《从平面向量到空间向量》

《从平面向量到空间向量》教案一、教学目标(teaching objective)：1．知识目标(knowledge objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明．2．能力目标(capability objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量．会作空间任一向量的分解图．类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力．3．情感目标(emotion objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系．二、教学难点(teaching difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量．灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题．三、教学重点(teaching focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系．四、教学手段(teaching method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学．五、教学过程（teaching procession ）1．引入（intruduce ）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理．用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示．我们研究一下怎么表示．（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a 都可以表示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数．2．推广（extend ）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？1A 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c ．师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明． 老师板演证明：设空间三个不共面的向量OA =a OB =b ，OC =c ，OP =p 是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则OP =OD +DP ，由空间两直线平行的充要条件知DP = z c ，由平面 向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面， 则OD = x a +y b ，所以，存在x ，y ，z 使得OP =x a +y b + z c ．这样的实数x ，y ，z 是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x ，y ，z 的实数x 1，y 1，z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x ，y ，z 是唯一的实数．这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理． 老师介绍相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量． 师：对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量．④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底．⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维．如：a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底．能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底．通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想．特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若z=0，则p与a、b共面．当x=0，y=0时，p与c共线；当x=0，z=0时，p与b共线；当\y=0，z=0时，p与a共线．说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展．这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）．3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：14．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1，用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ线．解：（1）由P 是CA 1的中点，得AP =21（1AA +AC ）=21（c +AD +AB ）=21（a +b +c ） （2）AN =AM +MN =AM +211CC =21（c +a ）+b +21c =b +c +21a法2：AN =1AA +N A 1=1AA +11D A +N D 1=c +b +21a（3）AQ =AC +CQ =AC +541CA =AC +54（1AA +CA ）=51AC +541AA=51(b +a )+54c 例2．在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系．解：由例1得：AQ =51(b +a )+54c ，1OC =OC +1CC =21AC +1AA=21（b +a ）+c 则AQ 和1OC 与（b +a ）和c 共面，又AQ ≠λ1OC ，则AQ 和OC 1所在直线不能平行，只能相交．追问：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则O 应在AC 的什么位置？分析：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则1OC =λAQ =λ[51(b +a )+54c ]又1OC =OC +1CC ，设OC =μAC =μ（b +a ）则λ[51(b +a )+54c ]=μ（b +a ）+c ，即51λb +51λa +54λc =μb +μa +c ，由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知：41,4515451=μ=λ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λλ=μ，所以，OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理．请学生板演平面几何证法：A 1AQCCC 1ORAB C DO易证△AA 1Q ≌△CC 1R ，则CR=A 1Q=41CQ ，又CQ CR AC OC =， 所以AC OC =415．练习(exercises)已知向量a =1e －22e +33e ，b =21e +2e ，c =61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？a +b =31e －2e +33e ，c =2（a +b ），则a +b 与c 共线即平行 c －3b =61e －22e +63e －61e －32e ＝63e －52eb －2a =21e +2e －21e +42e －63e =－63e +52ec －3b 与b －2a 共线但反向．思维发散训练：已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒定量研究异面直线线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线）向量平行（直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点）公理（2 如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容． 7．作业(homework)：。

高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量1500字从平面向量到空间向量，是高中数学的一个重要知识点。

平面向量和空间向量是向量的两种不同形式，它们在数学上有着相似的性质和运算规律，但在几何上有一些区别。

首先，我们来了解一下平面向量。

平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。

平面向量用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。

平面向量有两种表示方法：坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设平面向量AB的起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分量表示：平面向量的分量表示是通过向量的水平分量和竖直分量表示向量。

假设平面向量AB的长度为|r|，与X轴的夹角为θ，则水平分量为|r|cosθ，竖直分量为|r|sinθ。

接下来，我们来了解一下空间向量。

空间向量是指在三维空间中有大小和方向的向量。

空间向量同样用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。

空间向量也有两种表示方法，即坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设空间向量AB的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。

