(最新整理)【小奥】2016同步课程_四年级寒假_割补法巧算面积(教师版).doc

四年级第十一讲割补法巧算面积◆温故知新：1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

◆练一练1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。

2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？◆例题展示例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

（单位：厘米）练习1如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。

已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE AH、都等于2厘米。

求长方形EFGH的面积。

例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。

请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。

请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是多少平方厘米？例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。

请问：图b中阴影部分的面积是多少平方分米？练习4如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和6×6的方格表。

其中“G”形阴影部分的面积是558，请问“S”形阴影部分的面积是多少？◆拓展提高拓展1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？练习1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是16平方厘米，那么三角形B的面积是多少平方厘米？拓展2 如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（图中3和7的单位是厘米）练习2 如图，在等腰梯形ABCD中，角B是60度，线段AB、AD、CD长度相等。

《组合图形的面积》教学设计沈晶晶（北京黄城根小学）【教学目标】1.认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的简单的平面图形，并能计算出组合图形的面积。

2.能根据各种组合图形的条件，有效地选择合适的方法进行解答，并能解决生活中的相关实际问题。

3.发展空间观念，了解图形转化的数学思想，提高数学学习的兴趣【教学重点】组合图形分解的方法，优化方案求面积【教学难点】找关键数据和条件，求出组合图形的面积【教学过程】一、引入：认识组合图形1.出示简单图形，学生回顾求面积的方法，介绍基本图形的概念。

2.认识组合图形：师把其中的两个或三个图形组合到一起，谁能上来也来组合一个新的图形。

引导学生观察：这些新的图形有什么共同之处？这些有2个或2个以上基本图形组合在一起的图形叫做组合图形。

3.问：基本图形的面积我们会求了，那么这些组合图形的面积你们会求吗？（学生会把这个图形分解成基本图形求面积）今天这节课我就来学习求组合图形的面积（板书）4．介绍辅助线，归纳分解图形的方法：日常生活中，我们也会见到组合图形，你能把它们分解成什么基本图形呢？（队旗、草地）向学生介绍画辅助线的方法，重点反馈草地分解成基本图形的多种方法，同一个组合图形，怎么分解的基本图形不一样呀?二、探究新知：这是公园里一块空地的平面图，工人叔叔要想把它铺上草坪，请你们帮忙算一算这块地的面积，行吗？1.小组合作探究：（1）先独立计算这个组合图形的面积；（2）计算后，小组里说说你是怎么算的；（3）再一起讨论其他的方法怎么计算。

汇报：重点汇报一个分割的方法、一个添补的方法，其他的说明思路，并说出关键的步骤2.分类：同学们这么多种画辅助线的方式来求这个组合图形的面积，你们能给这些方法分分类吗？分解的方法不同，具体到计算时又有什么区别呢？（分割相加法、添补相减法）3.比较优化：为什么这些方法很少或者没人选择？我们在分解组合图形时要注意什么？小结：要根据题目所给的条件进行分解，选择分成最简便的方法，尽量少用辅助线4.回顾反思：刚才通过同学们的独立思考，利用已经学到的知识把公园空地的面积求出来了，你们真厉害！如果再给你一个组合图形，你准备分几步求组合图形的面积？（把组合图形分解成简单图形；找关键条件；相加或相减）三、巩固拓展，解决实际问题1．出图形，选择方法。

