线段垂直平分线的性质定理及逆定理

线段垂直平分线的应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的一个重要性质，在解题过程中，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，利用上述性质可顺利解决问题．一、用于计算例1 如图1，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P PEF 的周长为5，求MN 的长．分析：由图1知MN 的长是ME 、EF 、FN 而P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 对称，所以OA 、 OB 分别是PM 、PN 知EM=EP ， FP=FN ，故MN 的长就是△PEF 的周长．解：因为P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 的垂直平分线，所以EM=EP ， FP=FN ．所以例2 如图2所示，DE 是△ABC 的边AB E 平分∠B AC ，若∠B=30º，求∠C 的度数．分析：由DE 是AB 边的垂直平分线可知BE=A E ∠B=∠1，又因为A E 是∠B AC 的角平分线，所以∠1=∠即可求出∠C 的度数． 解：因为DE 是AB 边的垂直平分线，所以BE=A E ∠B=∠1．因为∠B=30º，所以∠1=30º．又因为A E 平分∠B AC ，所以∠2=∠1=30º，即∠B AC=60º．因为∠C=180º－∠B AC －∠B ，所以∠C=90º．点评：通过以上两例可以看出，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地二、用于证明例3 如图3，已知AB=AC ， AD 平分∠BAC ，求证：∠分析：由已知AB=AC 及AD 平分∠BAC ，易想到连结BC ，得 等腰△ABC ，且AD 垂直平分BC ，从而有DB=CD 及BE=EC ，可得∠EBC=∠ECB ，∠DBC=∠DCB ，两式相减即有∠DBE=∠ECD ．证明：连结BC ，因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 垂 直平分BC ，所以BE=EC ，DB=CD ，所以∠EBC=∠ECB ，∠DBC= ∠DCB ，所以∠EBC －∠DBC=∠ECB －∠DCB ，即∠DBE=∠ECD 点评：本题也可以通过证明△ABE ≌△ACE 得∠AEB=∠AEC 及BE=EC ，再证明△BDE ≌△DCE ．但这种证法显然没有利用线段垂直平分线性质来得简捷．例4 如图4，在△ABC 中，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，分析：要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD=90º．由于AD=DB 可在AB 边上取中点E ，连结DE ，由AB=2AC 及∠BAD=∠得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD=∠AED ，由AD=DB 知D 在AB 的垂直平分线上，可知∠AED=90º，问题解决．证明：在AB 边上取中点E ，连结DE ，因为AD=DB ，E 为中点，所以ED ⊥AB ．因为AB=2AC ，所以AE=21AB= AC ．在△ADE 和△ADC 中，AE= AC ，∠DAE=∠DAC ，AD 共用，所以△ADE ≌△ADC ，所以∠ACD=∠AED=90º，所以CD ⊥CA ．点评：由于受习惯思维的影响，同学们在解题过程中，在可以用线段垂直平分线性质说明的问题，仍然用三角形全等的方法来解决，这就给解题增加的麻烦，我们应有意识地应用这个性质探求新的解题途径，切勿机械套用全等三角形知识．线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课前预习1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。

【例1】如图所示，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，连结AD ，点E 在AD 上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD 垂直平分BC【例2】判断：若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线当堂训练知识点1：线段垂直平分线的性质1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，•需加_ _______条件，理由是___ _____．2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．3.9cmB ．7.8cmC ．4cmD ．4.6cm4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，连接AD ，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）．A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____．课后作业6.给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线．∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）．∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）．∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上．这是因为如果点C 在直线l 上，那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②②D ．①②①7.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若PA=10 cm ，则PB=______cm 。

2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教案一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。

本节课主要学习了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，这两个定理是几何中的重要知识，对于学生理解和掌握几何图形的性质具有重要意义。

教材通过生动的实例引入定理，并通过证明和应用让学生深入理解定理的含义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了线段的中垂线、垂线的性质等知识，对于垂直平分线的概念有一定的了解。

但是，对于定理的证明和应用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、证明和应用等方式，逐步理解和掌握定理。

三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

2.学会运用性质定理及其逆定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.性质定理及其逆定理的理解和证明。

2.性质定理及其逆定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过设置问题，引导学生观察、思考、证明和应用，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.几何模型和教具。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：如何找到一个线段的中点，使得从这个中点向线段的两个端点引垂线，垂线的长度相等？引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，让学生初步了解定理的内容。

然后，通过几何模型和教具，引导学生观察、思考和证明定理。

3.操练（10分钟）学生分组合作，运用性质定理及其逆定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生独立完成。

