九年级数学上册3.3垂径定理第1课时垂径定理同步练习(新版)浙教版 (1)

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课程的主要目标是使学生理解并掌握垂径定理的数学概念及其在几何证明中的应用。

通过实践练习，提高学生解决几何问题的能力，加深对垂径定理的理解和记忆。

二、作业内容本课作业围绕垂径定理及其应用展开，内容设计如下：1. 基础概念理解：要求学生回顾并理解垂径定理的定义，包括垂径线、垂径圆心角等基本概念，并能够准确描述其性质。

2. 定理证明：通过例题的形式，让学生尝试证明垂径定理，并理解其在几何证明中的重要性。

3. 实际应用：设计一系列与日常生活相关的几何问题，如测量、画图等，让学生在解决问题的过程中应用垂径定理。

4. 作业题集：提供一份包括选择题、填空题、简答题和综合题在内的习题集，难度逐步提升，让学生从多个角度巩固和拓展对垂径定理的理解。

三、作业要求本节作业要求学生独立完成，要求如下：1. 准确理解垂径定理的每一个概念和性质，并能够准确运用在解题过程中。

2. 认真完成每一道题目，尤其是综合题，要尽量运用所学知识进行全面解答。

3. 题目解答过程中，要求步骤清晰、逻辑严密，注重解题思路的阐述。

4. 作业完成后需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 学生对垂径定理的理解程度及运用能力。

2. 解题步骤的逻辑性和条理性。

3. 答案的准确性和完整性。

4. 学生的自我检查和修正情况。

五、作业反馈教师将对每一份作业进行批改和点评，并通过以下方式进行反馈：1. 对每一道题目进行详细讲解和评分，对出现错误的地方进行详细解释和纠正。

2. 对于解题思路和方法进行归纳总结，强调解题技巧和思路。

3. 对于学生的优点和不足进行及时反馈，鼓励学生继续努力。

4. 对于普遍存在的问题进行课堂讲解和讨论，帮助学生加深理解和记忆。

通过上述的作业设计旨在全面、系统地提升学生的垂径定理理解和应用能力。

同时，它还鼓励学生进行独立思考和自主学习，培养学生的问题解决能力和创新思维。

浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（1）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在半径为1的中，弦AB，AC分别是、，则的度数为()A. B.或 C. D.或2.如图，在圆O内有折线OABC，其中，，，则BC的长为()A.16B.20C.18D.223.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则的度数是()A.B.C.D.4.已知的半径为13cm，弦，，，则AB，CD之间的距离为()A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm5.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为A. B.9cm C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度，拱高，那么拱形的半径是______7.如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点C为的中点．若，则__________度．8.如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点.已知，，则的半径为______.9.在中，弦AB和弦AC构成的，M、N分别是AB和AC的中点，则的度数为______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分已知经过的三个顶点，，圆心O到BC的距离为3，圆的半径为7，求腰长11.本小题8分已知AB是的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．如图1，求证：；如图2，PC交AB于D，当是等腰三角形时，求的度数．12.本小题8分如图，在扇形OAB中，，半径，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕BC交OA于点C，则图中阴影部分面积是多少？【提示】连结如何将扇形AOB分割后算阴影部分面积？答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图一，分别连接OA，OB，做于D，，，，，，，，圆周角定理如图二，，故选根据圆的对称性分两种情况讨论求解．本题综合考查了特殊角的三角函数值、垂径定理和圆周角的求法及性质．2.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长AO交BC于D，根据、的度数易证得是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O 作BC的垂线，设垂足为E；在中，根据OD的长及的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作于，；为等边三角形；；，又，；；；故选：3.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，弦AB的长度等于圆半径的倍，即，，为等腰直角三角形，，故选：设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4.【答案】D【解析】解：过O作于M，OM交CD于N，，，①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，，，，，，，，；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，，，，，，，，与CD之间的距离为7cm或故选：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．5.【答案】C【解析】解：连接OA、OB、OE，四边形ABCD是正方形，，，在和中，，，四边形ABCD是正方形，，设，则，在中，由勾股定理得：，小正方形EFCG的面积为，，在中，由勾股定理得：，解得：舍去，，，故选连接OA、OB、OE，证，推出，设，则，由勾股定理求出，求出，在中由勾股定理求出a，即可求出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．6.【答案】10【解析】解：拱桥的跨度，拱高，，利用勾股定理可得：，解得将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．7.【答案】70【解析】解：连接BD，为的直径，，，，，点C为的中点，，，故答案为：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接BD，由AB为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得的度数，继而求得的度数，由圆的内接四边形的性质，求得的度数，然后由点C为的中点，可得，即可求得的度数，继而求得答案．8.【答案】13【解析】解：如图，连接，且点O、C、B三点都在圆A上，是的直径．又，，，的半径为故答案为：利用圆周角定理可以判定BC是的直径，则由勾股定理来求该圆的直径即可．本题考查了圆周角定理、坐标与图形性质以及勾股定理．证得BC是圆A的直径是解题的关键．9.【答案】或【解析】解：连接OM，ON，、N分别是AB和AC的中点，，，，，当AB，AC在圆心异侧时如图，，在四边形AMON中，；当AB，AC在圆心同侧时如图，，，∽，故答案为：或连接OM，ON，利用垂径定理得，，再分类讨论，当AB，AC在圆心异侧时如图，利用四边形内角和得结果；当AB，AC在圆心同侧时如图，利用相似三角形的性质得结果．本题主要考查了垂径定理、四边形内角和定理；熟练掌握垂径定理，进行分类讨论是解决问题的关键．10.【答案】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图一，假若是锐角，是锐角三角形，连接OA，OB，，，，，，，，，；如图二，若是钝角，则是钝角三角形，和图一解法一样，只是，，综上可得腰长或【解析】先根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，；圆心在内接三角形外时，，再由勾股定理即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，有一定难度．11.【答案】证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，是弧ABC的中点，，是的直径，，，；解：如图2，是优弧ABC的中点，，，，，，当，设，则，，，，，，在中，，解得，即，当，设，则，，，，，，在中，，解得，即综上所述，的度数为或【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是优弧ABC的中点，根据垂径定理得，再根据圆周角定理，由AB是的直径得，然后根据；如图2，根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，再由得，所以，然后分类讨论：当，设，则，，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可表示出，，，，然后在中，根据三角形内角和定理得到，解得，即；当，设，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可表示出，，，，，然后在中利用三角形内角和定理得，解得，即12.【答案】解：连接OD，由翻折而成，，，，是等边三角形．，，是等腰直角三角形．半径，，【解析】首先连接OD ，由折叠的性质，可得，，，则可得是等边三角形，是等腰直角三角形，故可得出OC 的长，再根据即可得出结论．此题考查的是翻折变换折叠问题，扇形面积公式，在解答此题时要注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．。

