2020高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第4讲 二次函数分层演练 文

第4讲二次函数与幂函数1．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.2．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是( ) A．[2，5] B．[1，5]C．[－1，2] D．[0，5]解析：选A.f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5，由f(x)的图象知：2≤n≤5.3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )解析：选D.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上．4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为( ) A．f(3)>f(－2)>f(－1)B．f(3)＜f(－2)＜f(－1)C．f(－2)＜f(3)＜f(－1)D．f(－1)＜f(3)＜f(－2)解析：选B.因为f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，所以得m＝0，即f(x)＝－x2＋3，其在[0，＋∞)上为减函数，又因为f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)且1<2<3，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(3)<f(－2)<f(－1)．5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选D.当m ＝0时，令f (x )＝0得，－3x ＋1＝0，则x ＝13>0，符合题意；当m >0时，由f (0)＝1可知：要满足题意， 需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －3）2－4m ≥0，－m －32m>0，解得0<m ≤1；当m <0时，由f (0)＝1可知，函数图象恒与x 轴正半轴有一个交点． 综上可知，m 的取值范围是(－∞，1]．6．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是________． 解析：因为f (2)＝2α＝4，所以α＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2，则其单调递增区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)7．已知二次函数为y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则顶点位置最高时抛物线的解析式为________． 解析：由题意可知：y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以该抛物线的顶点坐标为 (－k ，－k 2－2k ＋3)．设顶点的纵坐标为y ＝－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5. 解析：y ＝x 2－2x ＋58．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，符合题意； 当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，129．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则－1<x 1<x 2<0，根据图象知，x 1<p <x 2，故p ＋1>0，f (p＋1)>0.2．(2019·陕西西安模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③x 22f (x 1)>x 21f (x 2)；④x 22f (x 1)<x 21f (x 2)． 其中正确结论的序号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选C.设函数f (x )＝x α，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝2， 所以α＝－12，因此f (x )＝x －12.令g (x )＝xf (x )＝x ·x －12＝x 12，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，而0<x 1<x 2，所以g (x 1)<g (x 2)，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故①错误，②正确；令h (x )＝f （x ）x 2＝，则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，而0<x 1<x 2，所以h (x 1)>h (x 2)，即f （x 1）x 21>f （x 2）x 22， 于是x 22f (x 1)>x 21f (x 2)， 故③正确，④错误，故选C.3．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 4．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根， 解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1， 即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)． 答案：(0，2)5．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0， 解得a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3＞0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.6．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间；(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值． 解：(1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x >0），x 2＋2x （x ≤0）.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0，g (1)＝1－2a 为最小值；当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上可得g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。

二次函数与幂函数1.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x ）＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式:f(x)＝a(x－m)2＋n（a≠0）。

③零点式:f（x)＝a（x－x1）（x－x2)(a≠0）。

（2）二次函数的图像和性质解析式f（x)＝ax2＋bx＋c（a>0)f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0)图像定义域（－∞，＋∞)（－∞,＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增;在x∈错误!上单调递减对称性函数的图像关于x＝－错误!对称2.幂函数（1）定义:形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图像比较（3)幂函数的性质①幂函数在（0,＋∞）上都有定义;②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点（1，1）和（0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α〈0时，幂函数的图像都过点（1,1）,且在（0，＋∞)上单调递减。

【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!。

（×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈R，不可能是偶函数.( ×）(3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.（√)(4)函数y＝2x 12是幂函数。

( ×)（5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。

( √)（6）当n〈0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数。

（×）1.已知a，b，c∈R，函数f（x)＝ax2＋bx＋c。

若f（0)＝f（4)〉f(1），则（）A.a>0,4a＋b＝0B.a〈0，4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D。

a〈0，2a＋b＝0答案A解析因为f（0）＝f(4)〉f（1)，所以函数图像应开口向上，即a>0,且其对称轴为x＝2，即－错误!＝2，所以4a＋b＝0，故选A.2.已知函数f(x）＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是（）A.错误!B.错误!C。

第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第四节 幂函数与二次函数A 级·基础过关|固根基|1.幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C 设幂函数f(x)＝x α，代入点(3，33)，得33＝3α，解得α＝13，所以f(x)＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．在函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f(0)＝－4，则f(x)( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3D ．有最大值－3解析：选D 由a ，b ，c 成等比数列且f(0)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－4，b 2＝ac.显然a<0，故f(x)有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c 4＝－3，故选D.3．(2019届湖北鄂东南省级示范高中联考)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1＜m ＜0＜n ＜1B ．－1＜n ＜0＜mC ．－1＜m ＜0＜nD ．－1＜n ＜0＜m ＜1解析：选D 幂函数y ＝x α，当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m ＜1；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1＜2n，∴－1＜n ＜0.综上所述，－1＜n ＜0＜m ＜1.4．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )A ．[0，12]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12解析：选B 因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b ＝0.因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f(x)取得最小值－14.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12，故选B.5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m( ) A ．与a 值有关，且与b 值有关 B ．与a 值有关，但与b 值无关 C ．与a 值无关，且与b 值无关 D ．与a 值无关，但与b 值有关解析：选B 因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最值在f(0)＝b ，f(1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a24中取，所以最值之差一定与a 有关，与b 无关．6．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________． 解析：当a ＝0时，f(x)＝2x －3在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，若f(x)在(－∞，4)上单调递增， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1a≥4，解得－14≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 7．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝12，则当f(a)＝4f(a ＋3)时，实数a 等于________．解析：设f(x)＝x α，则4α＝12，所以α＝－12.因此f(x)＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.答案：158．若二次函数f(x)＝ax 2－x ＋b(a≠0)的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围是________．解析：依题意，知a ＞0，且Δ＝1－4ab ＝0， ∴4ab ＝1，且b ＞0.故a ＋4b≥24ab ＝2，当且仅当a ＝4b ，即a ＝1，b ＝14时等号成立．所以a ＋4b 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 9．已知幂函数f(x)＝x(m 2＋m)－1(m∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a －1)的实数a 的取值范围．解：幂函数f(x)的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m) －1，即212＝2(m 2＋m)－1. ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m∈N *，∴m＝1，∴f(x)＝x 12.则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2－a)＞f(a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．已知函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f(x)max ＝f(3)＝15，所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a≥－12时，f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a<－12时，f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.B 级·素养提升|练能力|11.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<c<aD ．b<a<c解析：选D 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b<a<c. 12．(2019届福建连城一模)已知函数f(x)＝2ax 2－ax ＋1(a<0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是( )A ．f(x 1)＝f(x 2)B ．f(x 1)>f(x 2)C ．f(x 1)<f(x 2)D ．与x 的值无关解析：选C 由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f(x 1)<f(x 2)．13．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a 的取值范围是________.解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4. 答案：[0，4]14．已知二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y ＝f(x)的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f(0)＝1可设f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a≠0)， 由f(x ＋1)－f(x)＝2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－ ax 2－bx －1＝2x ，化简得2ax ＋a ＋b ＝2x. 所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 因此，f(x)的解析式为f(x)＝x 2－x ＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g(x)＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m ＜－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。