《从平面向量到空间向量》

《从平面向量到空间向量》教案一、教学目标(teaching objective)：1．知识目标(knowledge objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明．2．能力目标(capability objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量．会作空间任一向量的分解图．类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力．3．情感目标(emotion objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系．二、教学难点(teaching difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量．灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题．三、教学重点(teaching focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系．四、教学手段(teaching method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学．五、教学过程（teaching procession ）1．引入（intruduce ）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理．用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示．我们研究一下怎么表示．（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a 都可以表示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数．2．推广（extend ）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？1A 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c ．师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明． 老师板演证明：设空间三个不共面的向量OA =a OB =b ，OC =c ，OP =p 是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则OP =OD +DP ，由空间两直线平行的充要条件知DP = z c ，由平面 向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面， 则OD = x a +y b ，所以，存在x ，y ，z 使得OP =x a +y b + z c ．这样的实数x ，y ，z 是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x ，y ，z 的实数x 1，y 1，z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x ，y ，z 是唯一的实数．这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理． 老师介绍相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量． 师：对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量．④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底．⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维．如：a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底．能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底．通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想．特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若z=0，则p与a、b共面．当x=0，y=0时，p与c共线；当x=0，z=0时，p与b共线；当\y=0，z=0时，p与a共线．说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展．这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）．3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：14．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1，用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ线．解：（1）由P 是CA 1的中点，得AP =21（1AA +AC ）=21（c +AD +AB ）=21（a +b +c ） （2）AN =AM +MN =AM +211CC =21（c +a ）+b +21c =b +c +21a法2：AN =1AA +N A 1=1AA +11D A +N D 1=c +b +21a（3）AQ =AC +CQ =AC +541CA =AC +54（1AA +CA ）=51AC +541AA=51(b +a )+54c 例2．在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系．解：由例1得：AQ =51(b +a )+54c ，1OC =OC +1CC =21AC +1AA=21（b +a ）+c 则AQ 和1OC 与（b +a ）和c 共面，又AQ ≠λ1OC ，则AQ 和OC 1所在直线不能平行，只能相交．追问：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则O 应在AC 的什么位置？分析：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则1OC =λAQ =λ[51(b +a )+54c ]又1OC =OC +1CC ，设OC =μAC =μ（b +a ）则λ[51(b +a )+54c ]=μ（b +a ）+c ，即51λb +51λa +54λc =μb +μa +c ，由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知：41,4515451=μ=λ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λλ=μ，所以，OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理．请学生板演平面几何证法：A 1AQCCC 1ORAB C DO易证△AA 1Q ≌△CC 1R ，则CR=A 1Q=41CQ ，又CQ CR AC OC =， 所以AC OC =415．练习(exercises)已知向量a =1e －22e +33e ，b =21e +2e ，c =61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？a +b =31e －2e +33e ，c =2（a +b ），则a +b 与c 共线即平行 c －3b =61e －22e +63e －61e －32e ＝63e －52eb －2a =21e +2e －21e +42e －63e =－63e +52ec －3b 与b －2a 共线但反向．思维发散训练：已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒定量研究异面直线线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线）向量平行（直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点）公理（2 如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容． 7．作业(homework)：。

高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量1500字从平面向量到空间向量，是高中数学的一个重要知识点。

平面向量和空间向量是向量的两种不同形式，它们在数学上有着相似的性质和运算规律，但在几何上有一些区别。

首先，我们来了解一下平面向量。

平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。

平面向量用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。

平面向量有两种表示方法：坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设平面向量AB的起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分量表示：平面向量的分量表示是通过向量的水平分量和竖直分量表示向量。

假设平面向量AB的长度为|r|，与X轴的夹角为θ，则水平分量为|r|cosθ，竖直分量为|r|sinθ。

接下来，我们来了解一下空间向量。

空间向量是指在三维空间中有大小和方向的向量。

空间向量同样用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。

空间向量也有两种表示方法，即坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设空间向量AB的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。

2. 分量表示：空间向量的分量表示同样是通过向量在坐标轴上的投影来表示向量。

假设空间向量AB的长度为|r|，与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为α、β、γ，则向量的X 轴分量为|r|cosα，Y轴分量为|r|cosβ，Z轴分量为|r|cosγ。