3.3 垂径定理同步训练2024-2025学年浙教版数学九年级上册一、单选题1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫等弧B．平分弦的直径一定垂直于该弦C．三角形的外心是三条角平分线的交点D．不在同一直线上的三个点确定一个圆2．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．7cm B．5cm C．4cm D．3.5cm3．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）．A．12B．2√30C．8D．10.54．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=3cm，则截面圆中弦AB的长为（）A．√34cm B．8cm C．√21cm D．2√21cm 5．下列说法正确的数量为（）（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等（2）一组对边平行的四边形是梯形（3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧A．0B．1C．2D．36．⊙O的直径是15cm，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，则AB=（）A．24cm B．12cm C．6cm D．3cm7．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为()A．2cm B．√3cm C．(2－√3)cm D．(2＋√3)cm 8．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB，连接OA，CB，已知⊙O的半径为2√3，AB＝2，则⊙BCD等于A．20°B．30°C．60°D．70°二、填空题9．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．10．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，则水面下降了m．第1页共6页◎第2页共6页11．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB，AC⊙OB，则⊙BOC的度数为．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB=10cm，CD=3cm，那么⊙O的半径是cm．13．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，点M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3，AB=5，则PM的最大值是 .三、解答题14．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．16．如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2米的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？请说明理由．17．如图，在△ABC中，已知⊙ACB=130°，⊙BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长18．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；第3页共6页◎第4页共6页(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=24cm，腰AB=13cm，求圆片的半径R．第5页共6页◎第6页共6页。

浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知的直径于点E，则下列结论一定错误的是()A.B.C.D.≌2.如图，AB是的直径，弦于点E，，，则A.8B.5C.3D.23.如图，AB，BC是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则AB的长为()A.B.C.4D.54.如图，的直径，AB是的弦，，垂足为若OM：：5，则AB的长为()A.8B.12C.15D.165.如图，在半径为5的中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则OP的长为()A.3B.4C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.如图，AB、AC、BC都是的弦，，，垂足分别为M、N，若，则BC的长为______.7.如图，已知AB是半圆O的直径，弦，，，则BC的长为______.8.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作于若，则OF的长为__________.9.如图，在中，弦，点C在AB上移动，连接OC，过点C作，交于点D，则CD长的最大值为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分已知：如图，AB是的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且求证：11.本小题8分如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点B到路面的距离为请求出路面CD的宽度．精确到12.本小题8分如图，OD是的半径，AB是弦，且于点C连接AO并延长交于点E，若，，求半径OA的长．13.本小题8分如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，，米，于点E，此时测得OE：：求CD的长；如果水位以米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？答案和解析1.【答案】B【解析】解：的直径于点E，，，在和中，，≌，根据已知条件无法证明，故选：根据垂径定理得出，，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明≌本题考查了垂径定理的应用和全等三角形的判定，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.【答案】A【解析】解：，AB是直径，，在中，，，故选：根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：连接OB，，AO过O，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，故选：根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：连接OA，的直径，OM：：5，，，，，故选：连接OA，先根据的直径，OM：：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．作于M，于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【解答】解：作于M，于N，连接OB、OD，由垂径定理、勾股定理得：，弦AB、CD互相垂直，，于M，于N，四边形MONP是矩形，，四边形MONP是正方形，故选：6.【答案】2【解析】解：，，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，，，，，，故答案为：根据垂径定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出BC即可．本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．7.【答案】【解析】解：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，则，在中，，，，，，，又，四边形HOEC是矩形，，，，，故答案为：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，根据题意推出四边形HOEC是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8.【答案】6【解析】【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定等知识.熟练掌握垂径定理，证明≌是解决问题的关键．先根据垂径定理求出AD的长，再由AAS定理得出≌，推出即可求出答案．【解答】解：，，，，，，，，在和中，，≌，，故答案为：9.【答案】2【解析】解：，，，当OC的值最小时，CD的值最大，时，OC最小，此时D、B两点重合，，即CD的最大值为2，故答案为：根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，根据垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10.【答案】证明：如图，过点O作于点M，则又，【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．如图，过点O作于点根据垂径定理得到然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知，故11.【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：，所以，，由题意可知：，过O，，在中，由勾股定理得：，，所以路面CD的宽度为【解析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．12.【答案】解：弦AB，，，设的半径，，在中，，解得：，【解析】先根据垂径定理求出AC的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．13.【答案】解：直径米，米，，第11页，共11页，：：8，：：4，设米，则米，在中，由勾股定理得：，解得：负值已舍去，米，米；由得：米，如图，延长OE 交圆O 于点F ，米，小时，答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【解析】设米，则米，由勾股定理求得DE 的长，即可得出结论；延长OE 交圆O 于点F ，求得EF 的长，即可解决问题．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．。

