第13章 轴对称-学易试题君之单元测试君2019学年八年级数学人教版(上)(全解全析)

第13章 《轴对称》单元测试一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐．下列是用小篆书写的“魅力宁德”四个字，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则线段BE 与AC 的关系是（ ）A ．B ．C ．且D ．且平分4．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，1）与点B （0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（ ）AB CD G E F AB EC CD =EC ED =CF DF =CG DG=AC BE =AC BE ⊥AC BE ⊥AC BE =AC BE ⊥AC BEA ．轴B ．轴C ．直线（直线上各点横坐标均为1）D ．直线（直线上各点纵坐标均为1）5．一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（ ）A ．平分B ．平分C ．D ．6．如图，在中，点O 是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A 、O 之间的距离为（ ）A ．4B ．8C ．2D ．67．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（）x y 1x =1y =ABC DEF 45BAC ∠=︒60EDF ∠=︒GA FD ∥AB EF ∥EC FED ∠CB FCE ∠BC DE ∥30GAB ∠=︒ABC ABC OB OC OD AB OBC OCB ∠=∠4OC =ABCD AC ABC AC ABC 2B C ∠=∠AD BC E BA AC DAE ∠AB m =BC p =BD q =A ．B ．C ．D ．9．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若点与点关于x 轴对称，则 ．12．如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移和关于坐标轴对称等变换得到的，m q p +=2m q p +=2m q p +=12q m p +=P O ∠A B O ∠PAB ∆O ∠APB ∠2O APB∠=∠2O APB ∠=∠180O APB ∠+∠=︒2180O APB ∠+∠=︒ABP CDP △APD △AD AC BC BD APC BPD △≌△ABD BCA △≌△P BC 15PBC ∠=︒AD BC ∥PC AB ⊥()12A a -，()21B b -，a b +=A B C ''' ABC其中点P 与是变换前后图形上的一对对应点．若点P 的坐标为，则点的坐标为 （用含a 、b 的代数式表示）．13．如图，在一张纸片上将翻折得到三角形，并以为边作等腰，其中，且E ，A ，C 三点共线，，则的度数是 ．14．如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为 ．15．如图，是等腰三角形，，且B ，C ，D 三点共线．连接，分别交于点M ，N ，连接，则＝ ．16．如图，A 是直线外的一点，于点H ，，P 是上一动点，是等边三角形，连接，则线段的最小值是 ．P '(),a b P 'BED AED AB ABC AB AC =42EBC ∠=︒BAC ∠AE BD =CE CD =E D ∠=∠60DCE ∠=︒52BD =32CD =AB AB ,ABC ECD 60ACB ECD ∠=∠=︒,BE AD ,AC EC MN NMC ∠︒MN AH MN ⊥4AH =MN APQ △HQ HQ17．如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角，等题直角做了一个探究活动：将的直角顶点M 放在的斜边的中点处，设，猜想此时重叠部分四边形的面积为 ．18．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P 在线段上，则的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知如图所示，（1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形；MNK △ACB △MNK △ACB △AB AC BC a ==CEMF ABC A B C ''△B C B '，，A C 'AP BP +ABC ABC BC AD ADC ∠DE EDC C ∠=∠AC E（2）判断与之间的关系，并说明理由．20．（8分）如图，，．求证：直线是线段的垂直平分线．DAE ∠ADE ∠AB AC =MB MC =AM BC21．（10分）如图，为等腰直角三角形，，点D 在上，点E 在的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．（10分）如图，，，垂足分别为D 、C ，，且．连接．（1）求证：．（2）若，，求的度数．ABC 90BCA ∠=︒CA BC BD AE =BCD ACE ≌△△80BAE ∠=︒DBA ∠ED AB ⊥FC AB ⊥AE BF ∥AE BF =CE AC BD =CD DE =25A ∠=︒AEC ∠23．（10分）如图，在中，， ，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．（1）当时， ， ；点从向的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当等于多少时，，请说明理由．（3）在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．24．（12分）解答题（1）问题发现如图1，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是 ，与线段相等的线段是；ABC 2AB AC ==40B C ∠=∠=︒D BC D B C AD 40ADE ∠=︒DE AC E 115BDA ∠=︒EDC ∠=︒DEC ∠=︒D B C BDA ∠DC ABD DCE △△≌D DA DE BDA ∠AB BC =90ABC ∠=︒U A B C 90D E ∠=∠=︒DAB ∠AD（2）拓展探究如图2，在中，点在边上，并且，．求证：．（3）能力提升如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度．ABC D BC DA DE =B ADE C ∠=∠=∠ADB DEC △≌△DEF A C DE DF 4AE =AC AC DEF ABC BF 30CFB ∠=︒CD答案一、单选题1．C【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．【详解】解：C 选项是轴对称图形，A 、B 、D 选项都不是轴对称图形；故选：C ．2．A【分析】根据垂直平分线的性质分析选项即可．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴，，故D 选项结论正确，不符合题意；在和中，∴，∴，故B 选项结论正确，不符合题意；同理可知：，∴，故C 选项结论正确，不符合题意；利用排除法可知选项A 结论不正确，符合题意．故选：A3．D【分析】由翻折得到AE=AB ，CE=CB ，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．【详解】解：∵ACE 是由ABC 翻折得到，∴AE=AB,CE=CB∴AC ⊥BE 且AC 平分BE ，AB CD 90∠==︒CGE DGE CG DG =ECG EDG △CGE DGE CG DGEG EG ∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩()≌ECG EDG SAS △△EC ED =()≌FCG FDG SAS △△FC FD =故选D ．4．C【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．【详解】根据A 点和B 点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为．故选：C ．5．B【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解．【详解】解：∵，，，∴，则，∴平分，故选项正确；∵，，如图所示，设与交于点，∴，由选项正确可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分错误，故选项错误；由上述证明可得，，∴，故选项正确；根据上述证明可得，，∵，且，∴，∴，20122A B x x x ++===90DEF ∠=︒45BAC ∠=︒AB EF ∥45BAC FEC ∠=∠=︒90904545DEC FEC ∠=︒-∠=︒-︒=︒EC FED ∠A 90B Ð=°AB EF ∥BC EF H 90EHC B ∠=∠=︒A 45FEC ∠=︒Rt CEH △45ECH ∠=︒Rt FCH △30EFC ∠=︒60FCH ∠=︒ECH FCH ∠≠∠CB FCE ∠B 60FCH EDF ∠=︒=∠BC DE ∥C 4560105ECF ECH FCH ∠=∠+∠=︒+︒=︒GA FD ∥45BAC ∠=︒180GAC ECF ∠+∠=︒180********GAC ECF ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴，故选项正确；故选：．6．A【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故选：A ．7．B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B ．8．B【分析】过点C 作于点F ，易证（AAS ），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．754530GAB GAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒D B OA OA OB =4OB OC ==OA OD AB OA OB =OBC OCB ∠=∠4OC =4OB OC ==4OA OB OC ===04AC <<ACD 2AD CD ==2222AC -<<+04AC <<4AC BC ==ABC 3AC AB ==ABC CF BE ⊥ACF ACD ≌CF CD BC BD p q ==-=-AD AF =DCA FCA ∠=∠22BCF BCA B ∠=∠=∠BF CF p q ==-90DAC CAF BCA ∠=∠=︒-∠()180121802902BAD BCA BCA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=∠2B BCA ∠=∠BAD B =∠∠AD BD =AF BD q ==FB CF =m q p q +=-2m q p +=【详解】如图，过点C 作于点F是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即CF BE ⊥AD CF BE⊥90ADC AFC ∴∠=∠=︒AC DAF∠12∴∠=∠ADC △AFC △12ADC AFC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF ACD ∴ ≌AAS AD AF ∴=CD CF =DCA FCA∠=∠Rt ACD △190ACD ∠=︒-∠12∠=∠()18012180211802902BAD ACD ACD∴∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠2B ACD∠=∠ BAD B∴∠=∠AD BD q∴==AF AD q ∴==BF AB AF m q=+=+CD BC BD p q=-=- CF CD p q∴==-DCA FCA∠=∠ 2BCF DCA FCA DCA∴∠=∠+∠=∠2B DCA∠=∠ B BCF∴∠=∠BF CF∴=m q p q ∴+=-2m q p+=故选：B9．D【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，，，，即，故选：D ．10．C【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA ＝PB ＝PD ＝PC ，∠APB ＝∠DPC ＝∠PAB ＝∠PDC ＝60°，∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠PDA ＝45°，则根据“SAS ”可证明△APC ≌△BPD ，则可对①进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC ＝150°，再利用PB ＝PC 和三角形内角和可计算出∠PBC ＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC ＝75°，∠BAD ＝105°加上BD ＝CA ，则可判断△ABD 与△BCA 不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC ＋∠BAD ＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判定方法可对⑤进行判断；延长CP 交AB 于H ，计P OM P 'P ON P ''P P '''OM A ON B PAB ∆P P '''OP P '''2P OP AOP '''=∠180180222P OP AOB P P '''︒-∠︒-∠'''∠=∠==1802APB P P AOB '''∠=∠+∠=︒-∠P OM P 'P ON P ''OP 'OP ''P P '''P P '''OM A ON B PAB ∆P P '''OP OP '=OP OP ''=AOP AOP '∠=∠BOP BOP ''∠=∠2P OP AOP '''∴∠=∠180180222P OP AOB P P '''︒-∠︒-∠'''∴∠=∠==1802APB P P AOB '''∴∠=∠+∠=︒-∠2180O APB ∠+∠=︒算出∠CHB ＝90°，则可对⑥进行判断．【详解】解：∵△ABP 和△CDP 是两个等边三角形，△APD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴PA ＝PB ＝PD ＝PC ，∠APB ＝∠DPC ＝∠PAB ＝∠PDC ＝60°，∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠PDA ＝45°，∴∠APC ＝∠BPD ＝150°，在△APC 和△BPD 中，，∴△APC ≌△BPD （SAS ），所以①正确；∵PB ＝PC ，∴点P 在线段BC 的中垂线上，所以③正确；∵∠BPA ＝∠CPD ＝60°，∠APD ＝90°，∴∠BPC ＝150°，∵PB ＝PC ，∴∠PBC ＝15°，所以④正确；∵∠ABC ＝60°＋15°＝75°，∠BAD ＝∠PAB ＋∠PAD ＝60°＋45°＝105°，BD ＝AC ，∴∠ABC ≠∠BAD ，∴△ABD 与△BCA 不全等，所以②错误；∵∠ABC ＋∠BAD ＝75°＋105°＝180°，∴AD ∥BC ，所以⑤正确；延长CP 交AB 于H ，如图，∵∠PCB ＝15°，∠ABC ＝75°，∴∠ABC ＋∠PCB ＝90°，∴∠CHB ＝90°，∴PC ⊥AB，所以⑥正确．PA PB APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩正确的有5个，故选：C ．二、填空题11．