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 三、讲解X 例：例1已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴AB BC +；⑵AB AD AA '++； ⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++ 解：如图：⑴AB BC AC +=；⑵AB AD AA '++=AC AA AC ''+=；⑶设M 是线段C C '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==向量,,,AC AC AM AG '如图所示:C B AOb b baa例2 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； （2）1()2AB BD BC ++； （3）1()2AG AB AC -+． 解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=； （2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++ AB BM MG AG =++=；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-=． 四、课堂练习：1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点， 求证：1()2EF AB DC =+． 证明：1122EF ED DC CF AD DC CB =++=++ 11()22AB BD DC CB =+++ 11()22AB DC CB BD =+++ 1122AB DC CD =++ 1()2AB DC =+ 2．已知2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+，把向量,x y 用向量,,a b c 表示 解:∵2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+ ∴32x a b c =-+-， 2y a b c =-+3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =，,AD b AA c '==，,E F 分别是,AD BD '中点，（1）用向量,,a b c 表示,D B EF '；BCDMGABCDEFAA'BB'CC'DD'EFACD（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++； 解: （1）D B D A A B B B b a c ''''''=++=-+-1122EF EA AB BF D A a BD '=++=++ 111()()()222b c a a b a c =--++-+=- 五、小结 ：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念； 向量加法、减法和数乘运算六、课后作业：如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 的重心求证：1()3AG AB AC AD =++七、板书设计（略） 八、课后记：。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.1 从平面向量到空间向量基础达标 北师大版选修2-1一、选择题1．假设空间向量a 与向量b 不相等，那么a 与b 必然( )A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量[答案] D[解析] a ，b 不相等，可能方向不同，也可能模不相等，因此A ，B ，C 都不正确，只有D 正确．2．假设命题M ：AA ′→＝BB ′→；命题N ：四边形ABB ′A ′是平行四边形，那么M 是N 的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又没必要要条件 [答案] B[解析] 由四边形ABB ′A ′是平行四边形，可得AA ′→＝BB ′→.可是由AA ′→＝BB ′→，只能说明AA ′→与BB ′→是相等向量，AA ′→与BB ′→所在的直线可能平行或共线，并非必然组成平行四边形ABB ′A ′，因此M 是N 的必要不充分条件．3．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→是( )A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量 [答案] C[解析] 先画出平行六面体的图像，可看出向量D 1A →、D 1C →在平面ACD 1上，由于向量A 1C 1→平行于AC →，因此向量A 1C 1→通过平移能够移到平面ACD 1上，因此向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→为共面向量．二、填空题4．以下有关平面法向量的说法中，正确的选项是________(填写相应序号)．①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量相互平行；③若是两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④若是a ，b 与平面α平行，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 确实是平面α的一个法向量．[答案] ①②③[解析] 当a与b共线时，n就不必然是平面α的法向量，故④错误．5．在长方体中，从同一极点动身的三条棱长别离为1,2,3，在以长方体的两个极点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．[答案] 8[解析] 研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个．三、解答题6.如图，正方体ABCD—EHGF，求出平面ABCD所有的法向量，并求出〈DA→，DC→〉、〈DA→，DF→〉．[分析] 依照法向量的概念求解，假设直线l垂直于平面ABCD，那么任何与直线l平行的非零向量都为法向量．[解析] 平面ABCD所有的法向量有DF→、CG→、BH→、AE→、FD→、GC→、HB→、EA→.由于正方体的三条棱DA、DC、DF相互垂直，因此〈DA→，DC→〉＝90°，〈DA→，DF→〉＝90°.一、选择题1．以下说法中正确的选项是( )A．任意两个空间向量都能够比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量能够比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模能够比较大小[答案] D[解析] 任意两个空间向量，不论同向仍是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故能够比较大小．2．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N别离为A1B1和BB1的中点，那么与直线AM垂直的向量有( )A．CN→B．BC→C．CC1→D．B1C1[答案] D[解析] 由于所求的是向量，因此第一排除B ，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D 项正确．