在从平面向量到空间向量的过程中，需要注意以下几点：1. 坐标表示的差异：平面向量的坐标表示有两个分量，而空间向量的坐标表示有三个分量。

2. 分量表示的差异：平面向量的分量表示只有水平分量和竖直分量，而空间向量的分量表示有X轴、Y轴、Z轴三个分量。

§1 从平面向量到空间向量基础过关1.下列命题中的假命题是( ) A.任意两个向量都是共面向量B.空间向量的加法运算满足交换律及结合律C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 答案 D2.在四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，能与向量AA ′→相等的向量有( )A.0个B.3个C.6个D.9个解析 BB ′→＝CC ′→＝DD ′→＝AA ′→.答案 B3.设A.b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意. 答案 C4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA →与C 1A 1→是________向量，CB →与B 1C 1→是________向量.解析 因为CA 綉C 1A 1，CB 綉C 1B 1，所以CA →＝C 1A 1→，CB →＝－B 1C 1→. 答案 相等 相反5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是________.解析 易证AD 1⊥平面A 1B 1CD ，C 1B ⊥平面A 1B 1CD . 答案 AD 1→、C 1B →、D 1A →、BC 1→6.如图所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥平面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉. 解 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF→＝12AC →， ∴〈AC→，DE →〉＝〈EF →，DE →〉， ∵AD ＝DD 1＝CD ， 且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ， ∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1， ∴△EFD 为正三角形，∠FED ＝π3， ∴〈AC→，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3. 7.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，D 是AB 的中点. (1)求〈AC →，BC 1→〉；(2)试以D 为起点作直线AC 1的方向向量. 解 (1)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 则AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， 又AC ⊥CC 1，BC ∩CC 1＝C ，且BC ，CC 1平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，又BC 1平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥BC 1，∴〈AC →，BC 1→〉＝90°. (2)设BC 1交B 1C 于点O ，连OD ，则OD 綉12AC 1， ∴DO →就是AC 1的一个方向向量，如图所示.能力提升8.已知向量A.b 是两个非零向量，a 0、b 0是与A.b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( ) A.a 0＝b 0 B.a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C.a 0＝1D.|a 0|＝|b 0|解析 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反. 答案 D9.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.菱形 C.长方形D.正方形解析 若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形.又|AB →|＝|BC →|，则四边形ABCD为菱形，故选B. 答案 B10.下列命题中正确的有________个.①分别取自两条异面直线的两个向量不能转化为相等向量；②空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0；③因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小. 解析 ①③正确，②它们的和应该为零向量. 答案 211.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列结论正确的是________.①AB→＝AC →＋BC →； ②AB→＝－AC →－BC →； ③AC→与BC →同向； ④AC→与CB →同向. 解析 由|AB→|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向.答案 ④12.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，试写出AA 1→的相反向量，与AB →相等的向量及与AC→模相等的向量. 解 由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体. 故AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 与AB →相等的向量有DC →，A 1B 1→，D 1C 1→. 与AC →模相等的向量有CA →，A 1C 1→，C 1A 1→.13.(选做题)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，AP ＝AC ，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且BC ∥平面ADE .(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)当二面角A－DE－P为直二面角时，求A－BCED与P－AED的体积比. (1)证明∵BC∥平面ADE，BC平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC∥ED，∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC，∴PA⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵PA与AC是平面PAC 内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，又BC∥ED，∴DE⊥平面PAC.(2)解由(1)知，DE⊥平面PAC，∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED是△PBC的中位线，AE⊥PC，又PC∩DE＝E，PC.DE平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∴V A－BCEDV A－PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝31.。

第二章 空间向量与立体几何第1课时 第一节 从平面向量到空间向量【课堂互动】新知1 空间向量中的相反向量，共线向量例1.（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB 与11D C ；②1AC 与1BD ；③1AD 与B C 1；④D A 1与C B 1． 其中互为相反向量的有n 对，则n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4笔记：（2）.与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或（ ）．a 平行于b 记作b a//新知2 直线的方向向量，平面的法向量例2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，（1）直线AB 的方向向量是哪个？（2）平面ABCD 的法向量是哪些？． 笔记：【堂中精炼】3. 在正四面体A-BCD 中AB 与BC 的夹角是 （ ） A.60ºB. 90ºC.120ºD. 75º4. 在正四面体A-BCD 中AB 与CB 为 （ ） A.60ºB. 90ºC.120ºD. 75º5. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与BC 平行的向量有（ ）个 A.1 B.2 C.3 D.46. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与BC 互为相反向量的有（ ）个 A.1 B.2 C.3 D.47.零向量的模为 __________. 8.单位向量的模为__________.点睛：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．反向且等长是互为相反向量当我们说向量a 、b共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.点睛：我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量 3、平面的法向量 如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥n ，如果α⊥n ，那么向量n 叫做平面α的法向量。

《从平面向量到空间向量》的教学反思一、其教育价值体现在：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。

向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。

向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。

同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。

掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。

利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。

新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。

二、教学中应注意的问题1.作为空间向量的第一课时，应该让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，比如课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移就用到了我们空间向量，而且三次位移不在同一个平面上，从而进入课题。

2 重要概念的把握，比如“自由向量”这个概念如果能让学生理解透彻，那么很多平面向量的东西平移到空间向量上是很自然的。

从平面向量到空间向量教案一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =||||AC AC AB AB +λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。