第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。

一、割补法巧算面积（四下）一、 常规割补法 1、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积是__________．（单位：厘米）【答案】32平方厘米【解析】如下图，如果沿着竖线分割，延长BC 、ED 分别交HG 于K 、L ．由5AH =厘米，3AB =厘米，可得长方形ABKH 的面积是5315⨯=平方厘米；由523CK BK BC AH BC =-=-=-=厘米，1CD =厘米，可得长方形CDLK 的面积是313⨯=平方厘米；由437EL ED DL =+=+=第5讲 割补法巧算面积 四年级寒假 知识点 课堂例题备注厘米，2EF =厘米，可得长方形EFGL 的面积是7214⨯=平方厘米．所以所求图形的面积是1531432++=平方厘米．2、如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米，求长方形EFGH 的面积=__________．【答案】16平方厘米【解析】由AE 、AH 都等于2厘米，可得等腰Rt △AEH 的面积是2222⨯÷=平方厘米．由△AEH 是等腰三角形，推出∠AEH 是45︒．又因为∠FEH 是90︒，所以180********B E F A E H F E H ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．因为△BEF 是直角三角形，所以904545BFE ∠=︒-︒=︒，因此△BEF 是等腰三角形．如下图所示：由624BE AB AE =-=-=厘米，可得等腰Rt △BEF 的面积是4428⨯÷=平方厘米．同理，得等腰Rt △CFG 和等腰Rt △DGH 的面积分别是2平方厘米和8平方厘米．长方形EFGH 的面积等于大正方形ABCD 的面积减去角上四个等腰直角三角形的面积，为()66282816⨯-+++=平方厘米．AB C D E F G L H K3、（2011年金帆五升六）右图中，3AB cm =，12CD cm = ，8ED cm = ，7AF cm = ，则四边形ABDE 的面积是_____平方厘米．【答案】46【解析】连结AD ．21182ABD S AB CD cm ∆=⨯=，2228AED S ED AF cm ∆=⨯÷=， 2182846S cm =+=阴．4、如图，直角三角形ABC 的三边长分别为30AC =分米，18AB =分米，24BC =分米，ED 垂直于AC ，且95ED =厘米．问正方形BFEG 的边长是多少厘米？【答案】35厘米【解析】把AE 、BE 、CE 连接起来，把直角△ABC 分成了三部分：△ACE 、△ABE 和△CBE ．直角△ABC的面积就是18242216⨯÷=平方分米．而△ACE 的底边30AC =分米，高9.5ED =分米（95厘米），它的面积是309.52142.5⨯÷=平方分米，那么△ABE 和△CBE 之和就是216142.573.5-=平方分米．在△ABE 和△CBE 中，底边分别是AB 和BC ，高都是正方形的边长．利用乘法分配律，它们的面积之和为()2AB BC +⨯÷高．于是它们的高为()73.521824 3.5⨯÷+=分米． 因此正方形边长为3.5分米，即35厘米．二、 分割为若干块全等图形5、如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于____________平方厘米？【答案】50平方厘米【解析】如图1，发现空白三角形①与阴影三角形⑤是大小、形状都相同的两个三角形，所以面积也相等．这样的三角形还有3对：②和⑥，③和⑦，④和⑧．这四个阴影三角形面积和与四个空白三角形的面积和相等．将阴影三角形⑤补到空白三角形①的位置，其余3对也类似操作．这样阴影图形变成如下图2形式，可以看出，阴影部分的面积总和与空白部分的面积总和相等，从下图3中可以很明确看出这一点；因此阴影部分的面积总和就等于大正方形面积的一半，为1010250⨯÷=平方厘米．①⑤⑥ ② ③ ④⑦ ⑧图1 图3 A B C D F E G6、如图，把两个相同的正三角形的各边分别取三等分点和四等分点，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是16平方厘米．请问：图2中阴影部分的面积是____________平方厘米．【答案】12【解析】大三角形的面积是不变的，所以图2中阴影三角形的面积和是()÷⨯÷⨯=平方厘163916412米．7、如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？【答案】32平方厘米【解析】将第一个等腰直角三角形划分如下左图，从图中可看出：第一个等腰直角三角形被分成4等份，正方形A占其中2份．所以大等腰直角三角形的面积是362472÷⨯=平方厘米．将第二个等腰直角三角形划分如下右图，从图中可以看出：第二个等腰直角三角形被分成9等份，正方形B占其中4份．所以正方形B的面积是729432÷⨯=平方厘米．8、已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积是多少平方厘米？【答案】24平方厘米【解析】如图添加辅助线，将正六边形分割成36个面积相等的三角形，所以每一个三角形的面积是2，阴影部分面积占了12个，所以阴影部分的面积是24.．三、补为特殊图形9、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【答案】20平方厘米【解析】如图，延长四边形的两边，把它补成一个大三角形．从已知条件可以知道，这是一个直角边长为7的等腰直角三角形，而阴影部分是一个直角边长为3的等腰直角三角形．原来四边形面积就等于这两个三角形面积之差．所以四边形面积为77233220⨯÷-⨯÷=平方厘米．10、如图，一个六边形的内角都是120°，其边长如图所示，那么这个六边形的面积是边长为1的正三角形面积的多少倍？【答案】67【解析】将上图补全如下图，是一个边长为9的正三角形，最上方是一个变成为1的正三角形，左下方为边长为3的小正三角形，右下角是一个边长为2的小正三角形，将边长为9的正方形分割可以得到81个边长为1的正三角形，边长为3的正三角形分割可以得到9个边长为1的正三角形，边长为2的正三角形可以分割出4个边长为1的正三角形，所以原六变形的面积相当于8194167---=个边长为1的正三角形．四、复杂问题11、下图是一个正方格，每个最小正方格的面积都是1，请在图中以给出点为顶点画一个面积为13的正方形．【答案】答案如下图【解析】大正方形的面积是25，角上的四个三角形的面积相等，所以小正方新的面积可以用大正方形的面积减去四个小三角形的面积等于25232413-⨯÷⨯=满足．12、正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为1厘米），如图所示．那么空白部分面积等于多少平方厘米？【答案】6平方厘米【解析】由于正十二边形的内角为1801012150⨯÷=，又1506090=+，因此每个内角的大小等于一个直角加上一个正三角形的内角．正十二边形和正三角形的各边长度都相等，将正三角形内部的顶点间隔着连起来，可以得到一个边长是1厘米的正六边形．一方面，正十二边形整体的面积等于S S +阴影空白，另一方面，正十二边形的面积可以看做是66S S S +⨯+⨯正方形正六边形正三角形．很显然阴影部分面积相当于12个小正三角形，而正六边形面积相当于6个小正三角形，两者一比较，很容易发现空白部分面积等于6个小正方形的面积，即6平方厘米．13、下图为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？【答案】0.8平方厘米【解析】方法一：以中间的阴影正方形为标准，可以把图形补成如图1形式．如果中间的阴影正方形面积是1份，那么原来的大正方形面积是5份．而原来正方形的边长是2厘米．所以阴影部分的面积是2250.8⨯÷=平方厘米．方法二：参照中间阴影正方形的方向，同样也可以把大正方形作一个剪拼，如图2．可看出整个大正方形正好使阴影部分的5倍．所以阴影面积为2250.8⨯÷=平方厘米．方法三：如图3，将大正方形分割成20个三角形，可以看出阴影部分正好是其中4块．图1 图3随堂练习1、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）【答案】78平方厘米【解析】如图将图形分割成三个长方形，所以多边形的面积是123+94+23=78⨯⨯⨯平方厘米．2、如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米．求三角形CEF的面积．【答案】12平方厘米【解析】正方形的面积是36平方厘米，三角形AEF的面积是2平方厘米，三角形BEC和DFC的面积是12平方厘米所以三角形EFC的面积是361212210---=平方厘米．3、如图所示，大三角形的面积为20平方厘米，连接大正三角形的各边中点得小正三角形，将小正三角形如图三等分．那么图中阴影部分的面积总和等于__________平方厘米？【答案】10平方厘米【解析】根据题意，得大三角形被分割成形状、大小一样的12个小三角形，而阴影部分占了其中的6个，所以其面积为2012610÷⨯=平方厘米．4、如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方表格图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？【答案】150【解析】图1这种大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块面积是162，那么每一个小正方形的面积是162189÷=，大正方形的面积是259225⨯=，图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分的面积是256150⨯=．5、如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120︒的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米【解析】从下图中容易看出，△AOB 、△BOE 和△AOE 都是顶角为120︒的等腰三角形，它们的底角都是()180120230︒-︒÷=︒，因此△ABE 的三个角都是60︒，是一个正三角形．这样一来，△AOB 、△BOE 和△AOE 的面积都相等，它们的面积之和是△ABE 的面积，即长方形面积的一半60230÷=平方厘米，因此这3个三角形的面积都是30310÷=平方厘米． 大长方形由2个梯形以及△AOB 组成，那么1个梯形的面积就是()6010225-÷=平方厘米．6、已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积各是多少平方厘米？【答案】18平方厘米；54平方厘米；24平方厘米【解析】（1）将正六边形分割如下图1，整个六边形被分成了24块，阴影部分占4块．所以阴影面积为7224618÷⨯=平方厘米．（2）可以把正六边形按下图2方式分割，整个六边形同样被分成了24块，且每个角上的空白三角形面积都等于1块．则阴影部分占18块．所以阴影面积为72241854÷⨯=平方厘米．（3）观察空白三角形：可以发现两种不同形状的三角形等底同高，面积是相等的．所以分割时只用考虑其中一种形状就可以了．把正六边形作如下图4分割，整个六边形同样被分成了18块，阴影部分占6块．所以阴影面积为7218624÷⨯=平方厘米．1、下图的每个角都是直角，数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是________．图1 图2 图3 课后作业【答案】138【解析】把这个十字形横着切两刀，变成三个长方形，其面积是()5666462138⨯+++⨯⨯=．2、下图的每个角都是直角，数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是________．【答案】84【解析】通过把这个土字形进行分割，可以得到其面积是()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=．3、如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是________．【答案】6【解析】将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6．4、如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是16平方厘米，那么三角形B的面积是________平方厘米．【答案】18【解析】题中左侧的等腰直角三角形能够被分成9块面积相等的等腰直角三角形．三角形A的面积是16平方厘米，可以分成2块面积相等的等腰三角形，所以一个最小等腰三角形的面积是8平方厘米，大等腰直角三角形的面积就是8972⨯=平方厘米．在右侧这个大等腰直角三角形可以分成4块等大的等腰直角三角形，一块的面积是72418÷=平方厘米．所以B的面积是18平方厘米．5、如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36．阴影正六边形的面积是________．【答案】9【解析】把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．6、（龙校四年级春季）如图，在四边形ABCD中，°C?，245??，°B D90AD=，BC=．求该四边形的面积．6【答案】16【解析】延长BA、CD交于E点，则△EAD与△BEC均为等腰直角三角形，面积分别为2222÷=与2S=-=．÷=，故182166218ABCD。

