人大附中高三数学总复习基本练习17

北京市人大附中高三数学中档练习题（一）至（五）参考答案练习题一1．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7 - x )人，那么只会一项的人数是(7 - 2x )人．(I)∵7(0)(1)1(0)10P P P ξξξ>=≥=-==，∴3(0)10P ξ==． 即27227310xx C C --=．∴(72)(62)3(7)(6)10x x x x --=--．∴x = 2。

故文娱队共有5人． (II) ξ112325C C 3(1)C 5P ξ⋅===，2225C 1(2)C 10P ξ===，∴33101210510E ξ=⨯+⨯+⨯=45．2．解：(I) 由题设2a 3 = a 1 + a 2，即2a 1q 2 = a 1 + a 1q ，∵a 1 ≠ 0，∴2q 2- q - 1 = 0，∴q = 1，或q = -12．(II) 若q = 1，则2(1)32122n n n n nS n -+=+⋅=， 当n ≥ 2时，1(1)(2)02n n n n n S b S --+-==>，故S n > b n ．若q = -12，则2(1)192()224n n n n nS n --+=+-=， 当n ≥ 2时，1(1)(10)4n n n n n S b S ----==-，故对于n ∈ N *，当2 ≤ n ≤ 9时，S n > b n ；当n = 10时，S n = b n ；当n ≥ 11时，S n < b n ．3．解：(I) ∵f (x ) = mx 3 + nx 2，∴f '(x ) = 3mx 2+ 2nx ，由已知条件得：f '(2) = 0，∴3m + n = 0，即n = - 3m ． (II) ∵n = - 3m ，∴f (x ) = mx 3 - 3mx 2， ∴f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，令f '(x ) > 0得3mx 3- 6mx > 0，当m > 0时，x < 0或 x > 2， ∴函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，综上：当m > 0时，函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)．(III) 由(I)得：f (x ) = mx 3 - 3mx 2，f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，l ：32211111(3)(36)()y mx mx mx mx x x --=--，令y = 0，由m ≠ 0，x 1 > 2，得21121233(2)x x x x -=-，2221111211123212182(3)333(2)3(2)3(2)x x x x x x x x x --+--=-==---， ∵x 1 > 2，(x 1 - 3 )2≥ 0，∴x 2 - 3 ≥ 0，即：x 2 ≥ 3．4．解：(I) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵AC ⊥CB ， ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离，∵BC = 2， ∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2．(II) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影， ∴BM ⊥A 1G ， ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角， 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点，∴CG = 2，DC = 1，在直角三角形CDG中，CMtan GMB即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．(III) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ， 其位置为AC 中点，证明如下：∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(I)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点，∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ，同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD ，∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面，∴ 点F 唯一．练习题二1．解：（Ⅰ）)(x f ＝OP ·OQ ＝1sin 2cos cos cos 22-+-+x x x x=)4sin(2cos sin π+=+x x x ，则)(x f 的最小正周期为π2=T ．（Ⅱ）由·OQ ＜－１，得22)4sin(-<+πx ． 又)2,0(π∈x ，则47445πππ<+<x ，即23ππ<<x ．故x 的取值范围是（23,ππ）． 2．解: （Ⅰ）312)0(33===A p ξ; （Ⅱ）21)1(3313===A C p ξ，611)3(33===A p ξ，故其分布列为:111012 1.326E ξ=⨯+⨯+⨯=3．（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，平面11111C B A A ABB 平面⊥，又点D 是等腰直角三角形111C B A 斜边11B A 的中点，则111B A D C ⊥，所以，BA B A D C 111平面⊥；（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥A C 1于E 点, 1111111,CC C B C A C B ⊥⊥Θ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ．又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴平面AB 1C 1⊥平面A 1C 1CA ． 又∵A 1E ⊥AC 1, ∴A 1E ⊥平面AB 1C 1， ∴A 1E 就是A 1到平面AB 1C 1的距离．由已知，A C 1A 1E（Ⅲ）解：.BA B A 11平面内，过D 作1AB DE ⊥，垂足为E ，连结E C 1，则11AB E C ⊥．ED C 1∠是二面角111C AB A --的平面角，在1DEC Rt ∆中，2arctan ,22222tan 1111=∠===∠ED C D B DEDC ED C ，所以， 二面角111C AB A --的大小为2arctan .4．解：（Ⅰ）由题意知：n nMB MA K K =，由斜率公式得1122122---=--nn n a n ，解得：n a n 2=．（Ⅱ）由题设知： ()121+=+⋅⋅⋅++n n a a a n ，条件中的等式可化为：()()3212211-+=⋅⋅⋅++n n n b a b a b a n n ， ①有()()521112211--=⋅⋅⋅++--n n n b a b a b a n n ， ②①—②得()2,43≥-=n n b n 当1=n 时，()12111-⋅⋅=b a 得11-=b ．∴34,N n b n n *=-∈ n n b b b n 2523221-=+⋅⋅⋅++∴．练习题三1．（Ⅰ）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθΘ ∴由||||,AC BC =u u u r u u u r2222(cos 3)sin cos (sin 3)θθθθ-+=+-得, 即cos θ=sin θ.又),23,2(ππθ∈ ∴45πθ= （Ⅱ）由1-=⋅，得cos θ（cos θ－3）+sin θ（sin θ－3）=－1,即sin θ+cos θ=.32两边平方，得2sin θcos θ=95-. θθθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ2．（Ⅰ）∵,61)0(252===+n n C C P ξ ∴,0432=--n n 解得n =－1（舍去）或n =4.即袋中有4个黑球.