然后，学生进行讲解和讨论，巩固对性质定理及其逆定理的理解和应用。

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

1．3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理1．会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理．2．能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．自学指导：阅读教材P22～23，完成下列问题．知识探究1．CD是线段AB的垂直平分线，E为垂足，点P是直线CD上的任意一点，连接PA，PB，则AE＝BE，PA＝PB，CD⊥AB，∠AEC＝∠BEC．2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．自学反馈1．已知，如图，EF是线段AB的垂直平分线，M是EF上的一点．若MA＝6，则MB＝6；若∠AMF＝20°，则∠BMF＝20°．2．如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？解：直线AM是线段BC的垂直平分线．理由：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理，点M在线段BC的垂直平分线上．∴直线AM是线段BC的垂直平分线．活动1小组讨论例1如图，AB＝AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18 cm，求DC的长．解：∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.设CD的长为x，则AD＝AC－CD＝8－x.∵△ADB的周长为AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，∴x＝3，即CD的长为3 cm.由线段垂直平分线的性质得AD＝BD进而求解．例2如图，△ABC中，AC⊥BC于点C，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠EAD＝∠CAD，∠AED＝∠ACD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD(AAS)．∴DE＝CD.∴点D在CE的垂直平分线上．在Rt△AED和Rt△ACD中，∵AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)．∴AE＝AC.∴点A在CE的垂直平分线上．∴直线AD是CE的垂直平分线．活动2跟踪训练1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB2．如图，MN是线段AB的垂直平分线，垂足是D，点P是MN上的一点．若AB＝10 cm，PA＝10 cm，则BD＝5cm，PB＝10cm，PD3．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长是7cm.4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A＝30°，CD＝2.(1)求∠BDC的度数；(2)求BD的长．解：(1)∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB.∴∠DBE＝∠A＝30°.∴∠BDC＝60°.(2)在Rt△BDC中，∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°.∴BD＝2CD＝4.活动3课堂小结1．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．。

线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等。

扩展资料：
垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

垂直平分线的性质：
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

教学设计思想及其逆定理我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。

对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。

对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。

教学目标知识目标总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用；经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。

能力目标经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。

情感目标在探索活动中感受数学的严密性、严谨性；在各种活动中获得猜想。

教学重点和难点重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用；难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。

教学方法启发引导、合作探究课时安排１课时教具学具准备投影仪或电脑、三角板教学过程设计我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？（一）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

下面我们就来证明这个定理。

如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。

在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已证)，PO=PO(公共边)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴PA=PB。

（二）做一做1、写出上面定理的逆命题。

2、填写下面命题证明过程的理由。

已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。

求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则∠POA＝∠POB＝90°( )。

在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB( )，PO＝PO( )，∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( )。

∴AO＝BO( )。

∴EF是线段AB的垂直平分线( )。

线段的垂直平分线（一）知识要点1．定义：垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2．定理（性质）：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。

3．逆定理（判定）：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

4．用集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段的两个端点距离相等的所有点的集合。

5．结论（1）：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，这个交点叫三角形的外心。

结论（2）：三角形三个内角角平分线的交点到三边距离相等，这个交点叫三角形的内心。

6．轴对称（位置与形状）和轴对称图形。

（见书P22－P28）（二）练习1．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，则∠CAF＝＿＿＿＿度。

2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠BAC＋∠DAE＝150°，则∠BAC＝＿＿＿度。

3．在△ABC中，∠BAC＝144°，EF、MN分别是AB、AC中垂线，则∠EAM＝＿＿＿度。

4．如图，已知O是△ABC的边AB、AC中垂线交点，M是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，且∠M＋∠BOC＝180°，则∠BAC＝＿＿＿＿度。

（练习册P1712）5．在等腰△ABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（点A、C在垂线的异侧），交另一腰AC于点E，连结BE，AD＋AC＝24，BD＋BC＝20，则△EBC周长为＿＿＿＿。

6．M是△ABC三边垂直平分线的交点，则∠BAC＋∠MBC＝＿＿＿＿＿度。

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，∠CAD：∠DAB=1：2，则∠B=_______度。

8．已知△ABC的周长为36cm，AB=AC，AD⊥BC于D，△ABD的周为30cm，则AD=___。

9．一个三角形两边垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_________。

线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理一，复习：线段的垂直平分线的定义？
二，探究新知
测量发现：测量PA，PB，QA，QB
的长度，你有什么发现？
动手操作：将线段AB沿直线PQ对折，你有什么发现？
逻辑推理：已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在MN上. 求证:PA=PB
三，总结归纳：线段的垂直平分线的性质定理:
五，勤学善思
反过来，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
总结归纳
线段的垂直平分线的性质定理的逆定理:。

学以致用
如图，点C,D 是线段AB 外的两点,且AC=BC,AD=BD,AB 与CD 相交于点O. 求证：AO=BO
六，自我检测
1.如图，在△ABC 中，BC=8cm ，AB 的垂
直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，
△BCE 的周长等于18cm ，求AC 的长？
2.已知:如图,点E 是∠ AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C ，D ，连接CD 。

求证：OE 是CD 的垂直平分线。