2【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点与点关于轴对称，∴，解得，∴．故答案为：2．12．【分析】根据点B 和的位置判断出平移方式和对称变换方式，继而求解．【详解】解：由图中可以看出，点只有向右平移2个单位才能和点的纵坐标相等，翻折可得到两点关于轴对称，此时两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．那么点也是如此转换得到．点的坐标为，向右平移2个单位后变为这点关于轴的对称点是．故答案为：．13．【分析】根据折叠得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可．【详解】解：根据折叠可知，，∴，∵，∴，∵，∴，x ()12A a -，()21B b -，x 1212a b -=-=-，31，==-a b 312a b +=-=()2,a b +-B 'B B 'x P P ' P (,)a b (2,)a b +x (2,)a b +-(2,)a b +-152︒EA EB =EAB EBA ∠=∠A ABC CB =∠∠42EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒14ACB ABC ∠=∠=︒EA EB =EAB EBA ∠=∠AB AC =A ABC CB =∠∠EAB ABC ACB ∠=∠+∠2EBA EAB ABC ∠=∠=∠∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．14．3【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．【详解】解：在和中，，，，，，为等边三角形，，，，，即，,长为奇数，，故答案为3．15．6042EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒242ABC ABC ∠+∠=︒14ABC ∠=︒14ACB ABC ∠=∠=︒180152BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒152︒AEC BDC ≌△△BC AC =BCD ACE ∠=∠60ACB DCE ︒∠=∠=ABC AB BC AC ==AEC △BCD △AE BD E DCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AEC BDC ∴ ≌BC AC ∴=BCD ACE ∠=∠DCE BCD ECB ∠=∠+∠ ACB ACE ECB ∠=∠+∠60ACB DCE ∴∠=∠=︒ABC ∴ AB BC AC ∴==52BD = 32CD =BD CD BC BD CD ∴-<<+14BC <<14AB ∴<<AB 3AB ∴=【分析】根据已知证明都是等边三角形，得到，即可证明，推出，进一步证明，可得，求出，证明是等边三角形，可得结果．【详解】解：∵都是等腰三角形，且，∴都是等边三角形，∴，∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：60．16．2【分析】以为边作等边，连接，证明，得出，说明当最,ABC ECD ,AC BC CD CE ==()SAS ACD BCE △≌△CAN CBM ∠=∠(ASA)ACN BCM △≌△CM CN =MCN ∠MCN △,ABC ECD 60ACB ECD ∠=∠=︒,ABC ECD ,AC BC CD CE ==ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠ACD BCE ∠=∠ACD BCE AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACD BCE △≌△CAN CBM ∠=∠60ACB ECD ∠=∠=︒60MCN ∠=︒ACN △BCM CAN CBM AC BCACN BCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)ACN BCM △≌△CM CN =6,0MCN CM CN ︒∠==MCN △60NMC ∠=︒AH AEH △PE AEP AHQ ≌HQ EP =EP小时，最小，根据垂线段最短，过点E 作于点B ，当点P 在点B 时，最小，即最小，根据含角的直角三角形的性质求出．【详解】解：以为边作等边，连接，如图所示：∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当最小时，最小，∵垂线段最短，∴过点E 作于点B ，当点P 在点B 时，最小，即最小，∵，，∴．故答案为：2．17．18．8【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P 与点C 重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．HQ EB MN ⊥EP HQ 30︒122EB EH ==AH AEH △PE 4AE EH AH ===60EAH AHE ∠=∠=︒906030EHM ∠=︒-︒=︒APQ △AP AQ =60PAQ ∠=︒PAQ EAH ∠=∠EAH HAP HAP PAQ ∠+∠=∠+∠EAP HAQ ∠=∠AEP AHQ ≌HQ EP =EP HQ EB MN ⊥EP HQ 906030EHM ∠=︒-︒=︒90EBH ∠=︒122EB EH ==214a PE ABC A B C ''△ACP B CP '△≌△AP B P '=AP BP BP B P '+=+AP BP +BB '【详解】解：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P 与点C 重合时，点A 与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．三、解答题19．（1）解：如图：先作交于点，作的垂直平分线与交于点，即为所求．（2）解：，理由如下：∵，即，∴，PB 'ABC A B C ''△60AC B C ACB A CB '''=∠=∠=︒，60ACA '∠=︒ACA A CB '''∠=∠ACP △B CP '△AC B C ACA A CB CP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪='''⎩'()SAS ACP B CP '△≌△AP B P '=AP BP BP B P '+=+B 'A C 'AP BP +BB 'AP BP +448+=AD BC ⊥BC D CD AC E D AE AD E ∠=∠AD BC ⊥90ADC ∠=︒90C DAE +=︒∠∠∵，且，∴．20．证明：，点在线段的垂直平分线上．，点在线段的垂直平分线上．直线是线段的垂直平分线．21．（1）解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．22．（1）证明：∵，，∴，∵，∴，在△ADE 与中，90EDC ADE ∠+∠=︒EDC C ∠=∠D AE AD E ∠=∠ AB AC =∴A BC MB MC =∴M BC ∴AM BC ABC AC BC =90BCA ∠=︒90ACE ∠=︒Rt BCD Rt ACE BC AC BD AE=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL BCD ACE ≌△△ABC 45CAB CBA ∠=∠=︒80BAE ∠=︒35CAE BAE CAB ∠=∠-∠=︒BCD ACE ≌△△35CAE CBD ∠=∠=︒10DBA CBA CBD ∠=∠-∠=︒ED AB ⊥FC AB ⊥90ADE BCF ∠=∠=︒AE BF ∥A B ∠=∠BCF △，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．23．（1）解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；（2）解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，ADE BCF A BAE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADE BCF ≌△△AD BC =AC BD =CD DE =90CDE ∠=︒45DCE CED ∠=∠=︒25A ∠=︒452520AEC DCE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒115BDA ∠=︒ 18011565ADC ∴∠=︒-︒=︒40ADE ∠=︒ 25EDC ADC ADE ∴∠=∠-∠=︒40C ∠=︒ 180115DEC EDC C ∴∠=︒-∠-∠=︒180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒ 180BDA BAD B ∴∠=︒-∠-∠ D B C BAD ∠BDA ∴∠251152DC =ABD DCE △△≌40B C ∠=∠=︒ 180140DEC EDC C ∴∠+∠=︒-∠=︒40ADE ∠=︒ 180ADB ADE EDC ∠+∠+∠=︒140ADB EDC ∴∠+∠=︒ADB DEC ∴∠=∠2DC =，，在和中，，，即当时，，；（3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．24．（1）解：，，，，在和中，，，，故答案为：，；（2），，2AB AC == AB DC ∴=ABD △DCE △B C ADB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD DCE ∴≌ 2DC =ABD DCE △△≌D DA DE DA DE = DAE DEA ∴∠=∠40ADE ∠=︒ ()1180702DEA ADE ∴∠=︒-∠=︒AED C EDC ∠=∠+∠ 40C ∠=︒30EDC DEA C ∴∠=∠-∠=︒70ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒180110BDA ADC ∴∠=︒-∠=︒90D ABC ∠=∠=︒ 90DAB ABD ∴∠+∠=︒90ABD EBC ∠+∠=︒BAD EBC ∴∠=∠ABD △BCE D E DAB EBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD BCE ∴ ≌AD BE ∴=EBC ∠BE ADC ADE CDE B BAD ∠=∠+∠=∠+∠ B ADE ∠=∠，在和中，，；（3）如图，过点作交于点，、是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，CDE BAD ∴∠=∠ADB DEC B C BAD CDE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADB DEC ∴ ≌3B BM EF ∥DF M DEF ABC DE DF ∴=AC BC =60D DFE ACB ∠=∠=∠=︒30CFB ∠=︒ BM EF ∥603030BFE MBF ∴∠=︒-︒=︒=∠MBF CFB ∴∠=∠60CMB MBF CFB ∠=∠+∠=︒BM FM ∴=60D ACB ∠=∠=︒ 120DAC ACD ∴∠+∠=︒120ACD BCM ∠+∠=︒DAC BCM ∴∠=∠ACD CBM D CMB DAC BCM AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBM ∴ ≌CD BM FM ∴==AD CM =22DF CD CM FM CD CM CD AD ∴=++=+=+DE AD AE DF =+=，，．2AE CD ∴=4AE = 2CD ∴=。

第十三章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2015·遵义)观察下列图形，是轴对称图形的是( A )2．点P(5，－4)关于y 轴的对称点是( D )A ．(5，4)B ．(5，－4)C ．(4，－5)D ．(－5，－4)3．如图，△ABC 与△ADC 关于AC 所在的直线对称，∠BCD ＝70°，∠B ＝80°，则∠DAC 的度数为( B )A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°,第3题图) ,第4题图) ,第5题图),第6题图)4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，BE ＝4，则AC 长为( A )A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对5．如图，AB ＝AC ＝AD ，若∠BAD ＝80°，则∠BCD ＝( C ) A ．80° B ．100° C ．140° D ．160°6．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是( A )A ．①B ．②C ．⑤D ．⑥ 7．(2015·玉林)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，则下列结论中不正确的是( D )A ．AD ＝AEB ．DB ＝EC C ．∠ADE ＝∠CD ．DE ＝12BC,第7题图) ,第8题图) ,第9题图),第10题图)8．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE ，AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( A )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.59．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( C )A．10 B．8 C．6 D．410．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP; ⑤∠AOB＝60°.其中正确的结论的个数是( C ) A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每小题3分，共24分)11．正方形是轴对称图形，它共有__4__条对称轴．12．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF等于__70°__．,第12题图),第13题图),第14题图) 13．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有__5__种．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若∠B＝35°，则∠DAC 的度数为__75°__．15．在△ABC中，AC＝BC，过点A作△ABC的高AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝__75°或15°__．16．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：__①③或②③__．,第16题图),第17题图),第18题图)17．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是__60__．18．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA 上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为__5_cm__．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等．请用尺规作图作出银杏树的位置点P.