九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理同步练习 湘教版

2.3 垂径定理基础题知识点1 垂径定理1．(长沙中考改编)如图，在⊙O 中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙O 的半径长为(B)A.72B.13C ．23D ．42．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，则下列说法错误的是(D)A ．AD ＝BDB ．∠AOE＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE3．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD 的度数是(D)A ．25° B．30° C．40° D．50°4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D.若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是(A)A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm.24．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴x2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙O的直径是20.知识点2 垂径定理的实际应用8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)A．16B．10C ．8D ．69．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意，知OA ＝OE ＝r.∵EF＝1，∴OF＝r －1.∵OE⊥AB，∴AF＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt△OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.∴圆O 的半径为138 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2 cmB. 3 cm C ．2 3 cm D ．2 5 cm。

基础题知识点1 垂径定理1.（长沙中考改编）如图, 在OO中,2.3 垂径定理AB= 6,圆心0到AB的距离0C= 2,则OO的半径长为（B）7A.2B. 13C. 2 32.如图，AB是OO的弦, ODL AB 于交OO于E,则下列说法错误的是（D）A. AD= BD B . Z AOE=Z BOEC.AE= BE D . OD= DE3.如图, 在OO 中，直径CD垂直于弦AB.若Z C= 25°,则Z BOD的度数是（D）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°4.如图, AB是OO的弦, 半径OCLAB于点D.若OO的半径为5, AB= 8，贝U CD的长是（A）A. 2B. 3C.5.如图, AB是OO的直径，弦CDL AB 于点E, OC= 5 cm , CD= 6 cm，贝U OE= 4cm.圆心O 到水面的距离OC 是6,则水面宽 A . 16B . 106.（教材P59例1变式）如图，在O O 中，直径 AB 垂直弦CD 于点M, AM= 18, BMh 8,贝U CD 的长为 24.7.如图，AB 是OO 的直径，弦 CDLAB 于点E ,点M 在OO 上, MD 恰好经过圆心 0,连接 MB.若CD =16, BE = 4,求OO 的直径.解：••• AB! CD CD= 16, ••• CE= DE = 8.设 OB= x ,••• BE= 4,2 2 2•••X = (x — 4) + 8 .解得x = 10.• OO 的直径是20. 知识点2 垂径定理的实际应用& （教材P60习题T1变式）一条排水管的截面如图所示•已知排水管的截面圆半径0B= 10,截面圆C. 8D. 6AB= 3 m，弓形的高EF= 1 m,现计划9•如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度安装玻璃，请帮工程师求出AB所在圆0的半径r.解：由题意，知0A= 0E= r.••• EF= 1,.・.0F= r —1.•/ OEL AB1 1AF= —AB= — X 3= 1.5.2 2在Rt △ OAF 中, oF+AF"= OA2,13 即(r —1)2+ 1.5 2= r2.解得r =813•••圆0的半径为肓m.8易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10. 下列说法正确的是(D)A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C. 过弦的中点的直径垂直于弦D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为(C)A. 2 cmB. 3 cmC. 2 3 cm D . 2 5 cm12. （2018 •枣庄）如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P, AP = 2, BP = 6,Z APC= 30° .贝U CD 的长为(C)提示：过点 O 作 OH L PD 于 H,连接 OD.AP= 2, BP = 6,贝U AO= BO= 4,贝U PO= 2，又/ OP 出/APC(2018 •黄冈)如图，△ ABC 内接于O O, AB 为OO 的直径，/ CAB= 60°，弦 AD 平分/ CAB 若 AD =6,则 AC = 2 .3.（2018 •孝感）已知OO 的半径为 10 cm, AB CD 是OO 的两条弦，AB// CD AB= 16 cm , CD= 12(2018 •安徽)如图，OO 为锐角△ ABC 的外接圆，半径为 5.(1)用尺规作图作出/ BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E ;(保留作图痕迹，不写作法) A. 15 B . 2 5 C. 2 15 D. 8=30°,「. OH= 1 , OD= OB= 4,在 Rt △ HOD 中, HD= oD — oH = 15,.・.CD= 2HD= 2 15.13.如图，以点 P 为圆心的圆弧与x 轴交于A, B 两点，点P 的坐标为(4 , 2)，点A 的坐标为(2 ,0)，则点B 的坐标为(6 , 0). 14. 15. cm, 则弦AB 和CD 之间的距离是 2 或 14cm.16.E ⑵若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.解：(1)画图如图所示.(2) T AE 平分/ BAC••• BE= EC连接OE OC EC,则OEL BC 于点F, EF= 3.在Rt△ OFC中，由勾股定理可得，FC=J'O C— OF=订5 —( 5—3) = 21.在Rt△ EFC中，由勾股定理可得，CE= FC2+ EF= 21+ 32= 30.17. 