人教版2020九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理同步练习

3.3垂径定理知识要点基础练知识点1垂径定理及推论1.下列命题中错误的有( C)①弦的垂直平分线经过圆心;②平分弦的直径垂直于弦;③平分弦的直径平分弦所对的两段弧.A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图,AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D.若☉O的半径为10,BC=16,则AB的长为( D)A.16B.20C.8D.83.( 泸州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( B)A. B.2 C.6 D.8【变式拓展】( 安顺中考)已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为( C )A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.2cm或4cm知识点2垂径定理的应用4.位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复,如图1是其中一处中式圆形门,图2是它的平面示意图.已知AB过圆心O,且垂直CD于点B,测得门洞高度AB为1.8米,门洞下沿CD宽为1.2米,则该圆形门洞的半径为( A)A.1米B.1.2米C.1.6米D.1.8米5.一条排水管的横截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m.若某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于1.6m.6.如图,已知AD是☉O的直径,AB,BC是☉O的弦,AD⊥BC,垂足是点E,BC=8,DE=2,求☉O的半径和sin ∠BAD的值.解:设☉O的半径为r,∵直径AD⊥BC,∴BE=CE=BC=×8=4,∠AEB=90°.在Rt△OEB中,由勾股定理得OB2=OE2+BE2,即r2=42+( r-2 )2,解得r=5,∴AE=5+3=8.在Rt△AEB中,由勾股定理得AB==4,∴sin ∠BAD=.综合能力提升练7.过☉O内一点M的最长弦长为10 cm,最短弦长为8 cm,则OM的长为( C)A.9 cmB.6 cmC.3 cmD.cm8.( 广州中考)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( D)A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD9.( 衢州中考)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F.若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( D)A.3 cmB.cmC.2.5 cmD.cm10.( 德州中考)如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E.若,CE=1,AB=6,则弦AF的长度为.提示:连接OA,OB,OB交AF于点G.∵AB⊥CD,∴AE=BE=AB=3.设☉O的半径为r,则OE=r-1,OA=r.在Rt△OAE中,32+( r-1 )2=r2,解得r=5.∵,∴OB⊥AF,AG=FG.在Rt△OAG中,AG2+OG2=52,①在Rt△ABG中,AG2+( 5-OG)2=62.②解由①②组成的方程组得到AG=,∴AF=2AG=.11.如图,AB是半圆O的直径,AC是弦,点P从点B开始沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动.若AB的长为10 cm,点O到AC的距离为4 cm.( 1 )求弦AC的长;( 2 )问经过几秒后,△APC是等腰三角形.解:( 1 )过点O作OD⊥AC于点D,易知OD平分AC,AO=5 cm,OD=4 cm,从而AD=3 cm,AC=6 cm.( 2 )经过s后,AC=PC,△APC是等腰三角形;经过4 s后,AP=AC,△APC是等腰三角形;经过5 s后,AP=CP,△APC是等腰三角形.12.( 安徽中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点( C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.( 参考数据:sin 41.3°≈0.66,cos 41.3°≈0.75,tan 41.3°≈0.88 )解:连接CO并延长,交AB于点D,则CD⊥AB,∴D为AB的中点.所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.在Rt△AOD中,∵AD=AB=3,∠OAD=41.3°,∴OD=AD·tan 41.3°≈2.64,OA=≈4,∴CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64.答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.拓展探究突破练13.( 金华中考)如图1是小明制作的一副弓箭,A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60 cm.沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30 cm,∠B1D1C1=120°.( 1 )图2中,求弓臂两端B1,C1的距离.( 2 )如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为多少?解:( 1 )如图,连接B1C1,B1C1与AD1相交于点E,∵D是弓弦BC的中点,∴AD1=B1D1=C1D1=30 cm,由三点确定一个圆可知,D1是弓臂B1AC1的圆心.∵A是弓臂B1AC1的中点,∴∠B1D1D=∠B1D1C1=60°,B1E=C1E,AD1⊥B1C1.在Rt△B1D1E中,B1E=B1D1·cos ∠D1B1E=30×=15cm,则B1C1=2B1E=30cm.( 2 )连接B2C2,B2C2与AD1相交于点E1,∵将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,∴E1是弓臂B2AC2的圆心.∵弓臂B2AC2长不变,∴,解得B2E1=20 cm.在Rt△B2D2E1中,由勾股定理得D2E1==10cm,则AD2=AE1+D2E1=( 20+10) cm,即D1D2=AD2-AD1=20+10-30=( 10-10 ) cm.。

