北师大九年级下册数学同步测试：33垂径定理.docx

北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理（含答案）一、选择题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．CM ＝DMB.CB ︵＝DB ︵ C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MB2．如图2所示，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )图2A ．4B ．6C ．8D ．103．一块圆形宣传标志牌如图3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB ＝8 dm ，DC ＝2 dm ，则圆形标志牌的半径为( )图3A ．6 dmB ．5 dmC ．4 dmD ．3 dm4．如图4，⊙O 的半径OA ＝6，以点A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图5，⊙O 的半径为10，M 是弦AB 的中点，且OM ＝6，则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A ．8B ．10C ．12D ．166．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527．已知⊙O 的半径为15，弦AB 的长为18，点P 在弦AB 上且OP ＝13，则AP 的长为( ) A ．4 B ．14C ．4或14D ．6或14二、填空题8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OM 的长为________．9．如图7所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝2 3，则⊙O 的半径是________．图710.如图8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图811．如图9所示，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912．如图10，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，4)，N(0，－2)，则点P的坐标为________．图10三、解答题13．如图11，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长.图1114．如图12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图1215．如图13，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图13附加题探索存在题如图14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图14参考答案1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4，∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] B 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm.设⊙O 的半径为r dm ，则OD ＝(r －2)dm ，由勾股定理得42＋(r －2)2＝r 2，解得r ＝5.故选B.4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，BC ＝2BD ，BC ⊥OA ，∴OD ＝AD ＝3.在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] D6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝9，则OC ＝OA 2－AC 2＝12.又∵OP ＝13，∴PC ＝OP 2－OC 2＝5. 当点P 在线段AC 上时，AP ＝9－5＝4； 当点P 在线段BC 上时，AP ＝9＋5＝14. 故选C. 8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 的最长的弦，CD 为过点M 的最短的弦，CD ⊥AB ，连接OD ， 则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)．9．[答案] 2[解析] 如图，连接OC ，则OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COH ＝60°. ∵OB ⊥CD ，CD ＝2 3，∴CH ＝3， ∴OH ＝1，∴OC ＝2. 10．[答案] 0.8[解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA .由题意知，OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 故答案为0.8. 11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA . ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3， ∴AB ＝2AD ＝2 3. 故答案为2 3. 12．[答案] (－4，1)13．解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，连接OD ，∴F 为CD 的中点，即CF ＝DF . ∵AE ＝2，EB ＝6， ∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8， ∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2. 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15， 则CD ＝2DF ＝2 15.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMB ＝∠ONC ＝90°，OM ＝ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ， ∴BM ＝CN .∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ， ∴AB ＝CD .15．解：(1)如图，连接OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点． ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r m ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ，N (N 在M 的右边)，连接ON ，设MN 交CO 于点E . ∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面2 m ， ∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE ＝OC －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt △OEN 中，根据勾股定理，得EN ＝ON 2－OE 2＝ 3.92－3.52＝ 2.96≈1.72(m)， ∴MN ＝2EN ≈3.44 m ＞3 m ， ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 附加题解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，∵OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．42．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm3．