巧求面积之割补法

四年级第十一讲割补法巧算面积◆温故知新：1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

◆练一练1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。

2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？◆例题展示例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

（单位：厘米）练习1如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。

已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE AH、都等于2厘米。

求长方形EFGH的面积。

例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。

请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。

请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是多少平方厘米？例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。

请问：图b中阴影部分的面积是多少平方分米？练习4如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和6×6的方格表。

其中“G”形阴影部分的面积是558，请问“S”形阴影部分的面积是多少？◆拓展提高拓展1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？练习1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是16平方厘米，那么三角形B的面积是多少平方厘米？拓展2 如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（图中3和7的单位是厘米）练习2 如图，在等腰梯形ABCD中，角B是60度，线段AB、AD、CD长度相等。

割补法推导平行四边形的面积公式教学目标：1、能用割补的方法，把平行四边形转化成面积不变的长方形，通过长方形面积的计算方法推导出平行四边形面积的计算方法2、能用平行四边形面积的计算方法解决简单的实际问题。

3、在操作、观察、比较中，渗透转化的思想方法。

4、在探究活动中，体验到成功的快乐。

教学重点：探索平行四边的面积计算公式，并能正确运用。

教学难点：运用“割补法”把平行四边转化成长方形，找到长方形与平行四边形的关系，从而顺利推倒出平行四边形面积计算公式。

教学方法：动手操作、小组讨论、启发、演示等教学方法。

教学准备：课件、平行四边形纸片、透明方格纸、剪刀、直尺、三角板等。

教学过程一、情境创设，揭示课题1、创设谈话情境我们在座的每一个同学们看见过停车位吧！小明的爸爸打算买一辆小轿车，买车了，当然就需要在小区内买一个停车位。

那天小明和爸爸一起去买车位，买车位的阿姨告诉他们小区车位有两种，一种是长方形还有，一种是平行四边。

两种车位的边长相同，长边a=6米短边b=4米。

每个车位的价格等于车位面积乘以1000.长方形的车位面积小明很快就算了出来，而平行四边形的面积小明去摸不着头脑。

你能帮帮小明？1、哪种停车位的面积大？2、哪种车位更便宜？……教师根据学生的回答，选出本节课的研究任务，揭示课题“今天，我们就共同研究一下，平行四边形的面积。

（板书）一起来帮帮小明。

【设计意图】：由生活中学生熟悉的事物引入新知，激发起学生的学习兴趣，增强了学生的探索欲望和积极性，同时为新知的学习做好了情感铺垫。

二、创设问题情景,引发自主探索.1、提出问题,鼓励猜测那么大家猜一猜平行四边形的面积可能与什么有关？（可能与边有关）只与它边的长度有关？大家看老师手中这个平行四边形，（演示）还可能与什么有关？（高）那么平行四边形的面积究竟与它的底和高有怎样的关系？下面就让我们一起来研究。

2、自主探究、验证猜测：师：每个小组的桌上都有一些学具，有数格子用的格子纸、印的平行四边形和长方形和表格、剪刀、平行四边形，想一想你打算用什么方法来研究？如果你已经想到了验证的办法,可以立即动手进行研究,如果你还没有想到,可以和小组同学先讨论讨论然后再动手.3、展示成果,互相交流方法一：数方格师：学具中有方格图，谁是用到它来验证了？数格子时，平行四边形的方格中不满一格的怎么办？指名上前演示并表述用方格图数两个图形面积的过程和方法，并展示填写的表格。

六年级数学割补法巧求面积教案教案标题：六年级数学割补法巧求面积教学目标：1. 理解割补法求面积的概念和原理；2. 掌握使用割补法求解简单图形的面积；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、粉笔、割补法求面积的示意图；2. 学生准备：学生课本、练习册、纸和铅笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入课题：通过展示一张简单图形，例如一个矩形，引导学生思考如何求解这个图形的面积。