如图，CD为OO的直径，弦AB交CD于点E,连接BD, OB.(1) 求证：△ AE3A DEB⑵若CDLAB AB= 8, DE= 2，求OO的半径.解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得/ A=Z D,Z C=Z ABD•△AES A DEB.⑵•/ CDLAB O为圆心，1BE= —AB= 4.2设OO的半径为r , T DE= 2，贝U OE= r — 2.•••在Rt △ OEB中，由勾股定理，得OE+ EB"= OB, 即(r —2)2+ 42= r2,解得r = 5.•OO的半径为5.综合题18. 如图，已知/ MAI= 30°, O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作O 0,交AN于D, E两点, 设AD= x.当x为何值时，OO 与AM相交于B, C两点，且/ B0= 90°?解：过点0作OF! BC于点F.•••/ BOC= 90°, 0B= 0C= 2,•••/ OBC= 45°,BC= 0扌+ 0C= 2 2.••9FL BC • BF= 2BO ^2，/ B0F= 45 •••/ 0BF=Z B0F..•.0F= BF= 2.•••/ MAN= 30°,. 0A= 20F= 2 2. • AD= 2 2-2,即当x = 2 2 — 2 时，/ B0C= 90°.小专题（五）与圆的基本性质有关的计算与证明1.已知：如图， A, B, C , D 是OO 上的点，/ 1 = 7 2, AC = 3 cm. ⑴求证：AC = BD（2）求BD 的长.解：(1)证明：T/ 1 = 7 2, ••• CD= AB,CD^ BC = AB+ BCAC = BD⑵ T AC = BD• AC = BD.T AC= 3 cm ,• BD= 3 cm.B 是OO 上的两个定点，P 是OO 上的动点（P 不与A B 重合），我们称7 APB 是OO 上关于点⑵如图，若OO 解：连接OA OB AB.TOO 的半径是1，即OA= OB= 1 ,又T AB= 2,2. A ,B 的滑动角. 已知7 APB 是OO 上关于点 A , B 的滑动角. (1) 若AB 是OO 的直径，则7 APB= 90°;的半径是1 , AB= 2•••/ APB= 2/ AOB= 45°(1)求/ ABD 的度数;解：⑴连接AD.•••/ BCD= 45°,•••/ DAB=Z BCD= 45°.•/AB 是OO 的直径，•••/ ADB= 90°.•••/ ABD= 45°.⑵连接AC.•/AB 是OO 的直径，•••/ ACB= 90°.•••/ CAB=Z CDB= 30°, BC = 3,• AB= 6.•OO 的半径为3.4.如图，A , P , B, C 是圆上的四个点，/ APC=Z CPB= 60°,AP, CB 的延长线相交于点 D. (1)求证：△ ABC 是等边三角形；⑵ 若/ PAC= 90°, AB= 2 3，求 PD 的长.由勾股定理的逆定理可得，/ AOB= 90°3. 如图，AB 是OO 的直径, C, D 两点在OO 上.若/ C = 45 ⑵若/ CDB= 30°, BC= 3, 求OO 的半解：⑴证明：••• A, P, B, C是圆上的四个点，•••/ ABC=Z APC / CPB=Z BAC.•••/ APC=Z CPB= 60°,•••/ ABC=Z BAC= 60°.•••/ ACB= 60°.• △ ABC是等边三角形.(2) •••△ABC是等边三角形，•••/ ACB= 60°, AC= AB= BC= 2 3.•••/ PAC= 90°,「./ DAB=Z D= 30°.BD= AB= 2 3.•••四边形APBC是圆内接四边形，/ PAC= 90°,•••/ PBC=Z PBD= 90°.亠亠BD 2血在Rt△ PBD中，PD= = 、L = 4.cos30 寸3220 5. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB= 80米，桥拱到水面的最大高度为米.求:(1) 桥拱的半径；(2) 现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米?解：⑴过点E作EF丄AB于点F,延长EF交圆于点D,则由题意得DF= 20.由垂径定理知，1 点F是AB的中点，AF= FB= ?AB= 40米,EF= ED- FD= AE- DF,由勾股定理知，A^= AF2+ EF2= AF2+ (AE—DF)2. 设圆的半径是r ,2 2 2则r = 40 + (r —20),解得r = 50.即桥拱的半径为50米.⑵设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H连接EM1则MH= NHk-MN= 30 米，2••• EH=502—302= 40(米).•/ EF= 50 —20= 30(米)，••HF= EH- EF= 10 米.6. 已知△ ABC以AB为直径的OO 分别交AC, BC于点D, E,连接ED若ED= EC.⑴求证：AB= AC;(2)若AB= 4, BC= 2 3，求CD的长.解：(1)证明：T ED= EC,•••/ EDC=Z C.•••/ EDCF/ ADE= 180°,/ ADEF Z B= 180°,•••/ EDC=/ B.• / B=/ C. • AB= AC.⑵连接AE,v AB为直径,• AE1 BC.由(1) 知, AB= AC,• BE= CE= 1B C=3.在厶ABC与厶EDC中,•••/ C=Z C,Z CD吕/ B, •••△ ABSA EDC.,CE_CD•• CA T CB• CE- CB= CD- CA. •/ AC T AB= 4,•• X2 3 = 4CD.3• CD= q.7. 如图，在△ ABC中，AB= BC= 2,以AB为直径的OO 分别交BC, AC于点D, E,且点占八、、♦⑴求证：△ ABC为等边三角形；⑵求DE的长；(3) 在线段AB的延长线上是否存在一点卩，使厶PBD^A AED若存在，请求出PB的长; 请说明理由.解：⑴证明：连接AD.•/AB是OO的直径，•••/ ADB= 90°.•••点D是BC的中点，• AD是线段BC的垂直平分线.• AB= AC.•/ AB= BC, • AB= BC= AC.•△ ABC为等边三角形.⑵连接BE.•/ AB是直径，•/ AEB= 90°.D为BC的中若不存在,• BE! AC.•••△ ABC是等边三角形，••• AE= EC,即E为AC的中点.•••D是BC的中点，故DEABC的中位线,1 1• DE^ -AB^-X 2= 1.2 2⑶存在点P使厶PBD^A AED由⑴(2)知，BD= ED,•••/ BAC= 60°, DE// AB AED= 120°.•••/ ABC= 60°,「./ PBD= 120°.•••/ PBD=Z AED.要使△ PBD^A AED 只需PB= AE= 1.。