第十六讲 垂径定理3.3垂径定理【学习目标】1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【基础知识】一、垂径定理 1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径 AC BC要点： 2.推论 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 要点：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【考点剖析】例1．如图，在⊙O 中，C 为弦AB 上一点，AC ＝2，BC ＝6，⊙O 的半径为5，则OC ＝（ ）A ．13B ．4C ．3D ．23【答案】A 【解析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，先根据垂径定理求出AD 的长，再由勾股定理求出OD 的长，在Rt △OCDCD ⊥ABAE=BE中根据勾股定理即可得出OC的长．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AC＝2，BC＝6，∴AB=8，∴AD=12AB=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，∴OD=22OA AD=3，在Rt△COD中，OD=3，CD=AD-AC=4-2=2，∴OC=，故选：A．．【点睛】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，根据题意引出辅助线，利用垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键．例2．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】先根据OH⊥AB于点H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC ＝BD．所以共有4组相等的线段．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．例3．下列说法错误的是()A．垂直于弦的直径平分弦B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧C．平分弦的直径平分弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦【答案】C【详解】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故选项A、B正确；C中，当被平分的弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧；D中，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦正确.故选C.例4．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB 交于点D，则AD的长为A ．95B ．C ．185D ．52【答案】C 【解析】如图，过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，由垂径定理可得M 为AD 的中点，∵ABC 11S AC BC AB CM 22∆=⋅=⋅，且AC=3，BC=4，AB=5， ∴12CM 5=．在Rt △ACM 中，根据勾股定理得：222AC AM CM =+，∴222128199AM AM AM 5255⎛⎫=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭（舍去负值）． ∴18AD 2AM 5==．故选C ． 例5．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB 长度为150m ，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）A ．50mB ．40mC ．30mD ．25m 【答案】D 【解析】设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ，先由垂径定理得AC ＝BC ＝12AB ＝75m ，再由勾股定理求出OC ＝100m ，然后求出CD 的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ， 则OA ＝OD ＝12×250＝125（m ），AC ＝BC ＝12AB ＝12×150＝75（m ）， ∴OC ＝22OA AC -＝2212575-＝100（m ），∴CD ＝OD ﹣OC ＝125﹣100＝25（m ），即这些钢索中最长的一根为25m ， 故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．例6．如图，在圆O 中，弦AB=4，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交圆O 于点D ，则CD 的最大值为 （ ）A ．22B ．2C ．32D ．【答案】B 【解析】连接OD ，利用勾股定理得到CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OD ，如图，设圆O 的半径为r ， ∵CD ⊥OC ， ∴∠DCO=90°， ∴CD=2222OD OC r OC -=-，∴当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC ⊥AB 时，OC 最小， 此时D 、B 重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=12AB=2， ∴CD 的最大值为2. 故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.例7．如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是，半径为3，函数y x =的图象被P 截得的弦AB的长为42a 的值是（ ） A ．23B ．22+C ．22D ．32+【答案】D【解析】PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE ⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3），则△OCD 为等腰直角三角形，△PED 也为等腰直角三角形．由PE ⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=122在Rt △PBE 中，利用勾股定理可计算出PE=1，则22所以2 【详解】过P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，作于点E ，连接PB ，如图．的圆心坐标是(3,),3,a OC PC a ∴==， 把3x =代入y x =得3y =， D ∴点坐标为，OCD ∴为等腰直角三角形， PED ∴也为等腰直角三角形．,PE AB ⊥1222AE BE AB ∴===， 在Rt PBE △中，3,PB = ，32a ∴=+．故选D ． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．例8．如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE ．若AB =8，CD =2，则△BCE 的面积为（ ）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A 【详解】∵⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，AB=8，∴AC=BC=12AB=4． 设OA=r ，则OC=r ﹣2， 在Rt △AOC 中，∵AC 2+OC 2=OA 2，即42+（r ﹣2）2=r 2，解得r=5， ∴AE=10，∴BE=22221086AE AB -=-= ，∴△BCE 的面积=12BC•BE=12×4×6=12． 故选A ．例9．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是A ．当弦PB 最长时，ΔAPC 是等腰三角形 B ．当ΔAPC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C ．当PO ⊥AC 时，∠ACP=30°D ．当∠ACP=30°时，ΔPBC 是直角三角形 【答案】C 【解析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断 【详解】当弦PB 最长时，PB 是⊙O 的直径，所以根据等边三角形的性质，BP 垂直平分AC ，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC ，即ΔAPC 是等腰三角形，判断A 正确；当ΔAPC 是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO ⊥AC ，判断B 正确；当PO ⊥AC 时，若点P 在劣弧AC 上，则∠ACP=30°，若点P 在优弧AC 上，则点P 与点B 重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C 错误； 当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC 是直角三角形，判断D 正确． 故选C ．例10．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D 【解析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可． 【详解】解：如图，∵， ∴．∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ， ∴AC BC =． ∴． 故选D ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明AC BC =.例11．如图，在半径为3的O 中，B 是劣弧AC 的中点，连接AB 并延长到D .使BD AB =，连接AC 、BC 、CD ，如果2AB =，那么CD 等于（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．