北师大版九年级数学下册第三章3．3垂径定理同步测试(原卷版)一．选择题1．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对2．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（）A．12cm B．6cm C．7cm D．8cm3．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m4．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（）A．3分米B．4分米C．5分米D．10分米5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（）cm．A．4 B．9 C．5 D．87.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是（）mm．A．100 B．200 C．300 D．4008．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan ∠COE=（）A．35B.45C．34D．439．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（）A．1 B．2 C．D．10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝（）．A．25寸B．26寸C．27寸D．28寸11．如图，⊙O过点B．C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C．√13 D．2√1312．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸二．填空题13．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为．14．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是（结果保留根号）．15．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝米．16．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．17．如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A．B两点到直线CD的距离之和为18．一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是平方米．三．解答题19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M 是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．23．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心．AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．24．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．北师大版九年级数学下册第三章3．2垂径定理同步测试(解析版)一．选择题1．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对解：因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即 OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．2．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（）A．12cm B．6cm C．7cm D．8cm∵CD是直径，CD⊥AB，AB=12cm，3．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．4．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（）A．3分米B．4分米C．5分米D．10分米解：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F 点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x﹣1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2，∵OA＝OC，∴32+x2＝42+（x﹣1）2，解得x＝4，∴半径OA＝分米＝5分米，故选：C．5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3过O作OC⊥AB于C，6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（）cm．A．4 B．9 C．5 D．8解：设OC＝OB＝xcm，∵AB⊥CD，AB是直径，∴EC＝DE＝3cm，在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，∴x2＝32+（x﹣1）2，∴x＝5，∴OE＝4cm，∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，故选：B．7.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是（）mm．A．100 B．200 C．300 D．400解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA＝OA＝500mm．∵OD⊥AB，AB＝800mm，∴AC＝400mm，∴OC＝＝300mm，∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为：B．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan ∠COE=（）A．35B.45C．34D．43解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，439．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（）A．1 B．2 C．D．解：连接BC，作OE⊥AC于E．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2，∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AO＝OB，∴OE＝BC＝，故选：C．10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝（）．A．25寸B．26寸C．27寸D．28寸解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故答案为：B．11．如图，⊙O过点B．C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C．√13 D．2√13解：如图：过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，所以点D也为BC的中点．根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A．O．D共线．∵⊙O过B．C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB=√DO2+BD2= 13 ．故选C．12．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，∵DE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．故选：C．二．填空题13．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为4或2 ．解：分两种情况：①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA．OB，则AE＝CE＝AC＝，∴OE＝＝＝1＝OA，∴∠OAE＝30°，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴OA＝OB＝AB，∴∠OAB＝60°，∴∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA＝4；②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA．OB，同①得：∠OAE＝30°，∵OA＝OB＝AB，∴∠AOB＝60°，∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝2；故答案为：4或2．14．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD 的长是（结果保留根号）．解：连OC，如图，∵直径AB=12，M是半径OB的中点，∴OC=6，OM=3，在Rt△OCM中，CM=√OC2-OM2=√62-32=3√3，∵CD⊥AB，∴CM=12 CD，∴CD=2CM=6√3．故答案为6√3．15．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝50 米．解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．设圆的半径是R，根据勾股定理，得R2＝202+（R﹣10）2，解得R＝25（米），∴⊙O的直径为50米．故答案为50．16．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8 ．解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．17．如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A．B两点到直线CD的距离之和为解：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示，∵OG⊥CD，CD=8cm，∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm，在Rt△OCG中，OC=1 2 AB=5cm，CG=4cm，根据勾股定理得：OG=√OC2-CG2=3cm，又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，∴OG=12（AE+BF），则AE+BF=2OG=6cm．故答案为：6cm．18．一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是平方米．解：过点O作OC∠AB于点C，∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OAB＝＝＝30°，∴AC＝OA•cos30°＝2×＝m，OC＝OA＝×2＝1m，∴AB＝2AC＝2m，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2×1＝﹣．故答案为：﹣．三．解答题19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．解：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝OA＝5，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，∴OE＝＝3，∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．解：作弦AC的垂直平分线交直线CD于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．解：如图：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA-AE=4-2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=12OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF=√OD2-OF2=√15，则CD=2DF=2√15．22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M 是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．