(不写作法，保留作图痕迹)解：作∠B的平分线与线段AD的垂直平分线，它们的交点即为点P20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)．(1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为__(2，2)__；(2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为__(2，－1)__；(3)求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积．解：(3)31221．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 为上一点，∠B ＝30°，∠DAB ＝45°. (1)求∠DAC 的度数； (2)求证：DC ＝AB.解：(1)∠DAC ＝120°－45°＝75°(2)∵∠ADC ＝180°－75°－30°＝75°，∴∠DAC ＝∠ADC ，∴DC ＝AC ，又AB ＝AC ，∴DC ＝AB22．(9分)(2015·潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB ＝CB ，AD ＝CD ，请你写出与筝形ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．解：(答案不唯一)AC ⊥BD.理由：证△ABD ≌△CBD (SSS )，∴∠ABO ＝∠CBO ，∵AB ＝CB ，∴BD ⊥AC23．(10分)如图，△ABC ，△ADE 是等边三角形，B ，C ，D 在同一直线上． 求证：(1)CE ＝AC ＋DC ；(2)∠ECD ＝60°.解：(1)∵△ABC ，△ADE 是等边三角形，∴AE ＝AD ，BC ＝AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD ＝EC.∵BD ＝BC ＋CD ＝AC ＋CD ，∴CE ＝BD ＝AC ＋CD(2)由(1)知△BAD ≌△CAE ，∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∴∠ECD ＝180°－∠ACB －∠ACE ＝60°24．(10分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD⊥CF；(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．解：(1)∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠CBF＝90°，∵∠ABC＝45°，DE⊥AB，∴∠BDF＝45°，从而∠BFD＝45°＝∠BDF，∴BD＝BF＝CD，又AC＝BC，∴△ACD≌△CBF(SAS)，∴∠CAD＝∠BCF，∴∠CGD＝∠CAD＋∠ACF＝∠BCF＋∠ACF＝90°，∴AD⊥CF(2)△ACF是等腰三角形．理由：由(1)知BD＝BF，又DE⊥AB，∴AB是DF的垂直平分线，∴AD ＝AF，由(1)知△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形25．(12分)如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图③，如果(1)的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．解：(1)AE是∠FAD的角平分线(2)成立．理由如下：延长FE交AD的延长线于G.∵E为CD的中点，∴CE＝DE.证△CEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG.∵AE⊥FG，∴AF＝AG，∴AE是∠FAD的平分线(3)结论仍成立，证明方法同(2)。

2019年人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试卷一．选择题（共15小题）1．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，AC＝7，则△EBC的周长是（）A．13B．16C．18D．202．如图，已知AD，BE分别是△ABC中线和高，且AB＝AC，∠EBC＝20°，则∠BAD的度数为（）A．18°B．20°C．22.5°D．25°3．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE ∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（）A．4B．6C．8D．105．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）6．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②④C．①③D．②③④7．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，垂足是点E，若AD＝8cm．则AC的长是（）A．4cm B．5cm C．4cm D．6cm9．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，B 、B ′关于AD 对称，且BB ′交AD 于F ，交AC 于E ，连接FC 、AB ′，下列说法：①∠BAD ＝30°；②∠BFC ＝135°；③AF ＝2B ′C ；④S △AFE ＝S △FCE ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（ ）A ．21：10B ．10：21C ．10：51D ．12：01 13．已知a ＜0，那么点P （﹣a 2﹣1，2﹣a ）关于y 轴的对称点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四14．如图，等边三角形的顶点A （1，1）、B （3，1），规定把等边△ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC 的顶点C 的坐标为（ ）A．（﹣2015，﹣﹣1）B．（﹣2015，+1）C．（﹣2014，﹣﹣1）D．（﹣2014，+1）15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．17．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的底角为．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是．19．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个20．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为．三．解答题（共3小题）21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝38°，求∠BAC的度数．23．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP＝∠CAH．2019年人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，AC＝7，则△EBC的周长是（）A．13B．16C．18D．20【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，又∵BC＝8，AB＝10，∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18，故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2．如图，已知AD，BE分别是△ABC中线和高，且AB＝AC，∠EBC＝20°，则∠BAD的度数为（）A．18°B．20°C．22.5°D．25°【分析】根据AD，BE分别是△ABC中线和高，且AB＝AC，即可得到AD⊥BC，∠BAD ＝∠CAD，再根据同角的余角相等，即可得到∠EBC＝∠CAD＝20°．【解答】解：∵AD，BE分别是△ABC中线和高，且AB＝AC，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD＝20°，∴∠BAD＝20°，故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．3．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】以AB为腰，画出图形，即可找出点C的个数．【解答】解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；故使△ABC是以AB为腰的等腰三角形的格点C有6个．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．4．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE ∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】延长AD，BC交于点G，根据BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，可得AB＝BG，D是AG的中点，依据DE∥BG，即可得出DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，求得BG＝2DE＝6，即可得到AB＝6．【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠GBD，∵AD⊥BD于点D，∴∠ADB＝∠GDB＝90°，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△GBD（ASA），∴AB＝BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC＝2，又∵EF＝2DF，∴DF＝1，∴DE＝3，∴BG＝2DE＝6，∴AB＝6，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用三角形中位线定理进行推算．5．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）【分析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH＝．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．6．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②④C．①③D．②③④【分析】根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．所以都正确．故选：A．【点评】此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．7．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A．B．C．D．【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．【解答】解：连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∵∠AFE＝∠ABC＝120°，∴∠AFD＝∠ABD＝90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI＝∠FAD＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM＝60°＝∠M，∴ED＝EM，同理AF＝QF，即AF＝QF＝EF＝EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF＝ZN＝a，∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），∴∠GFZ＝30°，∴GZ＝GF＝a，同理IN＝a，∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，即第六个正六边形的边长是×a，故选：A．【点评】本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，垂足是点E，若AD＝8cm．则AC的长是（）A．4cm B．5cm C．4cm D．6cm【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC的长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝8cm，∴∠BAD＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+15°＝30°，∵∠C＝90°，∴Rt△ACD中，AC＝AD＝×8＝4（cm）．故选：A．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．9．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．【解答】解：如图所示，A，B，D选项中，两个字母“E”关于直线l成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着某条直线翻折互相重合，故选：C ．【点评】本题主要考查了轴对称的概念，轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．10．如图，点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，B 、B ′关于AD 对称，且BB ′交AD 于F ，交AC 于E ，连接FC 、AB ′，下列说法：①∠BAD ＝30°；②∠BFC ＝135°；③AF ＝2B ′C ；④S △AFE ＝S △FCE ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】依据点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，可得tan ∠BAD ＝，即可得到∠BAD ≠30°；连接B 'D ，即可得到∠BB 'C ＝∠BB 'D +∠DB 'C ＝90°，进而得出△ABF ≌△BCB '，判定△FCB '是等腰直角三角形，即可得到∠CFB '＝45°，即∠BFC ＝135°；由△ABF ≌△BCB '，可得AF ＝BB '＝2BF ＝2B 'C ；依据△AEF 与△CEB '不全等，即可得到S △AFE ≠S △FCE ．【解答】解：∵点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，∴BD ＝BC ＝AB ，∴tan ∠BAD ＝，∴∠BAD ≠30°，故①错误；如图，连接B 'D ，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB＝90°，BD＝B'D＝CD，∴∠DBB'＝∠BB'D，∠DCB'＝∠DB'C，∴∠BB'C＝∠BB'D+∠DB'C＝90°，∴∠AFB＝∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF＝90°＝∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF＝∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF＝CB'＝B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'＝45°，即∠BFC＝135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF＝BB'＝2BF＝2B'C，故③正确；∵AF＞BF＝B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE ≠S△FCE，故④错误；故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．