垂径定理一、选择题1．以下命题错误的选项是链接听课例1归纳总结() A．均分弧的直径均分这条弧所对的弦B．均分弦的直径均分这条弦所对的弧C．垂直于弦的直径均分这条弦D．弦的垂直均分线经过圆心2．2018·菏泽如图K－ 14－ 1，在⊙ O中， OC⊥ AB，∠ ADC＝ 32°，则∠ OBA的度数是 ()图 K－14－1A． 64° B ．58° C ．32° D ． 26°3．过⊙ O内一点 M的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm，则 OM的长为 () A． 9 cm B ． 6 cmC． 3 cm D.41 cm4．2017·泸州如图K－ 14－ 2 所示， AB 是⊙ O的直径，弦CD⊥AB 于点 E. 若 AB＝ 8， AE＝ 1，则弦 CD的长是 ()图 K－14－2A. 7 B．27 C．6D．85.2017 ·金华如图K－ 14－ 3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为 ()图 K－14－3A． 10 cm B ． 16 cmC． 24 cm D ． 26 cm6．如图 K－14－ 4，⊙ O的直径 AB垂直于弦CD，垂足是 E，∠ A＝ 22.5 °， OC＝ 8，则 CD的长为()图 K－14－4A．42B．82C． 8D． 167．如图 K－ 14－ 5，在等边三角形ABC中， AB，AC 都是⊙ O 的弦， OM⊥ AB， ON⊥ AC，垂足分别为 M， N，假如 MN＝ 1，那么△ ABC的面积为 ()A．3 B.3C．4 D.图 K－14－5 338．2017·襄阳模拟⊙O的半径为 5 cm，弦 AB∥ CD，AB＝ 6 cm， CD＝ 8 cm，则 AB 和 CD间的距离是()图 K－14－6A． 7 cm B．8 cmC． 7 cm 或 1 cm D ． 1 cm二、填空题9．如图 K－ 14－ 6，OD是⊙ O的半径，弦 AB⊥OD于点 E，若∠ O＝ 70°，则∠ A＋∠ C＝ ________° .10．如图 K－ 14－ 7，在⊙ O中，弦 AB的长为 8，圆心 O到 AB的距离为3. 若 P 是 AB上的一动点，则 OP的取值范围是 ________．图 K－14－711．2017·孝感已知半径为 2 的⊙ O中，弦 AC＝ 2，弦 AD＝22，则∠ COD的度数为 ________．三、解答题12．已知在以点O为圆心的两个齐心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图 K－ 14－ 8 所示 ) ．(1)求证： AC＝ BD；(2)若大圆的半径 R＝ 10，小圆的半径 r ＝ 8，且圆心 O到直线 AB 的距离为 6，求 AC的长 .链接听课例 2归纳总结图 K－ 14－813．如图 K－ 14－9 所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)， B(4 ， 2) ， C(6 ，0) ，解答以下问题：(1)请在图中确立该圆弧所在圆圆心D的地点，并写出点 D的坐标为 ________；(2)连接 AD， CD，求⊙ D的半径 ( 结果保留根号 ) ．图 K－14－ 914．如图 K－ 14－ 10，已知 AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB于点 E，点 M在⊙ O上，∠ M＝∠ D.(1)判断 BC， MD的地点关系，并说明原由；(2)若 AE＝16， BE＝4，求线段 CD的长；(3)若 MD恰好经过圆心 O，求∠ D的度数．图 K－ 14－ 1015．如图 K－ 14－ 11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝ 80 米，桥拱到水面的最大高度为20 米．(1)求桥拱的半径；(2) 现有一艘宽60 米，船舱顶部为长方形并高出水面9 米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利经过吗？并说明原由．图 K－ 14－ 11涵养提高研究性问题如图K－ 14－12，在半径为 5 的扇形 AOB中，∠ AOB＝ 90°，C是弧 AB上的一个动点 ( 不与点 A， B 重合 ) ， OD⊥ BC，OE⊥ AC，垂足分别为 D， E.(1) 当 BC＝ 6 时，求线段 OD的长．(2)研究：在△ DOE中能否存在长度保持不变的边？假如存在，请指出并求其长度；假如不存在，请说明原由．图 K－ 14－ 121． B︵︵︵︵2．[ 解析 ] D∵ OC⊥ AB，∴ AC＝BC.∠ ADC是AC所对的圆周角，∠BOC是 BC所对的圆心角，∴∠BOC＝ 2∠ADC＝ 64°，∴∠ OBA＝ 90°－∠ BOC＝90°－ 64°＝ 26° . 应选 D.3． [ 解析 ] C由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，以以以下图．直径ED⊥ AB于点 M，则 ED＝ 10 cm， AB＝ 8 cm，由垂径定理知M为 AB的中点，∴AM＝ 4 cm.∵半径 OA＝ 5 cm，222∴OM＝ OA－ AM＝ 25－ 16＝ 9，∴OM＝ 3(cm) ．4． B5．[解析]C 如图，过点 O作 OD⊥ AB于点 C，交⊙ O于点 D. ∵ CD＝8 cm， OD＝ 13 cm，∴OC＝5 cm.又∵ OB＝ 13 cm，∴在 Rt △ BCO中， BC ＝22OB－ OC＝ 12 cm，∴ AB＝2BC＝ 24 cm.6．[解析]B∵∠ A＝ 22.5 °，∴∠ BOC＝2∠ A＝ 45° . ∵⊙ O的直径 AB垂直于弦 CD，∴ CE＝DE，△ OCE为等腰直角三角形，∴CE＝2O C＝42，∴ CD＝ 2CE＝ 8 2. 应选 B.27．[解析]B∵ OM⊥ AB， ON⊥ AC，垂足分别为M， N，∴M， N分别是 AB， AC的中点，∴MN是等边三角形 ABC的中位线．∵MN＝ 1，∴ AB＝ AC＝ BC＝ 2MN＝ 2，∴S ＝2×2×2×sin60 °＝ 2×2＝ 3.△ ABC138． C9．[ 答案 ] 55[ 解析 ]连接OB.∵ OA＝OB，∴∠ A＝∠ ABO.又∵ OD是⊙ O的半径，弦AB⊥OD于点 E，∠ AOD＝ 70°，︵︵∴AD＝ BD，∠ AOB＝ 140°，1∴∠ C＝2∠ AOD＝ 35°，∠ A＝∠ ABO＝ 20°，∴∠ A＋∠ C＝55° . 故答案是55.10． [ 答案 ] 3 ≤OP≤5[解析]1由勾股定理，得OA＝22连接 OA，作 OC⊥ AB于点 C，则 AC＝ AB＝ 4.AC＋ OC＝ 5，2则 OP的取值范围是3≤OP≤ 5. 11．[ 答案 ]150 °或 30°[解析]以以以下图，连接OC，过点 O作 OE⊥ AD于点 E. ∵OA＝ OC＝AC，∴∠ OAC＝60°.∵AD＝ 22， OE⊥AD，∴ AE＝2， OE＝222，∴∠ OAD＝ 45°，∴∠ CAD＝∠OA－ AE ＝OAC＋∠ OAD＝ 105°或∠ CAD＝∠ OAC－∠ OAD＝ 15°，∴∠ COD＝ 360°－ 2×105°＝150°或∠ COD＝2×15°＝ 30° . 故答案为 150°或 30°.612．解： (1) 证明：过点 O 作 OE ⊥AB 于点 E ，则 CE ＝ DE ， AE ＝ BE ， ∴ AE － CE ＝BE － DE ，即 AC ＝ BD.(2) 连接 OA ， OC ，由 (1) 可知 OE ⊥ AB 且 OE ⊥CD ， 22227，∴ CE ＝ OC － OE ＝ 8 －6 ＝22222AE ＝ OA －OE ＝ 10 －6 ＝8， ∴AC ＝ AE －CE ＝ 8－ 2 7.13． (1) 确立点 D 的地点略(2 ，－ 2)(2) ⊙D 的半径为 2 514．