线段垂直平分线的性质定理及逆定理

线段垂直平分线的应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的一个重要性质，在解题过程中，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，利用上述性质可顺利解决问题．一、用于计算例1 如图1，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P PEF 的周长为5，求MN 的长．分析：由图1知MN 的长是ME 、EF 、FN 而P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 对称，所以OA 、 OB 分别是PM 、PN 知EM=EP ， FP=FN ，故MN 的长就是△PEF 的周长．解：因为P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 的垂直平分线，所以EM=EP ， FP=FN ．所以例2 如图2所示，DE 是△ABC 的边AB E 平分∠B AC ，若∠B=30º，求∠C 的度数．分析：由DE 是AB 边的垂直平分线可知BE=A E ∠B=∠1，又因为A E 是∠B AC 的角平分线，所以∠1=∠即可求出∠C 的度数． 解：因为DE 是AB 边的垂直平分线，所以BE=A E ∠B=∠1．因为∠B=30º，所以∠1=30º．又因为A E 平分∠B AC ，所以∠2=∠1=30º，即∠B AC=60º．因为∠C=180º－∠B AC －∠B ，所以∠C=90º．点评：通过以上两例可以看出，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地二、用于证明例3 如图3，已知AB=AC ， AD 平分∠BAC ，求证：∠分析：由已知AB=AC 及AD 平分∠BAC ，易想到连结BC ，得 等腰△ABC ，且AD 垂直平分BC ，从而有DB=CD 及BE=EC ，可得∠EBC=∠ECB ，∠DBC=∠DCB ，两式相减即有∠DBE=∠ECD ．证明：连结BC ，因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 垂 直平分BC ，所以BE=EC ，DB=CD ，所以∠EBC=∠ECB ，∠DBC= ∠DCB ，所以∠EBC －∠DBC=∠ECB －∠DCB ，即∠DBE=∠ECD 点评：本题也可以通过证明△ABE ≌△ACE 得∠AEB=∠AEC 及BE=EC ，再证明△BDE ≌△DCE ．但这种证法显然没有利用线段垂直平分线性质来得简捷．例4 如图4，在△ABC 中，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，分析：要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD=90º．由于AD=DB 可在AB 边上取中点E ，连结DE ，由AB=2AC 及∠BAD=∠得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD=∠AED ，由AD=DB 知D 在AB 的垂直平分线上，可知∠AED=90º，问题解决．证明：在AB 边上取中点E ，连结DE ，因为AD=DB ，E 为中点，所以ED ⊥AB ．因为AB=2AC ，所以AE=21AB= AC ．在△ADE 和△ADC 中，AE= AC ，∠DAE=∠DAC ，AD 共用，所以△ADE ≌△ADC ，所以∠ACD=∠AED=90º，所以CD ⊥CA ．点评：由于受习惯思维的影响，同学们在解题过程中，在可以用线段垂直平分线性质说明的问题，仍然用三角形全等的方法来解决，这就给解题增加的麻烦，我们应有意识地应用这个性质探求新的解题途径，切勿机械套用全等三角形知识．线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课前预习1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。

【例1】如图所示，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，连结AD ，点E 在AD 上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD 垂直平分BC【例2】判断：若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线当堂训练知识点1：线段垂直平分线的性质1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，•需加_ _______条件，理由是___ _____．2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．3.9cmB ．7.8cmC ．4cmD ．4.6cm4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，连接AD ，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）．A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____．课后作业6.给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线．∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）．∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）．∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上．这是因为如果点C 在直线l 上，那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②②D ．①②①7.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若PA=10 cm ，则PB=______cm 。