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．204．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为（）A．B．C．1D．25．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（）A．3B．4C．6D．96．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N的坐标是（）A．（2，﹣4）B．（2，﹣4.5）C．（2，﹣5）D．（2，﹣5.5）8．小明想知道一块扇形铁片OAB中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O，A，B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（）A．10cm B．20cm C．D．9．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能二．填空题10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是．11．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O 为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．13．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．14．已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为．15．在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是．三．解答题17．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．18．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．19．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．20．如图1是小明制作的一副弓箭，点A、D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．在自然状态下，弓臂BAC的长为cm；（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓箭B2AC2为半圆，求D1D2的长．21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．22．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？23．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O 为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON 的最小值．24．李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝40cm，BD＝320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？25．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．参考答案一．选择题1．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．2．解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．3．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．4．解：作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB＝QP+PB ＝QB，根据两点之间线段最短，P A+PB的最小值为QB的长度，连接AO，OB，OQ，∵B为中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．∵直径MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝＝．则P A+PB的最小值为．故选：B．5．解：设PC＝r，AO＝R，连接PC，⊙O的弦AB切⊙P于点C，故AB⊥PC，作OD⊥AB，则OD∥PC．又∵AB∥OP，∴OD＝PC＝r，∵阴影部分的面积为9π，∴πR2﹣πr2＝9π，即R2﹣r2＝9，于是AD＝＝3．∵OD⊥AB，∴AB＝3×2＝6．故选：C．6．解：连接OD．由垂径定理得HD＝，由勾股定理得HB＝1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，OH＝R﹣1，DH＝则R2＝（）2+（R﹣1）2，由此得2R＝3，或由相交弦定理得（）2＝1×（2R﹣1），由此得2R＝3，所以AB＝3故选：B．7．解：过点M作MA⊥OP，垂足为A设PM＝x，P A＝x﹣1，MA＝2则x2＝（x﹣1）2+4，解得x＝，∵OP＝PM＝，P A＝﹣1＝，∴OP+P A＝4，所以点N的坐标是（2，﹣4）故选：A．8．解：连接AB，过O作OC⊥AB于C，交于D，则AC＝BC＝AB＝20（cm），OC＝30cm，由勾股定理得：OD＝OA＝＝＝10（cm），∴CD＝OD﹣OC＝（10﹣30）（cm），即的拱高约是（10﹣30）cm，故选：D．9．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．二．填空题10．解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB＝AB＝4，AE＝EF，∴OE是△AFC的中位线，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO＝＝＝5，∴CF＝2OE＝10，故答案为：10．11．解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．12．解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE＝AB＝2cm，DE＝CD﹣CE＝4﹣2＝2cm，∵∠AOD＝90°，AO＝OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO＝OD，∠OAD＝∠ADO＝45°，BO＝CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°∴∠ODC+∠OAB＝90°，∵∠ODC+∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BAO，∵∠B＝∠C＝90°∴△ABO≌△OCD，∴OC＝AB＝2cm，OB＝CD＝4cm，BC＝BO+OC＝AE＝6cm，由勾股定理知，AD2＝AE2+DE2，得AD＝2cm，∴AO＝OD＝2cm，S△AOD＝AO•DO＝AD•OF，∴OF＝cm．13．解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中位线．根据三角形中位线定理，EF＝AB＝×10＝5．14．解：①连接OA，如图所示：∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；②连接OA，如图所示：同①得：OM＝3，∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；综上所述，DM的长为8或2，故答案为：8或2．15．解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．16．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝．故答案为：．三．解答题17．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．18．