2. 分量表示：空间向量的分量表示同样是通过向量在坐标轴上的投影来表示向量。

假设空间向量AB的长度为|r|，与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为α、β、γ，则向量的X 轴分量为|r|cosα，Y轴分量为|r|cosβ，Z轴分量为|r|cosγ。

在从平面向量到空间向量的过程中，需要注意以下几点：1. 坐标表示的差异：平面向量的坐标表示有两个分量，而空间向量的坐标表示有三个分量。

2. 分量表示的差异：平面向量的分量表示只有水平分量和竖直分量，而空间向量的分量表示有X轴、Y轴、Z轴三个分量。

§1 从平面向量到空间向量基础过关1.下列命题中的假命题是( ) A.任意两个向量都是共面向量B.空间向量的加法运算满足交换律及结合律C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 答案 D2.在四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，能与向量AA ′→相等的向量有( )A.0个B.3个C.6个D.9个解析 BB ′→＝CC ′→＝DD ′→＝AA ′→.答案 B3.设A.b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意. 答案 C4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA →与C 1A 1→是________向量，CB →与B 1C 1→是________向量.解析 因为CA 綉C 1A 1，CB 綉C 1B 1，所以CA →＝C 1A 1→，CB →＝－B 1C 1→. 答案 相等 相反5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是________.解析 易证AD 1⊥平面A 1B 1CD ，C 1B ⊥平面A 1B 1CD . 答案 AD 1→、C 1B →、D 1A →、BC 1→6.如图所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥平面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉. 解 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF→＝12AC →， ∴〈AC→，DE →〉＝〈EF →，DE →〉， ∵AD ＝DD 1＝CD ， 且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ， ∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1， ∴△EFD 为正三角形，∠FED ＝π3， ∴〈AC→，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3. 7.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，D 是AB 的中点. (1)求〈AC →，BC 1→〉；(2)试以D 为起点作直线AC 1的方向向量. 解 (1)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 则AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， 又AC ⊥CC 1，BC ∩CC 1＝C ，且BC ，CC 1平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，又BC 1平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥BC 1，∴〈AC →，BC 1→〉＝90°. (2)设BC 1交B 1C 于点O ，连OD ，则OD 綉12AC 1， ∴DO →就是AC 1的一个方向向量，如图所示.能力提升8.已知向量A.b 是两个非零向量，a 0、b 0是与A.b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( ) A.a 0＝b 0 B.a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C.a 0＝1D.|a 0|＝|b 0|解析 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反. 答案 D9.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.菱形 C.长方形D.正方形解析 若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形.又|AB →|＝|BC →|，则四边形ABCD为菱形，故选B. 答案 B10.下列命题中正确的有________个.①分别取自两条异面直线的两个向量不能转化为相等向量；②空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0；③因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小. 解析 ①③正确，②它们的和应该为零向量. 答案 211.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列结论正确的是________.①AB→＝AC →＋BC →； ②AB→＝－AC →－BC →； ③AC→与BC →同向； ④AC→与CB →同向. 解析 由|AB→|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向.答案 ④12.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，试写出AA 1→的相反向量，与AB →相等的向量及与AC→模相等的向量. 解 由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体. 故AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 与AB →相等的向量有DC →，A 1B 1→，D 1C 1→. 与AC →模相等的向量有CA →，A 1C 1→，C 1A 1→.13.(选做题)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，AP ＝AC ，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且BC ∥平面ADE .(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)当二面角A－DE－P为直二面角时，求A－BCED与P－AED的体积比. (1)证明∵BC∥平面ADE，BC平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC∥ED，∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC，∴PA⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵PA与AC是平面PAC 内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，又BC∥ED，∴DE⊥平面PAC.(2)解由(1)知，DE⊥平面PAC，∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED是△PBC的中位线，AE⊥PC，又PC∩DE＝E，PC.DE平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∴V A－BCEDV A－PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝31.。