For personal use only in study and research; not for commercial use一、割补法巧算面积（四下）一、 常规割补法1、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积是__________．（单位：厘第5讲 割补法巧算面积 四年级寒假知识点 课堂例题备注米）2 23 4 51【答案】32平方厘米【解析】如下图，如果沿着竖线分割，延长BC、ED分别交HG于K、L．由5AH=厘米，3AB=厘米，可得长方形ABKH的面积是5315CK BK BC AH BC=-=-=-=⨯=平方厘米；由523厘米，1EL ED DL=+=+=⨯=平方厘米；由437 CD=厘米，可得长方形CDLK的面积是313厘米，2EF=厘米，可得长方形EFGL的面积是7214⨯=平方厘米．所以所求图形的面积是1531432++=平方厘米．1 2 2 3 4 5AB C D EF GL H K2、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积=__________．D ArrayG【答案】16平方厘米【解析】由AE、AH都等于2厘米，可得等腰Rt△AEH的面积是2222⨯÷=平方厘米．由△AEH是等腰三角形，推出∠AEH是45︒．又因为∠FEH是90︒，所以．因为△BEF是直角三角形，所以∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180********B E F A E H F E H∠=︒-︒=︒，因此△BEF是等腰三角形．如下图所示：904545BFED ArrayG由624BE AB AE =-=-=厘米，可得等腰Rt △BEF 的面积是4428⨯÷=平方厘米．同理，得等腰Rt △CFG 和等腰Rt △DGH 的面积分别是2平方厘米和8平方厘米．长方形EFGH 的面积等于大正方形ABCD 的面积减去角上四个等腰直角三角形的面积，为()66282816⨯-+++=平方厘米．3、（2011年金帆五升六）右图中，3AB cm =，12CD cm = ，8ED cm = ，7AF cm = ，则四边形ABDE 的面积是_____平方厘米．【答案】46【解析】连结AD ．21182ABD S AB CD cm ∆=⨯=，2228AED S ED AF cm ∆=⨯÷=， 2182846S cm =+=阴．4、如图，直角三角形ABC 的三边长分别为30AC =分米，18AB =分米，24BC =分米，ED 垂直于AC ，且95ED =厘米．问正方形BFEG 的边长是多少厘米？AB CDFE G 图14-30【答案】35厘米【解析】把AE 、BE 、CE 连接起来，把直角△ABC 分成了三部分：△ACE 、△ABE 和△CBE ．直角△ABC的面积就是18242216⨯÷=平方分米．而△ACE 的底边30AC =分米，高9.5ED =分米（95厘米），它的面积是309.52142.5⨯÷=平方分米，那么△ABE 和△CBE 之和就是216142.573.5-=平方分米．在△ABE 和△CBE 中，底边分别是AB 和BC ，高都是正方形的边长．利用乘法分配律，它们的面积之和为()2AB BC +⨯÷高．于是它们的高为()73.521824 3.5⨯÷+=分米． 因此正方形边长为3.5分米，即35厘米．AB CDF EG二、分割为若干块全等图形5、如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于____________平方厘米？【答案】50平方厘米【解析】如图1，发现空白三角形①与阴影三角形⑤是大小、形状都相同的两个三角形，所以面积也相等．这样的三角形还有3对：②和⑥，③和⑦，④和⑧．这四个阴影三角形面积和与四个空白三角形的面积和相等．将阴影三角形⑤补到空白三角形①的位置，其余3对也类似操作．这样阴影图形变成如下图2形式，可以看出，阴影部分的面积总和与空白部分的面积总和相等，从下图3中可以很明确看出这一点；因此阴影部分的面积总和就等于大正方形面积的一半，为1010250⨯÷=平方厘米．6、如图，把两个相同的正三角形的各边分别取三等分点和四等分点，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是16平方厘米．请问：图2中阴影部分的面积是____________平方厘米．【答案】12【解析】 大三角形的面积是不变的，所以图2中阴影三角形的面积和是()163916412÷⨯÷⨯=平方厘米．7、如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？