11．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．12．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（）A．21：10B．10：21C．10：51D．12：01【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：因为是从镜子中看，所以对称轴为竖直方向的直线，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，这时的时刻应是12：01．故选：D．【点评】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．13．已知a＜0，那么点P（﹣a2﹣1，2﹣a）关于y轴的对称点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而分析横纵坐标的符号即可得出答案．【解答】解：点P（﹣a2﹣1，2﹣a）关于y轴的对称点为：（a2+1，2﹣a），∵a＜0，∴a2+1＞0，2﹣a＞0，∴点（a2+1，2﹣a）在第一象限．故选：A．【点评】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．14．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．（﹣2015，﹣﹣1）B．（﹣2015，+1）C．（﹣2014，﹣﹣1）D．（﹣2014，+1）【分析】根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BC＝3﹣1＝2，∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，其横坐标为2，∴C（2，+1），∵第2017次变换后的三角形在x轴下方，∴点C的纵坐标为﹣﹣1，其横坐标为2﹣2017×1＝﹣2015，∴经过2017次变换后，点C的坐标是（﹣2015，﹣﹣1），故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，确定出连续2017次这样的变换得到三角形在x轴下方是解题的关键．15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE＝30°，判断出④错误；判断出△ABP和△AEQ不全等，从而得到BP≠EQ，判断出⑤错误．【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BPA，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE ＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确；只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，∴BP＜EQ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．二．填空题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝10°．【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠B＝40°，∠C＝45°，∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，∴∠BAD+∠CAE＝85°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，故答案为：10°【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．17．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的底角为80°．【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理得出9∠A ＝180°，即可求解．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵该等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值为1：4，∴∠A：∠B＝1：4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+4∠A+4∠A＝180°，即9∠A＝180°，∴∠A＝20°，∠B＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理得出9∠A＝180°是解此题的关键．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是8或．【分析】已知AE为等腰三角形ADE的腰，所以可以分2种情况讨论：①当DE＝AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到m的值；②当AD＝AE＝m时，△ADE是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE＝AD＝m，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：分2种情况讨论：①当DE＝AE时，作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，∴AM＝NE，AM＝AD＝m，CN＝BC＝4，∴m+m＝8﹣（4﹣m），∴m＝8；②当AD＝AE＝m时，∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD＝m，∴NE＝m﹣4，∵AN2+NE2＝AE2，∴32+（m﹣4）2＝m2，∴m＝．综上所述：当m＝8或时，△ADE是等腰三角形．故答案为：8或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．19．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有3个【分析】依据大正方形的对称轴，即可画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形．【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：故答案为：3．【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．20．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为+．【分析】连接BD，交PQ于R，交HG于S，交EF于K，依据轴对称图形的性质，即可得到BD的长，进而得到正方形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接BD，交PQ于R，交HG于S，交EF于K，∵正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，∴EH＝EF＝2，MQ＝QP＝，又∵组成的图形为轴对称图形，∴BD为对称轴，∴△BEF、△DPQ为等腰直角三角形，四边形EKSH、四边形MSRQ为矩形，∴EK＝BK＝EF＝1，DR＝QR＝PQ＝，KN＝EH＝2，RS＝MQ＝，∴BD＝1+2++＝3+，∴正方形ABCD的面积＝BD2＝×（3+）2＝+，故答案为：+．【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．三．解答题（共3小题）21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．【分析】依据线段垂直平分线的性质，可得∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，依据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABD，又∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，又∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，即α+α+α＝90°，解得α＝36°，∴∠A＝36°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝38°，求∠BAC的度数．【分析】依据角平分线的定义即可得到∠BCD＝∠ACB，再根据平行线的性质，即可得到∠BCD＝∠E＝38°，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB，∵AE∥DC，∴∠BCD＝∠E＝38°，∴∠ACB＝2×38°＝76°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝76°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝28°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．23．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP＝∠CAH．【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，进而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA＝∠CBA＝45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP ＝∠CAH．【解答】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，∴∠APC＝15°+45°＝60°，∵点C关于直线PA的对称点为D，∴PD＝PC，AD＝AC，∴△ADP≌△ACP，∴∠APC＝∠APD＝60°，∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；（2）直线BD，AH平行．理由：∵BC＝3BP，∴BP＝PC＝PD，如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，∴∠BEP＝60°，∴∠BDE＝∠BEP＝30°，∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．又∵△APC的PC边上的高为AH，∴AH⊥BC，∴BD∥AH；（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，∴AH＝AF．∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，∴∠GBA＝∠CBA＝45°，即点A在∠GBC的平分线上，∴AG＝AH，∴AG＝AF，∴点A在∠GDP的平分线上．又∵∠BDP＝30°，∴∠GDP＝150°，∴∠ADP＝×150°＝75°，∴∠C＝∠ADP＝75°，∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，∴∠BAP＝∠CAH．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．。

人教版初中数学八年级（上）《第13章轴对称》单元测试题2019学年一．选择题（共12小题）1．下面的图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列图形中对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．正方形C．等腰三角形D．圆3．在下列图形中，是轴对称图形的有（）个．A．1B．2C．3D．44．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．0B．﹣1C．1D．55．点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（）A．（2m﹣1，1）B．（﹣1，2m﹣1）C．（﹣1，1﹣2m）D．（2m﹣1，2m﹣1）6．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，D是BC上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，已知DE+DF＝6cm，则△ABC的面积是（）A．12cm2B．48cm2C．24cm2D．64cm28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中等腰三角形的个数是（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个9．在平面直角坐标系中，已知点P（2，3），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的Q点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D、E是AC的中点，点F在线段AD上运动，则EF+CF的最小值是（）A．6B．3C．6D．311．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．2个12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN ＝8，则线段MN的长为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共8小题）13．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是．14．已知点A（a﹣1，2）与点A′（2，b+1）关于y轴对称，则a+b的值为．15．已知点A（x，3）和B（4，y）关于y轴对称，则（x+y）2019的值为．16．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为度．17．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′＝70°，则∠B′OG 的度数为．18．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝20°，则∠E＝°．19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为．20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有个．三．解答题（共5小题）21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．22．如图，△ABC是等边三角形，DE∥AB分别交BC、AC于点D、E，过点E做EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若BD＝CE，AB＝8，求线段DF的长．23．已知：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，已知∠A＝48°，AB+BC＝15cm，求△BCF的周长和∠BFE度数．