（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，4. ∵,61)0(==ξP ,31)1(291314===C C C P ξ ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ ,61)3(291213=+==C C C P ξ,361)4(2922===C C P ξ∴ξ的概率分布列为 .914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ξ0 1 2 3 4P6131 3611 61 361 3．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2，∴PD 2+CD 2=PC 2，即PD ⊥CD. ∴PD ⊥平面ABCD. （Ⅱ）如图，连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.过O 点作OE ⊥PB 于E ，连结AE ，则AE ⊥PB ，故∠AEO 为二面角A —PB —D 的平面角.由Rt △OEB ∽Rt △PDB ，得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60°4．（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='（1分）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，+∞) ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .① ∵0<a <1， ∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数 ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a练习题四1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+=E ξ=1×2+2×4+3×8+4×16+5×16=162．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ； （II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。

第Ⅰ部分 客观卷（共40分）本部分共20道选择题，每小题2分，共40分.第Ⅱ部分 主观题（共60分）一．算一算（每小题6分，共18分）1. 解：原式=6221-++-=．2. 解法一： 24,23.x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②由②得，23x y =-. ③将③代入①得，2(23)4y y -+=.解得 2y =. 将2y =代入③得 1x =.所以，原方程的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩解法二： 24,2 3.x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2，得 428x y +＝. ③ ②＋③，得 5=5x . 解得 1x =.把1x =代入②，得24y +＝. 解得 2y =.所以这个方程组的解是1,2.x y =⎧⎨=⎩3.解：原不等式组为 42(1)411223x x x x --<⎧⎪-+⎨≤⎪⎩，，由①，得 1x <.①②由②，得 5x ≥-.∴原不等式组的解集为51x -≤<.∴原不等式组的所有整数解为-5, -4, -3, -2, -1,0.二．画一画（本题4分）如图，∠ABC 和∠DEF ，AB ∥EF ，BC ∥DE ，但∠ABC ≠∠DEF (∠ABC 和∠DEF 的数量关系互补) .三．解决实际问题（第1小题9分，第2小题8分，共17分） 1. 解：（1）40个，70个；（2）设每个波比跳消耗热量x 大卡，和每个深蹲消耗热量y 大卡，根据题意，得20401322070156.x y x y+=⎧⎨+=⎩ 解得5,0.8.x y =⎧⎨=⎩答：一个波比跳5大卡，一个深蹲0.8大卡（3）设小明10分钟做z 个波比跳，则做深蹲（120z -）个,根据题意，得 50.8(120)200z z +-≥ 解得 162421z ≥ ∵z 为整数，∴25z ≥.答：小明至少要做波比跳25个．2.（1）50,18. （2）图略. （3）800. （4）是.四．解决几何问题（本题8分） 解：（1）补图如下：D（2）如图，过点M 作IJ ∥DE .∴∠IMN=MNE ∠.∵将OB 平移得到DE , ∴OB ∥DE . ∴IJ ∥OB. ∴∠IMO=AOB α∠=.∵∠IMN=∠IMO +∠OMN=αβ+. ∴=+.MNE αβ∠（3）如图，过点G 作GK ∥DE . ∴∠NGK=∠ENG ∵OC 平分∠AOB , ∴∠BOC=12∠AOB=12α. ∵OB ∥DE , GK ∥DE . ∴GK ∥OB.∴∠OGK=∠BOC=12α.∴∠NGO=∠NGK+∠OGK=∠ENG+12α∵2180NGO OMN ∠+∠=，∠OMN=β,∴2（∠ENG+12α）+β=180°.∴2∠ENG=180αβ︒-- 由（2）得=+.MNE αβ∠ ∴180DNM αβ∠=︒--\ ∴2DNM ENG ∠=∠. ∵ 180ENM DNM ∠+∠=.∴2180ENM ENG ∠+∠=.五．探究新问题（本题8分） 解：（1）2, 3.（2）∵点B (,4)x x -在第一象限，∴0,40.x x >⎧⎨->⎩∴0 4.x <<∵(,)3d B O =分解∴4,3.x x x ≥-⎧⎨=⎩或4,4 3.x x x <-⎧⎨-=⎩解得3x =或1x =，均符合题意. ∴点B 的坐标为（3,1）或（1,3）.（3）①答案不唯一，例如点C 的坐标为（0,3）（1,2）（3,0），描点如图1，它们在一条直线上.②如图2，点E 围成的图形为正方形GHIJ ,点F 围成的图形为正方形KLMN. 两个图形重合部分的面积为18.。

北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则A B =（ ） A ．()2,4− B ．[)0,4 C ．[]0,1 D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x =B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()x x f x e e −=− 3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bBC ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ）A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π3 5．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ）A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,+∞D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b >”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12± B．2± C．2± D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1；②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ． （1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−><⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； （2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．（本小题15分）已知函数()()2x f x e x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−．（1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由；（3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N“10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。

