线段的垂直平分线的性质和判定定理

线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。

能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。

【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。

这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。

线段的垂直平分线的性质
性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等等。

1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的
距离相等。

4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。

若图形（这个图形可以是直线的、折线的、曲线的）关于某条直线对称，这条轴就称
为对称轴。

以五角星为例，它有五条对称轴。

垂直平分线是存在某条线段时才会有这个概念。

它的定义是经过某一条线段的中点，
并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

它有一定的局限性。

轴对称图形的对称轴是对称图形中任意两个对应点连线段的垂直平分线。

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线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

垂直平分线知识点
垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。

以下是垂直平分线的一些知识点：
1.性质：垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

2.判定：如果直线过线段中点，并且垂直于这条线段，那么这条直线就是这条线段的垂直平分线。

3.三角形中的垂直平分线：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

4.与对称轴的关系：如果一个图形关于某一直线对称，那么这个直线就是对应点连线的垂直平分线。

总之，垂直平分线是数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法，并且在三角形等图形问题中有着广泛的应用。