解：如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM＝MD．∵CD＝10，∴CM＝5．设OC＝x，则OM＝25﹣x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25﹣x）2＝x2．解得 x＝13．∴⊙O的半径为13．23．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心．AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，∵•AB•AC＝•BC•AH，∴AH＝＝2，∴BH＝＝1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．（2）作DM⊥AC于M．∵S△ACB ＝S△ABD+S△ACD，∴××2＝×2×2+×2×DM，∴DM＝，∴sin∠DAC＝＝＝．24．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．42．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm3．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．204．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为（）A．B．C．1D．25．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（）A．3B．4C．6D．96．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N的坐标是（）A．（2，﹣4）B．（2，﹣4.5）C．（2，﹣5）D．（2，﹣5.5）8．小明想知道一块扇形铁片OAB中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O，A，B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（）A．10cm B．20cm C．D．9．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能二．填空题10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是．11．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O 为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．13．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．14．已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为．15．在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是．三．解答题17．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．18．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．19．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．20．如图1是小明制作的一副弓箭，点A、D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．在自然状态下，弓臂BAC的长为cm；（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓箭B2AC2为半圆，求D1D2的长．21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．22．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？23．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O 为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON 的最小值．24．李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝40cm，BD＝320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？25．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．参考答案一．选择题1．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．2．解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．3．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．4．解：作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB＝QP+PB ＝QB，根据两点之间线段最短，P A+PB的最小值为QB的长度，连接AO，OB，OQ，∵B为中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．∵直径MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝＝．则P A+PB的最小值为．故选：B．5．解：设PC＝r，AO＝R，连接PC，⊙O的弦AB切⊙P于点C，故AB⊥PC，作OD⊥AB，则OD∥PC．又∵AB∥OP，∴OD＝PC＝r，∵阴影部分的面积为9π，∴πR2﹣πr2＝9π，即R2﹣r2＝9，于是AD＝＝3．∵OD⊥AB，∴AB＝3×2＝6．故选：C．6．解：连接OD．由垂径定理得HD＝，由勾股定理得HB＝1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，OH＝R﹣1，DH＝则R2＝（）2+（R﹣1）2，由此得2R＝3，或由相交弦定理得（）2＝1×（2R﹣1），由此得2R＝3，所以AB＝3故选：B．7．解：过点M作MA⊥OP，垂足为A设PM＝x，P A＝x﹣1，MA＝2则x2＝（x﹣1）2+4，解得x＝，∵OP＝PM＝，P A＝﹣1＝，∴OP+P A＝4，所以点N的坐标是（2，﹣4）故选：A．8．解：连接AB，过O作OC⊥AB于C，交于D，则AC＝BC＝AB＝20（cm），OC＝30cm，由勾股定理得：OD＝OA＝＝＝10（cm），∴CD＝OD﹣OC＝（10﹣30）（cm），即的拱高约是（10﹣30）cm，故选：D．9．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．二．填空题10．解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB＝AB＝4，AE＝EF，∴OE是△AFC的中位线，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO＝＝＝5，∴CF＝2OE＝10，故答案为：10．11．解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．12．解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE＝AB＝2cm，DE＝CD﹣CE＝4﹣2＝2cm，∵∠AOD＝90°，AO＝OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO＝OD，∠OAD＝∠ADO＝45°，BO＝CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°∴∠ODC+∠OAB＝90°，∵∠ODC+∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BAO，∵∠B＝∠C＝90°∴△ABO≌△OCD，∴OC＝AB＝2cm，OB＝CD＝4cm，BC＝BO+OC＝AE＝6cm，由勾股定理知，AD2＝AE2+DE2，得AD＝2cm，∴AO＝OD＝2cm，S△AOD＝AO•DO＝AD•OF，∴OF＝cm．13．解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中位线．根据三角形中位线定理，EF＝AB＝×10＝5．14．解：①连接OA，如图所示：∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；②连接OA，如图所示：同①得：OM＝3，∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；综上所述，DM的长为8或2，故答案为：8或2．15．解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．16．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝．故答案为：．三．解答题17．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．18．（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．19．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O 点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．20．解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15，∴B1C1＝30∴弓臂两端B1，C1的距离为30，∴弓臂BAC的长为L扇形B1D1C1＝＝20πcm；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr＝，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2＝＝10∴D1D2＝10﹣10．故答案为30，20π．21．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．∴DM＝DE．∵DE＝8（cm）∴DM＝4（cm）在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），∴OM＝＝＝3（cm）∴直尺的宽度为3cm．22．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，∵要使高为3米的船通过，∴y＝3，则3＝﹣x2+4，解得：x＝±5，∴EF＝10米；（2）设圆半径r米，圆心为W，∵BW2＝BC2+CW2，∴r2＝（r﹣4）2+102，解得：r＝14.5；在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，即GF2＝14.52﹣13.52＝28，所以GF＝2，此时宽度EF＝4米．23．解：（1）消防车不能通过该直角转弯．理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝4，且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4，∴GF＝4﹣4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯；（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，∴OG＝4，OM＝4，∴OF＝ON＝OM﹣MN＝4﹣4，∴FG＝OG﹣OF＝×8﹣（4﹣4）＝8﹣4＜3，∴C、D在上，设ON＝x，连接OC，在Rt△OCG中，OG＝x+3，OC＝x+4，CG＝4，由勾股定理得，OG2+CG2＝OC2，即（x+3）2+42＝（x+4）2，解得x＝4.5．答：ON至少为4.5米．24．解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB＝CD∴ABCD为矩形∴AC＝BD＝320cm，GN＝AB＝CD＝40cm∴AG＝GC＝160cm，设⊙O的半径为R，得R2＝（R﹣40）2+1602，解得R＝340cm，340×2＝680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．25．解：过A、B、C三点作⊙O，连接OB．∵AD垂直平分BC∴点O必在AD上，BD＝CD＝24设⊙O的半径为r，则OD＝48﹣r∵OD2+BD2＝OB2∴（48﹣r）2+242＝r2解得，r＝30∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm．。