人大附中2017年高三考前热身练习数学(理)试题考生注意：本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题纸交回，本试卷自行保留．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合U ＝{1,2,3,4,5}，M ={1,2}，N ={2,3}，则集合(C U M )∪N 等于（ ）A ．{3}B ．{4,5}C ．{1,2,3}D ．{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，则22ii+-=（ ） A ．1 B ．3 CD．33．已知向量a =(2,0)，b =(0,3)，若实数λ满足 (λb －a )⊥(a ＋b )，则λ（ ）A ．1B ．－1C ．49D ．944．执行如图所示的程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则036a a a ++等于（ ） A. 18 B.－18 C. 20D.－206．已知正数a ，b 满足a b ab +=，则4a ＋b 的取值范围是（ ） A.(0,1] B.[1,9]C.[9,)+∞D.(0,1]∪[9,)+∞7．已知非负实数,x y 满足1≤x ＋y ≤2，则的取值不可能．．．是（ ） A. 1B. 3C. 5D. 7=8. 对操场上编号为1～100、全部面向主席台的学生依次进行以下操练：凡编号是1的倍数的学生向后转一次；凡编号是2的倍数的学生再向后转一次；凡编号是3的倍数的学生再向后转一次；…；凡编号是100的倍数的学生再向后转一次．经过这100轮操练后，最后面向主席台的学生人数为（ ） A ．9B ．91C ．10D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．填空应写出最简结果．9. 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的半径为_________．10. 已知数列121321,,,,,n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅是首项为1，公差为1的等差数列，则32a a -=__________；数列{}n a 的通项公式n a =__________.11. 已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称．则函数f （x ）的解析式为_______________．12. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________. 13. 已知双曲线两渐近线相交所成锐角的正弦值为45，焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的焦距为 ___________．14. 设函数()2010.x a x f x ax x x ⎧-<⎪=⎨+->⎪⎩‚‚‚ ①若1a =-，则()f x 的零点为；②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 ．侧视图俯视图正视图三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）已知函数2()4cos sin()3f x x x x π=+-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若()f A =a =，2b =，求c ．16．（本题满分13分）某同学在做研究性学习课题时，欲调查全校高中生拥有微信群的数量．已知高一、高二、高三的学生数分别为400，300，300．用分层抽样方法，随机从全校高中生中抽取100名学生进行调查．调查结果如下表：（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅰ）若从这100名学生中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群数量超过10的概率；（Ⅰ）以样本数据估计总体数据，以频率估计概率，若从全校高中学生中随机抽取3人，用X表示抽到的微信群数量在“11-15”之间的人数，求X 的分布列和方差DX ．17．（本题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ⅠCD ，60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．（Ⅰ）求证:BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角D BF C --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP Ⅰ平面AED ．若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）已知函数ln()f xa x ，()()g x k x k R ，y x =为曲线y f x 的切线．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）若存在00x >，使得()00,x x ∈时，yf x 图象在yg x 图象的下方，求k 的取值范围．19.（本题满分14分）已知椭圆C ，且经过点(2,0)M -． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）设直线l:(0)y kx m k =+≠及椭圆C 相交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，连接,MA MB 并延长交直线4x =于,P Q 两点，设,P Q y y 分别为点,P Q 的纵坐标，且，证明：直线l 经过定点． 20．（本题满分13分）给定一个n 项的实数列a 1，a 2，…，a n (n ∈N *)，任意选取一个实数c ，变换T (c )将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1－c |，|a 2－c |，…，|a n －c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k (c k )，其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1(c 1)，T 2(c 2)，…，T k (c k )为“k 次归零变换”．（Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n －1次归零变换”？请说明理由．（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．）人大附中2017年高三考前热身练习数学(理)参考答案及评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．填空应写出最简结果．9. 2 10. 3；1(1)2n n + 11. f (x )=2sin(2x +6π)12.10313.14. ；(0,3-注：第10，14题第一空3分，第二空2分；第13题答对一个给3分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）（Ⅰ）21()4cos (sin )22f x x x x x =+-222sin cos x x x x =+-+2sin 2x x =-+sin 22x x =·············································································· 4分因为sin y x =的单调递增区间为，k ∈Z ，令222232k x k πππππ-≤-≤+， 得，所以，()f x 的单调递增区间为，k ∈Z ． ··································· 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f A ，所以或，k ∈Z ．因为A 是△ABC 的内角， 所以或2π． ········································································· 9分 ①当时，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即， 整理，得2230c c --=，解得：c =3(－1舍)． ··························································· 12分 ②当时，由勾股定理，得c === ··············································· 13分16．