江苏省海安县2010-2011学年高二上学期数学期末试卷(理科)

江苏省海门市2010-2011学年度第一学期期末考试高二数学试题数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 若直线经过)1,3(-A 、)3,3(B 两点, 则直线AB 的倾斜角为 ▲ ． 2. 已知直线⊥a 平面α，直线//b 平面α，则直线b a ,的位置关系是 ▲ ．3. 已知直线1l ：013=+-y ax ，2l ：2(1)10x a y +++=．若21l l ⊥，则实数a 的值等于 ▲ ．4. 若双曲线的一个焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，则此双曲线的标准方程为 ▲ ．5. 若直线a 不平行于平面α，则下列结论正确．．的是 ▲ ． ①α内的所有直线均与直线a 异面； ②α内不存在与a 平行的直线； ③直线a 与平面α有公共点； ④α内的直线均与a 相交．6. 正四棱锥的侧棱长为︒60，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ．7. 已知直线l 的斜率为2，且直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，与y 轴交于点A ．若OAF ∆(其中O 为坐标原点)的面积为4，则该抛物线方程为 ▲ ．8. 将圆3)1(22=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周，所得几何体的表面积为 ▲ ．9. 设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能使“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是 ▲ ．（填所有正确条件的代号）①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面；③,x y 为直线，z 为平面； ④,x y 为平面，z 为直线.10. 若椭圆221(,0)x y m n m n+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为 ▲ ．11.若圆422=+y x 上存在与点)3,2(+a a 距离为1的点，则a 的取值范围为 ▲ ．12. 在正三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，AE AD ⊥．若2=BC ，则正三棱锥A BCD -的体积为 ▲ ．13.已知直线10kx y -+=)0(>k 与圆41:22=+y x C 相交于,A B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM OA OB =+（O 为坐标原点），则实数k = ▲ ．14. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，右准线是l ，若该椭圆上存在点P ，使1||PF 等于点P 到直线l 的距离的3倍，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明15．（本题满分14分）求过两直线042=+-y x 和02=-+y x 的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程． （1）过点()1,2；（2）和直线0543=+-y x 垂直． 16．（本题满分14分）如图已知在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 面ABC ，BC AC =，M 、N 、P 、Q 分别是1AA 、1BB 、AB 、11C B 的中点．（1）求证：平面1ABC ∥平面MNQ ； （2）求证：平面PCC 1⊥平面MNQ ． 17．（本题满分15分）已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为5，圆C 被直线03=+-y x 截得的弦长为172． （1）求圆C 的方程；（2）设直线50ax y -+=与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得B A ,关于过点(2, 4)P -的直线l 对称？ 若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（本题满分15分）如图边长为4的正方形ABCD 所在平面与正PAD ∆所在平面互相垂直，Q M ,分别为AD PC ,的中点． （1）求点P 到平面ABCD 的距离； （2）求证：//PA 平面MBD ； A 1AB CP MNQB 1C 1并证明你的结论；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． （１）求直线PF 1的方程； （２）求椭圆E 的方程；（３）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求证：以1QF 为直径的圆与圆1822=+y x 相切．20．（本题满分16分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点和右焦点分别为,A F ，右准线为直线m ，圆D ：04622=--+y y x ．（1）若点A 在圆D 上，且椭圆C 的离心率为23，求椭圆C 的方程； （2）若直线m 上存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆C 的离心率的取值范围；（3）若点P 在（1）中的椭圆C 上，且过点P 可作圆D 的两条切线，切点分别为M 、N ，求弦长MN 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111a A ，其中R a ∈，若点P （1 , 1）在矩阵A 的变换下得到点)30(-'，P ． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值．22．（本题满分10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），求直线l 被 曲线C 所截得的弦长．23．（本题满分10分）如图，边长为2的正方形11A ACC 绕直线1CC 旋转90°得到正方形11B BCC ，D 为1CC 的中点，E 为1A B 的中点，G 为△ADB 的重心．（１）求直线EG 与直线BD 所成的角；（２）求直线1A B 与平面ADB 所成的角的正弦值．ABC DA 1B 1C 1EG24．（本题满分10分）已知圆)1()1(:222>=+-r r y x C ,设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦A M ，并使弦A M 的中点恰好落在y 轴上.（1）当r 在),1(+∞内变化时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 的准线为l , N 为l 上的一个动点，过点N 作轨迹E 的两条切线，切点分别为P ，Q ．求证：直线PQ 必经过x 轴上的一个定点B ，并写出点B 的坐标．高二数学参考答案1.6π2.垂直3.3-4.2213y x -= 5.③ 6. 7.28y x = 8.12π 9.③④10.2211612x y += 11.6,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦)2,115.由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得02x y =⎧⎨=⎩,(0,2)p ∴…………………………………………4分(1)12l k =-, ……………………………………6分 122y x =-+,即240x y +-= ……………………………………9分(2)43l k =-, …………………………………11分423y x =-+,即4360x y +-= ……………………………………14分16．证明：(1)11B BC ∆中,因为N ,Q 分别为1B B ,11B C 的中点, 1//QN BC ∴, 又1QN ABC ⊄平面,11BC ABC ⊂平面，所以1//QN ABC 平面…………………3分 矩形11A B BA 中,因为M ,N 分别为1AA ,1BB 的中点,//MN AB ∴，又MN ABC ⊄平面,AB ABC ⊂平面1//MN ABC ∴平面 ……………………………………6分平面1//MNQ ABC 平面 ……………………………………7分 (2)因为1AA ABC ⊥平面,,AB CP ABC ⊂平面, 故1AA AB ⊥,1AA CP ⊥由(1)//MN AB 得1AA MN ⊥,又11//AA CC ,所以1CC MN ⊥. ……………………………………9分 又因为P 为AB 的中点,AC BC =,所以CP AB ⊥ 因为CP AB ⊥,1CP AA ⊥所以11CP AA B B ⊥平面,又因为11MN AA B B ⊂平面,所以,CP MN ⊥, ……………………………………11分 又因为1MN CC ⊥,所以1MN PCC ⊥平面, ……………………………………13分 又MN MNQ ⊂平面,所以1MNQ PCC ⊥平面平面. ……………………14分 17解：(1)设⊙C 的方程为22()25x m y -+=(0)m >解由题意设0m =>⎩……………………………………2分 故1m =.