2. 学生回答问题，并引导他们思考是否有其他方法来求解面积。

二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过课件或黑板，简要介绍割补法求面积的概念和原理。

2. 引导学生理解割补法的思想，即将复杂的图形割分成更简单的几何图形，再求解各个几何图形的面积之和。

三、示例演练（15分钟）1. 教师通过课件或黑板，展示一个复杂图形的示例，并解释如何使用割补法求解该图形的面积。

2. 引导学生一起参与计算过程，解释每一步的思路和方法。

四、练习与巩固（20分钟）1. 学生独立或分组完成练习册上的相关练习题，巩固割补法求面积的方法。

2. 教师巡回指导学生解题过程，并及时纠正错误。

五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考如何应用割补法求解其他图形的面积，例如三角形、梯形等。

2. 学生讨论并分享自己的思路和方法。

六、总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调割补法求面积的重要性和应用范围。

2. 学生回答教师提出的问题，对本节课的学习进行反思和总结。

教学延伸：1. 学生可以在家中或课余时间继续探索割补法求面积的应用，挑战更复杂的图形。

2. 引导学生思考割补法与其他求面积方法的异同，并进行比较分析。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度；2. 教师检查学生在练习册上的完成情况，并批改作业；3. 学生之间互相评价和讨论解题思路的正确性和合理性。

教学资源：1. 教学课件或黑板；2. 学生课本、练习册、纸和铅笔。

第6章巧求面积2知识装备解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积计算问题时，不能只是生搬硬套计算公式，需要我们对要计算的图形进行认真的观察和仔细的分析，把看似不规则的图形经过分解、割补转化为可以运用计算公式进行计算的图形后再求它的周长和面积。

（1）长方形、正方形的面积计算公式：长方形的面积＝长×宽；正方形的面积＝边长×边长；（2）转化图形的方法：分割法——把一个大的图形用辅助线把它分解成几个规则图形。

如：割补法——把一个大图形中的一部分割下来后补在图形的另一部分，使原来不规则的图形转化为规则图形。

如：添辅助线法——在图形的某个位置画上一条辅助线，使图形各部分的组成更加清晰。

如：或或以上各种方法经常是综合应用的。

运用以上方法要遵循两个性质：①两个图形能完全重合，则这两个图形面积相等；②把一个图形割补成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积的和。

因此求需求部分的面积时要运用加、减法；求大面积时把各个小部分面积相加；求其中一个部分面积时用大面积减去已知的小部分面积。

初级挑战1把下图的平行四边形割补后变成一个长方形，求长方形的面积。

思考一下，求出的长方形的面积与原来的平行四边形的面积相等吗？2cm4cm思路点拨：题目要求我们把平行四边形经过割补后转化为一个长方形，怎样割补呢?可以这样想：长方形的长与宽是互相垂直的，如果我们从平行四边形的一个顶点，向它的对边作垂线，垂足在对边上，那么就把原来的平行四边形分出了一个小三角形，再把这个小三角形平移到另一边，长方形就出现了。