（本题满分13分） （Ⅰ）由题意知：4002010010040400300300a +++=⨯=⇒++10a =；3000101510030400300300b +++=⨯=⇒++5b =；30001510100305400300300c c +++=⨯=⇒=++. ············ 3分 （Ⅰ）记事件A = “这2人中恰有1人微信群数量超过10个”. ················ 4分 由调查表知：这100名学生中，微信群数量超过10个的有101515051055+++++=（人），不超过10个的有1005545-=（人）． ································· 5分 所以这2人中恰有1人微信群数量超过10的概率为：．·············································································· 7分 （Ⅰ）由题意知，微信群个数在“11-15”的概率.X 的所有可能取值0，1，2，3． ···································· 8分 则：()0033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=，()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．所以X方差35525DX npq ==⨯⨯=． ··········································· 13分17．（本题满分14分）(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,ABⅠCD,ⅠDAB=60°,CB=CD,120ADC DCB ∴∠=∠=︒, 30DBC CDB ∴∠=∠=︒ 90ADB ∴∠=︒∴DB AD ⊥. ······································································· 2分又AEⅠBD,且A AE AD = , 故BDⅠ平面AED. ·································································· 4分 (Ⅰ)连接AC,同理(Ⅰ)方法可知CB AC ⊥,且30DCA ∠=︒.FC ⊥平面ABCD,,CA CB CF ∴两两垂直． ······················································· 5分 以C 为原点，建立空间直角坐标系C -xyz 如图．设2CB =,则CA =(0,0,2),(0,2,0),1,0)F B D -,向量(1,0,0)n =为平面BFC 的一个法向量. 设平面BDF 的法向量为),,(z y x =，则 ,即,取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=. ································· 7分3cos ,5m n m n m n⋅<>===而二面角D -BF -C 的平面角为锐角,故二面角D -BF -C . ·········································· 9分 （III ）法一：向量法由（I ）(II)知(DB =-是平面AED 的法向量，且A(),F(0，0，2)． 假设存在满足条件的点P(,,)a bc ，且设．则AP AB λ=，即(,)((,2,0)a bc λλ-=-=-，得,2,0)P λ，因而(2,2,2)FP λ=- 若FP Ⅰ平面AED则FP 及平面AED的法向量(DB=-垂直，且直线FP ⊄平面AED 内． 故,2,2)(3,3,0)0λ--=，得，即F 为AB 的中点， ························································· 14分 此时FP ⊄不在平面AED 内，故满足题意．法二：几何法由（I ）知面EAD ⊥面ABCD.过E 作EG ⊥AD 于G ，则EG ⊥面ABCD. 又FC ⊥面ABCD ，∴EGⅠFC∵EG ⊂平面AED,FC ⊄平面AED ∴FC Ⅰ平面AED.作AB 中点P ，连接CP. 由（II ）知AB=2DC ∴DCⅠAP ，DC=AP ，∴ADⅠPC又AD ⊂平面AED,PC ⊄平面AED ∴PC Ⅰ平面AED.又FC PC C =，∴平面AEDⅠ面FCP. 又FC ⊂平面FCP ，所以存在满足条件的点P ，且点P 是AB 中点，此时AP AB =12． ······ 14分 18.（本题满分13分） （Ⅰ），设切点为()11,x y ，则，解得：1a =． ································································ 5分 （Ⅰ）由(Ⅰ)知1a =，令()()()ln(1)(0,)h x f x g x x x =-=+-∈+∞依题意，存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <， ···················· 7分 Ⅰ0k ≤时，(0,)x ∈+∞，()ln(1)0h x x =+->，此时不存在00x >， 使得()00,x x ∈时()0h x <； ················································· 8分Ⅰ01k <<时，因为22111k k k ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭=， 所以存在120,0x x >>使()()120h x h x ''==，不妨设21x x >()10,x x ∈，()()0,h x h x '<递减，所以()()00h x h <=，此时存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <； ················································· 11分Ⅰ1k ≥时，因为(0,)x ∈+∞，()221110k k k h x ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭'=≤， ()y h x =递减，所以()()00h x h <=． ···································· 12分 综上所述，k 的取值范围是(0,)+∞． ········································ 13分19.（本题满分14分） （Ⅰ）由已知可得：，所以c =b =································ 3分 因此，椭圆C 的标准方程为：． ················································ 4分 （Ⅱ）直线l:,(0)y kx m k =+≠及椭圆C 联立得：，消去y ，得：222(12)4240k x kmx m +++-=， ························ 6分 由0∆>，得2242m k <+2121222424,1212km m x x x x k k--+==++． ········································· 9分 直线AM ：，所以.直线BM ：，所以． ································································· 11分 因为， 所以121212112266x x y y y y +++=+，整理得到：1221(4)(4)0x y x y -+-= 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，即：12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， ····································· 12分把2121222424,1212km m x x x x k k --+==++，代入上式，得到 2222442(4)801212m kmk m k m k k--⋅+-⋅-=++， 化简得：0k m +=，能满足0∆>， ········································ 13分 故直线l 方程为：(1)y k x =-，过定点（1，0）． ······················· 14分 20.（本题满分13分）（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3；2(2)T ：1,1,1,1；3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5；2(2)T ：1,1,1,3；3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0． ·························································································· 4分 （Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k =．