43【答案】D 【解析】BD AB =，BC AB =，得ACD 是直角三角形，以AB 为底1h 为高和以BO 为底2h 为高都等于2ABO S，12AB h BO h ⨯=⨯，221()222AB h AO =-=122224233AB h h BO ⨯⨯===28223AC h =⨯=，2243CD AD AC =- 【详解】解：∵BD AB =，BC AB =， ∴ACD 是直角三角形，设AOB 以AB 为底的高为1h ,BO 为底的高为2h ， ∴221()2AB h AO =-， ∵3AO =，2AB =， ∴22123()222h =-=，∵以AB 为底1h 为高与AB 之积和以BO 为底2h 为高与BO 之积都等于2ABO S∴12AB h BO h ⨯=⨯， ∴122224233AB h h BO ⨯⨯===，∴28223AC h =⨯=，∴2243CD AD AC =-=.本题的答案是：D 【点睛】考查垂径定理和三角形中位线的性质的综合应用.例12．如图，在半圆O 中，直径4AB =，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的中点．连接OE ，则OE 的最小值为（ ）A 21B ．42-C 21D ．222【答案】D 【解析】把弧AEC 的圆补全为⊙F ，可知点F 与点O 关于AC 对称，求出∠F=90°，CE 长，OE 的最小值为EC-OC ．【详解】解：把弧AEC 的圆补全为⊙F ，可知点F 与点O 关于AC 对称，半径为2， ∴∠FCA=∠ACO ， ∵OA=OC ，∴∠ACO=∠CAO ， ∴∠FCA=∠CAO ，∴CF ∥AB ，∵E 是弧AD 的中点， ∴FE ⊥AB ，∴∠F=∠BGE=90°， ∵FC=FE=2， ∴EC=22， ∵OE≥EC -OC 即OE≥22-2，OE 的最小值为222-，故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE 的取值范围．【过关检测】一、单选题1．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．D ．AC AD >【答案】D 【解析】根据垂径定理逐个判断即可． 【详解】解：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 垂足为E ， 则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理． 因而CE ＝DE ，BC BD =，∠BAC ＝∠BAD 都是正确的．根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC ＝AD ．所以D 是错误的． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．2．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，，则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．16cmD ．18cm 【答案】D 【详解】解：∵弦CD AB ⊥于点E ，12cm CD =，∴16(cm)2CE CD ==．在Rt OCE 中，，∴，∴． 3．往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．14cmD ．16cm 【答案】D 【解析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长． 【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =48cm ， ∴BD =12AB =12×48=24（cm ）， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴OB =OC =26cm ，在Rt △OBD 中，（cm ），∴CD =OC -OD =26-10=16（cm ）， 故选：D ． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 4．CD 是圆O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若OE =3，AE =4，则下列说法正确的是（ ）A ．AC 的长为B ．CE 的长为3C ．CD 的长为12 D ．AD 的长为10 【答案】A 【解析】连接AO ，分别在Rt △AOE 中，Rt △ACE 中，Rt △ADE 中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可． 【详解】解：连接AO ，∵AB ⊥CD 于点E ，OE =3，AE =4， ∴在Rt △AOE 中，根据勾股定理5AO ==,∵CD 为圆O 的直径， ∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B 选项和C 选项错误； 在Rt △ACE 中，根据勾股定理 ，故A 选项正确；在Rt △ADE 中，根据勾股定理AD ===D 选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件． 5．如图，在O 中，弦//AB CD ，OP CD ⊥，OM MN =，18AB =，12CD =，则O 的半径为（ ） A ．4B ．42C ．46D ．43【答案】C 【解析】连接OA ，OC ，根据垂径定理得CN =6，AM =9，设O 的半径为x ，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：连接OA ，OC ，∵//AB CD ，OP CD ⊥， ∴OP AB ⊥，∵18AB =，12CD =， ∴CN =6，AM =9， 设O 的半径为x ， ∵OM MN =， 2222629x x -=-46x =46-经检验是方程的根，且符合题意， ∴O 的半径为46故选C ． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ） A ．9.6 B ．45C ．53D ．19【答案】A 【解析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】 解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC ∴ AE =EC ，CF =FD ∵OE =3，OB =5 ∴OB =OC =OA =5 ∴在Rt △OAE 中∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-x =1.4在Rt △OFC 中， ∴29.6CD FC == 故选：A 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键 7．如图，已知O 的半径为5，弦8,AB P =为AB 上的动点（不与端点,A B 重合），若线段OP 的长为正整数，则满足条件的点P 的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个【答案】C 【详解】当P 为AB 的中点时，由垂径定理可知此时OP 最短．O 的半径为5，弦8,AB =∴此时3OP =；当点P 与点A 或点B 重合时，此时OP 最长，5,35OP OP =∴≤<．3OP ∴=或4，根据圆的对称性可知，满足条件的点P 的个数有3个．8．如图，,,AB AC BC 都是O 的弦，,OM AB ON AC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，若2MN =，则BC 的值为（ ）A ．3.5B ．2C ．3D ．4【答案】D 【详解】根据垂径定理，得M ，N 分别是AB 与AC 的中点，故MN 是ABC 的中位线，由三角形的中位线定理得24BC MN ==． 9．如图，在半径为5的O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EC EB 、．若2CD =，则EC 的长为（ ）A ．B ．8C ．D ．【答案】D 【解析】由垂径定理和勾股定理得4AC BC ==，再证OC 是△ABE 的中位线，得26BE OC ==，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵⊙O 的半径为5， ∴OA ＝OD ＝5， ∵CD ＝2，∴3OC OD CD =-=， ∵OD ⊥AB ， ∴，∵OA ＝OE ，∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝6， ∴，故选：D ． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10．如图，矩形ABCD 中，60AB =，45AD =，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，52PQ =，以PQ 为直径的O 与BD 交于点M ，N ．则MN 的最大值为（ ）．A ．48B ．45C ．42D ．40 【答案】A 【解析】过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，先利用勾股定理计算出BD =75，则利用面积法可计算出AH =36，再证明点O 在AH 上时，OH 最短，此时HM 有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN 的最大值． 【详解】解：过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，在Rt △ABD 中，BD 75==，∵12×AH ×BD =12×AD ×AB ， ∴AH ==36， ∵⊙O 的半径为522=26， ∴点O 在AH 上时，OH 最短，∵HM∴此时HM有最大值，最大值为：24，∵OH⊥MN，∴MN=2MH，∴MN的最大值为2×24=48．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．11．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（）A．3 B．C．D．