高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

选修4-4 极坐标与参数方程练习（每小题20分，共100分，考试时间50分钟）1. 已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。

2. 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值。

3. 已知圆锥曲线θθθ(sin 22cos 3⎩⎨⎧==y x 是参数）和定点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0A ，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点。

（1）求经过点F 2且垂直地于直线AF 1的直线l 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程。

4.已知曲线C 的极坐标方程 是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系，直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数）。

（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x ,2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值。

5. 已知直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2) 线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值．1. 解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=………………5分 （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到 02)13(2=-++t t ① ……………………8分因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。

高中数学选修44极坐标与参数方程试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中数学选修4-4综合试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） A.-6 B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的（ ）．A ．内部B ．外部C ．圆上D ．与θ的值有关12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷一、选择题（共10题，各4分，共32分）1.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）。

A B C D2.已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（）。

A B C D3.在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（）4.直线的参数方程是（）A （t为参数）B （t为参数）C （t为参数）D （t为参数）5.方程（t为参数）表示的曲线是（）。

A 一条直线B 两条射线C 一条线段D 抛物线的一部分6.参数方程（为参数）化为普通方程是（）。

A B CD7.设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A (，)B (，)C (3，)D (-3，)8.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l：与曲线C：相交，则k的取值范围是（）。

A B C D 但9.已知过曲线上一点P原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是A （3，4）BC (-3，-4) D10.若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）。

A 相交过圆心B 相交而不过圆心C 相切D 相离二、填空题（共4题，各4分，共16分）11.在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的方程是。

12.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|= 。

13.设直线参数方程为（为参数），则它的斜截式方程为。

14.三、解答题（共4题，共44分）15（12分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（6分）⑴（为参数）；⑵（为参数）16（12分）已知直线经过点P（1，1），。

（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A，B两点的距离之积（8分）17（10分）已知x、y满足，求的最值。

（6分）18（10分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。

极坐标与参数方程专题训练1、已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.2、在极坐标系中,已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线 cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.3、求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.4、已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x （其中α为参数），M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O 点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线2C ，直线的方程为2)4sin(=+πρx ，直线与曲线2C 交于,A B 两点。

(1)求曲线2C 的普通方程； (2)求线段AB 的长。

5、已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π6),点M 的极坐标为(6,π6),直线l 过点M ,且与圆C 相切,求l 的极坐标方程.6、已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,判断两曲线的位置关系.7、坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 内,直线l 的参数方程为22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数).以Ox 为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+.判断直线l 和圆C 的位置关系.8、已知曲线C 的参数方程,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),直线l 的极坐标方程:sin()14πρθ-=.直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,求MN 的长.9、已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合,曲线1224:sin():(),.44x tC p C t R A B y tπθ=⎧+=∈⎨=⎩交于两点求证:OA⊥OB.10、在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为参数),求直线l 被曲线C 所截得的弦长.11、在极坐标系中,已知圆C :ρ=4cos θ被直线l :ρsin(θ-π6)=a 截得的弦长为23,求实数a 的值.12、在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．13、在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标; (2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.14、在极坐标系中, A 为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点, B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点, 求AB 的最小值.15、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l 的参数方程为,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,t ∈R).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大.16、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆221164x y +=的右顶点为A ,上顶点为B ,点P 是第一象限内在椭圆上的一个动点,求PAB ∆面积S 的最大值.17、在极坐标中,已知圆C 经过点()4P π，,圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.18、已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos(2πθ+)与直线l :ρsin(4πθ+点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.19、在直角坐标系xoy 中,直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),若以直角坐标系xOy 的O 点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-.直线l 与曲线C 交于,A B两点,求AB .20、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,求r 的值.21、在极坐标系中,圆C 是以点C (2,-π6)为圆心、2为半径的圆. (1)求圆C 的极坐标方程;(2)求圆C 被直线l :θ=-5π12所截得的弦长.22、已知曲线C的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数,0a >),直线l 的参数方程是31x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数),曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. (Ⅰ)求曲线C 普通方程;(Ⅱ)若点12324(,),(,),(,)33A B C ππρθρθρθ++在曲线C 上,求222111||||||OA OB OC ++的值.23、已知直线的参数方程21x ty =-⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数),圆C 的极坐标方程:2sin 0ρθ+=.(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)在圆C 上求一点P ,使得点P 到直线的距离最小.24、在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 21(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.25、已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），（Ⅰ）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;26、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .27、已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数 上，对应参数分别为β=α与α=2π为（0＜α＜2π）M 为PQ 的中点。