解： (1)BC ∥ MD.原由：∵∠ M ＝∠ D ，∠ M ＝∠ C ， ∴∠ D ＝∠ C ，∴ BC ∥MD.(2) ∵AE ＝ 16，BE ＝ 4，∴ OB ＝ 16＋ 4＝10，∴ OE ＝ 10－ 4＝ 6. 2 连接 OC ，如图① .∵ CD ⊥ AB ，∴ CE ＝ 1CD.2222在 Rt △ OCE 中，∵ OE ＋ CE ＝ OC ，222，即 6 ＋CE ＝ 10 ∴ CE ＝ 8，∴ CD ＝ 2CE ＝16.1(3) 如图②，∵∠ M ＝2∠ BOD ，∠ M ＝∠ D ，1∴∠ D ＝ 2∠BOD.1 又∵ AB ⊥ CD ，∴∠ D ＝ ×90°＝ 30° .315．解： (1) 如图①，设 E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作 EF ⊥ AB 于点 F ，延长 EF 交⊙ E 于1点 D ，则 F 是 AB 的中点， AF ＝ FB ＝ 2AB ＝ 40 米，EF ＝ ED － FD ＝ AE － DF.22222由勾股定理知 AE ＝ AF ＋ EF ＝ AF ＋ (AE － DF) .222设⊙ E 的半径是 r ，则 r ＝ 40 ＋(r － 20) ， 解得 r ＝ 50.即桥拱的半径为 50 米．7①②(2)这艘轮船能顺利经过这座拱桥．原由：如图②，设 MN与 DE交于点 G，GM＝ 30 米．在 Rt △ GEM中，GE＝2222＝ 40(米 ) ．EM－GM＝50 －30∵EF＝ 50－20＝ 30( 米 ) ，∴GF＝ GE－EF＝ 40－30＝ 10( 米 ) ．∵10 米＞ 9 米，∴这艘轮船能顺利经过这座拱桥．[ 涵养提高 ]11解： (1) ∵ OD⊥ BC，∴ BD＝2BC＝2×6＝ 3.∵∠ BDO＝ 90°， OB＝ 5，BD＝ 3，2 2∴OD＝ OB－ BD＝ 4，即线段 OD的长为 4.(2) 存在， DE的长度保持不变．原由：连接AB，如图．∵∠ AOB＝ 90°， OA＝ OB＝ 5，22∴ AB＝OB＋ OA＝ 5 2.∵OD⊥BC， OE⊥AC，∴D 和 E 分别是线段 BC和 AC的中点，1 5 2∴DE＝2AB＝2，其长度保持不变．。

2.3 垂径定理1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k ≥1。

xx学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为( ) A. B. C．2 D．4试题2:．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，则下列说法错误的是( ) A．AD＝BD B．∠AOE＝∠BOEC.＝ D．OD＝DE试题3:．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( ) 评卷人得分A．25° B．30° C．40° D．50°试题4:如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．5试题5:如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝ cm.试题6:如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为．试题7:如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．试题8:一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 )A．16B．10C．8D．6试题9:如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.试题10:下列说法正确的是( )A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦试题11:如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm试题12:如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为( )A. B．2 C．2 D．8试题13:如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为．试题14:如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB.若AD＝6，则AC＝．试题15:已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.试题16:如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．试题17:如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．试题18:如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？试题19:已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.(1)求证：＝；(2)求BD的长．试题20:A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB 是⊙O上关于点A，B的滑动角．(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°；(2)如图，若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．试题21:如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上．若∠C＝45°.(1)求∠ABD的度数；(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．试题22:如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．试题23:如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：(1)桥拱的半径；(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？试题24:．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．试题25:如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．试题1答案:B试题2答案:D试题3答案:D试题4答案:A试题5答案:4试题6答案:24试题7答案:解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴x2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙O的直径是20.