坐标系与参数方程课后限时作业(六)含答案新高考高中数学

【高中数学】高考数学《坐标系与参数方程》解析一、131．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(2,2)-，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即22sin 22cos ρθθ=-， 即222sin 22cos ρρθρθ=-，所以2222220x y x y ++-=， 所以圆心坐标为(2,2)-， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其中¶AE ，¶EF ，·FG，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】分别计算»AE ，»EF，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】根据题意可知，»AE 的长度2π，»EF 的长度为π，»FG的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.3．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·沈阳市模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解析：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t 代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M (－2＋22t 1，22t 1)，N (－2＋22t 2，22t 2)，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ，∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|， ∴(22a )2－4×8a ＝8a ， ∴a ＝5.2．(2018·长沙市模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4，(t 为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos 2 θ4＋ρ2sin 2θ＝1. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－265)2－4×(－25)＝6425＝85.3．(2018·太原市模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求实数α的值．解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α|＝42|sin(α－π4)|＝42， ∴sin(α－π4)＝±1， ∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z)， ∵0<α<π，∴α＝3π4.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝ 3.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解析：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝3， 所以ρ(12cos θ－32sin θ)＝3， 即x －3y －23＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，可得x 29＋y 23＝1.(2)设点P (3cos α，3sin α)为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离 d ＝|3cos α－3sin α－23|2＝|32cos (α＋π4)－23|2，故当cos(α＋π4)＝－1时，d 取得最大值，为32＋232.B 组——能力提升练1．(2018·南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若曲线C 向左平移一个单位长度，再经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，得到曲线C ′，设M (x ，y )为曲线C ′上任意一点，求x 24－3xy －y 2的最小值，并求相应点M 的直角坐标．解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，向左平移一个单位长度再经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，得到曲线C ′的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1，设M (2cos α，sin α)，则x 24－3xy －y 2＝cos 2α－23sin αcos α－sin 2α＝cos 2α－3sin 2α＝2cos(2α＋π3)，当α＝k π＋π3时，x 24－3xy －y 2的最小值为－2， 此时点M 的坐标为(1，32)或(－1，－32)．2．(2018·太原模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． (1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，左焦点F (－22，0)代入直线AB的参数方程，得m ＝－22，直线AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入椭圆方程得t 2－2t －2＝0，所以t 1·t 2＝－2，所以|F A |·|FB |＝2.(2)椭圆x 212＋y 24＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ，根据椭圆和矩形的对称性可设椭圆C 的内接矩形的顶点为(23cos θ，2sin θ)，(－23cos θ，2sin θ)，(23cos θ，－2sin θ)，(－23cos θ，－2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，所以椭圆C 的内接矩形的周长为83cos θ＋8sin θ＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，当θ＋π3＝π2时，即θ＝π6时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.3．(2018·石家庄模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a (a ＞0)，Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O ，P ，Q 三点按逆时针方向排列． (1)当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝a 2，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝y得到曲线C ′，试判断点P的轨迹与曲线C ′是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由．解析：(1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)， 则由题意可得点Q 的极坐标为(ρ，θ＋π3)，再由点Q 的直角坐标中的横坐标等于 a ，a ＞0， 可得ρcos (θ＋π3)＝a ，可得12ρcos θ－32 ρsin θ＝a ，化为直角坐标方程为12x －32y ＝a . 故当点Q 在l 上运动时，点P 的直角坐标方程为x －3y －2a ＝0.(2)曲线C ：x 2＋y 2＝a 2， ⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入，得x ′24＋y ′2＝a 2，即x 24＋y 2＝a 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y 2＝a 2，x －3y －2a ＝0，消去x ，得7y 2＋43ay ＝0，解得y 1＝0，y 2＝－437a ，所以点P 的轨迹与曲线C ′有交点，交点的直角坐标分别为(27a ，－437a )，(2a,0)．。

高中数学专题复习
《坐标系与参数方程》单元过关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）
（A ）(22,1)- （B ）[22,22]-+ （C ）(,22)
(22,)-∞-++∞
（D ）(22,22)-+（汇编重庆文8）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．点P 的直角坐标为(1,3)，点P 的一个极坐标为 _▲___．
3．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的。