线段垂直平分线的性质定理内容：1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．2．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用：线段垂直平分线的性质定理是初中几何的基本定理，它在几何证明和求解中有着广泛的应用．现举例加以说明，供同学们参考．一、用于求线段的长【例1】如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．【分析】题中有“线段垂直平分线”这个条件，因此考虑运用其性质定理，把BE与AE进行等量代换，再根据△BCE的周长及AC的长，可求出BC的长．【解】因为ED是线段AB的垂直平分线，所以BE=AE．因为△BCE的周长等于50，所以BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，而AE+EC=AC=27，所以BC=50-27=23．二、用于求角的度数【例2】如图，在△ABC中，已知AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．【分析】要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线”得“线段相等”，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．【解】因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA，所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC．因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2（∠B+∠C），而∠BAC=115º，所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．三、用于证明两角（或线段）相等【例3】如图，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF．求证：∠B=∠CAF．【分析】证明两角（或两线段）相等的常用方法是证两三角形全等，或用等边对等角（等角对等边），而本题中∠B与∠CAF不在同一个三角形内，它们所在的三角形又不能全等，故应从垂直平分线入手考虑问题．由于EF垂直平分AD，所以AF=DF，可得∠FDA=∠FAD，而∠CAF=∠FAD-∠1，只要证明∠B=∠FDA-∠2即可，这可由三角形外角定理证得．【证明】因为EF垂直平分AD，所以FA=FD，所以∠FDA=∠FAD．因为∠B=∠FDA-∠2，∠CAF=∠FAD-∠1，又因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，所以∠B=∠CAF．四、用于证明两线段垂直【例4】如图，在△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，AD= BD．求证：DC⊥AC．【分析】要证DC⊥AC，可证∠ACD=90º．由于AD=BD，可在AB上取中点E，连结DE，由AB= 2AC及∠BAD=∠CAD，易证得△ADE≌△ADC，从而得∠ACD=∠AED．由AD= BD知D在AB的垂直平分线上，可知∠AED=90º，本题得证．【证明】在AB上取中点E，连结DE．因为AD= BD，E为AB的中点，所以ED⊥AB．因为AB= 2AC，所以AE= AB=AC．在△ADE和△ADC中，因为AE= AC，∠DAE=∠DAC，AD公用，所以△ADE≌△ADC，所以∠ACD=∠AED=90º，所以DC⊥AC．【注】由于受学习习惯的影响，很多同学在可以用线段垂直平分线定理证明两角（或线段）相等，或证明两线段垂直（或直角）的地方，仍习惯用三角形全等的方法，这无形中增加了解（证）的复杂程度，我们在学习中应有意识地应用新定理探求新的解（证）题途径，切勿机械套用全等三角形知识．。

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。

本节课主要介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过证明线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，以及线段垂直平分线垂直平分线段这两个性质，让学生理解线段垂直平分线的重要性和应用。

同时，通过逆定理的证明，让学生掌握如何判断一条直线是线段的垂直平分线。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线、直线的基本概念，以及全等三角形的性质和判定。

但线段垂直平分线的性质定理及其逆定理较为抽象，需要学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻和具体例子，帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

2.学会运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明。

2.如何运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体案例，让学生理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；通过小组合作学习，培养学生之间的交流和合作能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.尺子、圆规、直尺等作图工具。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(6,7)之间有一条线段，求线段的垂直平分线方程。

让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。

2.呈现（15分钟）讲解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

通过PPT课件和板书，呈现定理的证明过程，让学生理解定理的含义。

同时，给出一些例子，让学生学会运用定理解决实际问题。

线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等。

扩展资料：
垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

垂直平分线的性质：
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

教学设计思想及其逆定理我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。

对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。

对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。

教学目标知识目标总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用；经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。

能力目标经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。

情感目标在探索活动中感受数学的严密性、严谨性；在各种活动中获得猜想。

教学重点和难点重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用；难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。

教学方法启发引导、合作探究课时安排１课时教具学具准备投影仪或电脑、三角板教学过程设计我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？（一）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

下面我们就来证明这个定理。

如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。

在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已证)，PO=PO(公共边)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴PA=PB。

（二）做一做1、写出上面定理的逆命题。

2、填写下面命题证明过程的理由。

已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。

求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则∠POA＝∠POB＝90°( )。

在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB( )，PO＝PO( )，∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( )。

∴AO＝BO( )。

∴EF是线段AB的垂直平分线( )。

线段的垂直平分线（一）知识要点1．定义：垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2．定理（性质）：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。