25．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；（2）若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．人教版初中数学八年级（上）《第13章轴对称》单元测试题2019学年参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．【解答】解：A、等边三角形有3条对称轴；B、正方形有4条对称轴；C、等腰三角形有1条或3条对称轴；D、圆有无数条对称轴；故圆的对称轴最多．故选：D．3．【解答】解：第一个图形是轴对称图形；第二个图形不是轴对称图形；第三个图形是轴对称图形；第四个图形是轴对称图形；故选：C．4．【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，∴a＝3，b＝﹣4，∴a+b＝﹣1，故选：B．5．【解答】解：点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标为（2m﹣1，2m﹣1），故选：D．6．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：C．7．【解答】解：如图，连接AD，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴S△ABC＝×8×（DE+DF）＝24cm2，故选：C．8．【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形．∵∠EBC＝∠ECB＝36°，∴△BCE是等腰三角形，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．9．【解答】解：如图所示，分别以O、P为圆心，PO长为半径画弧，与y轴的交点Q1，Q2，Q3符合题意；作PO 的垂直平分线，与y轴的交点Q4符合题意，故选：C．10．【解答】解：如图，作点E关于直线AD的对称点E′，连接CE′交AD于F′．∵EF+FC＝FE′+FC，∴当C、E′、F共线时，EF+CF最小值＝CE′，∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝6，AE＝AE′＝3，∴AE′＝E′B＝3，∠ACB＝60°，∴∠ACE′＝∠BCE′＝30°，CE′⊥AB，∴CE′＝BC＝3，故选：B．11．【解答】解：共有5个．∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：C．12．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝8，∴MN＝8，故选：D．二．填空题（共8小题）13．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与16：25：08成轴对称，所以此时实际时刻为：16：25：08．故答案为：16：25：08．14．【解答】解：∵点A（a﹣1，2）与点A′（2，b+1）关于y轴对称，∴a﹣1＝﹣2，b+1＝2，解得：a＝﹣1，b＝1，则a+b＝0．故答案为：0．15．【解答】解：∵点A（x，3）和B（4，y）关于y轴对称，∴x＝﹣4，y＝3，∴（x+y）2019的值为：﹣1．故答案为：﹣1．16．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝110°．故答案为：110．17．【解答】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110°∴∠B′OG＝×110°＝55°．18．【解答】解：∵风筝的图案是轴对称图形，∴∠E＝∠B＝20°．故答案为：20．19．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∵△AED的周长为16，∴AB+AD＝16，∵AD＝6，∴AB＝10，故答案为：10．20．【解答】解：①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；共1+2+1＝4．故答案为：4．三．解答题（共5小题）21．【解答】证明：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD；（2）连接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°∵AE＝BD∴AC﹣AE＝BC﹣BD∴CE＝CD，且∠ACB＝60°∴△CDE是等边三角形∴∠ECD＝∠DEC＝60°∵EF⊥DE∴∠DEF＝90°∴∠CEF＝30°∵∠DCE＝∠CEF+∠CFE＝60°∴∠CEF＝∠CFE＝30°∴CE＝CF（2）∵BD＝CE，CE＝CD∴BD＝CD∵AB＝8∴BC＝8∴BD＝2，CD＝6∵CE＝CF＝CD∴CF＝6∴DF＝DC+CF＝1223．【解答】证明：连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC．24．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，∴∠ABC＝∠ACB＝66°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠BDE＝90°，∠ABF＝∠A＝48°，∴∠BFD＝90°﹣∠ABF＝42°，∴∠BFE＝138°；∵AB+BC＝15cm，∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝15cm．25．【解答】解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD⊥AC于D，∴∠DBC＝90°﹣72°＝18°，∴∠ABD＝72°﹣18°＝54°；（2）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ACE，∴AE＝EC，∵∠ABC＝72°，∴∠BEC＝72°，∴BC＝CE，∴AE＝BC．。

人教版2019—2020学年度八年级数学上册第十三章《轴对称》单元测试题及答案（满分：120分答题时间：120分钟）温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是( )A．等边三角形 B．正方形C．正六边形 D．圆2．下列说法中，正确的是( )A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称3．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )4．在平面直角坐标系xOy中，点P(－3，5)关于y轴的对称点的坐标是( )A．(3，5) B．(3，－5) C．(5，－3) D．(－3，－5)5．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( )A．50° B．65° C．80° D．50°或80°6．如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP＝2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E.使其满足AD＝DC＝CE＝EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于D，E，则D，E两点即为所求；乙：分别作线段AC，BC的垂直平分线，分别交AB于点D，E，则D，E两点即为所求．下列说法正确的是( )A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°方向的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为( )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里8．如图，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝80°，则∠B 的度数是( )A ．40°B ．35°C ．25°D ．20°9．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，∠A ＝30°，BD ＝2，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．1010．如图，l ∥m ，等边△ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹锐角为20°，则∠α的度数为( ) A ．60° B ．45° C ．40° D ．30°11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，过点C 的直线与AB 交于点D ，且将△ABC 的面积分成相等的两部分，则∠CDA ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB ，AC 为边在△ABC 的外侧作两个等边三角形△ABE 和△ACD ，且∠EDC ＝45°，则∠ABC 的度数为( )A ．75°B ．80°C ．70°D ．85°13．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD ，则△ADE 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状14．如图，若△ABC 是等边三角形，AB ＝6，BD 是∠ABC的平分线，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，则BE 的长为( )A ．7B ．8C ．9D ．1015．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④16．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有( )A．1个 B．3个 C．2个 D．4个二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；17小题有2空，每空2分．把答案写在题中横线上)17．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝20，则△PMN的周长为.18．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，则∠BA1C＝______；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是______.19．已知点A(m＋3，2)与点B(1，n－1)关于x轴对称，m ＋n＝ .三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(10分)作图题：(1)利用如图①所示的网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB＝QC；(2)如图②，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．①作点E关于直线AD的对称点E′；②当EM＋CM的值最小时，作出此时点M的位置(标注为M′)．21．(9分) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD.(1)求证：AB垂直平分CD；(2)若AB＝6，求BD的长．22．(9分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．23．(9分) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，BC ＝6cm.求：(1)∠EBC的度数；(2)△BEC的周长．24．(8分)如图，已知AB＝AC，AE平分∠BAC的外角，那么AE∥BC吗？为什么？25．(12分) (1)问题探究：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；(2)探究应用1：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是，并说明理由；(3)探究应用2：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是，并说明理由．26．(11分)如图，△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边向右侧作等边△ADE.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD 和∠CAE的大小关系；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化．若不变，请求出其大小；若变化，请说明理由．参考答案与解析1．A 2.A 3. D 4.A 5.D 6. D 7.D 8. C 9.C 10.C 11．C 12. A 13. B 14. C 15. D 16．B17．20 18. 80°5°解析：∵在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180°－∠B2＝80°.∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA 1C ＝12×80°；同理可得∠EA 3A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×80°，∠FA 4A 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123×80°， ∴第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1×80°.∴第5个三角形中以A 5为顶点的内角度数为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124×80°＝5°，故答案为80°，5°. 19．－3 20．解：(1)如图①所示．(5分)(2)如图②所示：作出点E′(其中没加垂直符号扣1分)；连接CE′(或BE)与AD 的交点即为M′.(10分)21． (1)证明：∵线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，∴AD ＝AC ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形．(2分) ∵∠BAC ＝30°，∴∠DAB ＝30°，∴∠BAC ＝∠DAB ，(4分)∴AO ⊥CD ，CO ＝DO ，∴AB 垂直平分CD.(6分) (2)解：由(1)可知∠DAB ＝30°.又∵∠ADB ＝90°，∴BD ＝12AB ＝12×6＝3.(9分)22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△DBE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△DBE ≌△ECF ，(3分)∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．(4分)(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3. ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ， ∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(7分) ∴∠3＋∠2＝110°， ∴∠DEF ＝70°.(9分)23．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝50°，∴∠C ＝∠ABC ＝65°.∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴∠ABE ＝∠A ＝50°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝15°.(5分)(2)∵AE＝BE，AB＝AC＝8cm，BC＝6cm，∴△BEC的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝8＋6＝14(cm)．(9分)24．解：AE∥BC.(2分)理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.由三角形外角的性质得∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B.(5分) ∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠B＝∠DAE，∴AE∥BC.(8分)25．解：(1)作CB的垂直平分线分别交AB，BC于P，D，连接CP.(1分)∴PC＝PB，∴∠PCB＝∠B＝30°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝60°，∠ACP＝60°，∴∠APC＝∠A＝∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形，∴AC＝AP＝PC，∴AC＝AP＝PB＝12AB，即AC＝12AB.(3分)(2)BE＝DE(4分)理由如下：∵F是AB的中点，∴AF＝12 AB.∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝12AB，∠CAB＝60°.∴AC＝AF.∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB－∠3＝∠DAE－∠3，即∠1＝∠2.(6分)在△ACD和△AFE中，AC＝AF，∠1＝∠2，AD＝AE，∴△ACD≌△AFE(SAS)，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF⊥AB.∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴BE＝DE.(8分)(3)BE＝DE(9分) 理由如下：如图所示，取AB的中点F，连接EF，∴AF＝12AB.∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝12AB，∠CAB＝60°，∴AC＝AF.∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD，即∠CAD＝∠FAE.(11分)在△ACD和△AFE中，AC＝AF，∠CAD＝∠FAE，AD＝AE，∴△ACD≌△AFE(SAS)，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF⊥AB.∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴BE＝DE.(12分)26．解：(1)∠BAD ＝∠CAE.(2分)(2)∠DCE ＝60°，不发生变化．(4分)理由如下：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，AD＝AE ，∴∠ACD ＝120°，∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE.(7分)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)，∴∠ACE ＝∠B ＝60°， ∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝120°－60°＝60°.(11分)∴∠PFA ＝∠FPA ＝∠A ＝60°， ∴PF ＝AP ＝AF ，∴PF ＝BQ.又∵∠BDQ ＝∠FDP ，∠DBQ ＝∠DFP ，∴△DQB ≌△DPF ，∴DQ ＝DP ，即点D 为线段PQ 的中点．(9分)(3)解：在运动过程中线段ED 的长不发生变化，是定值，ED的长为3.(10分)理由如下：由(2)可知PF ＝AP ＝AF ，∴△AFP 为等边三角形．又∵PE ⊥AF ，∴EF ＝12AF.由(2)可知△DQB ≌△DPF ， ∴DF ＝DB ，即DF ＝12BF ，∴ED ＝EF ＋DF ＝12(AF ＋BF)＝12AB ＝3.(14分)。

2019年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°2．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（）A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上3．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）A B C D4．（4分）小狗皮皮看到镜子里的自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（）A B C D5．（4分）如图，点A的坐标（﹣1，2），则点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）6．（4分）平面直角坐标系中，点P （﹣2，1 ）关于直线x=1的对称点P'的坐标是（）A．（2，1） B．（4，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣3）7．（4分）如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（4分）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°9．（4分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（）A．3 B．6 C．8 D．9二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于．12．（5分）已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC=°．13．（5分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=．14．（5分）如图，把面积为1的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形DEF；对新三角形重复上述过程，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是．三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．16．（8分）证明定理．与一条线段两个端点距高相等的点，在这条线及的垂直平分线上．已知：如图，A为线段BC外任意一点，且AB=AC．求证：点A在BC的垂直平分线上．17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，请你按要求在该坐标系中在图中作出：（1）把△ABC向右平移4个单位长度得到的△A1B1C1；（2）再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，3），B （2，﹣1）．（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．（2）怎样表示线段CD上任意一点P的坐标？19．（10分）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF．（每个3×3正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）20．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P从原点O以每秒1个单位速度沿x 轴正方向运动，运动时间为t秒，作点P关于直线y=tx的对称点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点A．（1）当t=2时，求AO的长．（2）当t=3时，求AQ的长．（3）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示线段AP的长．21．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE．求证：AE=BE．22．（12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC 于点E．求证：AE=DE．23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．2019年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2．【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C 选项正确；直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；故选：D．【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．3．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．【分析】直接利用镜面对称的特点分析得出答案．【解答】解：根据图中所示，镜面对称后，应该为第一个图象．故选：A．【点评】此题考查了镜面反射对称的特点，注意与实际生活结合．5．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．【解答】解：点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：（1，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6．【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．【解答】解：∵点P（﹣2，1），∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣2）=3，∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3，∴点P′的横坐标为3+1=4，∴对称点P′的坐标为（4，1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x=1的距离，从而得到横坐标是解题的关键．7．【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如下图所示：符合题意的有3个三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．8．【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．9．【分析】根据题意，画出相应的图形，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：如右图1所示，当点P在线段MN的垂直平分线上时，PM=PN，此时点P，M，N构成等腰三角形；如右图2所示，当MN=MP时，此时点P，M，N构成等腰三角形；∵∠AOB=45°，OM=2，ON=4，∴点N到OB的距离是4×sin45°=22＞2，∴不存在NM=NP的情况，故选B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．【分析】根据等边三角形，平行线的性质，和平行四边形的判定，并根据等腰梯形性质求解．【解答】解：延长OD交AC于点G，∵OE∥CG，OG∥CE，∴四边形OGCE是平行四边形，有OE=CG，∠OGF=∠C=60°，∵OF∥AB，∴∠OFG=∠A=60°，∴OF=OG，∴△OGF是等边三角形，∴OF=FG，∵OD∥BC，∴∠ADO=∠B=60°∴梯形OFAD是等腰梯形，有OD=AF，即OD+OE+OF=AF+FG+CG=AC=9．故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是利用了：1、等腰三角形的性质和判定：三边相等，三角均为60度，有两角相等且为60度的三角形是等边三角形；2、平行四边形的判定的性质；3、等腰梯形的判定和性质．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【分析】利用∠2+∠3=90°，进而求出∠2的度数，再利用∠1=∠2即可得出答案．【解答】解：∵由题意可得：∠2+∠3=90°，∠3=30°，∴∠2=60°，∵∠1=∠2，∴∠1=60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出∠2的度数是解题关键．【分析】当∠ABC 为锐角时，过点A 作AD=AB ，交BC 于点D ，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB=∠ABH=70°、BH=DH ，结合AB +BH=CH 、CH=CD +DH 可得出CD=AB=AD ，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C 的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC 的度数；当∠ABC 为钝角时，由AB +BH=CH 可得出AB=BC ，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC 的度数．综上即可得出结论．【解答】解：当∠ABC 为锐角时，过点A 作AD=AB ，交BC 于点D ，如图1所示． ∵AB=AD ，∴∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH ．∵AB +BH=CH ，CH=CD +DH ，∴CD=AB=AD ，∴∠C=21∠ADB=35°， ∴∠BAC=180°﹣∠ABH ﹣∠C=75°．当∠ABC 为钝角时，如图2所示．∵AB +BH=CH ，∴AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=21∠ABH=35°． 故答案为：75°或35°．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC 为锐角及∠ABC 为钝角两种情况考虑是解题的关键．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC ．又点D 是边BC 的中点，∴∠BAD=21∠BAC=30°． 故答案是：30°．【点评】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．14．【分析】连接CD 、AE 、BF ，利用同底等高的三角形面积相等，可得S △ABC =S △BDC =S △CDE =43，同理：S △ABC =S △ACE =S △AEF =a 、S △ABC =S △ABF =S △BDF =43，再利用S △DEF 等于7个三角形面积之和，即可求得第一次操作后所得正三角形面积，同理即可得经过2017次操作后，所得正三角形的面积【解答】解如图，连接AE ，BF ，CD∵等边三角形ABC 的边长为1∴S △ABC=43 ∵AB=BD ，又∵BC=CE ，∴S △BCD =S △CDE ，∴S △ABC =S △BDC =S △CDE =43， 同理：S △ABC =S △ACE =S △AEF =43， S △ABC =S △ABF =S △BDF =43， ∴第一次操作后，S △DEF =7×43， ∴同理，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是72017×43， 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，构造同底等高的三角形．