答案：具体操作如下：通过割补与平移可以发现，长方形的长与平行四边形的底相等，为4cm。

长方形的宽就是平行四边形的高，为2cm。

所以长方形的面积为4×2＝8（平方厘米）。

因为割下来的三角形与补上去的三角形的面积相等，所以长方形的面积就是原平行四边形的面积。

能力探索1用割补法求下图等腰梯形的面积是多少。

巧用割补法求解二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是初中数学中的热点.本文以二次函数223y x x =--+为背景，以四边形、斜三角形为载体，介绍如何引导学生用割补法求解二次函数中的面积问题.【例题】 如图1，已知二次函数223y x x =--+，其图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，二次函数的顶点为D ，连结,AD CD ，求四边形AOCD 的面积.引导 问题在平面直角坐标系中求四边形AOCD 的面积，四边形的这四个顶点是二次函数中最重要的四个点，如何求出坐标轴上的点，以及二次函数的顶点D ?有了点的坐标以后，如何利用这些坐标求四边形面积?在求一般四边形AOCD 的面积遇到困难时，运用什么方法去解决?请学生提出自己的观点并尝试解决，然后分享学生的解题思路.评析 本次建模从二次函数中四个重要点构成的四边形面积如手.四边形两边在坐标轴上，学生容易想到割补思想.给学生充足的时间，分享交流如图2、3、4三种不同的割补方法，明确两种基本方法:割——用与原点的连线或与坐标轴平行的线段;补——用与坐标轴平行的线段.指出割补的目标是求图形面积的和或差，并为引出三角形的割补方法做好铺垫.变式1如图5，点P 是位于抛物线223y x x =--+上的一个动点，当点P 的横坐标为2时，则ACP ∆的面积为 .引导 问题求ACP ∆的面积，在例题中已求解,A C 两点，关键求出什么?三角形的三个顶点都求出后，三角形面积能直接求出吗?若不能，能否运用例题中的割补方法求面积?哪些方法适合本题，尝试探究解决.设计意图 学生通过四边形的割补，在三角形无法直接求解面积时会考虑割补法，三角形没有边是在坐标轴上，学生会发现与原点的连线无法解决，思考用平行于坐标轴的线段割补三角形，如图6，7，8，从而利用坐标求出线段长度，达到求解面积的目的.变式2 如图9，点P 是位于抛物线第二象限图象上的一个动点，连结,,PA PC AC .设ACP ∆的面积为S ，求S 的取值范围，并求S 的最大值.引导 问题从变式1到变式2，都是求面积问题，有何不同?为何会有不同?二次函数最值问题如何求解?如何建立ACP ∆面积关于点P 坐标的函数关系式?建模中的割补思想对解题有何帮助?解题思路 过点P 作//PQ y 轴，交AC 于点口.设Q 为2(,23)a a a --+，求出直线AC 解析式，求出Q 为(,3)a a +，32ACP APQ CPQ S S S ∆∆∆=+=，化归为PQ 的最值问题.变式3 如图10，若点P 为抛物线上位于第一象限上的一动点，连结,PA PC .设ACP ∆的面积为S ，求S 的取值范围.引导 问题变式3与变式2有区别与联系吗?这两题的主要不同点在哪里?能不能用相同的办法求解?请你尝试探究解决.评析 变式3中的点P 变化到第一象限，学生在解决问题时想到的基本都是作与x 轴平行的线段对三角形进行分割.考虑到学生很难作出同变式2中平行于y 轴的辅助线，这条辅助线添加到图形外面，虽然与变式2的思路是一致的，但添加图形外的辅助线对学生来说是个难点，两三角形的面积和变为面积差，难度增大，拓展了思维.解法1 如图11，过点P 作//PQ x 轴，交AC 于点口，设Q 为2(,23)a a a --+.∵直线AC ：4y x =+，故设Q 为22(2,23)a a a a ----+，∵22(2)3PQ a a a a a =---=+，∵ACP APQ CPQ S S S ∆∆∆=+ 2133(3)22PQ a a =⨯⨯=+ 23327()228a =+-. ∵01a <<，∵S 随a 的增大而增大，∵06S <<.解法2 如图12，过点P 作//PQ y 轴，交AC 延长线于点Q ，设P 为2(,23)a a a --+.∵直线AC ：4y x =+，∵(,3)Q a a +，∵2(3)(23)PQ a a a =+---+23a a =+， ∵PAC APQ CPQ S S S ∆∆∆=-2133(3)22PQ a a =⨯⨯=+23327()228a =+-. ∵01a <<，∵S 随a 的增大而增大，∵06S <<.。