取,则，即经11()T c 后，前两项相等；取,则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-,即经22()T c 后,前3项相等； … …设进行变换()k k T c 时，其中，变换后数列变为()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第1k +次变换时，取， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取(1)n n nc a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ························ 9分（Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ··············································· 10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，()()11(1)12min{,,,}j j j j nc a a a ---<，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由()()1111|||||()|j j i j j i j j a c c a c c --++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，j c >()()11(1)12max{,,,}j j j na a a ---；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足()()11(1)12min{,,,}i i i n a a a ---i c ≤≤()()11(1)12max{,,,}i i i n a a a ---．不妨设()()11(1)12i i i na a a ---≤≤≤，根据()()1i i k ki a a c -=-，则()()()12max{,,,}iii n a a a =()(){}111max ,i i i n i c a a c ----，由于()()()()11111c ;i i i i i i n n i n c a a a c a -----≤≤-≤，所以 ()()()12max{,,,}iiin a a a ()()11(1)12max{,,,}i i i n a a a ---≤，所以，i c 12max{,,,}n a a a ≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”．（1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足k i c k ≤，1,2,,i k =． 所以111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+-⋅> 所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，及归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ···················································· 13分。

北京市朝阳区人大附中2024届高三数学试题下学期第四次月考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>2．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()27,8B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,74．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．5C ．2D ．3+15．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，6．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，7．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．08．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3210．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．11．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（ ）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3.若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于，则的离心率为（ ）A．B．C ．或D ．或5. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A ．-6B ．6C ．4D ．36.某市年月至年月的平均气温折线图如图，则（）A ．平均高温不低于的月份有个B．平均高温的中位数是C ．平均高温的极差大于平均低温的极差D ．月平均高温与低温之差不超过的月份有个7. 已知集合，则A．B．C．D．8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（ ）A．B．C．D．9. 已知向量，则（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10. 有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）A ．事件与事件相互独立B．C．D．北京市中国人民大学附属中学2023届高三统练（4）数学试题(2)北京市中国人民大学附属中学2023届高三统练（4）数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 底面为直角三角形的三棱锥的体积为4，该三棱锥的各个顶点都在球O 的表面上，点P 在底面ABC 上的射影为K ，，则下列说法正确的是（ ）A ．若点K 与点A 重合，则球O的表面积的最小值为B ．若点K 与点A 重合，则球O的体积的最小值为C ．若点K是的斜边的中点，则球O的表面积的最小值为D ．若点K是的斜边的中点，则球O的体积的最小值为12. 若实数，满足，则（ ）A．B．C．D．13.展开式中的系数为___（用数字作答）．14.已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若，则______.15.已知双曲线，则的右顶点的坐标为___________；若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率___________.16.已知函数.(1)若，证明：当时，；(2)求所有的实数，使得函数在上单调.17.设函数(1)若时函数有三个互不相同的零点，求m 的范围；(2)若函数在内没有极值点，求a 的范围；18.四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点．(1)证明：平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由.20.已知等差数列中，，前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.21. 已知数列的前项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项的和.。