6【答案】A【解析】过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF=132CD=，∠COF=∠DOF=12COD∠，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=12AOB∠，可得∠COF+∠AOE90=︒，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．【详解】解：过O作OF⊥CD于F，∵OC=OD，∴CF=DF=116322CD=⨯=，∠COF=∠DOF=12COD∠∵OE⊥AB，OA=OB，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=12AOB ∠，∴∠COF+∠AOE =12COD∠+12AOB∠=，又∵∠AOE+∠EAO=90°，∴∠EAO=∠COF，在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴OE=CF=3．故选择：A．【点睛】本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF//AB 分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（）A ．16B ．20C ．25D ．30【答案】C 【解析】连接AF ，BD ，先证明四边形ABDF 是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC +BC ＝15，求出k 的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接AF ，BD ，如图，∵AC 、BC 是直径， ∴∠AFC =90°，∠BDC =90°， ∵DF //AB ，∴四边形ABDF 是矩形， ∴AB =FD ；取AB 的中点O ，作OG ⊥FD ， ∵，则设10DF k =，6CE k =，由垂径定理，则132CG CE k ==， ∴5OC OA OB k ===，∴4OG k =，，2CF DE k ==，由勾股定理，则AC ==，，∵AC +BC ＝15，∴15+=，∴k =；∴5AC =，10BC =，AB DF == ∴阴影部分的面积为 ∴； 故选：C ． 【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积．二、填空题13．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M ，若CM ＝4，则AB 的长为_____．【答案】16【解析】连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM．【详解】解：连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，∴OA＝OC＝10，∵CM＝4，∴OM＝10﹣4＝6，在Rt OAM中，由勾股定理得：AM8，∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．14．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，BC的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是_____．【答案】10．【解析】由DE⊥BC，DE平分弧BC，根据垂径定理的推论得到圆心在直线DE上，设圆心为O，连结OB，设圆的半径为R，根据垂径定理得BE＝CE＝12BC＝8，然后根据勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，再解方程即可．【详解】∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣4，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝12×16＝8，在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即这个圆形工件的半径是10．故答案为10【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．15．过O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为=_________【解析】根据圆中的概念，首先应明确过一点圆中最长的弦是过这点的直径，最短的弦是垂直于这点和圆心的连线的弦，从而根据垂径定理和勾股定理进行计算．【详解】解：如图所示，直径AB是过点N的最长的弦，过点N作弦CD⊥AB，则CD是过点N的最短的弦，连接OC．∵ON⊥CD，∴CN＝12CD＝2，∵OC＝3，∴ON=，【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，难点在于弄清过圆内一点的最长的弦和最短的弦．16．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．【答案】cm【解析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．【详解】根据题意获得下图：设OB=r cm，∵刻度尺的宽为2cm，∴OC=r-2，∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，∴BC=12×6=3，在Rt△OBC中，∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．故答案为cm．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．17．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为___.【答案】5 【解析】先根据∠BAC=12∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】∵∠BAC=12∠BOD，∴弧BC=弧BD，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=12CD=4，设OD=r，则OE=AE−r=8−r，在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8−r，∵OD=DE+OE,即r=4+(8−r) ，解得r=5.故答案为5.【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P P的坐标为_______.【答案】（3，2）．【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=12OA=3，在Rt△OPD中∵OD=3，∴PD=2∴P(3，2) .故答案为（3，2）．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为____cm．【答案】5 4【解析】首先找到EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF ＝x ，则OM 是2﹣x ，MF ＝1，然后在直角三角形MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可． 【详解】解：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN ＝CD ＝2设OF ＝x ，则ON ＝OF ，∴OM ＝MN ﹣ON ＝2﹣x ，MF ＝1，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2， 即：（2﹣x ）2+12＝x 2，解得：x ＝54， 故答案为：54．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．20．如图，AB 是⊙o 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ,那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为__________.【答案】6cm. 【解析】试题分析：过O 作OG ⊥CD 于G ，连接OC ，如图所示，∵OG ⊥CD ，CD=8cm ，∴G 为CD 的中点，即CG=DG=4cm ，在Rt △OCG 中，OC=12AB=5cm ，CG=4cm ，根据勾股定理得：=3cm ， 又AE ⊥EF ，OG ⊥EF ，BF ⊥EF ，∴AE ∥OG ∥BF ，又O 为AB 的中点，∴G 为EF 的中点，即OG 为梯形AEFB 的中位线，∴OG=12（AE+BF ），则AE+BF=2OG=6cm ．故答案为6cm ．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．梯形中位线定理． 21．O 的半径为13cm ，AB 、CD 是O 的两条弦，．，10cm CD =，则AB 和CD 之间的距离为______ 【答案】7cm 或17cm 【解析】作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，根据平行线的性质得OF ⊥CD ，再利用垂径定理得到AE ＝12，CF ＝5，然后根据勾股定理，在Rt △OAE 中计算出OE ＝5，在Rt △OCF 中计算出OF ＝12，再分类讨论：当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF ＝OF ＋OE ；当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF ＝OF−OE ． 【详解】解：作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12，CF ＝DF ＝12CD ＝5， 在Rt △OAE 中，∵OA ＝13，AE ＝12，∴OE ，在Rt △OCF 中，∵OC ＝13，CF ＝5，∴OF ，当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF ＝OF ＋OE ＝12＋5＝17； 当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF ＝OF−OE ＝12−5＝7； 即AB 和CD 之间的距离为7cm 或17cm ． 故答案为：7cm 或17cm ． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．22．如图，AB 、CD 是半径为5的O 的两条弦，8AB =，6CD =，MN 是直 径，AB MN ⊥于点E ，CD MN ⊥于点FPC ，P 为EF 上的任意一点，则PA PC +的最小值为____.【答案】【解析】A 、B 两点关于MN 对称，因而PA+PC=PB+PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即BC 的值就是PA+PC 的最小值 【详解】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE= 114,322BE AB CF CD ====4OF ===∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到则PA+PC 的最小值为【点睛】正确理解BC 的长是PA+PC 的最小值，是解决本题的关键．三、解答题23．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长．【答案】8【解析】连接OB ，先根据垂径定理求出BM=12AB ，再根据勾股定理求出BM 的值，从而求出AB 的长度． 【详解】解：连接OB ，则OB ＝12×10＝5， ∵OM ⊥AB ，OM 过O ， ∴AB ＝2AM ＝2BM ，在Rt △OMB 中，由勾股定理得：BM 4， ∴AB ＝2BM ＝8． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，通过连接OA 构造直角三角形进而利用勾股定理求解．24．已知：如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥，垂足为E.求证：AE EB =，AC BC =，.【答案】详见解析 【解析】连接OA ，OB ，则OA OB =.然后根据轴对称的性质解答即可. 【详解】证明：如图，连接OA ，OB ，则OA OB =.又CD AB ⊥，直线CD 是等腰OAB 的对称轴，又是O 的对称轴.沿着直径CD 所在直线折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，AC 和BC ，AD 和BD 分别重合.，AC BC =，【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧． 25．如图，P 是⊙O 外一点，PA 交⊙O 于点B ，PD 交⊙O 于点C ，且∠APO=∠DPO. 弦AB 与CD 相等吗？为什么？【答案】AB=CD. 【解析】过O 点分别作AB 和CD 的垂线，交点分别为E 和F ，连接AO 和DO.由垂径定理可得OE 和OF 分别是AB 和CD 的垂直平分线；证明△PEO ≌△PFO 得OE=OF ，再证△AEO ≌△DFO 得AE=DF 即可. 【详解】 解：AB=CD.证明：过O 点分别作AB 和CD 的垂线，交点分别为E 和F ，连接AO 和DO ，∵∠OEP=∠OFP=90°，∠APO=∠DPO ，PO=PO,∴△PEO ≌△PFO ，∴OE=OF ，∵OE 为弦AB 的垂线，OF 为弦CD 的垂线，∴AE=EB ，DF=CF ，、∵AO=DO ，∴△AEO ≌△DFO ，∴AE=DF ，∴AB=2AE=2DF=CD ，即AB=CD.【点睛】本题结合三角形全等综合考察了垂径定理的知识.26．如图所示，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，AC ＝CD ＝OP 的长．【答案】1.【解析】试题分析：连接OC ,利用垂径定理构造直角三角形，求出圆的半径OC ,再求OP .试题解析：解：连接OC ，∵AB 是直径，CD ⊥AB ，∴CP ＝12CD Rt △ACP 中，AP =3，∴OP ＝AP －AO ＝3－AO ＝3－OC ．在Rt △COP 中，OC 2＝OP 2＋CP 2，即OC 2＝(3－OC )2＋．解得OC ＝2．∴OP ＝3－2＝1．27．在直径为10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB 为6cm ，当油面宽AB 为8cm 时，油上升了多少厘米？王源的解题步骤如下：[解]连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ．OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC △中，105cm,3cm,4cm 2OA AC OC ===∴==．当8cm AB =时，在Rt OAC 中，105cm,4cm,3cm 2OA AC OC ===∴==． 431(cm)∴-=．即油上升了1cm ．请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．【答案】王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了1cm 或7cm ．【解析】连接AO ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm 和8cm 时OC 的长度，即可得出结论．【详解】王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示．∵OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC 中，5cm 3cm OA AC ==，，4cm OC ∴==；当8cm AB =时，在Rt OAC 中，5cm 4cm OA AC ==，，3cm OC ∴=．431(cm)∴-=或437(cm)+=．答：油上升了1cm 或7cm ．【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC 的长，根据OC 的变化来得出结论． 28．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?【答案】能通过【解析】先求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在Rt △OCH 中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．【详解】解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D 为AB 、EF 的中点,且CD,ME,NF 均垂直于AB,MN 交CD 于H ．弧AB 所在的圆心为O,连接OA,ON ．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=12AB=3.6 有OA 2=AD 2+OD 2即在Rt △OAD 中，r 2=3.62+（r-2.4）2∴r=3.9（米）在Rt △ONH 中，有 3.6=（米）．所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好．故答案为能通过.【点睛】本题考查垂径定理的应用, 勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．29．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，若8BD cm =，2AE cm =，（1）求O 的半径；（2）求O 到弦BC 的距离．【答案】（1）O 的半径为5cm ；（2）O 到BC 【解析】（1）连接，设半径为r ，则2OE r =-，构建方程即可解决问题．（2）根据1122BCO S BC OF OC BE ∆=⋅=⋅，求解即可． 【详解】解：（1）连接，设半径为r ，则2OE r =-，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，8BD cm =，，在Rt OBE ∆中，222OE BE OB +=，222(2)4r r ∴-+=5r ∴=．（2）5r =， 10AC ∴=，8EC =，，OF BC ⊥，1122BCO S BC OF OC BE ∆∴=⋅=⋅54OF ∴=⨯，OF ∴=．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．已知：△AC 内接于⊙O ，D 是弧BC 上一点，OD ⊥BC ，垂足为 H.（1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH ；（2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD 、CD ，AD 与 BC 交于点 P ．求证：∠ACD=∠APB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由OD ⊥BC 可知H 是BC 的中点，根据中位线的性质即可证明.（2）根据垂径定理可知BD =CD ，得∠BAD=∠DAC ，∠B=∠ADC ，根据三角形的内角和即可证明.【详解】（1）证明：∵OD ⊥BC ，∴BH=HC ，∴AC=2OH ．（1）证明：∵OD ⊥BC ，∴BD =CD ,∴∠BAD=∠DAC ，∵∠B=∠ADC ，∠APB+∠BAD+∠B=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠APB=∠ACD ．【点睛】考查圆周角定理，三角形中位线性质，三角形内角和定理等，比较基础，难度不大.31．如图,,,,A B C D 在O 上,//AB CD 经过圆心O 的线段EF AB ⊥于点F ，与CD 交于点E .(1)如图1,当O 半径为5,CD =若EF BF =,求弦AB 的长;(2)如图2,当O ,CD =若OB OC ⊥,求弦AC 的长.【答案】(1)8 (2)【解析】(1)连接OB OC 、，根据垂径定理求出OE 的长，因为EF BF =，进而在Rt BOF ∆中根据勾股定理求出BF 长，所以求出AB 的长即可;(2) 连接AB ,过点D 作DM AC ⊥于点M ，根据勾股定理和垂径定理求出OE ，可以证明BFO OEC ∆∆≌,进而求出EF 的长，根据所做的辅助线DM AC ⊥，可得DMC ∆为等腰直角三角形，所以可以求出DM 的长，然后根据1122ADC S DC EF AC DM ∆=⨯⨯=⨯⨯，进而求出AC 的长； 【详解】解：(1) 连接OB OC 、，根据垂径定理求出OE 的长，即：,EF BF =,设BF x =，则1OF x =-，由勾股定理得：222BF OB OF =-,即：2225(1)x x =--，解得：4x =,;(2)连接AB ,过点D 作DM AC ⊥于点M ，如图所示：。