高二数学选修４-４ 《极坐标》练习题一.选择题 １．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点Ｍ的坐标的是（ ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π Ｂ.⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D.⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π ２.点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B.⎪⎭⎫⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ) A.双曲线 Ｂ．椭圆 C.抛物线 D ．圆 4.圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π Ｃ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D.⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρ D.4cos -=θρ６、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 Ａ、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A.一条射线 B ．一条直线 C.一条线段 D.圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直 Ｄ、与有关，不确定９.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-π Ｃ.12-π D.2π １0.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为( ）Ａ.一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D.一个圆二.填空题（每题5分共25分）11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ １２．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是13.圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ,半径为3的圆的极坐标方程为 14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ,则极点到直线的距离是 １5、在极坐标系中,点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于___＿＿_____＿＿。

极坐标与参数方程一．选择题（共16小题）1．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（）A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=12．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sinθ，过点（4，）作曲线C的切线，则切线长为（）A．4 B．C．2D．23．已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为（）A．B．C．D．4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．5．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）A．2 B．C．1 D．6．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=47．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）8．过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ= B．ρcosθ= C．ρsinθ=2D．ρcosθ=29．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的半径为（）A．B．1 C．2 D．410．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）11．若直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）相切，则b=（）A．﹣4或6 B．﹣6或4 C．﹣1或9 D．﹣9或112．已知直线l的参数方程为（t为参数），则其直角坐标方程为（）A．x+y+2﹣=0 B．x﹣y+2﹣=0 C．x﹣y+2﹣=0 D．x+y+2﹣=013．若直线y=x﹣b与曲线（θ∈[0，2π））有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（）A．B．C．D．14．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3]D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]15．直线y=2x+1的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（θ为参数）16．把方程xy=1化为以t参数的参数方程是（）A． B．C．D．二．解答题（共12小题）17．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．18．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．19．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．20．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．21．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．23．已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．25．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．26．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．27．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．参考答案与解析一．选择题解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故选C．2．解：ρ=4sinθ化为普通方程为x2+（y﹣2）2=4，点（4，）的直角坐标是A（2 ，2），圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为．故选C．3．解：由点M的极坐标为，∴x M=5=﹣，=，∴M．故选：D．4．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．5．解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．6．解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ 即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．7．解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．8．解：由点（2，）可得直角坐标为，即．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即．故选：A．9．解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程得x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．∴圆ρ=2cosθ的半径为1．故选：B．10．解：由参数方程为，∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．因此与参数方程为等价的普通方程为．故选D．11．解：把直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）的参数方程分别化为普通方程得：直线：4x+3y﹣3=0，圆：x2+（y﹣b）2=9，∵此直线与该圆相切，∴，解得b=﹣4，或6．故选A．12．解：因为直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+2﹣=0．故选：B．13．解：化为普通方程（x﹣2）2+y2=1，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得法2：利用数形结合进行分析得，∴同理分析，可知．故选D．14．解：由条件可得cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），化简可得2x+y﹣4=0，x∈[2，3]，故选D．15．解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得，即为直线y=2x+1的参数方程．故选：B．16．解：xy=1，x可取一切非零实数，而A中的x的范围是x≥0，不满足条件；B中的x的范围是﹣1≤x≤1，不满足条件；C中的x的范围是1≤x≤1，不满足条件；故选D二．解答题17．解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（5分）（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）18．解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．19．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）20．解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）21．解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．22．解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）23．解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）24．解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．25．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）26．解：（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）27．解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．28．解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练第一组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A．23B．23-C．32D．32-2．下列在曲线sin2()cos sinxyθθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A．1(,2B．31(,)42-C．D．3．将参数方程222sin()sinxyθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（）A．2y x=-B．2y x=+C．2(23)y x x=-≤≤D．2(01)y x y=+≤≤4．化极坐标方程2cos0ρθρ-=为直角坐标方程为（）A．201y y+==2x或B．1x=C．201y+==2x或xD．1y=5．点M的直角坐标是(-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈6．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆二、填空题1．直线34()45x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e ety e e--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl ty t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y-=相交于点B，又点(1,2)A，则AB=_______________。