2020届中国人民大学附属中学2017级高三开学复习质量检测数学试卷★祝考试顺利★一、选择题1.设i 为虚数单位,则复数1i z =-的模z =（ ）．A. 1 C. 2 D. 【答案】B分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-,z ==B ．点睛：对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi2.已知全集U =R ,若集合{}2|0=-<A x x x ,则U A =ð（ ）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 分析：先解一元二次不等式得集合A,再根据补集定义得结果.详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<,∴{|0U x A x =≤ð或1}x ≥,故选A ．3.命题p ：∀x>0,1x e >,则p ⌝是A. ∃00x ≤,01x e ≤B. ∃00x >,01x e ≤C. ∀0x >,1x e ≤D. ∀0x ≤,1x e ≤【答案】A试题分析：p ⌝是00,1x x e ∃>≤4.若a v , b v 是两个非零的平面向量,则“||a b u u v v =”是“()()0a b a b +⋅-=v v v v ”的（ ）．A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】()()220a b a b a b +⋅-=-=v v v v v v ,得a b =v v ,所以是充要条件,故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===,则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A【解析】【分析】 结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<,11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,121222c -==>=,1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,故a b c <<,故选：A6.一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是（ ）。

北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题一、单选题1．已知集合{}[]2,0,3A x x B =≤=，则A B = （）A ．{3}B ．{0}C ．[]0,2D ．{0，3}2．下列函数既是偶函数且又在()0,∞+上是单调递减函数的是（）A ．()cos 2f x x=B ．()exf x =C ．()lg f x x=D ．()23f x x-=3．已知角θ的终边过点()12,5P -，则tan θ=（）A ．512-B ．125-C ．125D ．5124．若0.32131,0.3,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．设,a b ∈R ，且0a b <<，则（）A ．11a b<B ．2b ab>C ．2a bab +>D ．2b a a b+>6．某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为()212s t t t =+，则这个物体在时间段1,2内的平均速度为（）A ．2B ．32C ．3D ．527．已知{}12|2,0,log 1xA y y xB x x ⎧⎫==<=>⎨⎬⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列结论正确的是（）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减9．已知0a >且1a ≠，函数(),1,1x a x f x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 在区间[]0,2上的最大值比最小值大52，则a 的值为（）A ．12或2B ．23或2C ．2或72D ．12或7210．已知函数()11sin cos f x x x=+，在下列结论中：①2π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线π4x =对称；③()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无最大值正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．函数()()22ln 1xf x x x =++-的定义域为．12．已知函数()πsin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的一段图象如图所示，则ω=；ϕ=．13．在ABC V 中，60,2,3A AC BC ︒===则ABC V 的面积等于．14．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100㎡的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备元．15．对函数(),f x 若存在区间[,](),M a b a b =<使得{|(),},y y f x x M M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”,给出下列四个函数:（1）(),x f x e =（2）3(),f x x =（3）π()cos ,2f x x =（4）()ln 1,f x x =+其中存在“稳定区间”的函数有.（把所有可能的函数的序号都填上）三、解答题16．已知函数()321233f x x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值．17．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．18．某同学用“五点法”画函数()()||πsin 0,2f x A x k ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxm π3n 5π6p ()sin A x kωϕ++1614-1(1)求出实数m ，n ，p 的值；(2)求出函数()f x 的解析式；(3)将()y f x =图象向左平移()0t t >个单位，得到()y g x =的图象．若()y g x =为偶函数，求t 的最小值．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin 0A CB AC +-+=(1)求角B 的大小；(2)给出以下三个条件：条件①：22230a b c c -+-=：条件②：3a =；条件③：4ABC S =△从这三个条件中选择两个条件，使得ABC V 存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）点M 为线段AB 中点，点N 为线段BC 中点，点P 为线段MN 上一个动点，记PA PC λ=⋅ ，直接写出λ的最大值．20．已知函数()()32111,e ln 32x f x x x ax g x x x x -=++=+(1)判断函数()y g x =零点的个数，并说明理由；(2)对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x '≤'-求实数a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，证明：0x ∀>，有()()g x f x ≥'．21．如图，T 是3行3列的数表，用(),1,2,3ij a i j =表示位于第i 行第j 列的数，且满足{}0,1ij a ∈．11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33a 数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中11a 的相邻项仅有12a 和21a ．对于数表T ，定义操作ij ϕ为将该数表中的ij a 以及ij a 的相邻项从x 变为1x -，其他项不变，并将操作的结果记为()ij T ϕ．已知数表0T 满足{}0,,1,2,3ij a i j =∈．记变换ψ为n 个连续的上述操作，即1122:,,,n n i j i j i j ϕϕϕψ ，使得()()()112210211,,,n n i j i j n i j n T T T T T T ϕϕϕ-=== ，并记()0n T T =ψ(1)给定变换112233:,,ϕϕϕψ，直接写出()30T T =ψ．(2)若T '满足122122231a a a a ====，其他项均为0．ψ是含n 次操作的变换且有()0T T '=ψ，求n 的最小值．(3)若变换ψ中每个操作ij ϕ至多只出现一次，则称变换ψ是一个“优变换”，证明：任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ．参考答案：题号12345678910答案CDABDBBCDB1．