故⊙C 的方程为22(1)25x y -+=. ……………………4分(2)5< ……………………………………6分故21250a a ->,所以0a <或512a >. 故,实数a 的取值范围为5(,0)(,)12-∞⋃+∞ ……………………………………9分(3)存在实数a ,使得,A B 关于l 对称.∴PC AB ⊥ ,又0a <或512a >即⎪⎩⎪⎨⎧><-=-⋅12501)34(a a a 或 ……………………………………13分∴34a =，∴存在实数34a =,满足题设 ……………………15分 18(1)解:正PAD ∆中,θ为AD 的中点故PQ AD ⊥由PAD ABCDPAD ABCD AD PQ ABCD PQ PAD PQ AD ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面平面平面平面平面.………………………………3分 Q ABCD ∈平面PQ 长为P 到平面ABCD 的距离.因为4AD =,所以PQ =所以,P 平行ABCD的距离为……………………………………5分(2)证明:连AC 交BD 于O ,连MO则ABCD 为正方形,所以O 为AC 中点,M 为PC 中点,所以//MO AP , ……………………………………7分 又AP MBD ⊄平面,MO MBD ⊂平面,则//AP MBD 平面. ……………………………………10分 (3)N 为AB 中点时,平面PCN PQB ⊥平面. ……………………………………11分 证明如下:由(1)证明知PQ ABCD ⊥平面,又CN ABCD ⊂平面,则PQ CN ⊥………12分 又因为正方形ABCD 中,Q N 分别为,AD AB 中点,则CN BQ ⊥………………………13分CN PQB ∴⊥平面 ……………14分又CN PCN ⊂平面所以,平面PCN PQB ⊥平面. ……………………………………15分 19解(1),因为(3,1)A 在⊙C 上,所以,2(3)43m m ⎧-=⎨<⎩,1m =.所以,⊙C :22(1)5x y -+=. ……………………………………2分 易知直线1PF 的斜率存在,设直线1PF 方程:4(4)y k x -=-，即:(44)0kx y k -+-=题设有=112k =或12k = ……………………………………4分 112k =时,直线1PF 方程111802x y --=，令0y =,则36011x =>,不合题意(舍去) 12k =时,直线1PF 方程:240x y -+=.令0y =,则40x =-<满足题设.所以,直线1PF 方程为:240x y -+=. ……………………………………6分(2)由(1)知1(4,0)F -,所以,2(4,0)F ,2216a b -=①……………………………………7分又122a AF AF =+==所以,a = ……………………………………9分 所以,22b = ……………………………………10分椭圆E 的方程:221182x y +=. ……………………………………11分 （3）设1QF 的中点为M ,连2QF .则2111)22OM QF QF ==112QF = …………………15分 所以,以1QF为直径的圆内切于圆222x y +=,即2218x y +=.…………………16分20解(1)对22640x y y +--=,令0y =,则2x =±. 所以,(2,0)A -,2a = ……………………………………2分又因为,2c e a ==,所以,c =……………………3分 2221b a c =-=……………………………………4分 所以,椭圆C 的方程为:2214x y +=. ……………………5分 (2)由图知AFQ ∆为等腰三角形2a a c AF QF c c+==>-………………………………7分所以,2220c ac a +->,2210e e +->,(21)(1)0e e -+>又01e <<,所以112e <<,即椭圆离心率取值范围为1(,1)2.……10分 (3)连PD 交MN 于H ,连DM ,则由圆的几何性质知:H 为MN 的中点,DM PM ⊥,MN PD ⊥.所以,22MD MP MN MH PD ⋅===2MD =⊙D :22(3)13x y +-=，MD =所以,2131132PDMN -⋅= …………………………………13分设00(,)P x y ,则220014x y +=且010y -≤< 所以,222220000(3)3613PD x y y y =+-=--+203(1)16y =-++0(10)y -≤<所以,21316PD <≤ ……………………………………15分 所以,O MN <≤. …………………………………16分 另解：设00(,)P x y ,则220014x y +=且010y -≤< 圆D:13)3(22=-+y x ,所以直线MN 的方程:13)3)(3(00=--+y y x x即：043)3(000=---+y y y x x …………………………………12分 )01(16)1(3131132)3(131132])3(13[132020202022020<≤-++--⋅=-+-⋅=-+-=∴y y y x y x MN …………………15分∴O MN <≤…………………………………16分 附加题：21解(1)由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得13a +=-,则4a =-…………………………………3分(2)1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,所以,由211()23041F λλλλλ-==--=-得:11λ=-,23λ= ……………………………………7分 11λ=-时,由20x y -+=得:2y x =-取112α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23λ=时,由20x y +=得:2y x =-,取212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. ………………………9分所以,A 的特征值为1-或3. 属于1-的一个特征向量112α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,属于3的一个特征向量212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦……………………………………10分 22解:将方程)4πρθ=-,415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为系数)化为普通方程分别为:22220x y x y ++-=,3410x y ++=. …………………………6分 曲线c 为圆22(1)(1)2x y ++-=所以直线l 被曲线c截得的弦长为5=.……………………………10分 23解:由题设1CC AC ⊥,1CC BC ⊥,AC BC ⊥所以,以C 为坐标原点,CA ,CB ,1CC 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系 则(0,0,0)C ,(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,1(0,0,2)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B , 所以(0,0,1)D ,(1,1,1)E ,221(,,)333G .……………………………………2分(1)112(,,)333EG =---,(0,2,1)BD =- ……………………………4分所以22033EG BD ⋅=-=,EG BD ∴⊥所以,直线EG 与直线BD 所成的角为2π.……………………………5分 (2)1(2,2,2)A B =-- ……………………………………6分(2,2,0)AB =-,(2,0,1)AD =-设000(,,)n x y z =为平面ABD 的一个法向量则000022020n AB x y n AD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,00002y x z x =⎧∴⎨=⎩取(1,1,2)n =. ……………………………………8分设1A B 与平面ADB 所成的角为θ则1sin cos ,A B n θ===即:1A B 与平面ADB 所成的角为正弦值为3.…………………10分 24解(1)设(,)M x y ,则AM 的中点(0,)2y D .因为(1,0)C ,(1,)2y DC =-，(,)2y DM x =. 在⊙C 中,因为CD DM ⊥，所以,0DC DM ⋅=，所以204y x -=. 所以,24y x =(0)x ≠所以,点M 的轨迹E 的方程为:24y x =(0)x ≠ ……………………………………5分 (说明漏了0x ≠不扣分)(2)轨迹E 的准线:1l x =-所以,可设(1,)N t -,过N 的斜率存在的直线方程为:(1)y t k x -=+ 由24()y x y kx k t ⎧=⎨=++⎩得2()04k y y k t -++=.由1()0k k t ∆=-+=得:210k kt +-=. 设直线NP ,NQ 斜率分别为1k ,2k ，则121k k =-①且12p y k =,22Q y k = 所以21122(,)P k k ,22222(,)Q k k 所以,直线PQ 的方程:121221122()()2()y k k k k x k k -+=-.令0y =,则121222112121211k k k x k k k k k k k +--=-==- 由①知,1x =即直线PQ 过定点(1,0)B .……………………………………10分。