第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。

专题8 巧求圆中阴影部分的面积【知识解读】求与圆有关的阴影部分的面积，能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，消除思路中的“阴影”，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，就能给解决问题带来一片光明，切勿盲目计算；下面介绍几种常用的解法．培优学案【典例示范】等积变换法：是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法．例1 如图1－8－1，点P 是半径为1的⊙O 外一点，OP ＝2，P A 切⊙O 于点A ，弦AB ∥OP ，连接PB ，则图中阴影部分的面积是．图181AB OP图182ABCDEMNO【跟踪训练】如图1－8－2，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，C 为切点，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ＝6，BC ＝3，求图中阴影部分的面积．【解答】和差法：是指将阴影部分看作两个规则图形的和或差．例2 如图1－8－3，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，扇形半径为4，点C 在BC 上，CD ⊥OA ，垂足为点D ，当CD ＝OD 时，图中阴影部分的面积为．图183BCD图184CEF【跟踪训练】如图1－8－4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值）．割补法：是在不改变图形面积的前提下，通过割补，将发散的图形面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法．例3 如图1－8－5，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为cm 2．图185ABO图186A 'O 'O ABC【跟踪训练】如图1－8－6，将半圆O 绕直径AB 的端点B 逆时针旋转30°，得到半圆O ′，A ′B 交直径AB 于点C ，若BC ＝23，则图中阴影部分的面积为 ．【提示】连接O ′C ，A ′C ，将阴影部分的面积通过割补，转化为△BO ′C 的面积加上扇形O ′AC 的面积．特殊位置法：是在不改变题意的前提下，通过取特殊位置，将图形特殊化，以方便求解．例4 如图1－8－7，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a ＞3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是()A ．23r πB 233π- C ．()233r πD ．2r π【提示】解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正三角形的相邻两边都相切时，两切点与正三角形的一个顶点形成的曲边三角形的面积．图187图188【跟踪训练】如图1－8－8，一张半径为1的圆形纸片在边长为a （a ≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A ．2a π-B ．()24a π-C ．πD ．4π-整体代换法：是指在解答过程中，可将某些不易求的且不发生变化的量看作整体处理． 例5 如图1－8－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．图189CBA【提示】直接求阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积，其中A ，B 两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看作一个“整体”，则问题易求．【跟踪训练】1.如图1-8-10，正方形的边长a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 . 【提示】图中阴影部分的面积可以看作四个半圆的面积之和与正方形的面积之差.CBAOFEDCBA2.如图1-8-11，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是 cm 2.【提示】图中3个扇形正好拼成一个圆心角为180°的大扇形。

巧求面积多边形面积作为小学内容中的非常重要的组成部分，既是重点，也是难点，学生要想学好、学懂、学透，方法很重要，很多学生公式记得很牢，但遇到题目却无法使用，就是因为方法不对，下面我整理总结了几种方法。

一、“割补法”求面积割补法求面积是最常用的求面积方法1)“割”就是分割，把要求面积的图形分割成若干小块，并且每一小块的面积都可以直接用公式求出，最后求和2)“补”就是补上一小块，得到一个更加完整的图形，使要求的面积包含在这个完整的图形中，并且可以直接用公式求出，最后再减去所“补”上的图形面积。

例1计算右图的面积。

（单位：cm）分析右图是一个非规则图形，直接求面积是求不出的，按照“割”和“补”两种思想，我们可以得到以下几种割补方法。

○1○2○3种都是用的“割”,○4○5种用的是“补”解答是我们选择其中一种方法计算即可方法○1左梯形面积：（6+10）×（9-5）÷2 = 32（平方厘米）右长方形面积：5×6 = 30（平方厘米）原图形的面积：32 + 30 = 62（平方厘米）方法○2上三角形面积：（10 - 6）×（9-5）÷2 = 8（平方厘米）下长方形面积：9×6 = 54（平方厘米）原图形的面积：8 + 54 = 62（平方厘米）方法○3左三角形面积：10×（9-5）÷2 = 20（平方厘米）右梯形面积：（5 + 9）×6÷2 = 42（平方厘米）原图形的面积：20 + 42 = 62（平方厘米）方法○4补后梯形面积：（10 + 6）×9÷2 = 72（平方厘米）补的三角形面积：5×（10 - 6）÷2 = 10（平方厘米）原图形的面积：72 - 10 = 62（平方厘米）方法○5补后长方形面积：10×9 = 90（平方厘米）补的梯形面积：（5 + 9）×（10 - 6）÷2 =28（平方厘米）原图形的面积：90 - 28 = 62（平方厘米）例2如图，已知四条线段的长分别是AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。

割补法巧求面积——分割法求多边形的面积1.如图，计算这个图形的面积。

（单位：厘米）
2.如图，计算这个图形的面积。

（单位：厘米）
4.如图，计算这个图形的面积。

（单位：厘米）
6.如图，计算这个图形的面积。

（单位：厘米）
8.如图，计算这个图形的面积。

（单位：厘米）
9.根据下图中的数据计算出阴影部分的面积。

10.根据下图中的数据，计算出阴影部分的面积。

11.如图所示，在正方形ABCD内部有一个三角形AEF.已知正方形ABCD的边长是8厘米，图中点E、F分别为线段BC、CD中点，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
12.在如图所示的长方形中，E,F分别是AD和AB的中点，那么三角形CEF面积是多少平方厘米.（单位：厘米）。