3．逆定理（判定）：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

4．用集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段的两个端点距离相等的所有点的集合。

5．结论（1）：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，这个交点叫三角形的外心。

结论（2）：三角形三个内角角平分线的交点到三边距离相等，这个交点叫三角形的内心。

6．轴对称（位置与形状）和轴对称图形。

（见书P22－P28）（二）练习1．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，则∠CAF＝＿＿＿＿度。

2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠BAC＋∠DAE＝150°，则∠BAC＝＿＿＿度。

3．在△ABC中，∠BAC＝144°，EF、MN分别是AB、AC中垂线，则∠EAM＝＿＿＿度。

4．如图，已知O是△ABC的边AB、AC中垂线交点，M是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，且∠M＋∠BOC＝180°，则∠BAC＝＿＿＿＿度。

（练习册P1712）5．在等腰△ABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（点A、C在垂线的异侧），交另一腰AC于点E，连结BE，AD＋AC＝24，BD＋BC＝20，则△EBC周长为＿＿＿＿。

6．M是△ABC三边垂直平分线的交点，则∠BAC＋∠MBC＝＿＿＿＿＿度。

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，∠CAD：∠DAB=1：2，则∠B=_______度。

8．已知△ABC的周长为36cm，AB=AC，AD⊥BC于D，△ABD的周为30cm，则AD=___。

9．一个三角形两边垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_________。

线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理一，复习：线段的垂直平分线的定义？
二，探究新知
测量发现：测量PA，PB，QA，QB
的长度，你有什么发现？
动手操作：将线段AB沿直线PQ对折，你有什么发现？
逻辑推理：已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在MN上. 求证:PA=PB
三，总结归纳：线段的垂直平分线的性质定理:
五，勤学善思
反过来，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
总结归纳
线段的垂直平分线的性质定理的逆定理:。

学以致用
如图，点C,D 是线段AB 外的两点,且AC=BC,AD=BD,AB 与CD 相交于点O. 求证：AO=BO
六，自我检测
1.如图，在△ABC 中，BC=8cm ，AB 的垂
直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，
△BCE 的周长等于18cm ，求AC 的长？
2.已知:如图,点E 是∠ AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C ，D ，连接CD 。

求证：OE 是CD 的垂直平分线。

八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质定理及逆定理》教学反思1、八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质定理及逆定理》教学反思《线段的垂直平分线》的性质定理及逆定理，是几何中的重要定理，也是一条重要轨迹，在几何证明、计算、作图中都有重要作用。

上完本节课后，通过其他老师交流，自己静心反思，我主要有以下体会：一、课前的认真准备是上好一节课的关键。

作为一名教师要想上好一节课，其实并不是一件容易的事。

要想给学生“一碗水”，自己必须具有“一桶水”，所以教师课前准备时必须认真钻研教材，领悟教材内涵，并能分析出这节课在整册教材中的地位、作用及前后关系，这样才能有的放矢。

但是由于我在上这一节课的时候，连着前面轴对称的性质的内容一起上了，从而导致内容太多，重难点没有很好的突出。

二、在教学活动过程。

整个教学过程中，没有很好体现以学生发展为本的精神。

虽然从问题的导入，性质，判定的引出都是由学生动手操作讨论得出，但是由于我在安排这节课的时候，准备要讲得内容太多，导致很多时候都是我一个人在讲学生在听，学生动手写练习的时间就变得很少。

再者这节课的重点是线段垂直平分线的性质和判定，我也没有很好的突出重难点。

虽然有很多不足之处，我觉得有些地方还是可取的，如：1、注重数学思想方法的渗透。

如在学生通过“画一画”“量一量”“猜一猜”活动得出命题“线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等”时，让学生结合图形写出已知、求证，这正是数形结合思想的渗透。

2、注重学生几何语言的`训练在学生总结出定理和逆定理后，引导学生根据文字结合图形写出它相应的几何语言，这为学生做证明题时的推理打下基础。

本节课得到的定理为：线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

用几何语言表示为：∵MN是AB的垂直平分线，点P为MN上的任意一点（已知）。

∵PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）通过这个几何语言的表述又可以强调今后已知线段的垂直平分线存在，证线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等时，直接用这个定理即可，不用再通过证三角形全等而得出，防止学生课后应用时走弯路。