4．直线122()112x tty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y+=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin0x yαα+=的极坐标方程为____________________。

三、解答题1．已知点(,)P x y是圆222x y y+=上的动点，（1）求2x y+的取值范围；（2）若x y a++≥恒成立，求实数a的取值范围。

数学选修4-4 坐标系与参数方程一、 选择题1．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =2．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆3．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π-- B ．(5,)3π- C ．(5,)3π D ．5(5,)3π-5．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-6．直线l 的参数方程为()x a tt y b t =+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（）A ．1tB ．12t C1 D17．直线112()2x tt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,8．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ）A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2xD ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x9．直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ） AB ．1404 CD10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2B ．31(,)42- C． D． 11．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤12．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线二、填空题13．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

1.圆心为(0,0),半径为r 的圆的参数方程2、圆心为(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么？3. 已知圆参数方程： θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x ，如果圆上一点P 所对应的参数6πθ=，求P 点坐标4．已知圆参数方程： θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x ，如果圆上两点P 1P 2所对应的参数65πθ=，32πθ=，求弦P 1P 2长1.122=+y x2. 4)2()1(22=-+-y x3. 2)2(22=++y x4.化圆的普通方程x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1=0为参数方程1. θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x2.⎩⎨⎧+=-=2sin 21cos 2θθy x3.⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 4. θθθ(sin 32cos 31⎩⎨⎧-=+-=y x5.)(sin 1cos θθθ⎩⎨⎧+==y x6. ⎩⎨⎧+=-=ααsin 235cos 2y x1、参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （-22πθπ≤≤）表示的图形是以原点为圆心，半径为3的 （ ）A ．左半圆 B.上半圆C. 下半圆D.右半圆2、点（1，2）在圆⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 的A.内部B.外部C.圆上D.与θ值有关3、已知圆的参数方程是5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩圆心坐标为________ ，半径为_______，圆的标准方程为__________4、求圆 θθθ(sin 32cos 31⎩⎨⎧-=+-=y x 与圆（x+6）2+y 2=8的圆心之间的距离.1、圆⎩⎨⎧--=-=θθsin 1cos 2y x 的圆心坐标是（ ）半径为 ______．2、已知曲线c 1：⎩⎨⎧+=+=t y tx sin 3cos 4（t 为参数），则圆心为 ______，半径为 ______．3、圆⎪⎩⎪⎨⎧--=-=1sin 3cos 3ααy x 的圆心坐标是______．半径为 ______．4、已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1y x (θ为参数)，则曲线C 的普通方程是 ______；1、参数方程⎩⎨⎧-=-=θθsin 1cos y x 化成普通方程为_______．2、把圆的参数方程⎩⎨⎧--=+-=1sin cos 1t y tx 化成普通方程是______．3、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化成普通方程为 ______．1、若直线l ：y=kx 与曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 2y x 有唯一的公共点，则实数k=______．2、若直线x+y-a=0与圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则a 的取值范围是_____．3、曲线C ：⎩⎨⎧+==θθsin 1cos 1y x 的普通方程是______，如果曲线C 与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a 的取值范围是______4、直线3x+4y-7=0截曲线⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （α为参数）的弦长为______．5、直线x+2y=0被曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 53y x （θ为参数）所截得的弦长等于______．．6、设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为4x-3y+4=0，则7、在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos y x （θ为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为______．8、圆C ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数）的圆心坐标是______；若直线ax+y+1=0与圆C 相切，则a 的值为______9.已知圆⎩⎨⎧-=-=2sin 3cos 32θθy x ，直线a y x 222=+相切，求a.10、已知圆C 参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数），则点P （4，4）与圆C 上的点的最远距离是11、已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数），则曲线C 上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值为______．12、已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x (θ为参数，0≤θ≤π)，，则3-x y的取值范围是（ ）1.已知圆422=+y x ，点M （x,y ）在圆上，①求xy,x+y 范围②若x+y+m ≥0恒成立，求m 范围2. 已知圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=θθsin 3cos 31y x ，M 为其上任意一点，则x+y 范围。