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《垂径定理》的学习，使学生能够理解并掌握垂径定理的基本内容及其在几何问题中的应用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，为后续的几何学习打下坚实的基础。

二、作业内容本课时的作业内容主要围绕垂径定理展开，具体包括以下几个方面：1. 基础练习：让学生通过大量基础题目练习，加深对垂径定理的理解和记忆。

包括判断垂线、计算垂线段等基础题型的练习。

2. 理论应用：通过实际问题，让学生应用垂径定理解决几何问题。

如利用垂径定理求圆上两点的距离等。

3. 探究拓展：鼓励学生进行自主探究，通过小组讨论或个人思考，寻找垂径定理在其他几何问题中的应用，如与直角三角形、圆的其他性质等相结合的问题。

三、作业要求1. 完成基础练习部分，要求准确无误地完成每一道题目，理解并掌握垂径定理的基本内容。

2. 在理论应用部分，要求学生能够运用所学知识解决实际问题，并能够清晰地表达解题思路和步骤。

3. 在探究拓展部分，鼓励学生积极思考、主动探索，尝试将垂径定理与其他几何知识相结合，寻找新的应用场景。

4. 作业要求清晰、层次分明，既有基础知识巩固又有能力提升拓展。

作业量适中，不宜过多或过少，以保证学生能够认真完成。

四、作业评价教师将根据学生的作业完成情况进行评价，主要包括以下几个方面：1. 基础练习部分的正确率，以检验学生对垂径定理的理解和记忆情况。

2. 理论应用部分的解题思路和步骤，以评价学生的问题解决能力和表达能力。

3. 探究拓展部分的创新性和深度，以激发学生的探索精神和创新能力。

五、作业反馈教师将根据学生的作业完成情况给予及时的反馈和指导，具体包括：1. 对基础练习部分的错误进行纠正和指导，帮助学生巩固基础知识。

2. 对理论应用部分的解题思路和步骤进行点评和指导，帮助学生提高问题解决能力。

3. 对探究拓展部分的创新性和深度进行肯定和鼓励，激发学生的探索精神。

同时，教师还将根据学生的整体完成情况和作业质量，进行针对性的教学调整和优化，以更好地满足学生的学习需求。

浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题一．选择题（共7小题）1．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为（）A．B．2C．D．2．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝7，M是AB上任意一点，则线段OM的长不可能是（）A．3.5B．4.5C．4D．54．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（）A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm5．若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为（）A．12cm B．cm C．cm D．cm6．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直于弦的直线必过圆心C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧7．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．100°二．填空题（共10小题）8．秋千长度的长度为3m，秋千向两边摆动时，最大摆角为60度，且两边的摆动角度相同，则它摆置最高处与最低处的高度差为．9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为，最大值为．10．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（10，5），点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为．11．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，四边形ABCD是正方形，并且∠POM＝45°，则AB的长为．12．已知如图，⊙O中直径AB交CD于E，点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AE＝8cm，则⊙O的半径为．13．如图，⊙O的弦AB的垂直平分半径OC，⊙O的半径等于8cm，则四边形OACB的面积等于cm2．14．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧．即：如图，若AB⊥CD，则有AP PB，，AD＝．如图，若CD＝10，AB＝8，求PC的长？15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若AB＝10cm，OE＝4cm，则CD＝cm．16．如图AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E，BC＝6，AC＝8，则DE＝．17．如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，那么圆心O到AB的距离是cm，弦AB的长是cm．三．解答题（共8小题）18．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的时．（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．19．如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16m，拱高为4m，求半径OA的长．20．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接P A、PB，求证：P A＝PB．21．已知：如图，⊙O中，AB＝AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE＝∠OED．22．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？23．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？24．（综合题）如图所示，⊙O中的弦AB，CD互相垂直于E，AE＝5cm，BE＝13cm，O到AB的距离为2cm，求⊙O的半径及O到CD的距离．25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题参考答案一．选择题（共7小题）1．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为（）A．B．2C．D．【解答】解：如图所示，则直径AB是过点N的最长的弦．过N点作弦CD⊥AB，则CD是过N的最短的弦．连接OC．∵ON⊥CD，∴CN＝CD＝2，又OC＝3，∴ON＝．故选：C．2．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【解答】解：作OE⊥CD，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，当两弦在圆心的同侧时，已知CD＝10cm，∴由垂径定理得DE＝5．∵OD＝13，∴利用勾股定理可得：OE＝12．同理可求OF＝5，∴EF＝7．当两弦在圆心的两侧时，EF＝OE+OF＝17．故选：D．3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝7，M是AB上任意一点，则线段OM的长不可能是（）A．3.5B．4.5C．4D．5【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，当点M与点A重合时OM最长，当点M于点D重合时OM最短，∵OD⊥AB，AB＝7，∴AD＝AB＝，∴OD＝＝＝，∴≤OM≤5．∵＞＝3.5，∴A不合题意．故选：A．4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（）A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，在Rt△OCE和△OAF中，根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，＝+1，两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，＝3，两边平方得，r2﹣16＝9，r2＝25，解得：r＝5，则圆柱形油槽直径MN为10dm．故选：C．5．若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为（）A．12cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：如图，∵OA＝6cm，OP＝2cm，∴AP＝＝＝4cm，∴AB＝8cm，∴过P的最短的弦长等于8cm，故选：D．6．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直于弦的直线必过圆心C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧【解答】解：A、过弦的中点的直线都是平分线的直线，有无数条，所以平分弦的直线不一定垂直于这条弦；故A 错误．B、垂直于弦的直线有无数条，所以垂直于弦的直线不一定过圆心，垂直平分弦的直线过圆心；故B错误．C、根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直；故C错误．D、垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分这条弦所对的弧；故D正确．