C【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.【详解】因为集合{}[]{}2,0,303A x x B x x =≤==≤≤，所以{}[]020,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：C.2．D【分析】根据余弦函数，指数函数，对数函数及幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π044f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()cos 2f x x =在()0,∞+上不是单调递减函数，A 不符题意；对于B ，函数()e xf x =在()0,∞+上是单调递增函数，故B 不符题意；对于C ，当()0,x ∈+∞时，()lg lg f x x x ==在()0,∞+上单调递增，故C 不符题意；对于D ，()()()()21233,0,,0f x xxx ∞∞--==∈+⋃-，因为203-<，所以函数()23f x x -=在()0,∞+上单调递减，因为()()()123f x x f x --==，所以()23f x x -=是偶函数，故D 符合题意.故选：D.3．A【分析】根据正切函数的定义计算．【详解】由题意，55tan 1212α==--．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于简单题．4．B【分析】由指数函数和对数函数的性质即可得出答案.【详解】因为0.3110122a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，200.30.31b -=>=，1133log 3log 31c -===-，所以b a c >>.故选：B.5．D【分析】ABC 选项，可举出反例；D 选项，利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，当2,1a b =-=-时，111,12a b=-=-，故11a b >，A 错误；B 选项，当2,1a b =-=-时，21,2b ab ==，2b ab <，B 错误；C 选项，当2,1a b =-=-时，322a b +=-=，2a b+<，C 错误；D 选项，当0a b <<时，0,0b a a b >>，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，但a b ≠，故等号取不到，故2b aa b+>，D 正确.故选：D 6．B【分析】根据平均速度的公式计算.【详解】211211322212s v t ⎛⎫⨯+-+ ⎪∆⎝⎭===∆-.故选：B.7．B【分析】根据题意，化简集合,A B ，再由充分条件以及必要条件的定义判断即可.【详解】因为{}()2,00,1x A y y x ==<=，121log 10,2B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则B 是A 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件.故选：B 8．C【分析】根据导函数的正负即可求解()y f x =的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当2x <-时，()()0,f x f x '<单调递减，当2x ≥-时，()()0,f x f x '≥单调递增，故2x =-是函数()y f x =的极小值点，()y f x =无极大值.故选：C 9．D【分析】按照a 与1的大小进行分类讨论，求出函数()f x 在[]0,2上的最值，从而可得a 的值.【详解】①当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上是减函数，在(]1,2上也是减函数.∵()0011f a a ==>-+，∴函数的最大值为()01f =，而()()221f a a f =-+<=，∴函数()f x 的最小值为()22f a =-+，∴5212a -++=，解得()10,12a =∈，符合题意.②当1a >时，函数()f x 在[]0,1上是增函数，在(]1,2上是减函数.∵()11f a a =>-+，∴函数()f x 的最大值为()1f a =，而()22f a =-+，()001f a ==，当()1,3a ∈时，21a -+<，此时函数()f x 的最小值为()22f a =-+，因此有522a a -++=，无解；当[)3,a ∈+∞时，21a -+≥，此时函数()f x 的最小值为()01f =，因此有512a +=，解得()73,2a =∈+∞，符合题意.综上所述，实数a 的值为12或72.故选：D 10．B【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的最值情况.【详解】因为π11π112π07πππ7π44sin cos sin4444f f ⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以2π不是()f x 的一个周期，故①错误；()11π,π11cos sin 2ππ11π2sin cos ,22cos sin 2x x x f x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎛⎫-=+=≠⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪---+< ⎪⎪⎩⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故②错；()()()()222sin cos 11sin cos sin cos 1sin cos 1sin cos 2x x x x f x x x x x x x --=-+==----，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则3,444x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭πππ，)1t ⎡∈-⎣，22211t y t t t ==--，在)1t ⎡∈-⎣上单调递增，所以无最大值，即函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上无最大值，故③正确.故选：B.11．[2,1)-【分析】根据函数特征直接求定义域即可.【详解】由函数()()2ln 1x f x x =+-可知，202,,21101x x x x x +≥≥-⎧⎧∴-≤<⎨⎨-><⎩⎩，所以定义域为[2,1)-.故答案为：[2,1)-12．2π4【分析】由图知7π3ππ2882T =-=，2πT ω=可得ω的值，再由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈以及π02ϕ<≤求得ϕ的值.【详解】由7π3ππ2882T =-=，可得πT =，所以2π2π=2πT ω==，此时解析式为()sin 2y x ϕ=+，由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈，可得()3ππZ 4k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<≤，所以1k =，π4ϕ=，故答案为：2；π4.13【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，C ，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积．【详解】因为60,2,A AC BC ︒===2,,sin sin sin 60sin BC AC A B B︒=∴=sin 1,90,30,B BC ︒︒∴=∴==12sin 302ABC S ︒=⨯⨯=!14．3200【分析】假设正面铁栅和两侧墙长，可构造等式100xy =；列出造价409020z x y xy =++，利用基本不等式求得最小值.【详解】设正面铁栅长为x ，两侧墙长为y ，则100xy =于是造价为409020z x y xy=++则：4090202020120020003200z x y xy xy xy =++≥==+=，当且仅当4090 100x y xy ==，即20153x y ，==时取等号本题正确结果：3200【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解和的最小值的方法.15．