极坐标与参数方程练习精选（一）班级 姓名 座号（满分150分）一、选择题（每小题5分，共140分）（ ）1、已知点1P 的球坐标是)4,,32(1πϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,=21P PA ．2B ．3C ．22D ．22 （ ）2、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π （ ）3、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标的是 A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， （ ）4、极坐标方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆（ ）5、圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π （ ）6、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定 （ ）7、两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-πC.12-πD.2π （ ）8、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 （ ）9、圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是。

高中数学选修4-4单元测试题--极坐标与参数方程班级: 姓名: 座号: 评分:一.选择题:(每小题5分，共40分)1.已知点M 的极坐标为)3,5(π，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是 ( ) A.)3,5(π- B.)34,5(π C.)32,5(π- D.)35,5(π- 2.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 ( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3.在极坐标系中，点),(θρP 关于极轴对称的点的一个坐标是 ( )A.),(θρ--B.),(θρ-C.),(θπρ-D.),(θπρ+4.极坐标方程52sin 42=θρ表示的曲线是 ( )A.圆B.椭圆C. 双曲线的一支圆D.抛物线5.实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为 ( )A.3.5B.4C.4.5D.56.直线⎩⎨⎧-=+=0020cos 120sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是 ( ) A.200 B.700 C.1100 D.16007.曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x (θ为参数)的焦距是 ( ) A.3 B.6 C.10 D.88.当t ∈R 时，参数方程⎪⎪⎨⎧+-=2248t t x （t 为参数），表示的图形是 ( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆二.填空题:(每小题5分，共30分)9.点(2,-2)的极坐标为:_____________.10.若A )3,3(π,B )4,4(π-，则|AB|=___________,S AOB ∆=_____________.（其中O 是极点） 11.极点到直线()ρθθcos sin +=3的距离是:____________ .12.)(4321为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=--=与曲线(y-2)2-x 2=1相交于A,B 两点,则点M(-1,2)到弦AB 的距离 是:_____________ ,线段AB 的中点坐标是: _______ _____.13.圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==tan 3sec 4y x 的准线方程是: _______ . 14.直线l 过点)5,1(0M ,倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为: __ _. 三.解答题:15.(12分)求圆心为C )6,3(π,半径为3的圆的极坐标方程.16.(14分)已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，(1)写出直线l 的参数方程.(2)设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B,求点P 到A 、B 两点的距离之积.17.(13分)参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ,∈θ[0,2π),判断点A(1,3)和B(2,1)是否在方程的曲线上.18.(14分)将下列方程化为普通方程： (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)sin 1(212sin 2cos θθθy x (θ为参数) (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--22t t tt e e y e e x (t 为参数)19.(13分)设O 是直径为 a 的圆上的一点,过0点任意作直线交圆于眯P,在射线OP 上取一点M,使a MP =,当点P 在圆上移运一周时,求相应的点M 的轨迹方程.20.(14分)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴正半轴交于点A,若这个椭圆上存在点P,使AP OP ⊥(O 为原点),求椭圆的离心率e 的取值范围.高中数学选修4-4单元测试题--极坐标与参数方程参考答案1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.B8.B9.⎪⎭⎫ ⎝⎛-422π，或写成⎪⎭⎫ ⎝⎛4722π， 10.5，6 11.d ==3262 12.)311,34(,354- 13.516±=y 14.3610+Rt OAP OP OA POA ∆中，=⋅∠cos ∴=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ρθπ66cos 而点O )32,0(π A )6,0(π符合16.解：(1)直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= (2)因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2 所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝217.解：把A 、B 两点坐标分别代入方程得⎩⎨⎧==θθsin 23cos 21 (1)，⎩⎨⎧==θθsin 21cos 22(2)，在[0,2π)内，方程组(1)的解是3πθ=，而方程组(2)无解，故A 点在方程的曲线上，而B 点不在方程的曲线上.18. 解:(1)做y x 22-＝(cos 22θ+sin 22θ+sin θ)－(1+sin θ)＝0 y x 22-＝0，但由于)4sin(2πθ+=x ，即0≤x ≤2. ∴参数方程只表示抛物线的一部分，即y x 22=（0≤x ≤2）(2)解方程组得t e y x =+①; te y x -=-② ①×②得22y x -＝1 从2tt e e x -+=知x ≥1（提示应用均值定理） 所求的普通方程为22y x -＝1 (x ≥1) 19.以O 为极点,水平向右的直线为极轴建立极坐标系,则圆的方程为θρcos a =.设点案θρcos a a += 20.)1,22(。

