勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)

勾股定理的逆定理

1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( )

A.22

B.23

C. 6

D.

23

6

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C

详细解答：作BC 边上的高AD,

△ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。

1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。

A.2

B.3

C.4

D.33 答案：C

分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，

求出AC 和BC 。

详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

C

D

在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。 因此AB=BD+CD=3+1=4，

小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2

-BD 2

=AC 2

-AD 2

，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2

－b 2c 2

=a 4

－b 4

，则它的形状为

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状

知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。 答案：D

详细解答：∵ a 2c 2

－b 2c 2

=a 4

－b 4

，∴左右两边因式分解得))(()(2

222222b a b a b a c -+=-

∴0))((2

2222=---b a c b a ∴022=-b a 或02

22=--b a c ，

即b a =或2

22b a c +=，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。 2．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2

+︱a 2

-b 2

-c 2

︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形

（B ）直角三角形

（C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 答案：C

详细解答：∵(c-b)2

+︱a 2

-b 2

-c 2

︱=0，∴c-b =0且a 2

-b 2

-c 2

=0 即b c =且2

22b a c +=，

所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

知识点：勾股定理的逆定理

知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a 2

+b 2

=c 2

的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。 答案：C

详细解答：A 图和B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C 图中的两个三角形都是直角三角形。

3．在下列说法中是错误的（ ）

A ．在△ABC 中，2222

2AC m n mn m n =-+、BC=、AB=（m n 、为正整数，且m n >），则△ABC 为直角三角形.

B ．在△AB

C 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则△ABC 为直角三角形. C ．在△ABC 中，若2

22c b a =-，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：12：13，则△ABC 为直角三角形. 答案：B

详细解答： 在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，那么最大角∠C ＝

007518012

5

=⨯ 不是直角三角形。

△ABC 三条边的比为a:b:c ＝5:12:13，则可设a ＝5k ，b ＝12k ，c ＝13k ，a 2

＋b 2

＝25k 2

＋144k 2

＝169k 2

，c 2

＝(13k)2

＝169k 2

，所以，a 2

＋b 2

＝c 2

，△ABC 是直角三角形．

4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )