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学而思三年级奥数第九讲长方形与正方形知识点：长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长不规则图形面积的计算方法与技巧合理平移、分析、转化等，即转化为标准的图形来进行面积计算。
例1 有一长方形草坪，长31米，宽26米，草坪中间留了1米的路，路把草坪分成4块（如图），求草坪的实有面积是多少？例2如下图，求出阴影部分的面积。
（四角是边长为10厘米的正方形）例3 如图，在一个正方形的水池周围，围绕着宽5米的小花园，小花园的面积为300平方米，水池的面积是多少平方米？例4 如图，求出阴影部分的面积。
（单位：厘米）例5 如图，图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形的面积多96平方厘米，大正方形和小正方形的面积各是多少？例6如图，大正方形的面积比小正方形的面积大32平方厘米，求这两个正方形的面积。
（单位：厘米）例7 如图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形的四条边都分成两段，其中长的一段是短的一段的3倍，这个长方形的面积是多少？例8 用同样大小的长方形小纸片，摆成了如下图的形状，已知小纸片的宽度是12厘米，求阴影部分面积的和。
同步练习1、用长36厘米的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少？用这根铁丝围成一个长12厘米的长方形，它的面积是多少？2、如图，有一块长方形土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是花圃，花圃的面积是多少平方米？（单位：米）3、下图是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积？4、有两个相同的长方形，长13厘米，宽5厘米，如果把它们按如下图叠放在一起，这个图形的面积是多少？5、有一块菜地长16米，宽8米，如下图菜地中间留了2条宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？6、一个正方形，如果边长增加2厘米，它的面积增加16平方厘米，求原正方形面积？7、个周长为60分米的长方形，把它的长缩短6分米后，再把它的宽增加6分米，得到的新长方形面积比原来多24平方分米。
2021-2022学年人教版数学三年级上册精讲精练单元考点讲义第七单元长方形和正方形认识图形四边形四边形的初步认识解决问题周长长方形和正方形的特征周长的含义长方形、正方形的周长计算知识点一：四边形1.四边形是由4条线段围成的封闭图形，并且都有4个角。
2.长方形和正方形的特征（1）长方形和正方形的四个角都是直角。
（2）长方形只是对边相等，正方形是四条边都相等。
（3）正方形是特殊的长方形，它们都属于四边形。
知识点二：周长1. 周长的认识（1）封闭图形一周的长度，就是它的周长。
（2）从图形边缘的某一点起，沿边缘描画一周，再回到起点，这一周的长度就是图形的周长。
（3）我们可以用直尺测量或者用绕绳法化曲为直测量物体的周长。
2.长方形周长的计算方法：长方形的周长＝（长+宽）×2。
正方形周长的计算方法：正方形的周长＝边长×4。
3.一般地，拼成的长方形的长和宽的长度越接近，其周长越短。
【易错典例1】（2017春•东胜区校级期中）长方形有四条的边，四个角都是角．【思路引导】根据长方形的特征，长方形有四条对边相等的边，四个角都是直角．【完整解答】解：长方形有四条对边相等的边，四个角都是直角．故答案为：对边相等，直．【考察注意点】此题是考查长方形的特征，属于基础知识，要记住．【易错典例2】（2019秋•綦江区期末）一块长方形菜地，长8m，宽比长少2m，四周装上护栏，护栏长．【思路引导】根据长8m，宽比长少2m，求出这个长方形菜地的宽，再利用长方形的周长＝（长+宽）×2，据此计算即可解答．【完整解答】解：（8+8﹣2）×2＝14×2＝28（m）答：护栏长28m．故答案为：28m．【考察注意点】此题主要考查长方形的周长公式的计算应用．【易错典例3】（2019秋•焦作期末）把一个大长方形剪成两个小长方形后，周长之和比原来的长方形周长（）A．增加B．减少C．相等【思路引导】如图，把一个大长方形剪成两个小长方形，一种剪法为平行于长剪，得到的两个长方形的周长的和比原来的长方形多了两个长，第二种剪法为平行于宽剪，得到的两个长方形的周长的和比原来的长方形多了两个宽，由此知道周长之和比原来的长方形周长增加了．【完整解答】解：如上图：把一个大长方形剪成两个小长方形，一种剪法为：平行于长剪，得到的两个长方形的周长的和比原来的长方形多了两个长，二种剪法为：平行于宽剪，得到的两个长方形的周长的和比原来的长方形多了两个宽，所以两个小长方形周长之和比原来的长方形周长增加了，故选：A．【考察注意点】本题主要考查长方形的周长，考虑两种剪法，利用图解答比较直观．【易错典例4】（2019秋•灵武市期末）张伯伯买来48米长的围栏，要靠墙（长靠墙）围一个长20米的长方形菜地，这块菜地的宽最多是多少米？【思路引导】根据张伯伯买来48米长的围栏，要靠墙（长靠墙）围一个长20米的长方形菜地，可知长+宽+宽＝48，即宽＝（48﹣20）÷2，然后计算即可解答本题．【完整解答】解：（48﹣20）÷2＝28÷2＝14（米）答：这块菜地的宽最多是14米．【考察注意点】本题考查长方形的周长，明确长方形的周长＝（长+宽）×2是解答本题的关键．考点1：四边形1.（2021三下·龙湾期末）在一张边长是10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。
第1讲简单的数列问题（一）例题1（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？练习1一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？例题2（1）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大7，并且末相为125，那么首项是多少？（2）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小7，并且末相为125，那么首项是多少？练习2一个等差数列共有12项，每一项都比它的前一项小4，并且末相为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？练习4已知等差数2,9,16,23,30，…那么709是其中第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差是多少？第19项等于多少？305是第几项？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+1,2+3,3+5,1+7,2+9,3+11,1+13,2+15,3+17，…请写出其中所有结果为98的算式。
作业1. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是多少？2. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是多少？3．一个等差数列首项为13，第9项为29，那么这个等差数列的公差等于多少？第20项等于多少？4. 一个等差数列第5项为47，第15项为87，那么这个等差数列的公差等于多少？63是第几项？5．如图所示，有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，……，按照这个规律，第19层有多少块砖？第2讲简单的数列问题（二）例题1计算下面各题：（1）3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30（2）41＋37＋33＋29＋25＋21＋17＋13＋9＋5＋1练习1计算：6＋11＋16＋21＋26＋31＋36＋41＋46例题2计算下列各题：（1）5＋11＋17＋…＋77＋83（2）82＋77＋72＋…＋12＋7练习2计算：100＋92＋84＋…＋12例题3计算下面各题：（1）12＋18＋24＋…共10项（2）193＋187＋181＋…共13项练习3计算：（1）10＋13＋16＋…共12项例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完，请问：萱萱一共对了多少天，这本课外书共有多少页？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米。
形体相同点不同点棱长和C关系长方体面棱顶点面的形状棱长面C长=（长+宽+高）×4C长 =（a+b+h）×4逆运算：设长X（X +宽+高）×4 = C长X +宽+高 =棱长和÷4正方体是长宽高都相等的特殊长方体。
6个12条8个通常6个面都是长方形。
特殊时，最多有2个相对的面是正方形，其余4个面是长方形）有3组棱（长宽高）每组4条。
最多8条棱长度相等，通常4条棱相等。
相对的2个面大小完全相同，即面积相等。
（上下）（前后）（左右）正方体6个12条8个6个面都是正方形。
12条棱长度都相等。
6个面完全相同，面积相等。
C正= 棱长×12C正=a×12= 12a逆运算：棱长和÷12 = 棱长正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。
正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍。
长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。
长方体的长宽高同时扩大3倍，棱长和扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍。
形体S表面积（6面）V体积（容积）计算公式单位定义计算公式常用单位定义长方体S长=（长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2S长=（ab + ah + bh）×2S长=长×宽×2 + 长×高×2 +宽×高×2（上下）（前后）（左右）S长= 2ab+ 2ah +2bh逆运算：设长Xx×宽×2 + x×高×2 +宽×高×2 =表面积面积进率100平方米m2平方分米dm2平方厘米cm2长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
V长= 长×宽×高=abhV长= 底面积×高 =Sh=左面积×长=Sa=前面积×宽=Sb逆运算：①设长XX ×宽×高 =长方体体积②长方体体积÷（宽×高）③长方体体积÷底面积=高体积进率1000立方米m3立方分米（升）dm3 L立方厘米（毫升）cm3 mL体积容积物体所占空间的大小叫做物体的体积。
例、把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？如图：已知这个大长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求大长方形的长和宽。
小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半，院子的长和宽各是多少米？例、一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一个长为14厘米的长方形，这个长方形的宽是多少厘米？一根铁丝长100厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为10厘米的长方形，这个长方形的长是多少？一根铁丝长78厘米，围成一个长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形，这个正方形边长是多少厘米？一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的正好围成一个长为12厘米，宽为10厘米的长方形，这根铁丝长多少厘米？例、一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽都为4厘米，求长方形的长是多少厘米？一个长方形的周长是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米，长方形长是多少厘米？一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米，长方形的长是多少厘米？例、三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。
四个同样大小的长方形正好可以拼成一个正方形，正方形的周长为80厘米，长方形周长是多少？六个同样大小的长方形正好可以拼成一个正方形，正方形的周长为24厘米，每个长方形的周长是多少？如图：正方形被分割成四个长方形，每个长方形的周长是60厘米，这个正方形的周长等于多少厘米？明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成一个大长方形，已知大长方形的周长是60厘米，长是宽的4倍，求小长方形的周长。
例、一张长方形的纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸中剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？一张长为25厘米，宽为10厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸中又剪一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？在一长20厘米、宽12厘米的长方形纸的一边剪去一个最大的正方形，再在剩下的长方形纸的一边剪去一个最大的正方形……按这样的方法继续剪下去，剪到最后剩下一个正方形为止。
第七元方形和正方形【例 1】数一数，下中有多少个方形？解析：本考的知点是合形中方形的数，一般情况下，如果有似中的任一个方形一上有（ n-1 ）个分点（不包括条的两个端点），另一上有（ m-1）个分点（不包括条的两个端点），通些点分作的平行且与另一相交，两平行将方形分多方形，方形的数：（1+2+3+⋯+m）×（ 1+2+3+⋯ +n）。
即：段 CD上有 3+2+1=6条段，其中每一条与 AC 中一条段，分作方形的和，里共有 6× 1=6 个方形；而 AC上共2+1=3 条段，也就有 6×3=18 个方形。
解答：：（ 3+2+1）×（ 2+1）=6×3=18（个）答：中有 18 个方形。
【例 2】用一 10 厘米， 8 厘米的方形，折一个最大的正方形，个正方形的周是（）厘米。
A.40B.32C.36解析：本考的知点是在方形中折出最大的正方形，解答是要明确的是方形中折出最大的正方形的是方形的，根据正方形的周算方法得出正方形的周是8×4=32（厘米），所以 B。
解答： B【例 3】用 12 个是 1 厘米的正方形拼成一个大的方形．你能想出几种拼法？把你想出的拼法画出来。
想一想：当是多少厘米，是多少厘米周最短？解析：本考的知点是通分解因、画等方法找出不同的方形拼法。
正方形的是 1 厘米，面是 1 平方厘米，看作位“ 1”，拼成方形后，面不， 12=1×12=2×6=3×4，所以 12 个 3 厘米的正方形拼成一个方形有三种拼法：第一种是 12 个正方形排成 1 行；第二种是排成 2 行 6 列；第三种是排成 3 行 4 列。
解答：当是 4 厘米，是 3 厘米周最短。
【例 4】把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长和减少 10 厘米。
原来一个正方形的周长是多少？解析：本题考查的知识点是计算拼组图形的周长。
思维拓展训练三年级数学第一讲数图形 (2)第二讲找规律 (4)第三讲加减巧算 (6)第四讲填数游戏 (8)第五讲有余数除法 (10)第六讲周期问题 (12)第七讲配对求和 (14)第八讲乘法速算 (16)第九讲乘除巧算 (18)第十讲应用题（一） (20)第十一讲应用题（二） (22)第十二讲植树问题 (24)第十三讲重叠问题 (26)第十四讲简单枚举 (28)第十五讲等量代换 (30)期末综合练习 (32)第1讲数图形专题分析：同学们,你们会数图形吗?要想正确地数出线段、角、三角形……的个数,就必须要有次序、有条理地按照规律去数。
要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。
例1：数出下面图中有多少条线段?A B C D【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B为左端点的线段有：BC、BD2条；以C为左端点的线段有：CD1条。
所以,图中共有线段3+2+1=6（条）。
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD2条；又3条基本线段构成的线段有：AD1条。
所以,图中一共有3+2+1=6（条）线段。
例2：数出下图中有几个角? A OBCD【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD2个；以CO为一边的角有：∠COD1个。
所以图中共有3+2+1=6（个）角。
当然,也可以把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角,那该怎样数呢?例3：数出下图中共有多少个三角形【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE3个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE2个；以AD为边的三角形有：△ADE1个。
第七单元长方形和正方形（思维导图+知识梳理+典型精讲+真题演练）知识点一：四边形1、四边形的特点。
四边形的特征;四边形是由4条线段围成的封闭图形,并且都有4个角。
2、认识长方形和正方形。
（1）长方形的特点:长方形是由4条线段围成的封闭图形,它的每一组相对的边都相等,但相邻的两条边不相等,较长的边称为长,较短的边称为宽;另外,长方形有4个直角。
（2）正方形的特点:正方形也是由4条线段围成的封闭图形,并且这4条线段的长都相等，通常我们把正方形的每条边都称为边长;另外,正方形也有4个直角。
知识点二：周长1、认识周长。
封闭图形一周的长度,是它的周长。
2、测量周长的方法。
知识点三：长方形和正方形的周长1、长方形和正方形的周长的计算方法。
（1）长方形的周长就是长方形4条边的长度总和,但长方形的对边是相等的,所以我们只要知道长方形相邻两边的长度和即可,用公式“长方形的周长=(长+宽)×2”计算。
（2）正方形的周长就是正方形4条边的长度总和。
根据正方形的4条边相等,可以把4条边的边长加起来,也可以用一条边的长乘4,即正方形的周长=边长×4。
2、解决与周长有关的实际问题。
用大小相同的正方形拼图形时,拼成的图形的长与宽越接近，拼成的图形的周长就越短。
考点一：四边形【典例一】下面图形中不是四边形的是（）。
A．B．C．D．【分析】由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形，四边形有4条直的边，4个角，据此逐项分析解答。
【详解】A．图形中有4条直的边，4个角，这个图形是四边形；B．图形中有4条直的边，4个角，这个图形是四边形；C．图形中有4条直的边，4个角，这个图形是四边形；D．图形中的边都不是直的边，这个图形不是四边形；故答案为：D本题考查四边形的认识，关键是熟练掌握四边形的特征。
【典例二】有4根5厘米，3根3厘米，2根1厘米长的小棒，从中任选4根首尾相接搭四边形，可以搭( )种不同的长方形（包含正方形）。