高中数学选修4-4坐标与参数方程同步练习题第一讲 坐标系 第一节 平面直角坐标系一、选择题1．已知▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是 ( )．A ．(9，－1)B ．(－3，1)C ．(1，3)D ．(2，2) 解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标．设D (x ，y )，则⎩⎨⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5.∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3)．答案 C2．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是 ( )．A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3解析 设y ′＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝x ＋λ，y ′＝μy ，将其代入y ′＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，得μy ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋λ＋π6，∴μ＝1，λ＝－π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y .由函数y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y ，故是向左平移π6个单位．答案 A3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为 ( )．A ．25x 2＋36y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程． 答案 A4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13yC.⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′D.⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y 解析 设⎩⎨⎧x ′＝λx y ′＝uy代入第二个方程y ′＝sin x ′得uy ＝sin λx ，即y ＝1usin λx ，比较系数可得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝13λ＝2.答案 B 二、填空题5．在△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________________________． 解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两项两点， 且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0)． 答案x29＋y25＝1 (y ≠0) 6．在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程是____________． 解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案x ′24＋y ′29＝17．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝y后，曲线C 变为曲线x ′2＋9y ′2＝9，则曲线C 的方程是__________． 答案 x 2＋y 2＝18．在同一平面直角坐标系中，使曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是____________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y三、解答题9．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )，∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36. ①M 分AB →的比为12. ∴⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b 1＋12＝13b .⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝y后，曲线C 变为曲线x ′2－9y ′2＝9，求曲线C 的方程．解 直接代入得曲线C 的方程为x 2－y 2＝1. 11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．解 y ＝tan x 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x .设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0. 将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3λ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y. 第二节 极坐标系一、选择题1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案 B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于A.32＋62B.32－62C.36＋322D.36－322解析 极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.答案 C3．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43πD.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3答案 D4．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的 终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.答案 B二、填空题5．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________． 解析 利用极坐标系中两点间距离公式． 答案56．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，43π7．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3，－53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－23π 8．(极坐标意义的考查)极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴对称的点是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2π))解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案(1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6 三、解答题9．(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．解 (1)x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sinπ6＝－52. ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33. 又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，76π.10．(极坐标的应用)已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．解 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝ 4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S△AOB＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.11．已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．(1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点；(2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．解 (1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．第三节 简单曲线的极系坐标方程一、选择题1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )．A．ρ＝1 B．ρ＝cos θC．ρ＝－1cos θD．ρ＝1cos θ解析如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)．在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM，∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－1cos θ.答案 C2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为 ( )．A．ρ＝22cos θB．ρ＝－22 cos θC．ρ＝22sin θD．ρ＝－22 sin θ解析如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°，在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cosθ.答案 B3．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )．解析 ∵ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin θ·cosπ4＋2cos θ·sin π4＝2(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －222＝1，∴圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22.结合四个图形，可知选C. 答案 C4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 ( )．A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4 D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析 由已知得ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 答案 B 二、填空题5．两曲线ρsin θ＝2和ρ＝4sin θ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，34π6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________．