课时作业60 坐标系1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．2．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解：(1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 又直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4， |OQ |＝122＋22＝22， ∴点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4， 故线段PQ 的长为322.3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，点R 的直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)由于x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，则曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)， 根据题意，可令Q (2，sin θ)，则|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， 所以|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，(|PQ |＋|QR |)min ＝2.所以矩形PQRS 周长的最小值为4，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．(2019·某某某某四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7， ∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 5．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)，将D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 6．(2019·某某某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x ＝4.曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0<α<π4与曲线C 交于点O ，A ，与直线l 交于点B ，求|OA ||OB |的取值X 围．解：(1)由ρcos θ＝x ，得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)，消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ.(2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝4cos α， 所以|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos α＋2sin αcos α4＝sin αcos α＋cos 2α2＝14(sin 2α＋cos 2α)＋14＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋14，因为0<α<π4，所以π4<2α＋π4<3π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4≤1，所以12<24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋14≤1＋24.故|OA ||OB |的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋24. 7．(2019·某某某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2.已知点Q 是曲线C 1上的动点，点P 在线段OQ 上，且满足|OQ |·|OP |＝4，动点P 的轨迹为C 2.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 则|OP |＝ρ，|OQ |＝ρ1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，由|OQ |·|OP |＝4得C 2的极坐标方程为 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6(ρ>0)，所以ρ＝3cos θ＋sin θ，两边乘ρ得ρ2＝3ρcos θ＋ρsin θ，因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以x 2＋y 2－3x －y ＝0， 所以C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1(x 2＋y 2≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)， 由题设及(1)知|OA |＝2，ρB ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6， 于是△AOB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2α－34≤32，当α＝0时，S 取得最大值32.所以△AOB 面积的最大值为32.8．(2019·某某名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标． 解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ， 即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5，因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆．设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1.① 因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，② 联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32. 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又由于圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小， 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 点A 的极径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3.所以点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3.。

高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2（汇编全国理，6）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．在极坐标系中，曲线23sin ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 ．3．（理）已知圆的极坐标方程为：242cos 604πρρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，若点P(x ，y)在该圆上，则x ＋y 的最大值为____________．11、（文）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则=-m M ____________． 评卷人得分 三、解答题4．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．5．已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—4:坐标系与参数方程6．在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：6cos()3πρθ=-的圆心C 且与直线OC垂直的直线l 的极坐标方程。

7．已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=． ⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．8．已知圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径。

专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。

高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线 宀 化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入 将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾， 所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形 式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪 （0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线 化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切， ・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。

高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是…（ ）A ．θρcos 2a -=（232πθπ<≤）． B ．θρcos a =（πθ<≤0）． C ．θρsin 2a -=（232πθπ<≤）． D ．θρsin a =（πθ<≤0）．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是____________ . （汇编年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题)3．已知圆的极坐标方程为4c o s ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = ______.（汇编年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 评卷人得分 三、解答题4．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕs in cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合． （1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（2）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．19．（文）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.5．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系. （汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））坐标系与参数方程:6．已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x (θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ，求直线截圆C 所得的弦长。