2020年春北师大版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理同步练习题一、选择题1.下列说法正确的是（）A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 直径是同一个圆中最长的弦D. 过三点能确定一个圆2.如图，一圆弧形钢梁的拱高CD为8m，跨径AB为40m，则这钢梁圆弧的半径是（）A. 28mB. 29mC. 30mD. 31m3.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A. 17cmB. 7cmC. 12cmD. 17cm或7cm4.下列下列说法中，正确的是（）A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心5.如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD 的边长为( )A. 4B. 3C. 5D. 76.下列说法正确的是（）A. 与圆有公共点的直线是圆的切线B. 过三点一定可以作一个圆C. 垂直于弦的直径一定平分这条弦D. 三角形的外心到三边的距离相等7.数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C 放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O 的半径为（）A. 3厘米B. 厘米C. 厘米D. 2厘米8.在⊙O 中,P是⊙O内一点，过点P最短和最长的弦分别为6和10，则经过点P且长度为整数的的弦共有（）条。

A. 5B. 8C. 10D. 无数条9.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为( )A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm10.已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题11.如图，M是弦AB（非直径）的中点，弦CD与弦AB相交于点M．当________ 时，CD⊥AB（只需填一个符合要求的答案）．12.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________ cm．13.如图，⊙O的直径AB=6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且AP∶BP=2∶1，则CD长为________ .14.点P为⊙O内一点，若⊙O 的直径是10，OP= 4，则过点P的最短的弦长是________ ．15.如图将半径为4米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________ 米．16.⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD 之间的距离________．17.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为4，圆心P坐标是（4，a）（a＞4），函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为4 ，则a的值是________．三、解答题18.⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm．求AB和CD 之间的距离．19.如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．20.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．。