解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的直角坐标方程为x －y －2＝0，极点的直角坐标为(0，0)，∴极点到直线的距离为d ＝|－2|12＋（－1）2＝2. 答案27．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．解析 过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x ＝3，曲线ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，把x ＝3代入上式，得9＋y 2－12＝0，解得，y 1＝3，y 2＝－3，所以|AB |＝|y 1－y 2|＝2 3.答案 2 38．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________． 解析 原方程化为直角坐标系下的方程为x 24－y26＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝10，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(10，0)，(－10，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，π)．答案 (10，0)，(10，π) 三、解答题9．(求直线的极坐标方程)求过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程． 解 在直线l 上任取一点M ，如图：因为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，所以|OH |＝2cos π6＝ 3.在Rt △OMH 中，|OH |＝ρcos θ＝3， 所以所求直线的方程为ρcos θ＝ 3. 10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化．(1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)ρcos 2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝12－cos θ.解(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin2θ＝4cos θ.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)∵ρcos2θ2＝1，∴ρcos θ＋12＝1，即ρcos θ＋ρ＝2，∴x＋x2＋y2＝2，整理有y2＝4－4x.(4)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4. 化简得x2－y2＝4.(5)∵ρ＝12－cos θ，∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x 2＋y 2－x ， 整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.11．(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为A ⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，半径为5的圆的极坐标方程．解 在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA |＝8，|AP |＝5，∠AOP ＝π3－θ或⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.由余弦定理得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝82＋ρ2－522×8·ρ，即ρ2－16ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋39＝0为所求圆的极坐标方程．第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）一、选择题1．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 ( )．A ．P 点(5，1，1)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B ．P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62C ．P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5)D ．P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析 设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sinπ4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364，y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.答案 B2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析 ∵ρ＝ （－1）2＋（－3）2＝2，θ＝43π，z ＝3.∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，3.答案 C3．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析 由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cosφ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π.∴M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，54π.答案 B4．点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，56π，则它的直角坐标为 ( )．A ．(－6，23，4)B ．(6，23，4)C ．(－6，－23，4)D ．(－6，23，－4)解析 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sinπ3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4)． 答案 A 二、填空题5．点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，53π，则M 的直角坐标为____________．解析 x ＝r sin φcos θ＝4×sin π2×cos53π＝2， y ＝r sin φsin θ＝4×sin π2×sin 53π＝－23，z ＝r cos φ＝4×cos π2＝0，∴M (2，－23，0)．答案 (2，－23，0)6．设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则它的直角坐标为______． 答案 (3，1，7)7．在球坐标系中，方程r ＝1表示______________________，方程φ＝π4表示空间的________________________． 答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为π2的圆锥面8．已知柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________． 解析 设点M 在平面Oxy 上的射影为P ，连结PN ，则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影． ∵MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， ∴PN ⊥直线Oy .∴|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1 ∴|OM |＝ρ2＋z 2＝22＋（5）2＝3.在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°，∴|MN |＝|PM |2＋|PN |2＝（5）2＋12＝6.答案 3 6三、解答题9．(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点M 的直角坐标为(1，1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标．解 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1，1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋（2）2＝2.由r cos φ＝z ＝2，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.10．将下列各点的柱坐标化为直角坐标．P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π，－3解 直接代入互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，可得P 的直角坐标为(3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，23，－3)． 11．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρθ，z )围成的几何体的体积．解 标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2， ∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π(体积单位)．第二讲 参数方程 第一节 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程一、选择题1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )．A ．(2，3)B ．(1，5) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sinθ＝0.∴过点(2，0)． 答案 D2．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2 θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为 ( )． A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C.答案 C3．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是 ( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．y ＝x （x －2）（1－x ）2 C ．y ＝1（1－x ）2－1 D ．y ＝x 1－x 2 解析 由x ＝1－1t ，得1t＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .∴(1－x )2·(1－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2·t 2＝1.整理得y ＝x （x －2）（1－x ）2. 答案 B4．