Read x If x ≤2 then f (x )←2x －3 Else f (x )←log 2x End if Print f (x )2008～2009年度第一学期期末调研考试高二数学(文科)试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 把答案填写在答题卡相应位置.1. 双曲线2213y x -=的离心率是 ▲ .2. 设复数11i z =+，223i z =-，则12z z ⋅等于 ▲ ．3. 三鹿婴幼儿奶粉事件发生后，质检总局紧急开展液态奶三聚氰胺的专项检查. 设 蒙牛、 伊利、光明三家公司生产的某批次液态奶分别是2400箱、3600箱和4000箱， 现从中 共抽取500箱进行检验，则这三家公司生产的液态奶被抽取的箱数依次为 ▲ .4. 命题“,x ∃∈R 32x +=0”的否定是 ▲ .5. 将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：则第3组的频率为 ▲ .6. 样本a 1, a 2, a 3, …, a 10的平均数为X ，样本b 1, b 2, b 3, …, b 20的平均数为Y , 则 样本a 1，a 2，a 3，…，a 10, b 1，b 2，b 3，…，b 20的平均数为 ▲ (用X ,Y 表示).7. 根据如图所示的伪代码表示的算法，可得f (1)+f (4)= ▲ .8. 从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有下列事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”. 其中是对立事件的是 ▲ (写序号).9. 按右图所示的程序框图操作，若将输出的数按照输出 的先后顺序排列，则得到数列{}n a ，则数列 {}n a 的通项公式是 ▲ .10. 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则 AM <AC 的概率为 ▲ .11. 已知方程22121y x tt +=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则t 的取值范围是 ▲ .12. 如图所示，水波的半径以1m/s 的速度向外扩张，当半径为5m 时，这水波面的圆面积的膨胀率是 ▲ m 2/s.13. 以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若P A －PB ＝k ，则动点P 的轨迹是双曲线； ②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221y x -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ④以过抛物线的焦点的一条弦AB 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切. 其中真命题为 ▲ (写出所以真命题的序号). 14. 已知函数f (x )的定义域为[)2-+∞，，且(4)(2)1f f =-=，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示，则在平面直角坐标系aOb 中，平面区域0,0,(2)1a b f a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+<⎩的面积是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4m时，水面宽8m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；(2)若水面上升1m，求水面宽度.4816. (本小题满分14分)已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，14，18，20，且总体的中位数为10.5 (将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数).(1)求该总体的平均数；(2)求a的值，使该总体的方差最小.17. (本小题满分14分)某射击运动员射击1次，命中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.20，0.22，0.25，0.28. 计算该运动员在1次射击中：(1)至少命中7环的概率；(2)命中不足8环的概率.18. (本小题满分16分)如图，过点3(0,)(02)a a <<的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ，求矩形ABCD19. (本小题满分16分)已知m ∈R ，设命题p ：在平面直角坐标系xOy 中，方程22123y x m m+=+-表示双曲线； 命题q ：函数()324()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上存在极值. 求使“p 且q ”为真命题的m 的取值范围.20. (本小题满分16分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点(2,1)M ，它们在y 轴上有一个公共焦点，椭圆和 双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程；(2)已知动直线l 过点(0,3)P ，交抛物线于A B 、两点，是否存在垂直于y 轴的直线l'被 以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l'的方程；若不存在，说明理由.高二(文科)数学参考答案及评分标准200901一、填空题(5分×14＝70分)1. 22. 5－i3. 120，180，2004. 3,20x x ∀∈+≠R5. 0.146. 2X Y +7. 1 8. ③ 9. *721(,)n a n n n =-∈N ≤ 10. 34 11. ()()3,11,2-∞- 12. 10π 13. ②③④ 14. 4二、解答题 15. (14分)(1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为22(0)x py p =->. -----------------------3分由已知条件可知，点B 的坐标是(4,4)-，代入方程， 得242(4)p =-⨯-，即2p =. -----------------------6分 所以，所求抛物线标准方程是24.x y =- -----------------------7分 (2)若水面上升1m ，则3y =-, -----------------------10分代入24x y =-，得24(3)12x =-⨯-=,x =± -----------------------13分所以这时水面宽为m. -----------------------14分16．