圆与三角函数1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．3．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．6．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．7．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．10．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N 点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．13．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．15．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．16．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．17．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF 的值．20．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH 的值．2018年01月10日金博初数2的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．【分析】（1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC 是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△EOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA•EC=EB•ED；（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径，∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△DAB．∴，故CF•AD=BD•BC．∴AC•AD=2BD•BC；（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．【分析】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．【解答】（1）证明：∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠PBF=∠CFB，由（1）知∠OBD=∠CBF，∴∠PBF+∠OBD=90°，∴∠OBP=90°，∴PB是⊙O的切线；（3）解：连结AD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，∴cos∠ABC===，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，∴==，==，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt △DBP 中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt △DEP 中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP ⊥BC ，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE ∽△ACE ，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE ∽△AFD ，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S △BDF ﹣S 弓形BD =S △BDF ﹣（S 扇形BOD ﹣S △BOD ）进行计算；（3）连结CD ，如图2，由=可设AB=4x ，AC=3x ，设BF=y ，由=得到CD=BD=2，先证明△BFD ∽△CDA ，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB ∽△FAD ，利用相似比得到16﹣4y=xy ，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．【解答】证明：（1）连结OD ，如图1，∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，∴∠BAD=∠CAD ，∴=，∴OD ⊥BC ，∵BC ∥EF ，∴OD ⊥DF ，∴DF 为⊙O 的切线；（2）连结OB ，连结OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如图1，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=BD=，PB=PD=3，在Rt △DEP 中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3， ∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=1：，∴AE=∵BE ∥DF ，∴△ABE ∽△AFD ，∴=，即=，解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=BD=，∴S 阴影部分=S △BDF ﹣S 弓形BD=S △BDF ﹣（S 扇形BOD ﹣S △BOD ）=•12•﹣+•（2）2=9﹣2π；（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即=r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．…（5分）（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BC•tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC•tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE中，CE==，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3解得：r=方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．【分析】（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED 的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．9．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABF=∠D，∵∠ABF=∠GBE，∴∠GBE=∠EBC，即BE平分∠GBC；（2）证明：如图2，连接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵∠M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴=，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO=，过点H作HN⊥AB，垂足为点N，∵tanD=，AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===，∴AB==10a，∴NB=6a，∴tan∠ABH===，过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，∴OP=a，∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，∴25a2+a2=，∴解得：a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结AC、BC、OG，由sinB=，求出OG，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．【解答】（1）证明：连结OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂径定理知：BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中，CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D=，∴=，∴=；（3）由（2）可知：=，∴设AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2=AE•AD，∴（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△OFB∽△ACB，∴=，设BF=a，∴BC=，∴BO=BC﹣OC=﹣3，在Rt△BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得：a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则AC=2，由AC2=AD×AE∴20=AD（AD+1）∴AD=4或﹣5（舍去）∵DC2=AC2﹣AD2∴DC=2，∴tan∠ABD=tan∠ACD==2；方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴=，∴DC2=AD•DE∵AC=2DE，∴设DE=x，则AC=2x，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（2x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣5x（负数舍去），则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD===2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．。

2020年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（）A．1B．2C．D．3．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（）A．2B．4C．2D．44．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．5．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8B．16 C．32D．326．已知：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（）A．3B．4C．3D．47．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（）A．2B．C．D．3+8．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．410．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m二．填空题（共5小题）11．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是cm．12．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝m．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为．14．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为米．15．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升三．解答题（共6小题）16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．17．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．19．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．20．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．21．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为米．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm．在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝＝（cm），∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故选：D．2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（）A．1B．2C．D．【分析】连接BC，作OE⊥AC于E．根据勾股定理求出BC，利用三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：连接BC，作OE⊥AC于E．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2，∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AO＝OB，∴OE＝BC＝，故选：C．3．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（）A．2B．4C．2D．4【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．∵OD⊥AB，AB＝4，∴AD＝AB＝2，由折叠得：OD＝AO，设OD＝x，则AO＝2x，在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，（2）2+x2＝（2x）2，x＝2，∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；故选：B．4．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．5．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8B．16 C．32D．32【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH＝OA，推出△AOD 是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．【解答】解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH＝OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，∴四边形ABCD的面积是16，故选：B．6．已知：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（）A．3B．4C．3D．4【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝3故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（）A．2B．C．D．3+【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．【解答】解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝＝＝1，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：D．8．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选：A．二．填空题（共5小题）11．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是cm．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，解得，OB＝，则EC＝AC﹣AE＝9，BC＝＝＝3，∵OF⊥BC，∴CF＝BC＝，∴OF＝＝＝（cm），故答案为．12．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝10m．【分析】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解答】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为2．【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：214．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为0.5米．【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知AB⊥OC，AD＝BD＝AB＝1.5米．再根据勾股定理求得OD即可．【解答】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心由垂径定理知：AB⊥OC，AD＝BD＝AB＝1.5米，在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD＝＝2（米），∴CD＝OC﹣OD＝2.5﹣2＝0.5（米）；故答案为0.5．15．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升10cm或70cm【分析】本题实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G，∵AB＝6分米，∴AG＝AB＝3分米，∵油槽直径MN为10分米．∴OA＝5分米，∴OG═4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米，即10cm；当油面超过圆心O时，油上升了7分米，即70cm．故答案为：10cm或70cm．三．解答题（共6小题）16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．【分析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP＝PD，∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB＝，∴PD＝＝，∴CD＝2PD＝2（cm）．17．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）【分析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6，OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．【分析】（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，根据角的平分线的性质得出OE＝OD＝OC，进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND得出ME ＝ND，然后根据垂径定理即可证得结论；（2）根据角平分线的性质，得出OM＝ON＝OH，进一步证得四边形ONCH是正方形，证得OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，进而证得OH＝CD＝2，EF＝CD＝CG＝4，AC＝6，设BM＝BH＝x，则BC＝x+2，AB＝x+4，然后根据勾股定理列出方程，求得即可．【解答】（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON，∵OE＝OD＝OC，∴RT△OME≌RT△OND（HL），∴ME＝ND，∵EF＝2ME，CD＝2ND，∴CD＝EF；（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON＝OH，∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCH是正方形，∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，∵OC＝4，∴OH＝OC＝4，∴EF＝CD＝CG＝8，易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，∴AC＝10，设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，解得x＝20，∴BM＝20，∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．19．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值．【解答】解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，20．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．【分析】（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH即可解决问题；（2）作DM⊥AC于M．利用面积法求出DM即可解决问题；【解答】解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，∵•AB•AC＝•BC•AH，∴AH＝＝2，∴BH＝＝1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．（2）作DM⊥AC于M．∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，∴××2＝×2×2+×2×DM，∴DM＝，∴sin∠DAC＝＝＝．21．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为10米．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即桥拱的半径为50米；（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示则MH＝NH＝MN＝30，∴EH＝＝40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案为：10．。