故选：D．7．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．100°【解答】解：∵M、N分别为弧AB和弧AC的中点，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠OF A＝∠OEA＝90°，∴在四边形OEAF中，∠MON＝360°﹣∠OF A﹣∠OEA﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．故选：C．二．填空题（共10小题）8．秋千长度的长度为3m，秋千向两边摆动时，最大摆角为60度，且两边的摆动角度相同，则它摆置最高处与最低处的高度差为（3﹣）米．【解答】解：∵最大摆角为60度，∴∠BOD＝60°，∴∠BOA＝∠DOA＝30°．∵OB＝OD＝3米，∴BC＝OB＝米，∴OC＝＝＝（米），∴AC＝OA﹣AC＝（3﹣）米．故答案为：（3﹣）米．9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为3，最大值为5．【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．故答案为：3，5．10．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（10，5），点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为（14，0）．【解答】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（10，0）．又∵A的坐标为（6，0），∴OA＝6，AM＝OM﹣OA＝10﹣6＝4，∵A，B两点一定关于PM对称．∴MB＝AM＝4，∴OB＝OM+MB＝10+4＝14，∴点B的坐标是（14，0）．故答案为：（14，0）．11．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，四边形ABCD是正方形，并且∠POM＝45°，则AB的长为．【解答】解：∵∠POM＝45°，∠DCO＝90°，∴∠DOC＝∠CDO＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴CO＝CD．连接OA，则△OAB是直角三角形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝CO，BO＝BC+CO＝BC+CD＝2AB，∴AB2+OB2＝52，即AB2+（2AB）2＝52，∴AB的长为．故答案为：．12．已知如图，⊙O中直径AB交CD于E，点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AE＝8cm，则⊙O的半径为5．【解答】解：设⊙O的半径为rcm，∵点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AB是直径，∴AB⊥CD，CE＝ED＝CD＝4cm，在Rt△COE中，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故答案为：5．13．如图，⊙O的弦AB的垂直平分半径OC，⊙O的半径等于8cm，则四边形OACB的面积等于cm2．【解答】解：∵AB垂直平分OC，∴OA＝AC，又半径OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，四边形OACB为菱形，∵OA＝OC＝8，∴AB＝8，S四边形OACB＝×OC×AB＝×8×8＝32．故答案为：32．14．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧．即：如图，若AB⊥CD，则有AP＝PB，＝，AD＝BD．如图，若CD＝10，AB＝8，求PC的长？【解答】解：∵AB⊥CD，∴由垂径定理，可得AP＝BP，＝，AD＝BD，连接OA，∵AB⊥CD，CD＝10，AB＝8，∴AP＝4，OA＝5，∴由勾股定理得，OP＝3，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若AB＝10cm，OE＝4cm，则CD＝6cm．【解答】解：由题意得：OC＝5，OE＝4∴Rt△OCE中可求得CE＝＝3cm根据垂径定理可得：CD＝2CE＝6cm．16．如图AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E，BC＝6，AC＝8，则DE＝．【解答】解：∵AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E∴CE＝DE，AC⊥BC∵BC＝6，AC＝8∴AB＝10∵S△ABC＝×AC×BC＝×CE×AB∴AC×BC＝CE×AB∴CE＝＝∴DE＝CE＝故此题应该填．17．如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，那么圆心O到AB的距离是cm，弦AB的长是5 cm．【解答】解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：由垂径定理可知，OC垂直平分AB，∵OA＝OB，∠AOB＝120°∴∠OAB＝30°∴OC＝OA＝cm∴由勾股定理可得：AC＝cm∴AB＝5cm故此题应该填，5．三．解答题（共8小题）18．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的时．（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．【解答】解：（1）如图，连接OM，∵AB＝80cm，BC为直径的，∴OM＝OB＝40cm，BC＝20cm，∴OC＝20cm，∴MC＝cm，∴MN＝2CM＝40cm；（2）∵OC＝20cm，OM＝40cm，∴sin∠OMC＝，∴∠OMC＝30°，∴∠MOC＝60°，∴∠MON＝120°，∴阴影部分的面积是：＝，∵油桶的高为120cm，∴油桶中存贮油的体积是：（）×120＝64000π﹣48000，即油桶中存贮油的体积是（64000π﹣48000）cm3．19．如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16m，拱高为4m，求半径OA的长．【解答】解：∵AB＝16m，OC⊥AB，∴AD＝AB＝8m，设OA＝r，则OD＝r﹣4，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10m，即半径OA的长是10m．20．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接P A、PB，求证：P A＝PB．【解答】证明：∵OC＝OP，∴∠1＝∠2．∵CP平分∠OCD，∴∠2＝∠3，∴∠3＝∠1，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB．∴＝，∴P A＝PB．21．已知：如图，⊙O中，AB＝AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE＝∠OED．【解答】解：连接OA并延长交BC于点F，∵⊙O是△ABC的外接圆，∴点O是△ABC的外心，∵AB＝AC，∴AF是BC的垂直平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，∵AB＝AC，∴AD＝AE，在Rt△AOD与Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴OD＝OE，∴△ODE是等腰三角形，∴∠ODE＝∠OED．22．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？【解答】解：连接OA、OA1，如下图所示：由题可得：AB＝60m，PM＝18m，PN＝4m，OA＝OA1＝OP＝ROP⊥AB，OP⊥A1B1由垂径定理可得：AM＝MB＝30m在Rt△AMO中，由勾股定理可得：AO2＝AM2+MO2即R2＝302+（R﹣18）2解得R＝34m∵PN＝4m，OP＝R＝34m∴ON＝30m在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：A1N2＝A1O2﹣ON2可得A1N＝16m故A1B1＝32m＞30m故不用采取紧急措施．23．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？【解答】解：（1）△OCD是等腰三角形如左图所示，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则有MA＝MB又AC＝BD∴AC+MA＝BD+MB即CM＝DM又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分线∴OC＝OD∴△OCD为等腰三角形（2）当点C，D在线段AB上时，如右图所示同（1）题作OM⊥AB，垂足为M由垂径定理，得AM＝BM又AC＝BD∴CM＝AM﹣AC＝BM﹣BD＝MD∴OC＝OD∴△OCD为等腰三角形．24．（综合题）如图所示，⊙O中的弦AB，CD互相垂直于E，AE＝5cm，BE＝13cm，O到AB的距离为2cm，求⊙O的半径及O到CD的距离．【解答】解：AB＝AE+BE＝5+13＝18（cm），连接OB，过O作OM⊥AB，∴AM＝AB＝9（cm），又∵OM＝2（cm），∴在Rt△OBM中，BO＝＝＝＝11cm，ON＝EM＝AM﹣AE＝9﹣5＝4（cm）．25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．【解答】解：连接OA．∵OA＝OD＝0.5米，AC＝AB＝0.3米∴OC2＝OA2﹣AC2∴OC＝＝0.4米∴CD＝OD﹣OC＝0.5﹣0.4＝0.1米故油的最大深度是0.1米．。