小升初几何之---用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

圆与扇形———割补法课前预习彩虹的传说一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。

圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。

圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。

它们每天在一起玩儿得很开心。

有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。

”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？”月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！”圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。

突然，三角大声地号召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。

”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。

它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。

有一天，终于来到了智慧门前。

这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。

不同的是，这道门很矮小，也很窄。

几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。

圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。

三角总是最有主意，行动最快的一个。

它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。

”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。

方块的为人正像它的体形，正直稳重。

它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。

平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。

在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．是不是所有格点图形都可以这样算面积呢？例题1如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？分析 阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形呢？练习1.如图所示，大正方形的边长为中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线．请问：阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？分析 我们没有学过正六边形面积的计算方法，只能把它分成小块来算．为了能与阴影三角形联系起来，应该怎样分割正六边形呢？练习2.如图所示，正六边形、Q 、R 分别是AB MNPQRS 分析 图a 和图b 中最小的正三角形面积是不一样的，但两个大正三角形面积例题2正三角形的各边分别五等分和七等分，例题3却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？练习3.如图，把两个同样大小的正方形分别分成55×和66×的方格表．其中“G ”形阴影部分的面积是558，请问“S ”形阴影部分的面积是多少？例题3中的阴影部分都是W 形，我们不能直接看出W 形和正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把W 形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．分析 乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么联系？练习4.如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形的面积是多少平方厘米？长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘例题5图中是一个边长为边中点，围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？分析 这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45º角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？练习5.如图，在等腰梯形ABCD 中，角B 是60度，线段AB 、AD 、CD 长度相等．如果以AB 为边的等边三角形的面积是10，那么等腰梯形ABCD 的面积是多少？本讲知识点汇总一、用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积．二、正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系．作业1.如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和是多少？ABCD题2.如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36．请问：阴影正六边形的面积是多少？3.如图，图（1）的阴影图形面积是24，那么图（2）阴影图形的面积是多少？4.图中空白部分的面积是100，那么阴影部分的面积是多少？5.如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DE长9厘米，CE长3厘米，求阴影部分的面积．。

巧求面积教学目标：学会应用所学知识解决一些实际问题及较复杂的面积计算。

教学过程：一、知识要点我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，运用这些知识可以解决许多有关面积的问题。

但是有些比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算，生搬硬套公式往往不能奏效，这时，我们可以运用一些巧妙的解题技巧来解决问题。

1、面积公式：长方形的面积=长×宽（S=a×b a表示长方形的长b表示长方形的宽）正方形的面积=边长×边长（S=a×a a表示正方形的边长）2、锦囊妙计。

（1）割补法：把图形分割或添补成可求面积的长方形或正方形，再用长方形或正方形的面积公式计算。

（2）平移法: 通过平移的方法把分散的面积集中到一个长方形或正方形中，再用长方形或正方形的面积公式计算。

二、典型例题1、割补法例1.张爷爷有一块如下图的菜地，你能帮他计算出菜地的面积吗？（单位:米）（1）学生先独立思考，说一说自己的想法。

（2）解析：通过观察可以看出，这个图形可以采用分割的方法，把图形分割成两个长方形，图形的面积=两个长方形面积的和；或者在图形的左上角补上一个正方形，把它变成一个大长方形，图形的面积=大长方形面积－正方形面积。

（课件动画演示）列式：30×20+（30+20）×40=2600（平方米）列式：30×40+（30+40）×20=2600（平方米）列式：（20+30）×（40+30）－30×30=2600（平方米）答：张爷爷的菜地面积是2600平方米。

例2：下图为一个长50米、宽25 米的标准游泳池。

它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。

求游泳池面积和地砖面积。

宽长解析：从图中可以看出，游泳池是长方形，可直接运用长方形面积公式计算出来。

而瓷砖面积不规则，无法直接运用长方形面积公式计算。

如果把大长方形中间空白部分的小长方形割掉（课件动画演示），剩下的就是阴影部分的面积，所以阴影的面积=大长方形的面积－小长方形的面积，即可求出地砖面积。