初三数学圆垂径定理的练习题初三数学-圆垂径定理的练习题题一：在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为O(0, 0)，半径为r，点A(a, 0)和点B(0, b)分别是圆上的两个点。

证明：OA⊥OB（即向量OA与向量OB垂直）。

解题思路：要证明向量OA与向量OB垂直，可以利用向量的数量积来进行推导。

首先，根据向量的定义和坐标表示，得到向量OA为OA(a, 0)和向量OB为OB(0, b)。

然后，根据向量的数量积公式有向量OA·向量OB= a·0 + 0·b = 0。

当两个向量的数量积等于0时，可判定这两个向量垂直。

因此，OA⊥OB。

题二：在平面直角坐标系中，已知圆C的直径AB的端点分别为A(3, 4)和B(-5, -12)。

求证：直径AB的中点O在圆C上。

解题思路：根据圆的直径定义，直径AB的中点O为AB的中点。

假设O的坐标为(x₀, y₀)，则中点O的横坐标为(x₁+x₂)/2，纵坐标为(y₁+y₂)/2。

代入A(3, 4)和B(-5, -12)的坐标可得：(x₀, y₀) = ((3-5)/2, (4-12)/2)简化可得，(x₀, y₀) = (-1, -4)。

对比圆心O的坐标和中点O的坐标，可发现它们是相等的，即坐标值完全相同。

所以，可以证明直径AB的中点O在圆C上。

题三：在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为O(2, 3)，点A(6, 1)是圆上的一个点。

设点B(x, y)是圆C上一点，且OA⊥OB。

求点B的坐标。

解题思路：根据题意，需要找到一个点B(x, y)在圆C上，并满足OA⊥OB。

根据圆垂径定理，垂直于直径的线段必然经过圆心。

首先，根据圆心坐标O(2, 3)和点A(6, 1)，可以求得向量OA的坐标差为(6-2, 1-3) = (4, -2)。

根据OA⊥OB，可知向量OA和向量OB的数量积为0，即(4, -2)·(x-2, y-3) = 4(x-2) - 2(y-3) = 0。

3.3垂径定理同步习题一．选择题1．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（）A．cm B．3cm C．cm D．cm2．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或120°3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（﹣3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝﹣x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．4．如图，M是以AB为直径的半圆⊙O的内接四边形ABCD边CD的中点，MN⊥AB于点N，半圆的面积为π，AD＝AN＝3，则BC＝（）A．4B．5C．6D．75．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3B．4C．5D．2.56．如图，将沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（）A．B．C．D．7．如图，在半圆O中，AB为直径，CD是一条弦，若△COD的最大面积是12.5，则弦CD的值为（）A．B．5C．5D．12.58．如图，在⊙O中直径AB＝8，弦AC＝CD＝2，则BD长为（）A．7B．6C．3D．9．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠P AB的大小为（）A．15°B．20°C．25°D．30°10．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一动点，作DE⊥AB于点C，交⊙O于点E，过点D作直线EB的垂线，垂足为点F．若AB＝20，EF＝3BF，则AC的长度可能为（）A．B．5C．15D．18二．填空题11．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝．12．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O 交于点D，DC的长为．13．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是．14．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD＝4，BD＝5，则OA的长度为．15．如图，在⊙O中，AB是直径，弦BE的垂直平分线交⊙O于点C，CD⊥AB于D，AD＝1，BE＝6，则BD的长为．三．解答题16．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．参考答案一．选择题1．解：过O作OC⊥AB于C，则∠OCP＝∠ACO＝90°，∵OC⊥AB，OC过O，∴AC＝BC＝AB＝×8cm＝4cm，∵BP＝2cm，∴PC＝BC+BP＝6cm，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm），在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝＝＝3（cm），故选：D．2．解：如图所示，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，∴sin∠AOD＝＝，又∵∠AOD为锐角，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，又∵圆内接四边形AEBC对角互补，∴∠AEB＝120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°．故选：C．3．解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图：∵⊙P的圆心坐标是（﹣3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝﹣x得：y＝﹣3，∴D点坐标为（3，﹣3），∴CD＝OC＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠CDO＝45°，∵PE⊥AB，∴△PED为等腰直角三角形，AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝＝1，∴PD＝PE＝，∴PC＝CD+PD＝3+，即a＝3+，故选：B．4．解：作DE⊥AB于E，OF⊥AD于F，CP⊥AB于P，连接OC，如图所示：则AF＝DF＝AD＝，∵MN⊥AB，∴DE∥MN∥CP，∵M是CD的中点，∴EN＝PN，∵半圆的面积为π＝π×OA2，∴OA＝5，∵∠DEA＝∠OF A＝90°，∠DAE＝∠OAF，∴△ADE∽△AOF，∴＝＝，∴AE＝AF＝×＝，∴PN＝EN＝AN﹣AE＝3﹣＝，∴P A＝AE+EN+PN＝，∴OP＝P A﹣OA＝，BP＝OB﹣OP＝，∵CP⊥AB，∴CP2＝OC2﹣OP2＝BC2﹣BP2，即52﹣（）2＝BC2﹣（）2，解得：BC＝7；故选：D．5．解：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，∴OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OC＝，∵OA＝OE，AC＝CB，∴BE＝2OC＝3，故选：A．6．解：过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，∵OF＝OA，∴∠AOF＝∠BOF＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，∴∠CDB＝∠ACB＝60°，∴△CDB为等边三角形，∵CD＝2，∴DE＝1，BE＝，∴AB＝＝＝，故选：D．7．解：如图，作DH⊥CO交CO的延长线于H．∵S△COD＝•OC•DH，∵DH≤OD，∴当DH＝OD时，△COD的面积最大，此时△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°，∴CD＝OC，∵•OC2＝12.5，∴OC＝5，∴CD＝5．故选：C．8．解：如图，连接OC，AD，AD交OC于E．作OH⊥AC于H．∵AC＝CD，∴＝，∴OC⊥AD，∴DE＝AE，∵OA＝OB，∴BD＝2OE，∵OC＝OA＝4，OH⊥AC，∴HC＝AH＝1，∴OH＝＝，∵•AC•OH＝•OC•AE，∴AE＝，∴OE＝＝，∴BD＝2OE＝7，故选：A．9．解：连接OB，∵四边形ABCO是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OP⊥AB，∴∠BOP＝∠AOB＝30°，由圆周角定理得，∠P AB＝∠BOP＝15°，故选：A．10．解：设AC＝x，EF＝y，在Rt△ODC中，CE＝CD＝＝．在Rt△BEC中，BE＝．∵DF⊥EB，∴cos∠E＝，∴，∴y与x之间的函数解析式为y＝．①当点F在线段EB上时（图1），∵EF＝3BF，∴EF＝BE，得＝×，解得x1＝20（不符合题意），x2＝．②当点F在线段EB的延长线上时（如图2），同理，BE＝，EF＝∵EF＝3BF，∴EF＝BE，得＝×，解得x1＝20（不符合题意），x2＝15．∴线段AC的长为或15．故选：C．二．填空题11．解：∵CE＝2，DE＝6，∴CD＝DE+CE＝8，∴OD＝OB＝OC＝4，∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，∵CD⊥AB，CD过O，∴AE＝BE＝2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，故答案为：4．12．解：延长DC交⊙O于点E．∵OC⊥DE，∴DC＝CE，∵AC•CB＝DC•CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），∴DC2＝2×4＝8，∵DC＞0，∴DC＝2，故答案为2．13．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．故答案是：121°．14．解：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴CH＝HD，AB⊥CD，∴∠BHD＝90°，∵HD＝4，BD＝5，∴BH＝3，设OA＝x，连接OD，可得：x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝，即OA＝，故答案为：．15．解：弦BE的垂直平分线交BE于点F．∴BF＝BE＝3，∠BFO＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ODC＝∠BFO＝90°，∵OB＝OC，∠BOF＝∠COD，∴△BOF≌△COD（AAS），∴CD＝BF＝3，设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣1，由勾股定理得：OC2＝OD2+CD2，r2＝（r﹣1）2+32，r＝5，∴BD＝AB﹣1＝2×5﹣1＝9，故答案为：9．三．解答题16．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，∵•AB•AC＝•BC•AH，∴AH＝＝2，∴BH＝＝1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．（2）作DM⊥AC于M．∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，∴××2＝×2×2+×2×DM，∴DM＝，∴sin∠DAC＝＝＝．17．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．18．（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON，∵OE＝OD＝OC，∴RT△OME≌RT△OND（HL），∴ME＝ND，∵EF＝2ME，CD＝2ND，∴CD＝EF；（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON＝OH，∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCH是正方形，∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，∵OC＝4，∴OH＝OC＝4，∴EF＝CD＝CG＝8，易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，∴AC＝10，设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，解得x＝20，∴BM＝20，∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．。