（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．19．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O 点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．20．解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15，∴B1C1＝30∴弓臂两端B1，C1的距离为30，∴弓臂BAC的长为L扇形B1D1C1＝＝20πcm；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr＝，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2＝＝10∴D1D2＝10﹣10．故答案为30，20π．21．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．∴DM＝DE．∵DE＝8（cm）∴DM＝4（cm）在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），∴OM＝＝＝3（cm）∴直尺的宽度为3cm．22．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，∵要使高为3米的船通过，∴y＝3，则3＝﹣x2+4，解得：x＝±5，∴EF＝10米；（2）设圆半径r米，圆心为W，∵BW2＝BC2+CW2，∴r2＝（r﹣4）2+102，解得：r＝14.5；在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，即GF2＝14.52﹣13.52＝28，所以GF＝2，此时宽度EF＝4米．23．解：（1）消防车不能通过该直角转弯．理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝4，且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4，∴GF＝4﹣4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯；（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，∴OG＝4，OM＝4，∴OF＝ON＝OM﹣MN＝4﹣4，∴FG＝OG﹣OF＝×8﹣（4﹣4）＝8﹣4＜3，∴C、D在上，设ON＝x，连接OC，在Rt△OCG中，OG＝x+3，OC＝x+4，CG＝4，由勾股定理得，OG2+CG2＝OC2，即（x+3）2+42＝（x+4）2，解得x＝4.5．答：ON至少为4.5米．24．解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB＝CD∴ABCD为矩形∴AC＝BD＝320cm，GN＝AB＝CD＝40cm∴AG＝GC＝160cm，设⊙O的半径为R，得R2＝（R﹣40）2+1602，解得R＝340cm，340×2＝680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．25．解：过A、B、C三点作⊙O，连接OB．∵AD垂直平分BC∴点O必在AD上，BD＝CD＝24设⊙O的半径为r，则OD＝48﹣r∵OD2+BD2＝OB2∴（48﹣r）2+242＝r2解得，r＝30∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm．。

专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。

北师大版九年级数学下册第三章圆 3.3垂径定理同步俩习题一、选择题(9分×4＝36分)1．(2021，嘉兴)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE ＝8，则AB的长为( )A．2 B．4 C．6 D．82．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是()A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.53．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( )A．3 B．4 C．32D．4 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( ) A.95B.245C.185 D.52二、填空题(9分×2＝18分)5．⊙O 的直径为10cm ，弦AB ∥CD ，且AB ＝8cm ，CD ＝6cm ，则弦AB 与CD 之间的距离为___________．6．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为__________cm.三、解答题(14分＋15分＋17分＝46分)7．如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0，－4)、N(0，－10)，函数y ＝k x (x ＜0)的图象过点P.求k 的值．8．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．(1)求该圆弧形所在圆的半径；(2)若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？9．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．答案:1---4 DCCC5. 7cm或1cm6. 237. 解：过点P作PG⊥MN于G，作PH⊥x轴于H，∵MN＝6，∴MG＝12×6＝3.连接PM，在Rt△PMG中，由勾股定理得PG＝4，又OG＝4＋3＝7＝PH，∴点P的坐标为(－4，－7)，∴k＝(－4)×(－7)＝288. 解：(1)半径为3米(2)活动范围有3.6米9. 解：能顺利通过．理由：由题意AB＝7.2，CD＝2.4，设⊙O的半径为R，在Rt△AOD中，OD＝R－2.4，AD＝3.6，∴R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R＝3.9，在Rt△OHN中，若HN＝1.5.则OH＝ON2－HN2＝ 3.92－1.52＝3.6，∵OD＝OC－DC＝3.9－2.4＝1.5，∴DH＝OH－OD＝3.6－1.5＝2.1(m)，。

1. (2014年南宁)在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为()2.(2014年凉山州)已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为( )t AMO t AMC 解法一：（1）根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：连接AC ，AO ，11○O 的直径CD 10cm ，AB CD ，AB 8cm ，AM AB 84cm ，OD OC 5cm ，22当C 点位置如图1所示时：OA 5cm ，AM 4cm ，CD AB ，在R △中，O 3cm CM OC OM 538cm在R △中，=⊥=∴==⨯=====⊥∴∴=+=+=∴t AMO t AMC 当C 点位置如图2OA 5cm ，AM 4cm ，CD AB ，在R △中，O 3cm CM OC OM 532cm在R △中，===⊥∴∴=-=-=∴==图1 图2t AMC t AMC A cm,211解法二：根据题意画出图形，○O 的直径CD 10cm,AB CD,AB 8AM BM AB 84cm 22根据相交弦定理得：DM CM AM BM,CM (10CM)44，CM 10CM 160，当CM 2时，在R △中，当CM 8时，在R △中，CM 2或CM 8m =⊥=∴===⨯=⋅=∴===⋅∴-=⨯∴-+=== 3. (2014年泸州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a)(a ＞3)，半径为3，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为则a 的值是( )解：作PC x 轴于C ，交AB 于D ，作PE AB 于E ，连结PB ，如图，○P 的圆心坐标是（3，a ），OC 3，PC a ，把x 3代入y x 得y 3，D 点坐标为（3，3），CD 3，△OCD 为等腰直角三角形，△PED 也为等腰直角三角形，11PE AB ，AE BE AB Rt △PBE 中，PE 1，PD a 322⊥⊥∴=====∴∴=∴∴⊥∴===⨯===∴==∴=4. (2013年株洲)如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是( )度．