(14分)(1)由题意得10.52a b +=, 即a +b =21. -----------------------2分于是2+3+3+7+a +b +12+14+18+20=100， ----------------------4分所以2，3，3，7，a ，b ，12，14，18，20的平均数为1001010=. ----------------------6分(2)设2，3，3，7，a ，b ，12，14，18，20的方差为s 2，则 s 2=222221(210)(310)(10)(10)(2010)10a b ⎡⎤-+-++-+-++-⎣⎦222211355(10)(10)355(10)(11)1010a b a a ⎡⎤⎡⎤=+-+-=+-+-⎣⎦⎣⎦ ()2121288a a =-+. ----------------------11分故当2110.52a ==时，总体的方差s 2取得最小值. ---------------------14分17．(14分)记事件“射击1次，命中k 环”为A k (k ∈N ，且k ≤10)，则事件A k 彼此互斥. ----------------------2分(1)记“射击1次，至少命中7环”为事件A ，那么当A 10，A 9，A 8，A 7之一发生时，事件A 发生. 由互斥事件的概率加法公式，得 10987()()P A P A A A A =+++10987(((()P A P A P A P A =+++））） =0.20+0.22+0.25+0.28=0.95. ----------------------6分(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即A 表示事件“射击1次，命中不足7环”. 根据对立事件的概率公式，得()1()10.950.05.P A P A =-=-= ----------------------9分记事件“射击1次，命中不足8环”为B ，那么A 与A 7之一发生，B 发生，而A 与A 7是互斥事件，于是()7()()0.280.050.33.P B P A P A =+=+= ----------------------12分答：该运动员在1次射击中, 至少命中7环的概率为0.95；命中不足8环的概率为0.33.----------------------14分(第(2)小题若先计算事件“至少命中8环”的概率，在依对立事件的概率公式求解，参照评阅)18. (16分)设切点为00(,)x y ，则200y ax =-. -----------------------1分因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，----------3分因为切线过点()30,a ，所以320002(0)a ax ax x +=--，即320a ax =，于是0x a =±.--------------5分将0x a =±代入200y ax =-得30y a =-. -----------------------7分(若设切线方程为3y kx a =+，代入抛物线方程后由0∆=得到切点坐标，亦予认可.) 所以32,8AB a BC a ==-， -----------------------9分所以矩形面积为4162(02)S a a a =-<<， ---------------------10分于是3168S a '=-. ---------------------12分所以当0a <<时，0S '>2a <时，0S '<； ---------------------14分故当a S 有最大值为 ---------------------16分19．(16分)命题p为真命题(2)(3)023m m m m ⇔+-<⇔<->或.-----------------------3分对于函数()324()63f x x mx m x =++++，有24()323f 'x x mx m =+++. -----------------------6分函数()324()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上存在极值⇔()0f 'x =有两个不等实根()()2421201 4.3m m m m ⇔-+>⇔<->或 ---------------------10分于是命题q 为真命题14m m ⇔<->或. ---------------------11分所以“p 且q ”为真命题⇔命题p 和q 都是真命题 ---------------------13分23,2 4.14m m m m m m <->⎧⇔⇔<->⎨<->⎩或或或 ---------------------15分故使“p 且q ”为真命题的m 的取值范围是()(),24,-∞-+∞. ---------------------16分20．(16分)(1) 设抛物线方程为22(0)x py p =>，将(2,1)M 代入方程得 2.p =所以抛物线方程为24x y =. ----------------------2分由题意知, 椭圆、双曲线的焦点为12(0,1),(0,1)F F -.设椭圆的方程为22221(1)1y x a a a +=>-，则由椭圆定义得122||||2a MF MF =+=+，于是22(13a ==+212a -=+221=. ----------------------5分设双曲线的方程为22221(01)1y x m m m +=<<-，则由双曲线定义得1222m MF MF =-=，于是)2213m ==-21 2.m -=221=. ----------------------8分(2)设11(,)A x y ，则AP 的中点C 113,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ----------------------9分设l'的方程为y a =，C 到l'的距离为h ，以AP 为直径的圆半径为r ，l'被圆截得的弦长为d .则()22211313224y h a y a +=-=+-⎡⎤⎣⎦， ()()2222111324PA r x y ⎡⎤==+-⎣⎦， ----------------------12分因为点11(,)A x y 在抛物线24x y =上，所以2114x y =. 由()()()22222211111332dr h x y y a ⎡⎤=-=+--+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 得()()()()2222221111113324332d x y y a y y y a ⎡⎤⎡⎤=+--+-=+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦214(2)412.a y a a =--+ ----------------------14分当a =2时，d 2=8，d = ----------------------15分故存在直线l'：y =2，它被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值(定值为----------------16分。