图2【答案】32平方厘米【解析】将第一个等腰直角三角形划分如下左图，从图中可看出：第一个等腰直角三角形被分成4等份，正方形A占其中2份．所以大等腰直角三角形的面积是362472÷⨯=平方厘米．将第二个等腰直角三角形划分如下右图，从图中可以看出：第二个等腰直角三角形被分成9等份，正方形B占其中4份．所以正方形B的面积是729432÷⨯=平方厘米．8、已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积是多少平方厘米？【答案】24平方厘米【解析】如图添加辅助线，将正六边形分割成36个面积相等的三角形，所以每一个三角形的面积是2，阴影部分面积占了12个，所以阴影部分的面积是24.．三、补为特殊图形9、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）345º7【答案】20平方厘米【解析】如图，延长四边形的两边，把它补成一个大三角形．从已知条件可以知道，这是一个直角边长为7的等腰直角三角形，而阴影部分是一个直角边长为3的等腰直角三角形．原来四边形面积就等于这两个三角形面积之差．所以四边形面积为77233220⨯÷-⨯÷=平方厘米．45º710、如图，一个六边形的内角都是120°，其边长如图所示，那么这个六边形的面积是边长为1的正三角形面积的多少倍？【答案】67【解析】将上图补全如下图，是一个边长为9的正三角形，最上方是一个变成为1的正三角形，左下方为边长为3的小正三角形，右下角是一个边长为2的小正三角形，将边长为9的正方形分割可以得到81个边长为1的正三角形，边长为3的正三角形分割可以得到9个边长为1的正三角形，边长为2的正三角形可以分割出4个边长为1的正三角形，所以原六变形的面积相当于8194167---=个边长为1的正三角形．四、复杂问题11、下图是一个正方格，每个最小正方格的面积都是1，请在图中以给出点为顶点画一个面积为13的正方形．【答案】答案如下图【解析】大正方形的面积是25，角上的四个三角形的面积相等，所以小正方新的面积可以用大正方形的面积减去四个小三角形的面积等于25232413-⨯÷⨯=满足．12、正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为1厘米），如图所示．那么空白部分面积等于多少平方厘米？【答案】6平方厘米【解析】由于正十二边形的内角为1801012150⨯÷=，又1506090=+，因此每个内角的大小等于一个直角加上一个正三角形的内角．正十二边形和正三角形的各边长度都相等，将正三角形内部的顶点间隔着连起来，可以得到一个边长是1厘米的正六边形．一方面，正十二边形整体的面积等于S S +阴影空白，另一方面，正十二边形的面积可以看做是66S S S +⨯+⨯正方形正六边形正三角形．很显然阴影部分面积相当于12个小正三角形，而正六边形面积相当于6个小正三角形，两者一比较，很容易发现空白部分面积等于6个小正方形的面积，即6平方厘米．13、下图为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？11 1【答案】0.8平方厘米【解析】方法一：以中间的阴影正方形为标准，可以把图形补成如图1形式．如果中间的阴影正方形面积是1份，那么原来的大正方形面积是5份．而原来正方形的边长是2厘米．所以阴影部分的面积是2250.8⨯÷=平方厘米．方法二：参照中间阴影正方形的方向，同样也可以把大正方形作一个剪拼，如图2．可看出整个大正方形正好使阴影部分的5倍．所以阴影面积为2250.8⨯÷=平方厘米．方法三：如图3，将大正方形分割成20个三角形，可以看出阴影部分正好是其中4块．图1 图2 图31、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）【答案】78平方厘米【解析】如图将图形分割成三个长方形，所以多边形的面积是123+94+23=78⨯⨯⨯平方厘米．2、如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF 已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．随堂练习【答案】12平方厘米【解析】正方形的面积是36平方厘米，三角形AEF的面积是2平方厘米，三角形BEC和DFC的面积是12平方厘米所以三角形EFC的面积是361212210---=平方厘米．3、如图所示，大三角形的面积为20平方厘米，连接大正三角形的各边中点得小正三角形，将小正三角形如图三等分．那么图中阴影部分的面积总和等于__________平方厘米？【答案】10平方厘米【解析】根据题意，得大三角形被分割成形状、大小一样的12个小三角形，而阴影部分占了其中的6个，所以其面积为2012610÷⨯=平方厘米．