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【分析】连接BD ，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BD ，∵E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴AD=BD ，∴∠DBA=∠A ，∵∠A=66°，∴∠DBA=66°，∵∠ABC=90°，∴∠DBC=∠ABC ﹣∠ABD=24°∵AD=BC ，∴BD=BC ，∴∠C=2180DBC ∠- =24°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．【分析】作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的三线合一证明．【解答】证明：作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线，∴点A 在BC 的垂直平分线上．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．17．【分析】首先利用平移的性质得到△A 1B 1C 1，进而利用关于x 轴对称点的性质得到△A 2B 2C 2，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求：（2）如图所示：△A2B2C2即为所求：【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．18．【分析】（1）据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点C、D的位置，然后连接CD即可；（2）线段CD上所有点的横坐标都是﹣2；【解答】解：（1）如图线段CD；（2）P（﹣2，y）（﹣1≤y≤3）．【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．19．【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可．【解答】解：如图，△DEF即为所求．（答案不唯一）【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种．20．【分析】（1）作辅助线，构建点D ，根据正比例函数y=2x ，可得D 的坐标（2，4），证明△OPD ∽△QAP ，得AQ 与AP 的关系，设AO=a ，最后利用勾股定理列方程可得结论；（2）（3）同理可得AQ 和AP 的长．【解答】解：过P 作PD ⊥x 轴，交直线y=tx 于D ，连接OQ ，（1）当t=2时，y=PD=2x=4，∵∠BDP +∠DPB=∠DPB +∠APQ=90°，∴∠BDP=∠APQ ，∴△OPD ∽△QAP ， ∴2142===AP QA PD OP ， ∴AP=2AQ ，设AQ=a ，Rt △AQO 中，OQ=OP=2，由勾股定理得：OQ 2=AQ 2+AO 2， ∴()2222212⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a ， 5a 2+4a ﹣12=0， a 1=﹣2（舍），a 2=56，∴AO=56；（4分） ②当t=3时，OP=3，PD=9，设AQ=a ，Rt △AQO 中，OQ=OP=3，由勾股定理得：OQ 2=AQ 2+AO 2，()2223313⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a ， 5a 2+3a ﹣36=0，（a +3）（5a ﹣12）=0，a 1=﹣3（舍），a 2=512， ∴AQ=31AP=31（512+3）=59；（4分） （3）同理OP=t ，PD=t 2，∴△OPD ∽△QAP ， ∴tt t AP AQ PD OP 12===， ∴AP=tAQ ，Rt △AQO 中，OQ=OP=t ，由勾股定理得：OQ 2=AQ 2+AO 2，∴()222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=t AP t AP t ， AP=1223+t t ．（2分）【点评】本题考查点成轴对称问题，考查了正比例函数图象上点的关系、三角形相似的性质和判定、轴对称的性质等知识，解题的关键是求得点D的坐标，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】由∠C=90°结合三角形内角和定理可得出∠CAB+∠B=90°，由∠CAB=∠BDE可得出∠BDE+∠B=90°，进而可得出∠DEB=90°，由∠DAB=∠B可得出DA=DB，再利用等腰三角形的三线合一可证出AE=BE．【解答】证明：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠CAB=∠BDE，∴∠BDE+∠B=90°，∴∠DEB=90°．∵∠DAB=∠B，∴DA=DB，∴AE=BE．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，牢记等腰三角形的三线合一解题的关键．22．【分析】先利用角平分线得到∠BAD=∠EAD，再有DE∥AB，得到∠BAD=∠ADE，利用等量代换得到∠EAD=∠ADE，根据“等角对等边”即可得到AE=DE．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠BAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记“等角对等边”．23．【分析】（1）只要证明△DEB 是等边三角形，再根据SAS 即可证明；（2）如图，作点E 关于直线AC 对称点E'，连接BE'交AC 于点H ．则点H 即为符合条件的点．【解答】（1）证明：在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，E 为AB 边的中点，∴BC=EA ，∠ABC=60°．∵△DEB 为等边三角形，∴DB=DE ，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE ≌△CDB ．（2）解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E'，连接BE'交AC 于点H ．则点H 即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE ，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形， ∴AB EA E E 21=='， ∴∠AE'B=90°，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，3=BC ， ∴32=AB ，3=='AE E A ， ∴()()33322222=-='-='E A AB E B ，∴BH +EH 的最小值为3．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

人教版八年级数学上册第13章轴对称单元测试题一．选择题（共10小题）1．下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2．点（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，以BC为边作等腰三角形，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定5．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB交BC于点F，已知AE＝5，则△EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．156．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（）A．36B．24C．18D．167．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（）A．70°B．55°C．40°D．30°8．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF+EF 的最小值是（）A．1B．2C．D．9．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（）A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°10．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM ⊥BC于点M．下列结论错误的是（）A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CM＝CE D．DM＝2CM二．填空题（共8小题）11．在平面直角坐标系中，点P（﹣8，7）关于x轴对称的点的坐标为．12．常见的汉字中，列举三个是轴对称图形的字：．13．等腰△ABC的顶角为30°，腰长为5，则S＝．△ABC14．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．15．如图，等腰三角形ABC的面积是16，且底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点EF，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CMD周长的最小值是．16．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是H、G，线段HG交OP于点C，∠AOB＝30°，OP ＝10，则HG＝．17．已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝a，则△A7B7A8的边长为．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有个．三．解答题（共7小题）19．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，过C点作AD的平行线交BA的延长线于点E．（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）延长CA至点F，使AF＝AC，连接BF，求证：BF⊥BC．21．如图，A，B是直线l同侧的两点．请在直线l上找一点C，使得AC+CB最小，并说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．23．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．24．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE 的周长为6cm（1）求△ABC中BC边的长度；（2）若∠B+∠C＝64°，求∠DAE的度数．25．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标是（2，3），故选：B．3．解：①以点B为圆心，BC长度为半径作圆，交AB于点D1；②以点C为圆心，BC长度为半径作圆，分别交AB、BC于点D2、D3；③作BC的垂直平分线，交AB于点D4．∵AB＞2BC，∴点D1、D2、D4均不重合．故选：C．4．解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C，故选：B．5．解：∵△ABC是等边三角形，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝2×5＝10，∵D为AB的中点，∴AB＝2AD＝20，∴AC＝AB＝20，∴EC＝AC﹣AE＝15，∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B＝60°，∠FEC＝∠A＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴△EFC的周长＝3EC＝3×15＝45．故选：B．6．解：∵直线ME为线段AB的垂直平分线，∴MA＝MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），又直线NF为线段BC的垂直平分线，∴NB＝NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝AM+MN+NC＝AC＝24（等量代换），故选：B．7．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：C．8．解：作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值＝DE，∵DG⊥AB，∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∴CD＝2，∵∠DGF＝∠BEF＝90°，∠BFE＝∠DFG，∴∠D＝∠B＝30°，∴DE＝，∴CF+EF的最小值是，故选：C．9．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．10．解：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠ACB＝30°，连接BD，∵等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴DB＝DE，又∵DM⊥BC，∴BM＝EM，故B正确；∵CM＝CD＝CE，故C正确；故D错误，∴ME＝3CM，∴BM＝3CM，故A正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．解点P（﹣8，7）关于x轴对称的点的坐标为（﹣8，﹣7），故答案为：（﹣8，﹣7）．12．解：列举三个是轴对称图形的字：日、中、工等．故答案为：日、中、工等．13．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC＝5，∠A＝30°，∴BD＝AB＝，＝×5×＝，∴S△ABC故答案为：．14．解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．③三个角都相等的三角形是等边三角形④三边都相等的三角形是等边三角形，故答案为①②③④．15．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短为：（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案为：1016．解：连接OH，OG．∵点P关于OA、OB的对称点分别是H、G，∴OP＝OH，OP＝OG，∠AOP＝∠AOH，∠POB＝∠BOG，∵∠AOB＝30°，∴∠AOP+∠BOP＝30°，∴∠HOG＝2∠AOP+2∠BOP＝60°，∴△OGH是等边三角形，∴GH＝OH＝OP＝10，故答案为10．17．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝a，∴A2B1＝a，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4a，A4B4＝8B1A2＝8a，A5B5＝16B1A2＝16a，以此类推：A7B7＝64B1A2＝64a．故答案是：64a．18．