江苏省南通市海安县墩头中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，若，则必有 ( )A． B． C． D．参考答案：A2. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A．34949 B． 34950 C．34951 D．35049参考答案：B略3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是( )A. B.C．D．参考答案：B略4. 已知函数在处的导数为1，则( )A．3 B． C．D．参考答案：B5. 已知命题p：已知函数f（x）的定义域为R，若f（x）是奇函数，则f（0）=0，则它的原命题，逆命题、否命题、逆命题中，真命题的个数为（）A．0 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】四种命题．【分析】由奇函数的定义判断原命题是正确的，则原命题的逆否命题就是正确的，再判断原命题的逆命题的真假即可得答案．【解答】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；故原命题正确；而由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数；故逆命题不正确；∵逆命题和否命题互为逆否命题，逆否命题具有相同的真假性，故否命题不正确；∵原命题与它的逆否命题具有相同的真假，故逆否命题正确．∴真命题的个数为：2．故选：B．6. 过曲线上一点A(1,2)的切线方程为,则的值为( )A. B.6 C.D.4参考答案：A略7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C8. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A. 考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.9. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。

2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。

2009～2010学年末调研考试高二数学（文）参考答案及评分建议一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合{}{}2021A a B a ==，，，，,若{}0124A B =，，，，则实数a 的值是 ▲ . 2. 命题“2x x x ∃∈N ，≤”的否定是 ▲ .3. 已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则tan α= ▲ .4. 函数()ln(2)f x x =-的定义域是 ▲ .5. 在△ABC 中，点D 在BC 上（不含端点），且CD r AB sAC =+，则r +s = ▲ .6. 设{}11132α∈-，，，，则使函数y x α=的定义域为R ，且是奇函数的所有的α的值为▲ .7. “x y =”是“x =y ”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既非充分又非必要”中选一个填写）.8. 已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB =，4BC =，5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 ▲ .9. 已知tan 3θ=,则()22πsin (π+)2cos cos()3cos (π)2θθθθ++-+-= ▲ .10. 函数2()23x f x x -=+-的零点个数是 ▲ .11. 有一种波，其波形为函数πsin 2y x =-的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t 的最小值是 ▲ .12. 有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中只有一位同学获奖. 有人走访了四位同学，甲说：“丙获奖了”. 乙说：“我获奖了”. 丙说：“乙、丁都未获奖”. 丁说：“是乙或丙获奖了”.四位同学的话中，恰有两句是对的，则获奖的同学是 ▲ .13. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，那么就称这两个函数为“同形”函数. 给出下列四个函数：①1()sin cos f x x x =-；②2()f x x ③3()sin f x x =；④4()cos )f x x x +. 其中“同形”函数的序号是 ▲ . 14. 甲、乙、丙三位同学在研究函数()()1||x f x x x =∈+R 时分别给出命题： 甲：函数()(11)f x -的值域为，； 乙：若12x x ≠,则一定有12()()f x f x ≠；丙：若规定11()()()[()]()*1||n n n x f x f x f x f f x f x n n x -===∈+N ，，则对任意恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数是 ▲ . 【填空题答案】1. 22. 2x x x ∀∈>N ，3. 512- 4.[)12， 5. 06. 1,37. 必要不充分8. 25-9. 35 10. 211. 7 12. 乙 13. ①② 14. 3二、本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是平行四边形，且点()(401A C ，，. （1）求ABC ∠的大小；（2）设点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动（包括端点），求OP CM ⋅的取值范围. 【解】（1）由题意得()(401OA OC ==，，，， 因为四边形OABC 是平行四边形，所以 41cos cos .422OA OC ABC AOC OA OC ⋅∠=∠===⨯⋅于是π.3ABC ∠= (6)分（2）设(P t ，其中15t ≤≤. …………………………9分于是(OP t =，而()((2011CM =-=，，， 所以OP CM ⋅=((13t t ⋅=-，. 故OP CM⋅的取值范围是[]22-，. …………………………14分16. （本题满分14分）已知集合{}3A x x =≤，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ；（2）若AB A =，求实数m 的取值范围.【解】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， …………………………2分而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R，，，…………………………4分 所以()[)37.A B =R， …………………………6分 （2）AB A B A =⇔⊆.若B =∅，则121m m -=+，解得2.m =- …………………………8分若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤. …………………………12分综上得实数m 的取值范围是[]21-，. …………………………14分 17. （本题满分14分）已知二次函数2()()f x ax bx c a b c =++∈R ，，，满足：对任意实数x ，都有()f x x ≥，且当()13x ∈，时，有21()(2)8f x x +≤成立.（1）证明：(2)2f =；（2）若(2)0f -=，求()f x 的表达式.【证】（1）由()f x x ≥得(2)2f ≥. …………………………2分因为当()13x ∈，时，有21()(2)8f x x +≤成立，所以21(2)(22)28f +=≤.所以(2)2f =. …………………………4分【解】（2）由(2)2(2)0f f =⎧⎨-=⎩，得422420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，，从而有114.2b c a ==-， 于是21()142f x ax x a =++-. …………………………7分21()1402f x x ax x a ⇔-+-≥≥.若a =0，则1102x -+≥不恒成立.所以()()20141402a a a >⎧⎪⎨---⎪⎩，≤， 即()201402a a >⎧⎪⎨-⎪⎩，≤， 解得1.8a = …………………………11分当18a =时，221111()(2)8228f x x x x =++=+满足()21()(2)(13)8f x x x +∈≤，. ………………12分故2111()822f x x x =++. …………………………14分18. （本题满分16分）设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b ()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求⋅+a b a b的最大值和最小值；（2）若k k +=-a b b ，求实数k 的取值范围.