4、如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方表格图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？【答案】150【解析】图1这种大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块面积是162，那么每一个小正方形的面积是162189⨯=，图2中大正方形被分成了9块，那么÷=，大正方形的面积是259225每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分的面积是256150⨯=．5、如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120︒的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米【解析】从下图中容易看出，△AOB 、△BOE 和△AOE 都是顶角为120︒的等腰三角形，它们的底角都是()180120230︒-︒÷=︒，因此△ABE 的三个角都是60︒，是一个正三角形．这样一来，△AOB 、△BOE 和△AOE 的面积都相等，它们的面积之和是△ABE 的面积，即长方形面积的一半60230÷=平方厘米，因此这3个三角形的面积都是30310÷=平方厘米． 大长方形由2个梯形以及△AOB 组成，那么1个梯形的面积就是()6010225-÷=平方厘米．C D EOA B6、已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积各是多少平方厘米？【答案】18平方厘米；54平方厘米；24平方厘米【解析】（1）将正六边形分割如下图1，整个六边形被分成了24块，阴影部分占4块．所以阴影面积为7224618÷⨯=平方厘米．（2）可以把正六边形按下图2方式分割，整个六边形同样被分成了24块，且每个角上的空白三角形面积都等于1块．则阴影部分占18块．所以阴影面积为72241854÷⨯=平方厘米．（3）观察空白三角形：可以发现两种不同形状的三角形等底同高，面积是相等的．所以分割时只用考虑其中一种形状就可以了．把正六边形作如下图4分割，整个六边形同样被分成了18块，阴影部分占6块．所以阴影面积为7218624÷⨯=平方厘米．图1 图2 图3 图41、下图的每个角都是直角，数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是________．【答案】138【解析】把这个十字形横着切两刀，变成三个长方形，其面积是()5666462138⨯+++⨯⨯=．2、下图的每个角都是直角，数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是________．【答案】84课后作业【解析】通过把这个土字形进行分割，可以得到其面积是()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=．3、如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是________．【答案】6【解析】将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6．4、如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形A 的面积是16平方厘米，那么三角形B 的面积是________平方厘米．【答案】18【解析】题中左侧的等腰直角三角形能够被分成9块面积相等的等腰直角三角形．三角形A的面积是16平方厘米，可以分成2块面积相等的等腰三角形，所以一个最小等腰三角形的面积是8平方厘米，大等腰直角三角形的面积就是8972⨯=平方厘米．在右侧这个大等腰直角三角形可以分成4块等大的等腰直角三角形，一块的面积是72418÷=平方厘米．所以B的面积是18平方厘米．5、如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36．阴影正六边形的面积是________．【答案】9【解析】把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．6、（龙校四年级春季）如图，在四边形ABCD中，°C45?，290??，°B DAD=，BC=．求该四边形的面积．6【答案】16【解析】延长BA、CD交于E点，则△EAD与△BEC均为等腰直角三角形，面积分别为2222÷=与2÷=，故182166218S=-=．ABCD仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