3.3垂径定理一、夯实基础1．下列语句中，不正确的个数是 ( )①弦是直径②半圆是弧③长度相等的弧是等弧④经过圆内一点可以作无数条直径A．1 B．2 C．3 D．42．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 ( )A．80°B．160° C．100°D．80°或100°3. 如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40°B．45° C．50°D．60°4.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（)A．35°B．45°C．55°D．75°5.如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝8，则OP的长为 ( )A．3 B．4 C．3 2 D．4 26.如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 2cm二、能力提升7.（2016·贵州安顺·4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．8.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．9．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．10．当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为________cm.11．（2014•湖南张家界，第16题，3分）如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值为．12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连接BE 、AD 交于点P.求证：(1)D 是BC 的中点； (2)△BEC∽△ADC.13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⌒BD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F.求证：CF ＝BF.三、课外拓展14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.15. 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8 m，罐底最低点到地面CD距离为1 m．设油罐横截面圆心为O，半径为5 m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin 53°≈0.8，tan 56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)四、中考链接1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．112. （2016·陕西·3分）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6答案1、解析：直径是弦，但弦不一定是直径故①不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故②正确，等弧是能够重合的弧故③不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故④不正确。

*3垂径定理测试时间:25分钟一、选择题1.一块圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,则选择的是()A.①B.②C.③D.④2.如图,☉O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为()A.2B.3C.4D.53.(2018甘肃天水模拟)如图,AB是☉O的直径,AB⊥CD于E,AB=10,CD=8,则BE为()A.2B.3C.4D.3.54.(2019山东滨州模拟)如图,某下水道的横截面是圆形的,水面CD的宽度为2 m,F是线段CD 的中点,EF经过圆心O,交☉O于点E,EF=3 m,则☉O的直径为()A.4 mB.53m C.43m D.103m15.(2018江苏南京建邺一模)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4 cm,则球的半径长是()A.2 cmB.2.5 cmC.3 cmD.4 cm二、填空题6.如图,在☉O中,半径为13,弦AB的长为24,那么圆心O到AB的距离为.7.如图,已知直线AB与☉O相交于A、B两点,∠OAB=30°,半径OA=2,那么弦AB的长为.8.☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是.三、解答题9.如图,AB是☉O的直径,CB是弦,OD⊥CB于E,交劣弧CB于D,连接AC.(1)请写出两个不同的正确结论;(2)若CB=8,ED=2,求☉O的半径.210.赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1 400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙,如图,桥跨度AB约为40米,主拱高CD约为10米.(1)尺规作图,找到桥拱所在圆的圆心O(保留作图痕迹);(2)求桥拱AB所在圆的半径.34*3 垂径定理测试时间:25分钟一、选择题1.答案 B 第②块有一段完整的弧,可在这段弧上任取三点作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,它们的交点即为圆心,进而可得半径.故选B.2.答案 A 当OM ⊥AB 时,OM 最短,由垂径定理及勾股定理可得OM 最小为3,所以OM 不可能为2.3.答案 A 连接OC,如图,∵AB 是☉O 的直径,AB=10,∴OC=OB=12AB=5.又∵AB ⊥CD 于E,CD=8,∴CE=12CD=4(垂径定理).在Rt △COE 中,OE=√OC 2-CE 2=3(勾股定理),∴BE=OB -OE=5-3=2.故选A. 4.答案 D 如图,连接OC,∵F 是弦CD 的中点,EF 过圆心O, ∴EF ⊥CD.∴CF=FD. ∵CD=2 m,∴CF=1 m, 设OC=x m,则OF=(3-x)m,在Rt △COF 中,根据勾股定理,得12+(3-x)2=x 2.5解得x=53,∴☉O 的直径为103m.故选D.5.答案 B 如图,设EF 的中点为M,作MN ⊥BC 于点N,球心为O,由题意知,球心O 在MN 上,连接OF,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠C=∠D=90°, ∴四边形CDMN 是矩形,∴MN=CD=4 cm,设OF=x cm,则ON=OF=x cm,OM=MN -ON=(4-x)cm, 在直角三角形OMF 中,OM 2+MF 2=OF 2,MF=2 cm, ∴(4-x)2+22=x 2,解得x=2.5,故选B.二、填空题6.答案 5解析 如图,连接OB,过点O 作OC ⊥AB 于点C,则AC=BC=12. 由勾股定理得OC 2=OB 2-BC 2,而OB=13,BC=12,∴OC=5,故答案为5.7.答案 2√3解析 如图,过O 作OC ⊥AB 于C,则AB=2AC,∠OCA=90°,在Rt △AOC 中,OA=2,∠OAC=30°,∴OC=1,由勾股定理得AC=√OA 2-OC 2=√22-12=√3,∴AB=2AC=2√3.。

课时作业(二十一)[第三章 *3 垂径定理]一、选择题1．如图K －21－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图K －21－1A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD2．如图K －21－2，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是链接听课例1归纳总结( )图K －21－2A ．4B ．6C ．8D ．10 3．绍兴是著名的桥乡，如图K －21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为()链接听课例3归纳总结图K －21－3A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m4．2018·临安区如图K －21－4，⊙O 的半径OA ＝6，以A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图K－21－4A．6 3 B．6 2 C．3 3 D．3 25．如图K－21－5，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，⊙O的直径为2分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()图K－21－5A.2πB.π9C.12πD．2π6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA 长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )图K－21－6A.95B.215C.185D.527．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB ＝8 cm，则AC的长为()A．2 5 cm B．4 5 cmC．2 5 cm或4 5 cm D．2 5 cm或4 3 cm二、填空题8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10 cm，最短的弦长为8 cm，那么OM的长为________．9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P 与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为________．图K－21－710.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．图K－21－811．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为________.链接听课例1归纳总结图K－21－912．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.链接听课例3归纳总结图K－21－10三、解答题13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5 3，求弦CD的长及圆O的半径.链接听课例1归纳总结图K－21－1114．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB ＝CD .图K －21－1215．一个半圆形桥洞截面如图K －21－13所示，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝16 m ，OE ⊥CD 于点E .已测得sin ∠DOE ＝45.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？链接听课例3归纳总结图K －21－13探索存在题如图K －21－14，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是弧AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K －21－14详解详析【课时作业】[课堂达标] 1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4， ∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] D 连接OA ，∵桥拱半径OC 为5 m ，∴OA ＝5 m ．∵CD ＝8 m ，∴OD ＝8－5＝3(m)，∴AD ＝OA 2－OD 2＝4 m ，∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(m)．4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，∴OD ＝AD ＝3，在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] A6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如图(1)所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝3 cm ，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝4 5(cm)．当点C 的位置如图(2)所示时，同理可得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝2 5(cm)．综上所述，AC 的长为4 5 cm 或2 5 cm.故选C.8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 最长的弦，CD 为过点M 最短的弦，连接OD ，则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)． 9．[答案] (3，2)[解析] 过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP . ∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝3.在Rt △OPD 中，∵OP ＝13，OD ＝3，∴PD ＝OP 2－OD 2＝（13）2－32＝2，∴P (3，2)．10．[答案] 6[解析] 由AB ，AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，根据垂径定理可知M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴BC ＝2MN ＝6.11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1，在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3，∴AB ＝2AD ＝2 3.故答案为2 3. 12．[答案] 25[解析] 如图，设圆的圆心为O ，连接OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R cm.由题意得OC ⊥AB ，∴AD ＝DB ＝12AB ＝20 cm.在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝90°，∴OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25.故答案为25.13．解：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接OD ， ∵∠CEA ＝30°，∴∠OEM ＝∠CEA ＝30°. 在Rt △OEM 中，∵OE ＝4，∴OM ＝12OE ＝2，EM ＝OE ·cos30°＝4×32＝2 3.∵DE ＝5 3，∴DM ＝DE －EM ＝3 3.∵OM 过圆心，OM ⊥CD ，∴CD ＝2DM ＝6 3. ∵在Rt △DOM 中，OM ＝2，DM ＝3 3， ∴OD ＝OM 2＋DM 2＝22＋（3 3）2＝31.故弦CD 的长为6 3，⊙O 的半径为31.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM ＝ON .在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， OM ＝ON ，OB ＝OC ，∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ，∴BM ＝CN . ∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ，∴AB ＝CD .15．[解析] (1)由OE ⊥CD ，根据垂径定理求出DE ，解Rt △DOE 可求半径OD ；(2)在Rt △DOE 中，由勾股定理求出OE ，再用OE 除以水面下降的速度，即可求出时间． 解：(1)∵OE ⊥CD 于点E ，CD ＝16 m ， ∴ED ＝12CD ＝8 m.在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE ＝ED OD ＝45，∴OD ＝10 m.(2)在Rt △DOE 中，OE ＝OD 2－ED 2＝102－82＝6(m)，6÷0.5＝12(时)，故水面以每小时0.5 m 的速度下降，经过12小时才能将水排干．[素养提升][解析] (1)根据垂径定理可得BD ＝12BC ，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD 的长；(2)连接AB ，如图，利用勾股定理可求出AB 的长，根据垂径定理可得D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE ＝12AB ，即DE 的长度保持不变．解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4， 即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．连接AB ，如图，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。