【解】（1）a ·b ()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，. ……2分2cos θ+a b .于是2cos 22cos 11cos .2cos 2cos 2cos θθθθθθ⋅-===-+a b a b …………………………4分 因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 12θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………6分故当1cos 2θ=即π3θ=时，⋅+a b a b 取得最小值12-；当cos 1θ=即0θ=时，⋅+a b a b 取得最大值12.…………………………8分（2）由k k +=-a b b 得222221312cos23(1)6cos2cos24k k k k k k k kθθθ++=-⇔++=+-⇔=a b a b . ……………11分因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 212θ-≤≤.不等式211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧-⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，解得22k ≤1k =-， 故实数k的取值范围是{}221⎡-+-⎣. …………………………16分19. （本题满分16分）如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积. （1）设AD =x （x a ≥），DE =y ，试将y 表示为x 的函数关系式；（2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？ 【解】（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以21(2)2xAE a =，即22a AE x=. …………………………2分在△ADE 中，由余弦定理得y = …………………………4分 因为0202AD a AE a ≤≤，≤≤，所以202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤， 解得2a x a ≤≤. 故y 关于x 的函数关系式为)2y a x a =≤≤. …………………………6分 （2）令2t x =，则222a t a ≤≤，且y 设()4224()4a f t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，. …………………………8分 若22122a t t a <≤≤，则()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>所以()f t 在222a a ⎡⎤⎣⎦，上是减函数. 同理可得()f t 在2224a a ⎡⎤⎣⎦，上是增函数. ………………11分于是当22t a =即x =时，min y ，此时DE //BC，且.AD = ……………………13分当2t a =或24t a =即x =a 或2a时，max y ，此时DE 为AB 或AC 上的中线. …………15分故当取AD 且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D为AB中点时，DE最长. …………………………16分（注：若由y ，当且仅当2224a x x =即x =时取“=”号. 只得到最小值，给4分）20. （本题满分16分）已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数．（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围；（3）设()94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【解】(1)因为()y f x =为偶函数， 所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ，即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立.于是9999912log (91)log (91)log log (91)9x xxx x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-. …………………………4分(2)由题意知方程911log (91)22x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.因为99911()log log 199xx x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而121199x x >. 于是129911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12()()g x g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数.因为1119x +>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 所以b 的取值范围是(],0.-∞ …………………………10分(3)由题意知方程143333x x xa a +=⋅-有且只有一个实数根． 令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.若a =1，则34t =-，不合, 舍去；若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由304a ∆=⇒=或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132a t =-⇒=；方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔>综上所述，实数a的取值范围是{3}(1,)-+∞．…………………………16分。

2011—2012学年度上学期期末考试高二数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。

3．考试结束，只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）1．命题P ：x R ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则（ ）A ．P是假命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=+≤B ．P是假命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=+>C ．P是真命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=≤D ．P是真命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=> 2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为（ ） A ．9 B ．12 C ． 8 D ．133．如图的程序框图，如果输入三个实数a,b,c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c>x B ．x>c C ． c>b D ．b>c4．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 的概率等于（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．236万元时销售额为（ ）6．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A B C D7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A C 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1，AB 的中点，给出如下三个结论：①C 1M ⊥平面ABB 1A 1；②A 1B ⊥AM ；③平面AMC 1∥平面CNB 1；其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．38．空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R ，且PQ=2，QR=，PR=3，那么异面直线AC 与BD 所成的角是（ ）A ． 900B ． 600C ． 450D ．3009．在甲、乙等6个同学参加的一次演讲比赛活动中，每个同学的节目集中安排在一起。