3．已知正方形ABCD 的边长为4，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，那么向量AG →的模为( )A ．6B ．9C ．4 2D ．5[答案] A[解析] GC ⊥平面ABCD ，因此GC ⊥AC .在Rt △GAC 中，AC ＝42，GC ＝2，因此AG ＝AC 2＋GC 2＝6，即|AG →|＝6.4．如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以极点为向量端点的所有向量中，直线AB 的方向向量有( )A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个 [答案] A[解析] 与向量AB →平行的向量确实是直线AB 的方向向量，有AB →，BA →，A 1B 1→，B 1A 1→，C 1D 1→，D 1C 1→，CD →，DC →，共8个，因此选A.[点评] 直线的方向向量确实是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的．5.AB →＝CD →的一个必要不充分条件是( )A ．A 与C 重合B ．A 与C 重合，B 与D 重合C ．|AB →|＝|CD →|D ．A ，B ，C ，D 四点共线[答案] C[解析] 向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关．表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，不能取得四点共线．二、填空题6．在以下命题中：①若a 、b 为共面向量，那么a 、b 所在的直线平行；②假设向量a 、b 所在直线是异面直线，那么a 、b 必然不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于那个平面的法向量．其中正确命题的个数为________．[答案] 2[解析] ①②是错误的，共面向量所在的直线不必然平行，只要能平移到一个平面内就能够够．7．如图，在正四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1别离是对角线AC ，A 1C 1的中点，那么〈AO →，OC →〉＝________，〈AO →，O 1C 1→〉＝________，〈OO 1→，A 1B 1→〉＝________.[答案] 0° 0° 90°[解析] 由题意得AO →，OC →方向相同，是在同一条直线AC 上，故〈AO →，OC →〉＝0°；O 1C 1→可平移到直线AC 上，与OC →重合，故〈AO →，O 1C 1→〉＝0°；由题意知OO 1是正四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1的高，故OO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因此OO 1⊥A 1B 1，故〈OO 1，A 1B 1→〉＝90°.三、解答题8．一飞机从地面以45°倾角斜着升空，再水平向东飞行一段距离后，然后又水平向正北方向飞行，如此三次移动AB →、BC →、CD →是三个空间向量．问：(1)三个向量哪个与水平面平行？(2)〈AB →，BC →〉、〈BC →，CD →〉和〈AB →，CD →〉的值是多少？[分析] 应把实际问题抽象为数学问题，飞机水平飞行时与水平面平行，由图可知向量AB →与BC →在同一平面内，而且向量CD →垂直于那个平面α.[解析] (1)飞机水平飞行时所通过的线路与水平面平行，因此三个向量中BC →和CD →平行于水平面α.(2)由于向量AB →与BC →在同一平面内，设为平面β，又由于CD →为正北方向，因此CD →垂直于平面β，即BC →⊥CD→和AB →⊥CD →.因为AB →与水平面的夹角为45°，因此得：〈AB →，BC →〉＝45°，〈BC →，CD →〉＝90°，〈AB →，CD →〉＝90°.9．如下图，正四棱锥P —ABCD 的底面边长为1.(1)试判定向量AB →，BC →，AD →，CD →中哪个是单位向量；(2)举出与向量AB →相等的向量．[解析] (1)单位向量即模为1的向量，那么AB →，BC →，AD →，CD →都是单位向量．(2)由于向量DC →与向量AB →方向相同，且模都为1，故DC →是与向量AB →相等的向量．10．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，F 是D 1B 1的中点．(1)问：向量AA 1→、CC 1→、DF →是不是为共面向量？(2)求〈BE →，BC →〉；(3)写出平面BB 1C 1C 的一个法向量．[解析] (1)向量DF →在平面D 1B 1BD 上，由于向量AA 1→、CC 1→平行于平面D 1B 1BD ，因此向量AA 1→、CC 1→、DF →都能够平移到平面D 1B 1BD 上，即向量AA 1→、CC 1→、DF →是共面向量．(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC →为平面A 1B 1BA 的法向量，BE →又在平面A 1B 1BA 上，因此BC →⊥BE →，即〈BE →，BC →〉＝90°.(3)平面BB 1C 1C 的一个法向量为BA →(或B 1A 1→、CD →、C 1D 1→)．。

空间向量及其运算【教学目标】1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积【知识梳理】复习：平面向量有加减以及数乘向量运算1. 空间向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.空间向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝.(2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ；当λ＝0时，λa ＝.(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ， b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .3. 空间向量加法和数乘向量，以下运算律仍然成立：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 数乘交换律: λa=a λ加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘结合律：a a )()(λμμλ=数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb a a a μλμλ+=+)(小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例3三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.追踪训练1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 5．3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝04.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.。