解：AB 是○O 的直径，OA OC A 42ACO A 42D 为AC 的中点，OD AC ，DOC 90DCO 904248．∴=∠=︒∴∠=∠=︒∴⊥∴∠=︒-∠=︒-︒=︒5.⊙O 的半径为2，弦BC=，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC ，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为( )．2222211解：如图所示：○O 的半径为2，弦BC A 是○O 上一点，且AB AC ，AD BC ，BD BC 22在Rt △OBD 中，BD OD OB OD 2，解得OD 1，当如图1所示时，AD OA OD 211；当如图2所示时，AD OA OD 213==∴⊥∴==⨯+=+==∴=-=-==+=+=6. (2014年广州)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P与x 轴交于O ，A两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P ，则点P 的坐标为( )．解：过点P 作PD x 轴于点D ，连接OP ，A （6，0），PD OA ，OD OA 3，在Rt △OPD 中，OP 13OD 3，PD 2，点P 的坐标为：（3，2）⊥⊥∴====∴∴7.(2012上海普陀区一模)如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点(P 与A ，B 不重合)，连接AP ，BP ，过点O 分别作OE ⊥AP ，OF ⊥BP ，点E 、F 分别是垂足．线段EF 的长为( )；点O 到AB 的距离为2，⊙O 的半径为( )．11解：（1）OE AP ，OF BP ，点E 、F 分别是垂足，AE EP ，PF BF ，EF AB 105；22（2）如图，过O 作OC AB 于C ，连接OB ，C 为AB 的中点，BC 5，而OC 2，OB ○O ⊥⊥∴==∴==⨯=⊥∴∴==∴8. (2014年湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)．若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O 到直线AB 的距离为6，AC 的长为( )．解：过O 作OE AB 于点E ，则CE DE ，AE BE ，连接OC ，OA ，OE 6，在Rt △AEO 中，AE 8，在Rt △CEO 中，CE ⊥==∴=9. (2013年深圳)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，测得拱高(弧GH 的中点到弦GH 的距离是MN 的长)为2米，小桥所在圆的半径为( )．22EF 2.4 2.4解：小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，8米高旗杆DE 的影子为：，EF 812m ，DE 1.6 1.6测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，GH 12318m ，GM MH 4m ．如图，设小桥的圆心为O ，连接OM 、OG ．设小桥所在圆的半径为r ，MN 2m ，OM （r 2）m ．在Rt △OGM 中，由勾股定理得：OG OM 4∴=∴=⨯=∴=--=∴===∴=-∴=+ -4r+20=0,222，r （r 2）16，解得：r 5m∴=-+=10. (2011年上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA=3，AC=2，CD 平行于AB ，并与弧AB 相交于点M 、N ．线段OD 的长为( )；若tan ∠C=12，弦MN 的长为( )．2222222OA OB OB OC 2(23)解：（1）CD ∥AB ，OAB OCD ，OBA ODC ，△OAB ∽△OCD ，，即OA OD OB OC ，OD 5；OC OD OA 21OE 1（2）过O 作OE CD ，连接OM ，则ME MN ，tan C ，即，CE 2OE ，2CE 2在Rt △OEC 中，OC OE CE ，即5OE （2OE ），5OE ⋅⨯+∴∠=∠∠=∠∴∴=⋅=⋅∴===⊥=∠==∴==+=+ 25，OE 不合题意，舍去)在Rt △OME 中，ME 2，MN 2ME 224，==∴==⨯=11.如图所示，⊙D 的直径AB 在直角坐标系的x 轴上方，交y 轴正方向于点C ，AC 的长为B 的坐标为(1，0)，则圆心D 的坐标为：( )。

一、选择题1 •下列语句中不正确的有（ ）① 相等的圆心角所对的弧相等；② 平分弦的直径垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④ 半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2•在圆0中，圆0的半径为5肋，圆心0到弦AB 的距离为4cm,则弦AB 的长为（）3•如图，圆0过点A 、B,圆心0在止AABC 的内部,AB=2V3，OC=1,则圆0的半径为（） A.V3B.2C.V5D.V74•半径等于12的圆屮，垂直平分半径的弦长为（） A.3V6 B.12A /3 C.6V3 D.18V35•如图，AB 、AC 是圆的两条弦，AD 是圆的一条直径， 且AD 平分ZBAC,下列结论中不一定正确的是（） A A A o A AA.AB = DBB.BD = CDC.BC 丄 ADD.ZB=ZC 6•如图，AB 是圆0的直径，点M 是圆0上一点，若AM=8cm,AB=10cm, ON 丄BM 于点N,则BN 的长为（）3 A-C777B.3C 7?7C.5cmD.6cm 2 3. 3垂径定理A.3 cm C.2y/41cm D.6cm D7•有一边长为2苗的正三角形，则它的外接圆的面积为（）A.2V37T B.4V37T C.4 兀 D.12兀8•如,O是AABC的外接圆,A0B=6° ABA=2,则弦BC的为（）A.V3B.3C.2V3D.4二、解答题9•如图，（DO的直径AB垂直弦CD于点E, AB=8,ZA=22.5°,求CD 的长.10.如图是一块车轮碎片的示意图，点0是这块轮片的圆心，AB=24cvn, C是弧AB上一点，OC1AB,垂足为D,CD=4cm,求原轮片的半径.11.如图，。

0屮，半径CO垂直于直径AB, D为0C 的中点，过D作弦EF〃AB, EB与0C交于点P・(1)求ZABE的度数.(2)若连结AB=8,求EF的长.。