解：①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；共1+2+1＝4．故答案为：4．三．解答题（共7小题）19．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；（2）∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠BAC＝120°．20．（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵CE∥AD，∴CE⊥BC，AD是△BCE的中位线，∴AB＝AE，∵AB＝AC，∴AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形；（2）证明：∵AB＝AC，AF＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AF，∴∠ABF＝∠F，∴2（∠ABF+∠ABC）＝180°，∴∠FBC＝90°，∴BF⊥BC．21．解：如图点C即为所求．设C′是直线l上的任意一点，连接AC′，BC′，作点B关于直线l的对称点B′连接AB′交直线l于C，连接BC．∵直线l垂直平分线段BB′，∴CB＝CB′，CB＝CB，∵C′A+C′B′≥AB′，∴AC′+BC′≥AC+BC，∴AC+CB的最小值为线段AB′．∴点C即为所求的点．22．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2（﹣2，﹣4）．23．证明：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD；（2）连接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．24．解：（1）∵DF垂直平分AB，EG垂线平分AC，∴AD＝DB，AE＝EC，∵△ADE的周长＝AD+DE+AE＝6cm，∴BC＝BD+DE+EC＝AD+DE+AE＝6cm，∴BC＝6cm；（2）∵AD＝DB，AE＝EC，∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，∵∠B+∠C＝64°，∴∠BAD+∠EAC＝64°，∴∠DAE＝180°﹣（∠B+∠C+∠BAD+∠EAC）＝52°．25．解：（1）△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，∴△BDO是等腰三角形．（2）同理△CEO是等腰三角形，∵BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．。

人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷及答案一、选择题（共8题）1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为( )A．16cm B．17cmC．20cm D．16cm或20cm3.如图，已知△ABC中∠ABC=40∘，∠ACB=60∘，DE垂直平分AC，连接AE，则∠BAE的度数是( )A．10∘B．15∘C．20∘D．25∘4.如图，在△ABC中BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于( )A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm5.如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为( )A．2B．1C．3D．46.如图，△ABC中AC=6，BC=3，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长等于( )A．8B．9C．10D．117.如图，在△ABC中AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，若∠BAC=112∘，则∠EAF为( )A．38∘B．40∘C．42∘D．44∘8.如图所示，在△PMN中∠P=36∘，PM=PN=12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG=NQ，若MQ=a，则NG的长是( )A．a B．12+a C．12−a D．12+2a二、填空题（共5题）9.在直角坐标系中，点A(1,−2)关于原点对称的点的坐标是．10.如图，在△ABC中，高AD，BE相交于H点，若BH=AC，则∠ABC=°．11.如图，在△ABC中AB=AC=4，CD=1，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则BD=．12.如图，在△ABC中∠C=90∘，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，若∠B=30∘，DE=3则BC=．13.已知：如图，在△ABC中AB=AC，∠A=30∘，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点，连接BE，则∠CBE=．三、解答题（共5题）14.完成下列各题．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）．15.如图，在△ABC中AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．16.如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，若AB=15，AC=6，求AM的长度．17.如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．(1) 求证：∠BAD=2∠MAN．(2) 连接BD，若∠MAN=70∘，∠DBC=40∘，求∠ADC．18.如图，△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB，AC于点D，点E．(1) 求证：DB=DP；(2) 若DB=5，DE=9，求CE的长．参考答案一、选择题（共8题）1. D2. C3. C4. C5. A6. B7. D8. C二、填空题（共5题）9. (−1,2)10. 4511. 312. 913. 45°三、解答题（共5题）14. 略15. ∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵BD，CE分别是高∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB=∠BDC=90∘．∴∠ECB=90∘−∠ABC，∠DBC=90∘−∠ACB．∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．∴FB=FC（等角对等边）在△ABF和△ACF中{AB=AC, AF=AF, FB=FC,∴△ABF≌△ACF(SSS)∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等）∴AF平分∠BAC．16. 连接BD，CD，如图∵O为BC中点DO⊥BC∴OD是BC的垂直平分线∴BD=CD∵AD是∠BAC的平分线DM⊥AB，DN⊥AC ∴DM=DN在Rt△BMD和Rt△CND中{BD=CD, DM=DN,∴Rt△BMD≌Rt△CND(HL)∴BM=CN∵DM⊥AB，DN⊥AC∴∠AMD=∠N=90∘在Rt△AMD和Rt△AND中{AD=AD, DM=DN,∴Rt△AMD≌Rt△AND(HL)∴AM=AN=AC+CN=AC+MB ∴AB+AC=AM+MB+AN−CN=AM+AN=2AM=21,∴AM=212．17.(1) 连接AC∵M是CD的中点AM⊥CD∴AM是线段CD的垂直平分线∴AC=AD又AM⊥CD∴∠3=∠4同理，∠1=∠2∠BAD即∠BAD=2∠MAN．∴∠2+∠3=12(2) ∵AM⊥CD，AN⊥BC，∠MAN=70∘∴∠BCD=360∘−90∘−90∘−70∘=110∘∴∠BDC=180∘−∠DBC−∠BCD=30∘∠BAD=2∠MAN=140∘∵AB=AC，AD=AC∴AB=AD∴∠ADB=∠ABD=20∘∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50∘．18.(1) ∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∵BP平分∠ABC∴∠PBA=∠PBC∴∠DPB=∠PBA∴DB=DP．(2) 由（1）同理可得EC=EP∴DE=DP+EP=DB+CE∵DB=5，DE=9∴CE=4．。

人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷一．选择题1．点A（﹣3，1）关于x轴的对称点为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（3，1）D．（3，﹣1）2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC＝2，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定5．琪琪从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（）A．12：01 B．10：51 C．11：59 D．10：216．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）8．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（） A．13 B．14 C．15 D．169．如图，在∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是点G，点P关于ON的对称点是点H，连接GH分别交OM，ON 于点A，B．若GH的长是12cm，则△PAB的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．1510．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（）A．8 B．10 C．14 D．10或14二．填空题11．已知点A（m，3）与点B（2，n）关于x轴对称，则（m+n）2020的值为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB与BC边相交于点E，若BE＝3，CE＝5，则△CDE的周长是．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，斜边AB的长为．14．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝．15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（2，﹣1），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有个．16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），经过第1次变换后所得的A1坐标是（a，﹣b），则经过第2020次变换后所得的点A2020坐标是．17．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是．18．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°，那么这个三角形是，它有条对称轴．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，点P2019的坐标是．三．解答题21．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．22．已知点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b），若点A、B关于y轴对称，求a+b的值．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，∠A＝50°，DE为AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、D．（1）求△BCD的周长；（2）求∠CBD的度数．24．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1个单位，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．（1）请写出点A，B，C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．25．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．26．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．27．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．（1）求证：点D在BE的垂直平分线上；（2）若∠ABE＝20°，请求出∠BEC的度数．答案一．选择题1．B．2．C．3．B．4．B．5．D．6．D．7．C．8．C．9．A．10．C．二．填空题11．1．12．11．13．10．14．10．15．4．16．（a，﹣b）．17．10．18．等边三角形，319．．等边三角形． 20．（8，3）．三．解答题21．解：（1）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（2）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD＝∠ADE，∠C＝∠EAC＝∠AED．∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，在△ADE中，∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（2∠B+2∠C）∴∠DAE＝180°﹣2（100°﹣∠DAE）∴∠DAE＝20°．22．解：∵点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b）关于y轴对称，∴，解得．故a+b＝0+1＝1．23．（1）解：∵DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝AC+BC＝10+6＝16（cm）；（2）解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DA＝DB，∠A＝∠ABD＝50°，∴∠CBD＝65°﹣50°＝15°．24．解：（1）由图知，A（﹣4，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）；（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×2×4＝4；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．25．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案为：50°；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．26．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．27．（1）证明：连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）解：∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE，∵∠ABE＝20°，∴∠BEC＝60°．。