*2020年春北师大版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理练习1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.。

九年级数学第三章同步练习*3.3 垂径定理1．如图 ，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC ，DB.则下列结论错误的是( )A .AD ︵＝BD ︵B ．AF ＝BFC ．OF ＝CFD .AC ︵＝BC ︵ 2．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )A ．4B ．6C ．8D ．103．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图4．在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面AB ＝160 cm ，则油的最大深度为( )A ．40 cmB ．60 cmC ．80 cmD ．100 cm5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：如果CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，那么直径CD 为多少寸？请你求出CD 的长．6．如图所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C ，D 是AB 上的两点，且AC ＝BD.求证：OC ＝OD.7．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果将一个直径为10 mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8 mm (如图)，求此小孔的直径d.8．如图，AB 是⊙O 的直径，CM ＝DM ，下列结论不成立的是( )A ．AB ⊥CD B ．CB ＝DBC ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD 9．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝42°，D 是弦AC 的中点，则∠DOC的度数是________°.10．图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木桩，使得AB ︵＝BC ︵，并测得点B 到AC 的距离为15米，AC 的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心、CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( ) A .95 B .215 C .185 D .5212．已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm13．如图 ，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰三角形ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( ) A ．6 B ．13 C .13 D ．213第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长． 16．如图所示，隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12 m ，宽AB 为3 m ，隧道的顶端E(圆弧AED 的中点)高出道路(BC)7 m . (1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m ，宽2.3 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？详解1．C [解析] ∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为F ，∴AD ︵＝BD ︵，AC ︵＝BC ︵，∴F 为AB 的中点，即AF ＝BF ，故选项A ，B ，D 正确；而OF 与CF 不一定相等．故选C.2．C [解析] 连接OA ，如图．∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3， ∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4， ∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．C [解析] 当M 是AB 的中点时，OM 的长最小．此时OM ⊥AB ，连接OA ，则OM ＝52－32＝4.当M 与点A 或点B 重合时，OM 的长最大为5.因此4≤OM ≤5，只有C 项符合．4．A5．解：设CD ＝2x 寸，则半径OC ＝x 寸．∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，AB ＝10寸， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)，连接OA ，则OA ＝x 寸，根据勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2， 解得x ＝13，∴CD ＝2x ＝2×13＝26(寸)．6．证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE ＝BE . 又∵AC ＝BD ，∴CE ＝DE ， ∴OE 是CD 的中垂线， ∴OC ＝OD .7．解：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点C ，连接OB .由垂径定理，得CD 垂直平分AB . ∴CD ＝h ＝8 mm ，OD ＝CD －CO ＝3 mm.在Rt △ODB 中，BD 2＝OB 2－OD 2，即BD 2＝52－32， ∴BD ＝4(mm)，∴AB ＝2BD ＝8 mm. 答：此小孔的直径d 为8 mm.8．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，CM ＝DM ，∴CD ⊥AB ，CB ︵＝DB ︵，∴CB ＝DB .∵AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，而推不出OM 与MD 相等．故选D.9．48 [解析] ∵AD ＝CD ，∴OD ⊥AC ，∴∠CDO ＝90°，∴∠DOC ＋∠ACO ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝42°，∴∠DOC ＝90°－∠A ＝48°.10．解：设点O 为圆心，连接半径OA ，OB ，设OB 交AC 于点D . ∵AB ︵＝BC ︵，∴OB ⊥AC ，AD ＝CD ＝30米． 设OA ＝x 米，则OD ＝(x －15)米． 在Rt △AOD 中，有x 2－(x －15)2＝302， 解得x ＝37.5.故人工湖的半径为37.5米． 11．C12．C [解析] 连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如图(1)所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝3 cm ，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝4 5(cm)．当点C 的位置如图(2)所示时，同理可得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝2 5(cm)．故选C.13．C14．7 2 [解析] A ，B 两点关于MN 对称，因而P A ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B ，C ，P 在一条直线上时，P A ＋PC 的值最小，即BC 的长就是P A ＋PC 的最小值．作BH ⊥CD 交CD 的延长线于点H .易求BH ＝EF ＝7，CH ＝7，则BC ＝7 2.15．解：如图，过点O 作OP ⊥CD 于点P ，连接OC ，则CD ＝2CP .∵AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，∴AB ＝8 cm ， ∴OB ＝OC ＝4 cm ， ∴OE ＝4－2＝2(cm)． 在Rt △OPE 中，∵∠CEA ＝30°，∴OP ＝12OE ＝1 cm.在Rt △COP 中，CP ＝42－12＝15(cm)， ∴CD ＝2CP ＝215 cm.16．解：(1)设圆心为点O ，半径为R m ，连接OE 交AD 于点F ，连接OA ，OD ，由垂径定理的逆定理，得OF 垂直平分AD ，AF ＝6 m ，OF ＝R －(7－3)＝(R －4)m. 由勾股定理，得 AF 2＋OF 2＝OA 2， 即62＋(R －4)2＝R 2，解得R＝6.5，即圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.(2)能通过．理由如下：GH＝2.3 m，圆的半径OH＝6.5 m，由勾股定理，得OG＝ 6.52－2.32≈6.08(m)，点G与BC的距离约为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5 m，故这辆货运卡车能通过该隧道．。