试题8答案:A试题9答案:解：由题意，知OA＝OE＝r.∵EF＝1，∴OF＝r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝AB＝×3＝1.5.在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝.∴圆O的半径为 m.试题10答案:D试题11答案:C试题12答案:C提示：过点O作OH⊥PD于H，连接OD.AP＝2，BP＝6，则AO＝BO＝4，则PO＝2，又∠OPH＝∠APC＝30°，∴OH＝1，OD ＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2.试题13答案:(6，0)试题14答案:2试题15答案:2或14试题16答案:解：(1)画图如图所示．(2)∵AE平分∠BAC，∴＝.连接OE，OC，EC，则OE⊥BC于点F，EF＝3.在Rt△OFC中，由勾股定理可得，FC＝＝＝.在Rt△EFC中，由勾股定理可得，CE＝＝＝.试题17答案:解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB，O为圆心，∴BE＝AB＝4.设⊙O的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.∴在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.∴⊙O的半径为5.试题18答案:解：过点O作OF⊥BC于点F.∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝2，∴∠OBC＝45°，BC＝＝2.∵OF⊥BC，∴BF＝BC＝，∠BOF＝45°.∴∠OBF＝∠BOF.∴OF＝BF＝.∵∠MAN＝30°，∴OA＝2OF＝2.∴AD＝2－2，即当x＝2－2时，∠BOC＝90°.试题19答案:解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴＝，∴＋＝＋. ∴＝.(2)∵＝，∴AC＝BD.∵AC＝3 cm，∴BD＝3 cm.试题20答案:解：连接OA，OB，AB.∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，又∵AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2.由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90°. ∴∠APB＝∠AOB＝45°.试题21答案:解：(1)连接AD.∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠BCD＝45°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ABD＝45°.(2)连接AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，∴AB＝6.∴⊙O的半径为3.试题22答案:解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形．(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2.∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°.∴BD＝AB＝2.∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，∴∠PBC＝∠PBD＝90°.在Rt△PBD中，PD＝＝＝4.试题23答案:解：(1)过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交圆于点D，则由题意得DF＝20. 由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，EF＝ED－FD＝AE－DF，由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 设圆的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.即桥拱的半径为50米．(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，则MH＝NH＝MN＝30米，∴EH＝＝40(米)．∵EF＝50－20＝30(米)，∴HF＝EH－EF＝10米．试题24答案:解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠B＝180°，∴∠EDC＝∠B.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知，AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝.在△ABC与△EDC中，∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△ABC∽△EDC.∴＝.∴CE·CB＝CD·CA.∵AC＝AB＝4，∴×2＝4CD.∴CD＝.试题25答案:解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°. ∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×2＝1.(3)存在点P使△PBD≌△AED，由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°. ∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°.∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.3 垂径定理知|识|目|标1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.目标一理解垂径定理例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？①②③④图2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．图2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三 能利用垂径定理解决实际问题例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米．图2－3－3图2－3－4【归纳总结】1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：(1)四变量：如图2－3－4，弦长a ，圆心到弦的距离d ，半径r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)h ，这四个变量知任意两个可求其他两个．