2017-2018学年第一学期期末学业质量监测高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分・请把答案填写在答题卡相应位置上•1. 已知集合％ = {-1, 0, 2}, 5 = {1, 2, 4},则JCIB= _A_2. 函数y = 712 + x-x2的定义域为▲・3・命题"V XG R, X2>0”的否定为“ ▲” •4. 在平面直角坐标系X—中，若抛物线/=2px（p>0）的焦点与双曲线x2-/=l的右焦点重合，则卩的值为▲・5. 在命题："若血=0,则a = 0或/> = 0”的逆命题、否命题、逆否命题这3个命题中，真命题的个数为▲,6. 在菱形肋CD中，AB = \t ZBW = 60°,则石•走的值为▲.7. "a = 3"是"直线ax+2y + l = 0和直线3x + （a-l）y-2 = 0平行”的▲条件.（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”中选择正确的一种填写）高二数学试题第1页（共4页）2x + y^29&已知点P(x, y)的坐标满足x-3yWl・则当3x + 2y取最大值时•点P的坐标为_4_・x + y^299.已知公差不为0的等湮数列的第2. 5. 6项依次构成_个等比数列.则该等比数列的公比为」_・10. 已知正数a，b满足a + 2b = l,则片+碁的最小值为—.11. 如图，在平面直角坐标系◎中，设儿B为椭圆£ + * = l(a>b>0)上的两点，M为线段初的中点，"，*2分别为直线偽°”的斜机则张心-务•类比该命题知，在平面直角坐标系乂。

中・设川• 〃为双曲线£-/=1上的两点，M为线段肋的中点・6S %分别为直线AB, OM的斜率，则& •忍的值为12. 设人(x)为函数人⑴的导数，刃w2・若(x>0»怎数*€N*),则A(x) +几⑴二_A_・13. 己知儿B为平面内的两个定点.且AB = 2・若在该平面内存在唯一点P同时满恐①PA = *PB \②PA2 + PB2 = A (AeR ).则人的取值集合为一A_・14.若函数/(x) = xJ«x2+x_i在卜1,1］上是单调增函数，则实数°的值为_A_・二、解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡扌目淫匡填内作答•解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤•15・(本小题满分14分)己知sinct , ae(普,2 兀).(1)求tana的值：⑵若tan"*,险(0,号)，求a + 0的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥S - ABC ■ AB^AC. SB = SC・点M , N分别为棱BC ■ SC的中点• 求证：(1) MN//平面SXB;(2) SA 丄BC ・17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系gy中，已知点/(4,3), 5(5, 2), C(l, 0)均在圆P上.(1)求圆P的方程；(2)过点D(0, -1)作圆P的切线，切点分别为E，F・①求切线DF的斜率；②求直线EF的方程・（本小题满分16分）欲设计如图所示的平面图形O>它由上.下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为°，半径为lcm, ZAOB = 20 , OvOv 号，且O 在弦肋的上方），下部分是矩形肋CQ.（1） 若BC胡AB,求平面图形O 的周长的最大值；（2） 若BC = ^AB,试确定&的值，使得平面图形0的面积最大.4（本小题满分16分）生平面直角坐标系◎中，已知椭圆斗斗= l （a>b>0）的离心率为寻，且过点P （2, j （1）求椭圆的标准方程;（2）如图，设椭圆的左顶点为右过点C （l, 0）的直线与椭圆交于M, N 两点，直线伽 （本小题满分16分） 己知定义在（0, +8）的函数=其中0<a<i （c 为自然对数的底数）.Xv与直线/： x =①若MTV 丄x 轴，求直线77V 在x②问：直线77V 是否过定点？若过定点, 求定点的坐标；若不过定点，说明理由.yT（第19题）（1）求函数/（X）的极值；（2）求证：函数/（X）存在两个不同的零点, x2,且斗・呂随。