*3.3 垂径定理基础题 知识点1 垂径定理1.如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON⊥AB，垂足为N ，则ON ＝(A)A .5B .7C .9D .112.(2017·阿坝)如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是(A)A .2B .3C .4D .53.如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin∠OAP 的值是(C)A.34B.45C.35D.434.如图，已知⊙O 的直径AB⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是(B)A .CE ＝DEB .AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵D .△OCE≌△ODE5.(2017·大连)如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为5cm.6.(2017·长沙)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5.知识点2 垂径定理的推论7.如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)A.8B.10C.12D.16知识点3 垂径定理的应用8.(2017·金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为(C)A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm9.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为0.8m.10.(教材P76练习T1变式)如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：∵弓形的跨度AB ＝3 m ，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB. ∴AF＝12AB ＝32m.∵AB ︵所在⊙O 的半径为r ，弓形的高EF ＝1 m ， ∴AO＝r ，OF ＝r －1.在Rt△AOF 中，AO 2＝AF 2＋OF 2， 即r 2＝(32)2＋(r －1)2.解得r ＝138.故r ＝138 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 11.下列说法正确的是(D)A .过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B .弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C .过弦的中点的直径垂直于弦D .平分弦所对的两条弧的直径平分弦 中档题12.已知⊙O 的半径OA ＝10 cm ，弦AB ＝16 cm ，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为(B) A .5 cm B .6 cm C .8 cm D .10 cm13.(2017·呼和浩特)如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB ＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为(B)A .26πB .13π C.96π5 D.3910π514.(2017·阿坝)如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(D)A .2 cm B. 3 cm C .2 5 cm D .2 3 cm15.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A ，B ，AB ＝40 cm ，脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm ，则该脸盆的半径为25cm.图1 图216.(2018·孝感)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是2或14cm17.(教材P77习题T3变式)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图).(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长.解：(1)证明：过点O 作OE⊥AB，垂足为E ， 则AE ＝BE ，CE ＝DE ， ∴AE－CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.(2)由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD， 连接OC ，OA. ∵OE＝6，∴CE＝OC 2－OE 2＝82－62＝27， AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8. ∴AC＝AE －CE ＝8－27. 综合题18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为7.2 m ，拱高CD 为2.4 m. (1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m 的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？解：(1)连接OB. ∵OC⊥AB， ∴D 为AB 的中点. ∵AB＝7.2 m ， ∴BD＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt△BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M，N(N在M的右边)，连接ON，连接MN，交CO于点E. ∵CD＝2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m).∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m).在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，∴EN＝ 2.96(m)，MN＝2EN＝2× 2.96≈3.44 m＞3 m.∴此货船能顺利通过这座拱桥.。

课外同步训练【轻松过关】1．下列说法中正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于这条弦C．弧上一点到弦的距离叫做拱高 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦2．下列命题中，正确的是（）A．弦的垂线平分弦所对的弧B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心C．过弦的中点的直线平分弦所对的弧D．平分弦的直径垂直于这条弦3．如图3-4-6，O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于C，D，•则下列结论中正确的是（）= B．AB=CD C．AB∥CD D．∠OCD≠∠BA．AB CD图3-4-6 图3-4-7 图3-4-8 4．如图3-4-7，在⊙O中，弧CD与直径AB相交，且AB平分CD，则下列结论错误的是（• ）=A．AB⊥CD B．∠COE=∠DOE C．OE=BE D．AC AD5．如图3-4-8，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为_____cm．6．已知⊙O的弦AB长为4cm，弦AB的弦心距为2cm，则⊙O的直径为______cm．7．如图3-4-9，AD是⊙O的直径，AB=AC，∠BAC=120°，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD除外）：①__________________;②__________________；③__________________．8．如图3-4-10，大圆的半径为5，小圆的半径为4，弦AB=8，则AC=_______．图3-4-9 图3-4-109．如图3-4-11，已知AB为弓形AB的弦，半径OD所在直线垂直AB于点C．若OC=1，求弓高CD的长．图3-4-1110．如图3-4-12，已知⊙O的半径长6cm，弦AB与半径OC互相平分，交点为M，求AB 的长．图3-4-1211．如图3-4-13，BC是⊙O中的弦，点A是BC的中点，半径OA交BC于点D，且BC=8，AD=2，求⊙O的半径．图3-4-13【适度拓展】12．储油罐的截面如图3-4-14所示，装入一些油，若油面宽AB=600mm，油罐直径为650mm，求油的最大深度．图3-4-1413．如图3-4-15，AB是⊙O的直径，CD为弦，分别过A，B作弦CD的垂线，垂足为M，N，•求证：MC=DN．图3-4-15【探索思考】14．如图3-4-16，点O为ADB的圆心，∠AOB=120°，弓形高ND=2cm，矩形EFGH的顶点E，F在弦AB上，点H，G在AB上，且EF=4HE，求EF的长．图3-4-。