(2)两关系：①⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋d 2＝r 2；②h ＋d ＝r. 2．垂径定理在应用中常作的辅助线：作垂线，连半径，构造直角三角形．3．垂径定理在应用中常用的技巧：设未知数，根据勾股定理列方程．知识点 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________．[点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图2－3－5，连接OC ，则OC ＝5.图2－3－5∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，CD ＝8，∴CE ＝12CD ＝4. 在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3，∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 解：①②能，③④不能．理由略．例2 [解析] 如图，过圆心O 作弦AB 的垂线，易证它也与弦CD 垂直，由垂径定理知AE ＝BE ，CF ＝DF ，根据勾股定理可求OE ，OF 的长，进而可求出AB 和CD 之间的距离．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC.∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD. 在Rt △OAE 中，∵OA ＝17 cm ，AE ＝BE ＝12AB ＝15 cm ， ∴OE ＝172－152＝8(cm)．同理可求OF ＝172－82＝15(cm)．∵圆心O 位于AB ，CD 的上方，∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)．即AB 和CD 之间的距离是7 cm.例3 [答案] 25[解析] 根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25(米)．【总结反思】[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧[反思] 不完整．补充：若垂足E 在线段OA 上，则BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8；若垂足E 在线段OB 上，则BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.综上所述，BE 的长为8或2.其长度保持不变．。

湘教版九年级下学期2.3垂径定理同步练习题姓名：__________ 班级：__________一、单选题1.如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是（ ）A. 35°B. 55°C. 65°D. 70° 2.已知⊙O 的半径为10，P 为⊙O 内一点，且OP ＝6，则过P 点，且长度为整数的弦有（ ）A. 5条B. 6条C. 8条D. 10条3.当宽为2cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），那么该圆的半径为（ ）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm4.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P ，Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE•EQ 的值是（ )A. 24B. 9C. 36D. 275.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED .BD ︵＝BC ︵6.如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm7.如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°8.如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AM ＝BM ，OM ∶OC ＝3∶5，则AB 的长为( )A ．8 cm B.91 cm C ．6 cm D ．2 cm二、填空题（共8题；共24分）1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为________．2.如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于________．3.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是________.4.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是________ cm．5.在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为________ cm6.已知△ABC内接于半径为5厘米的⊙O，若∠A=60°，边BC的长为________厘米．7.如图,AB是半径为4的⊙ O的直径,P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是________8.一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为________cm．10.在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝________.11.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为________．12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8 cm，则⊙O的半径为________cm.13.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，根据以上条件，请写出三个正确的结论(含90°的角除外)：①________，②________，③________．14.赵州桥距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约为10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝________米．15.如图，⊙O的半径为5，P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝8，∠P＝30°，则弦AB的长为________．三、解答题（共6题；共37分）1.如图，AB是⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，并且OC＝OD.求证：AC＝BD.2.如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．3.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．4.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.5.已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=0.6时．（1）求△OAB的面积;（2）联结AC，求弦AC的长．6.如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，求证：AP=BP.7.如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.8.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：（1）桥拱半径;（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．。