高中数学《坐标系与参数方程》练习题（附答案解析）一、单选题1．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的一条切线方程为（ ） A ．cos 2ρθ=B ．cos 1ρθ=C ．sin 2ρθ=D ．sin 1ρθ=2．参数方程2x t y t ⎧=⎨=⎩（其中t ∈R ）表示的曲线为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．极坐标方程2sin 0ρθρ-=的直角坐标方程为（ ） A ．220x y +=或1y = B ．1x =C ．220x y +=或1x =D ．1y =4．在极坐标系中，下列方程表示圆的是（ ） A ．tan 1θ= B ．sin 1ρθ= C ．π6θ=D ．π6ρ=5．已知点P 的直角坐标为12⎛- ⎝⎭，则P 的极坐标为（ ）A ．21,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．41,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．41,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知实数a ，b 满足226a b +=，则ab 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(],3-∞C ．(][),33,∞∞--⋃+D ．[]3,3-7．P 是椭圆4sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上一点，且在第一象限，OP （O 为原点）的倾斜角为6π，则点P的坐标为（ ）A ．()3,2B ．⎝⎭C ．()D ．()4,38．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为（ ）A BC D ．9．已知复数1z ，2z 满足1111z z ++-=，22i 2z -=，（其中i 是虚数单位），则12z z -的最大值为（ ）A ．3B ．5 C．D．210．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝4上三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）构成正三角形ABC ，那么222123x x x ++=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．6二、填空题11．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：3,2,x x y y ''=⎧⎨=⎩则点A 1(,2)3-经过变换后所得的点A ′的坐标为________．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），则曲线C 的普通方程为______．13．参数方程12?33x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，[]0,1t ∈）对应曲线的长度为______．14．变量x ､y满足x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝t 为参数)，则代数式22y x ++的取值范围是___________．三、解答题15．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）4sin ρθ= （2）sin 2cos ρθθ=+ （3）6πθ=16．（1）我们知道，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程是222x y r +=，那么cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示什么曲线？（其中r 是正常数，θ在0,2π内变化）（2）在直角坐标系中，cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，表示什么曲线？（其中a 、b 、r 是常数，且r 为正数，θ在0,2π内变化）17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为()2211x y +-=．P 为曲线1C 上一动点，且2OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程； (2)曲线3C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点M 为曲线3C 上一动点，求MQ的最大值．参考答案与解析：1．A【分析】利用圆的极坐标方程，结合直线的极坐标方程进行求解即可. 【详解】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心为(1,0)，半径为1，如图所示：所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：2πθ=，或cos 2ρθ=，故选：A 2．D【分析】将参数方程化为普通方程即可得到结果.【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：2y x =，∴曲线为抛物线. 故选：D. 3．A【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩，即可得到答案．【详解】由曲线的极坐标方程2sin 0ρθρ-=，两边同乘ρ，可得()2sin 10ρρθ-=，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩，可得：()()2222100x y y x y +-=⇔+=或1y =，故选：A 4．D【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，根据直角坐标方程可得答案. 【详解】由tan 1θ=及tan yxθ=，可得0x y -=，该方程表示直线；故A 不正确； 由sin 1ρθ=及sin y ρθ=，可得1y =，该方程表示直线；故B 不正确； 由π6θ=及tan ,0y x x θ=>，得,0y x =>，该方程表示射线；故C 不正确；由π6ρ=及222x y ρ+=，得222π6x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，该方程表示圆；故D 正确.故选：D 5．A【分析】极径OP ρ=，极角θ满足tan yxθ=，但要注意点P 所在的象限． 【详解】∵1OP =，∵1ρ=， ∵极角θ满足tan y x θ==12⎛- ⎝⎭在第二象限，∵23πθ=， 点P 的极坐标为21,3π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ． 6．D【分析】根据圆的参数方程可设a θ=，b θ=，再用二倍角公式整理计算． 【详解】∵226a b +=，不妨设a θ=，b θ= 则[]6sin cos 3sin 23,3b a θθθ==∈-故选：D ． 7．B【分析】设点(),4sin 02P πααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，即可得出点P 的坐标.【详解】设点(),4sin 02P πααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，OP k α==所以，1tan 2α=， 所以，22sin 1tan cos 2sin cos 1sin 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，点P的坐标为⎝⎭.故选：B. 8．D【分析】根据题意，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆的位置关系，直接列公式求出弦长即可【详解】由已知，sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20x y -+=和2216x y +=，圆心到直线的距离d ==L ==故选：D 9．B【分析】转化椭圆与圆上的动点的距离的最大值即可【详解】复数1z 在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在()1,0-，()1,0的椭圆，方程为2212x y +=；复数2z 在复平面的对应点的轨迹为圆心在()0,2，半径为2的圆，方程为()2224x y +-=，12z z - 即为椭圆 2212x y += 上的点A 与圆22(2)4x y +-= 上的点B 的距离. 12z z -的最大值即为点A 到圆心 (0,2)C 的距离的最大值加半径.