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t y ＝b ＋t，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( )．A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1|解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)，∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|. 答案 C 二、填空题5．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________．解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a 代入曲线方程得cos θ＝12，a ＝2sin θ＝±21－14＝± 3.答案 ± 36．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________． 解析 设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2.这就是物体所经路线的参数方程．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)7．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)8．将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ化成普通方程为__________．解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2.答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题9．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由上述可知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 11．求圆x 2＋y 2＝9上一点P 与定点(1，0)之间距离的最小值．解 设P (3cos θ，3sin θ)，则P 到定点(1，0)的距离为d (θ)＝（3cos θ－1）2＋（3sin θ－0）2 ＝－6（cos θ＋sin θ）＋10 ＝－62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋10.当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d (θ)取最小值10－6 2.第2课时 参数方程和普通方程的互化一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为A ．y 2＝1＋xB ．y 2＝1－x C ．y 2＝1－x (－2≤y ≤2) D ．以上都不对答案 C2．曲线⎩⎨⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于 ( )．A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1答案 A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数)化为普通方程为 ( )． A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D. 答案 D4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( )．A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6 答案 A 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________． 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2，y >0)6．令x ＝t ，t 为参数，则曲线4x 2＋y 2＝4(0≤x ≤1，0≤y ≤2)的参数方程为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)7．将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析 易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案 (x －1)2＋y 2＝1 5－18．(2009·天津高考)设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2的距离为________． 解析 由题意得直线l 1的普通方程为3x －y －2＝0，故它与l 2的距离为|4＋2|10＝3105. 答案 3105三、解答题9．设y ＝tx (t 为参数)，求圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程．解 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得 (1＋t 2)x 2－4tx ＝0，解得x ＝4t 1＋t 2，∴y ＝tx ＝4t21＋t2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t2(t 为参数)，这就是圆的参数方程．10．两曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和⎩⎨⎧x ＝－3t 2，y ＝－4t2(t 为参数)，求它们的交点坐标．解 将两曲线的参数方程化为普通方程， 得x29＋y216＝1，y ＝43x (x ≤0)． 联立解得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22.11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解 (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22， 联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0， 所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同．第二节 圆锥曲线的参数方程 一、选择题1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为 ( )． A.23 B ．－23 C.32 D ．－32 解析 参数方程中消去t ，得3x ＋2y －7＝0.所以k ＝－32.答案 D2．下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C ．(2，3) D ．(1，3) 解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B. 答案 B3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C4．双曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为 ( )． A ．(3，0) B ．(4，0) C ．(5，0) D ．(0，5)解析 由⎩⎨⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝sec φ，y 4＝tan φ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝sec 2φ－tan 2φ＝1， 即双曲线方程为x29－y216＝1，焦点为F 1，2(±5，0)．故选C. 答案 C 二、填空题5．曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________．解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6．点P (1，0)到曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t(其中参数t ∈R)上的点的最短距离为________．解析 点P (1，0)到曲线上的点的距离设为d ，则d＝（x －1）2＋（y －0）2＝（t 2－1）2＋（2t ）2 ＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1. 答案 17．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x225＋y29＝1左焦点为(－4，0)．答案 (－4，0)8．已知曲线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，那么|MN |＝________．解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|＝4p |t 1|. 答案 4p |t 1| 三、解答题 9．在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离的最小值． 解设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝2 3 sin θ，d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cosθ－3sin θ－3|＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点，(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1∴－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0. ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴a ≥2－1.11．(椭圆参数方程的应用)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)． (2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y 23＝1，这就是线段F 1P的中点的轨迹方程．第三节 直线的参数方程一、选择题1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为 ( )． A.23 B ．－23 C.32 D ．－32解析 k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32.答案 D2．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )． A ．7 2 B ．4014C.82D.93＋4 3解析 ⎩⎨⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2t ×22y ＝1－2t ×22，把直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0.|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82. 答案 C3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )． A ．(3，－3) B ．(－3，3) C ．(3，－3) D ．(3，－3)解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4y ＝－33＋32×4⇒⎩⎨⎧x ＝3y ＝－3.答案 D。