南通市海安县如东县2022-2023学年度第一学期高二数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( ) A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}A ∩B =A. B. C. D. (‒1,1](‒2,2](‒2,1](‒1,2]【答案】A 【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题． 直接由交集运算得答案． 【解答】解：集合，， A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}所以．A ∩B =(‒1,1]2. 已知复数，则( ) z =1+i1‒i z 3=A. B. C. D.1‒1i ‒i 【答案】D【解析】 【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果． i 2=‒1【解答】解：， ∵z =1+i 1‒i =(1+i )2(1‒i)(1+i)=i ， ∴z 3=i 3=‒i 故选：．D3. 已知点，，若直线与直线垂直，则( )A (1,0)B (3,1)AB x ‒my +1=0m =A. B. C. D. ‒2‒12122【答案】B【解析】 【分析】本题考查了两直线垂直与斜率的关系，考查了过两点的斜率公式，属于基础题． 求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值． AB ‒1m 【解答】解：直线的斜率为， AB 1‒03‒1=12因为直线与直线垂直， AB x ‒my +1=0所以直线的斜率为．x ‒my +1=0‒2所以，解得．1m =‒2m =‒124. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，{a n }: 112358，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，⋯3a 1=a 2=1a n +2=a n +1+a n 这样的数列称为“斐波那契数列”若，则( ) .a m =2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1m =A. B. C. D. 126127128129【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查数列递推关系在解题中的应用，考查阅读能力和分析解决问题的能力，属于中档题．根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法a n =a n +2‒a n +1求得，然后将的系数倍展开即可求解． S n =a n +2‒12(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+12【解答】解：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，a 1=a 2=1由，得 ，所以，，a n +2=a n +1+a n (n ∈N ∗)a n =a n +2‒a n +1a 1=a 3‒a 2a 2=a 4‒a 3a 3，， ，将这个式子左右两边分别相加可得：=a 5‒a 4…a n =a n +2‒a n +1n ，所以 S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯+a n =a n +2‒1S n +1=a n +2所以2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯a 124+， a 125+a 126+1=S 126+1=a 128故选C ．5. 已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为( )C y y =±2x C A.B. C. D.52235【答案】A【解析】 【分析】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．由焦点在轴上，渐近线方程为可得，从而求得离心率的值． y y =±2x ab =2【解答】解：由题意可得，即，ab =2b =12a 所以． c a =a 2+b 2a 2=a2+a 24a 2=54=526. 已知函数的导函数为，且，则( ) f (x )f '(x )f (x )=2xf '(π6)+cos x f (π6)=A.B.C.D.‒12123‒π63+π6【答案】D【解析】 【分析】本题考查了导数的运算，属于基础题． 求导，代入，可得，从而可求 x =π6f '(π6)=12f (π6).【解答】解：， ∵f (x )=2xf '(π6)+cosx ，∴f '(x )=2f '(π6)‒sinx 令，则，x =π6f '(π6)=2f '(π6)‒sin π6即， f '(π6)=12则，．f (x )=x +cosx 7. 已知等差数列中，记，，则数列的前项和为( ){a n }a 4+a 5=2.b n =a n +1a n‒1n ∈N ∗{b n }8A. B. C. D. 04816【答案】C【解析】 【分析】本题考查了等差数列的性质与分组求和法，属于中档题． 分离常数可得，设，当时，可得，b n =1+2a n ‒1c n =2a n‒1c n +c 9‒n =0故可得数列的前项和． {b n }8【解答】解：，b n =a n +1a n ‒1=a n ‒1+2a n ‒1=1+2a n ‒1设，c n =2a n‒1当时，c n +c 9‒n =2a n ‒1+2a 9‒n ‒1=2·a n +a 9‒n ‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)，=2·a 4+a 5‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)=0故 b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1‒1+1+2a 2‒1+⋯+1+2a 8‒1=8+c 1+c 2+⋯+c 8．=8+(c 1+c 8)+(c 2+c 7)+(c 3+c 6)+(c 4+c 5)=88. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，f (x )f '(x )R f (x +1)g (x )=f '(x )若是奇函数，则( ) g (x )g (10)=A. B. C. D.20‒1‒2【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)g (x )=g (‒x +2)，再结合题意可得是函数的一个周期，且，进而可求解． g (2)=g (0)4g (x )g (0)=0【解答】解：因为 是奇函数，所以 ， f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)两边求导得 ， ‒f '(‒x +1)=‒f '(x +1)即， f '(‒x +1)=f '(x +1)又，g (x )=f '(x )所以 ，即， g (‒x +1)=g (x +1)g (x )=g (‒x +2)令 可得 ，x =2g (2)=g (0)因为是定义域为的奇函数，所以， g (x )R g (0)=0即．g (2)=0因为是奇函数，g (x )所以 ，又， g (‒x )=‒g (x )g (x )=g (‒x +2)所以， g (‒x +2)=‒g (‒x )则，g (x +2)=‒g (x )， g (x +4)=‒g (x +2)=g (x )所以是函数的一个周期， 4g (x )所以． g (10)=g (2)=0故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

期末试卷高二政治（选修）第Ⅰ卷(选择题共66分)一、单项选择题：在各题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的。

每小题2分，共66分。

1．2010年11月12日，第16届亚运会在广州开幕。

广州亚运会吉祥物取名乐羊羊，由五只不同颜色、形态各异的羊组成，名字组成“祥和如意乐洋洋”。

创意灵感来源于五位仙人分别骑着口衔稻穗的仙羊降临广州的传说。

千年前的“五羊衔谷”传说使得“五羊”成为广州城市最为知名的一个标识。

羊与中华民族传统文化的发展有着深厚的历史渊源，对我国文字、饮食、道德、礼仪、美学等领域文化的产生和发展也有重要影响。

这说明①意识是对客观存在的反映②艺术作品是对原型审美的直接再现③意识来源于艺术家的创意④艺术创作是意识能动性的具体表现A．①②B．①④C．②④D．①③④2．哲学的基本问题包括的两个方面是①唯物主义和唯心主义的区别问题②思维和存在何者为本原的问题③思维和存在有没有同一性的问题④可知论和不可知论的划分标准问题A．①②B．③④C．①④D．②③3．右边漫画“心中有笼便有笼，心中无笼便无笼” 的观点属于A．主观唯心主义B．朴素唯物主义C．形而上学D．客观唯心主义4．在古代欧洲，有过这样一首诗：“那时候，上面的青天还没有称呼，下面的大地也没有名字，其阿玛诗（即海洋）是大家的生母，万物都和水连在一起。

”这首诗体现的是Ａ.朴素唯物主义观点Ｂ.形而上学唯物主义观点Ｃ.辩证唯物主义观点Ｄ.唯心主义观点5．马克思主义哲学的产生是哲学史上的伟大变革，就在于A．它实现了唯物主义与辩证法的有机统一B．它坚持了科学的、革命的、阶级的观点C．它批判地吸取了黑格尔的唯物主义和费尔巴哈的辩证法思想D．它第一次实现了实践基础上的科学性和革命性的统一6．2010年春，西南五省区遭受大旱，引起国人关注。

云南气象部门先后在77个县进行人工增雨作业，共发射高炮和火箭弹3203发，起到了明显的增雨效果。

这表明A．意识具有能动作用，能改变降雨规律B．实践是检验认识的真理性的唯一标准C．人们办事情能否成功，取决于是否发挥主观能动性D．人能够利用对规律的认识，改造世界，造福于人类7．在日本，有一种乌鸦，能将坚果丢到公路的斑马线上，让汽车碾碎，然后在汽车遇到红灯停车时去吃。