设,sin )A θθ.22222||2cos (sin 2)2cos sin 4sin 4OC θθθθθ=+-=+-+ 226sin 4sin (sin 2)10[1,9]θθθ=--=-++∈所以 ||[1,3]OC ∈.12max 325z z -=+=故选：B 10．D【分析】分别设()22442cos ,2sin ,2cos ,2sin ,2cos ,2sin 3333A B C ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，计算222123x x x ++，利用三角函数化简即可.【详解】因为三角形ABC 为正三角形，所以设()222cos ,2sin ,2cos ,2sin 33A B ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，442cos ,2sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故222222123244cos 4cos 4cos 33x x x ππθθθ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222114cos 4cos 4cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222224cos cos 3sin cos 3sin θθθθθ=++++()226cos sin 6θθ=+=，故选：D【点睛】关键点点睛：根据A,B,C 在圆上且构成正三角形ABC ，设三点坐标为()222cos ,2sin ,2cos ,2sin 33A B ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，442cos ,2sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，是解题的关键. 11．(1，－1)【解析】由伸缩变换得312x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩即可求出.【详解】设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：32x x y y ''=⎧⎨=⎩得到312x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩，由于点A 的坐标为1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是1131,(2)132x y =⨯='=⨯-=-'，所以A ′的坐标为(1，－1)． 故答案为：(1,1)-. 12．2215x y +=【分析】根据22sin cos 1αα+=消去参数，即可得到曲线的普通方程； 【详解】解：因为曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），又22sin cos 1αα+=，所以曲线C 的普通方程为2215x y +=；故答案为：2215x y +=13【分析】把参数方程化为普通方程，并判断曲线形状，进而得出曲线的长度.【详解】参数方程12?33x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，[]0,1t ∈），消去t 得3290x y --=，[]1,3x ∈，其表示一条线段，线段的两个端点分别为(1,3)-，(3,0)，14．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据参数方程求出动点(x ，y )的轨迹方程，()()2222y y x x --+=+--可看成点(－2，－2)与点(x ，y )连线斜率，数形结合即可求解．【详解】由x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝t 可得221(0,0)4y x x y +=≥≥，则M (x ，y )的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，()()2222y y x x --+=+--可看成点A (－2，－2)与点M (x ，y )连线斜率，如图，B (1，0)，C (0，2)，()()[]222,,2223AB AC y y k k x x --+⎡⎤=∈=⎢⎥+--⎣⎦， 故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．（1）()2224x y +-=；（2）()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（3）y =.【分析】由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可.【详解】（1）()222224sin 4sin 424x y y x y ρθρρθ=⇒=⇒+=⇒+-=；（2）()2222215sin 2cos sin 2cos 2124x y y x x y ρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒+=+⇒-+-= ⎪⎝⎭；（3）6y x πθ=⇒=【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，属于基础题.16．（1）表示以原点为圆心，r 为半径的圆；（2）表示以(),a b 为圆心，r 为半径的圆．【分析】消参法：同角三角函数的平方关系消去cos ,sin θθ，将参数方程化为一般方程，即可判断方程所代表的曲线.【详解】（1）cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩化为222x y r +=，∵cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r 是正常数，θ在0,2π内变化）表示以原点为圆心，r 为半径的圆． （2）cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，化为()()222x a y b r -+-=，∵cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，表示以(),a b 为圆心，r 为半径的圆．17．(1)2214x y +=(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∵2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cossin14ttαα+=，整理得()()222cos4sin10t tααα++-=，设A，B两点所对应的参数为12,t t，则1212221cos4sint t t tαα+==-+，∵2AM MB=，则122t t=-，联立12122t tt t=-⎧⎪⎨+=⎪⎩12tt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将12,t t代入12221cos4sint tαα=-+得221cos4sinαα⎛=-+⎝⎭⎝⎭，解得2223tan4kα==，故直线l的斜率为.18．(1)2sinρθ=；4sinρθ=(2)5【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求1C的极坐标方程，利用代入法求2C的极坐标方程；（2）M为2212xy+=上一点，Q为()2224x y+-=上一点，可知max max2MQ MN=+，即可求解.（1）由题意可知，将cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y+-=得2sinρθ=，则曲线1C的极坐标方程为2sinρθ=，设点P的极坐标为()00,ρθ，则2sinρθ=，点Q的极坐标为(),ρθ，由2OQ OP=得02ρρθθ=⎧⎨=⎩，即012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，将012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入02sinρθ=得4sinρθ=，所以点Q轨迹曲线2C的极坐标方程为4sinρθ=；第 11 页 共 11 页 （2）曲线3C 直角坐标方程为2212x y +=，设点),sin M ϕϕ， 曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，则圆心为()0,2N ，max max 2MQ MN =+， 即MN =当sin 1ϕ=-时，max 3MN = ，所以max 325MQ =+=.。