勾股定理及其逆定理的应用常见题型
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勾股定理及其逆定理的应用常见题型
利用勾股定理求线段长
1.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF的长.
(注:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
利用勾股定理求面积
2.如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D′处,BC交AD′于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.
利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
3.在△ABC中,D为BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13,判断△ABD的形状.
利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题
4.(中考·青岛)如图,圆柱形玻璃杯的高为12 cm,底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________.
利用勾股定理解决实际问题
65如图,某港口位于东西方向的海岸线上,A,B两军舰同时离开港口O,各自沿一固定方向航行,A舰每小时航行32 n mile,B舰每小时航行24 n mile,它们离开港口一个小时后,相距40 n mile,已知A舰沿东北方向航行,则B舰沿哪个方向航行?
(第6题)
几种常见的热门考点
勾股定理及其应用
1.直角三角形两直角边长分别为6和8,则连接这两条直角边中点的线段长为()
A.3 B.4 C.5 D.10
(第2题)
2.如图,长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为________.
3.如图,已知∠C=90°,BC=3 cm,BD=12 cm,AD=13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求:
(1)AB的长度;
(2)△ABD的面积.
(第3题)
勾股定理的验证
4.如图,对任意符合条件的直角三角形BAC,绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE =90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法.
(第4题)
直角三角形的判别
5.在△ABC中,AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,下列关系式成立的是()
A.∠B+∠C>∠A B.∠B+∠C=∠A
C.∠B+∠C<∠A D.以上都不对
6.已知|x-12|+|z-13|和(y-5)2互为相反数,则以x,y,z为边长的三角形为________三角形.
7.在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,线段AB,EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线,请你说明:AB⊥EA.
利用勾股定理求最短距离
8.如图,圆柱形无盖玻璃容器高18 cm,底面周长为60 cm,在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.
利用勾股定理解决实际问题
9.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题.小溪边长着两棵棕榈,恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位),另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻以相同的速度飞去抓鱼,并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远?
思想方法
a.方程思想
10.如图,四边形ABCD是长方形,把△ACD沿AC折叠得到△ACD′,AD′与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.
b.分类讨论思想
11.在△ABC中,若AB=20,AC=15,AD是BC边上的高,AD=12,试求△ABC的面积.
c.转化思想
12.如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC 边上的点,且AE=CF,若BE=14,CF=2,求线段DF的长.
(注:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
(第12题)