高二级数学选修牛4《极坐标与参数方程》考试卷一、选择题（共10题，各4分，共32分）曲线的极坐标方程Q = 4sin化为直角坐标为（）022 2 2 2 2 2 2=4 C (x -2) y =4 D (x 2) y=42.已知点P的极坐标是（1,兀），则过点P且垂直极轴的直线方程是（3•在同一坐标系中‘将曲线y =2sin3x变为曲线y =sin x的伸缩变换是（D , x =sin日（t为参数）=2sin日勺A 2x-y 4=0B 2x y 4=0C 2x-y 4=0 x [2,3]D2xy r4 = 0 x [2,3]7.设点P对应的复数为・3+3 i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系‘则点()—3A (3.2，)B (4 -3.2，5)C (345)D (-341.Ax (y 2)=4 B x (y -2)1 cos1 cox =3x (A) Vx = 3x(B) J八尹x = 3x(C)』J =2yx= 3x(D)」’,y =2y4.直线y = 2x 1的参数方程是（人「+2；Y一t （ \旳余•粉、口•x2t1 ( t为参数)C” =4t +1x=t —17 = 2t -1（t为参数）* 丄15.方程』x=t+[ （t为参数）表示的曲线是（y=2A 一条直线B 两条射线C）0一条线段D6.参数方程丿x=2+sin日（日为参数）化为普通方程是（y = — 1 +cos2& 抛物线的一部分）°P的极坐标为0与曲线c：二2cos A ffl 交，8.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线I ： ykx°岂二乞■:上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角为二，则P 点坐4则直线与圆的位置尖系是A 相交过圆心 B相交而不过圆心二、填空题（共4题，各4分，共16分）11•在极坐标系中，以C 二）为圆心，旦为半径的圆的方程是2*22 12在极坐标中，若过点（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线卜=4C0Sd 于A 、B 两点，则|AB|=x = 2丄13.设直线参数方程为2（ t 为参数），则它的斜截式方程为则k 的取值范围是（12 ■ 3 - y（x =2 +t14.直线一（t 为参数）被双曲线x 2-y 2=1上截得的弦长为I. y = V3t三、解答题（共4题，共44分）15 （ 12分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线:（6分）X_5C0S. — • y =4sin ®为参数）；L 3t （t 为参数）-y = 4t9 •已知过曲线X ： ; 「为参数,A （ 3, 4）B （上，上）5 5C （-3，・4）D （空皂）5 510.若圆的方程为y =3 2si n r（日为参数），直线的方程为丿X=2t“（t 为参数）, y = 6t 「1相切 相离16 （12分）已知直线丨经过点P （1,1），倾斜角（1）写出直线I的参数方程；（2）设I与圆x2y"4相交于两点力B,求点P到A，B两点的距离之积（8分）17 （10分）已知x、y满足（x・1）2（y 2）八4,求S=3x-y的最值。