*2.3 垂径定理知识要点 垂径定理内容 几何语言图例垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，∵MN是直径，OD ⊥AB ，∴AD ＝________；AN ︵＝________；AM ︵＝________.解题策略(1)涉及弦、弦到圆心的距离求长度：弦长a ，弦到圆心的距离为d ，半径r 及弓形高h (弦所对的弧的中点到弦的距离)，它们之间的关系是r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，r ＝d ＋h .注意有时还需作辅助线解决，一般是过圆点向弦作垂线或连接半径(如图中连接OB 或OA )构造直角三角形． (2)圆的两条平行弦所夹的弧________.(教材P60习题T1变式)如图，在⊙O 中，半径OD 垂直于弦AB ，垂足为C ，OD ＝13cm ，AB ＝24cm ，则CD ＝______.分析：由垂径定理得AC ＝12AB ＝12cm.连接OA ，由半径相等，得OA ＝OD ＝13cm.在Rt△AOC 中，利用勾股定理可求OC 的长，最后用CD ＝OD －OC 即可求出CD 的长．方法点拨：解题的方法是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理、垂径定理解答． 如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB ＝12米，净高CD ＝9米，则此圆的半径OA 为 ( )A ．6米 B.132米 C ．7米 D.152米分析：设⊙O 的半径为r 米，则OA ＝r 米，OD ＝(9－r )米．∵AB ＝12米，CD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×12＝6(米)．在Rt△AOD 中，由勾股定理得OA 2＝AD 2＋OD 2，即可得到关于r 的方程，解出方程即可求出⊙O 的半径长．方法点拨：构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理，可以解决计算弦长、半径、弦到圆心的距离、同心圆的相关线段等问题．1．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC 、BD ，则下列结论错误的是( ) A ．AF ＝BF B ．OF ＝CF C.AC ︵＝BC ︵D ．∠DBC ＝90°2．如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若AO ＝5cm ，OC ＝3cm ，则弦AB 的长为______cm.3．如图所示，是一根水平放置的圆柱形输水管道的横截面，其中有水部分水面宽0.8m ，最深处水深0.2m ，则此输水管道的直径是________m.参考答案: 要点归纳知识要点：平分 平分 DBBN ︵BM ︵相等 典例导学 例1 8 例2 B 当堂检测1．B 2.8 3.1。

*2.3 垂径定理知识点 垂径定理1．如图2－3－1，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，那么OC 的长为( )图2－3－1A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm2．如图2－3－2，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，那么以下结论中不一定成立的是( )图2－3－2A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED .BD ︵＝BC ︵3．2022·金华如图2－3－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，那么弓形弦AB 的长为( )图2－3－3A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm4．2022·大连如图2－3－4，在⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC ＝3 cm ，那么⊙O 的半径为________ cm .图2－3－45．如图2－3－5，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC.假设∠CAB ＝22.5°，CD ＝8 cm ，那么⊙O 的半径为________cm .图2－3－56．如图2－3－6，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，根据以上条件，请写出三个正确的结论(含90°的角除外)：①________，②________，③________．图2－3－67．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－7，假设桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，那么桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米．图2－3－78．2022·衡阳模拟如图2－3－8，⊙O 的半径为5，P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，假设OP ＝8，∠P ＝30°，那么弦AB 的长为________．图2－3－89．如图2－3－9，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D ，求证：AC ＝BD.图2－3－910．教材习题2.3A组第2题变式如图2－3－10，AB是⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，并且OC＝OD.求证：AC＝BD.图2－3－1011．2022·菏泽如图2－3－11，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，那么∠OBA的度数是()图2－3－11A．64°B．58°C．32°D．26°12．如图2－3－12所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，那么AB的长为()图2－3－12A．