四年级第十一讲割补法巧算面积◆温故知新：1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

◆练一练1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形的面积。

ABC2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？◆例题展示例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

（单位：厘米）练习1如图所示，在正方形内部有一个长方形。

已知正方形的边ABCD EFGH ABCD 长是6厘米，图中线段都等于2厘米。

求长方形的面积。

、EFGHAE AH例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。

请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。

请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是多少平方厘米？例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。

请问：图b中阴影部分的面积是多少平方分米？练习4如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和6×6的方格表。

其中“G”形阴影部分的面积是558，请问“S”形阴影部分的面积是多少？◆拓展提高拓展1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？练习1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是16平方厘米，那么三角形B的面积是多少平方厘米？拓展2 如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（图中3和7的单位是厘米）练习2 如图，在等腰梯形ABCD中，角B是60度，线段AB、AD、CD长度相等。

知识点回顾一，格点图形的计算：•1，分割法与添补法计算格点图形的面积•2，在最小的正方形面积为1的图形中正方形格点多边形面积＝边界格点数÷2＋内部格点数－1 •3，在最小正三角形面积为1的图形中三角形格点多边形面积＝边界格点数＋内部格点数×2－2知识点回顾二，割补法巧算面积：•1、用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

•2、正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

【1】下图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l 平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【2】(1)下图中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)下图中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?【3】图中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【4】如下左图和右图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知左图中阴影部分的面积是294平方分米．请问：右图中的阴影部分的面积是多少平方分米?【5】如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?【6】如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【7】在下图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．【8】下图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【9】如下图所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?【10】下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．【11】下图是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?【12】在下图中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?【13】如下图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．【14】如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?下节课见！。