8 cm B.91 cmC．6 cm D．2 cm13．2022·牡丹江在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，那么AP＝________.图2－3－1314．如图2－3－13，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，那么点P的坐标为________．15．如图2－3－14，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长．图2－3－1416．如图2－3－15，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.(1)假设CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；(2)假设∠M＝∠D，求∠D的度数．图2－3－1517．如图2－3－16，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离点O80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的间隔越近噪声影响越大．假设一重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的间隔；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是多少分钟．图2－3－16老师详解详析1．B 2.C3．C [解析] 如图，在Rt △OCB 中，OC ＝5 cm ，OB ＝13 cm ，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2＝132－52＝12(cm)．∵OC ⊥AB ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.4．55．4 2 [解析] 连接OC ，如下图．∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝4 cm. ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝22.5°.∵∠COE 为△AOC 的外角，∴∠COE ＝45°，∴△COE 为等腰直角三角形，∴OC ＝2CE ＝4 2 cm ，故答案为4 2.6．答案不唯一，如：①AM ＝BM ，②AD ＝BD ，③∠A ＝∠B7．258．6 [解析] 过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，如图，那么AC ＝BC ，∵OP ＝8，∠P ＝30°，∴OC ＝4.在Rt △OAC 中，OA ＝5，OC ＝4，∴AC ＝OA 2－OC 2＝3，∴AB ＝2AC ＝6.9．证明：过圆心O 作OE ⊥AB 于点E ，在大圆O 中，OE ⊥AB ，∴AE ＝BE .在小圆O 中，OE ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD .10．证明：过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，那么AE ＝BE .∵OC ＝OD ，OE ⊥AB ，∴CE ＝DE .∴CE －AE ＝DE －BE ，即AC ＝BD .11．D [解析] 由垂径定理，得AC ︵＝BC ︵，∴∠O ＝2∠D ＝64°，∴∠OBA ＝90°－64°＝26°.12．A [解析] 如下图，连接OA .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，∴⊙O 的半径为5 cm ，即OA ＝OC ＝5 cm.∵OM ∶OC ＝3∶5，∴OM ＝3 cm.∵AM ＝BM ，∴AB ⊥CD .在Rt △AOM 中，AM ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝2AM ＝2×4＝8(cm)．应选A.13．7或25 [解析] 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝16，OC ＝OA 2－AC 2＝12.又OP ＝15，∴PC ＝OP 2－OC 2＝9，当点P 在线段AC 上时，AP 1＝16－9＝7，当点P 在线段BC 上时，AP 2＝16＋9＝25.故答案为7或25.14．(3，2) [解析] 如图，过点P 作PB ⊥OA 于点B ，连接PO .∵点A 的坐标为(6，0)，∴OB ＝3，在Rt △POB 中，PO ＝13，OB ＝3，∴由勾股定理求得PB ＝2，∴点P 的坐标是(3，2)．15．解：过点O 作OF ⊥CD ，交CD 于点F ，连接OD ，那么F 为CD 的中点，即CF ＝DF .∵AE ＝2，EB ＝6，∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8，∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2.在Rt △OEF 中，∵∠OEF ＝30°，∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15，那么CD ＝2DF ＝2 15.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD ＝16，∴DE ＝12CD ＝8. ∵BE ＝4，∴OE ＝OB －BE ＝OD －4.在Rt △OED 中，OE 2＋DE 2＝OD 2，即(OD －4)2＋82＝OD 2，解得OD ＝10，∴⊙O 的直径是20.(2)∵弦CD ⊥AB ，∴∠OED ＝90°，∴∠EOD ＋∠D ＝90°.∵∠M ＝∠D ，∠EOD ＝2∠M ，∴∠BOD ＋∠D ＝2∠M ＋∠D ＝3∠D ＝90°，∴∠D ＝30°.17．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM ＝30°，AO ＝80米，∴AD ＝40米，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的间隔 为40米．(2)如图，以A 为圆心，50米长为半径画圆，交ON 于B ，C 两点，∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC . 在Rt △ABD 中，AB ＝50米，AD ＝40米，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝502－402＝30(米)，故BC ＝2×30＝60(米)，即重型运输卡车在经过BC 时对学校产生噪声影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/时，即1800060＝300(米/分)， ∴重型运输卡车经过BC 时需要60÷300＝0.2(分)．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为0.2分钟．。