②③【详解】因为()x f x e =单调递增，所以若存在“稳定区间”则x e x =至少有两个解，而x e x >恒成立，所以()x f x e =不存在“稳定区间”；因为()3f x x =单调递增，所以若存在“稳定区间”则3x x =至少有两个解，显然成立，所以()3f x x =存在“稳定区间”；（3）因为[0,1],cos [0,1]2x x π∈∈,所以f(x)=π cos 2x 存在“稳定区间”；（4）因为()ln 1f x x =+单调递增，所以若存在“稳定区间”则ln 1x x +=至少有两个解，而ln 1x x +=只有一解x=1，所以()ln 1f x x =+不存在“稳定区间”；点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．16．(1)8100x y --=(2)递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，由导数的几何意义即可得到结果.（2）根据题意，求导得()f x '，令()0f x '=即可得到极值点，从而得到结果.【详解】（1）因为()3212222633f =⨯+-=，且()22f x x x '=+，则()222228f '=+⨯=，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()682y x -=-，即8100x y --=.（2）因为()22f x x x '=+，令()0f x '=，解得2x =-或0x =，当(),2x ∞∈--时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；当()2,0x ∈-时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()2,0-，当2x =-时，()f x 有极大值为()()3122224333f -=⨯-+-=，当0x =时，()f x 有极小值为()203f =-.综上所述，递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.17．(1)()f x 的最小正周期为π.(2)最大值为2，最小值为1.【分析】（1）先化简()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭求出π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后由最小正周期公式求解即可.（2）求()f x 在闭区间上的最大值和最小值即可.【详解】（1）()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)22sin cos cos 2sin 2x x x x x =+--+-，πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为：2ππ2T ==.（2）由（1）可知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,363⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x .所以当ππ232x -=时，max ()2f x =，当ππ236x -=时，min ()1f x =.所以当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的最大值为2，最小值为1.18．(1)π12m =，712n =π，1312p =π(2)()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π(3)π3【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到m ，n ，p ；（2）根据表格得到sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程得到51A k =⎧⎨=⎩，然后结合（1）中结论即可得到()f x 的解析式；（3）根据图象的平移变换得到()g x ，根据()g x 为偶函数得到()0g 为最值，然后解方程求t 即可.【详解】（1）由题意得0ππ32π5π3π622πm n p ωϕωϕωϕωϕωϕ+=⎧⎪⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪+=⎩，解得2π6π127π1213π12m n p ωϕ=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩，所以π12m =，712n =π，1312p =π.（2）由题意得sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得51A k =⎧⎨=⎩，所以()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.（3）由题意得()5sin 2216g x x t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π，因为()g x 为偶函数，所以()05sin 2166g t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭π或()04g =-，即sin 216t ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭π，即2,62t k k -=+∈πππZ ，解得,32k t k =+∈ππZ ，因为0t >，所以当0k =时，t 最小，最小为π3.19．(1)2π3B =(2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6-【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 2B =-，得到2π3B =；（2）（Ⅰ）选择①②和①③求出边长均不合要求，选择②③，得到ABC V 存在且唯一，并求出5c =，7b =，得到sin A （Ⅱ）取AC 的中点H ，推出22PA PC PH CH ⋅=- ，并得到点P 与N 重合时，PH 最大值为52，并求出λ的最大值.【详解】（1）222sin sin sin sin sin 0A C B A C +-+=，由正弦定理得2220a c b ac +-+=，故2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =，（2）（Ⅰ）选择①②，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又3a =，所以60c =，解得0c =，此时ABC V 不存在，选择①③，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又0c >，故3a =-，不合要求，此时ABC V 不存在，选择②③，1sin 2ABC S ac B == 21π3n 23si c ⨯=5c =，又3a =，2220a c b ac +-+=，故2925150b +-+=，解得7b =，由于357+>，故满足ABC V 存在且唯一，由正弦定理得sin sin a b A B =，即372πsin sin 3A =，解得sin A ，（Ⅱ）取AC 的中点H ，连接PH ，则2PA PC PH += ，2PA PC CH -= ，两式平方后相减得22PA PC PH CH ⋅=- ，其中72CH = ，当点P 与M 重合或与N 重合时，PH 最大，当点P 与M 重合时，1322PH a == ，当点P 与N 重合时，1522PH c == ，故PH 最大值为52PH = ，故22PA PC PH CH λ=⋅=- 最大值为2549644-=-.20．(1)1个(2)(],1-∞-(3)证明见解析【分析】（1）先求定义域，转变为求1()e ln x k x x -=+的零点个数，求导，根据单调性与零点的存在性定理即可求；（2）任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，可转化为()()12max max 2f x g x ''≤-，则求出()1max f x '，()2max g x '即可求出实数a 的取值范围；（3）指对缩放不等式可知()1e 11x x x -≥-+=，1ln 1x x≥-(需证明)，则可得12e ln 1x x x x x x -+≥+-，则不等式可证.【详解】（1）由()1e ln x g x x x x -=+，定义域为0+∞(,)，()y g x =的零点等价于1()e ln x k x x -=+的零点，11()e 0x k x x -'=+>，所以()y k x =在(0,)+∞上单调递增，又11e 1(1)10,()e 10ek k -=>=-<，所以()y k x =在1(,1)e上只有一个零点，所以()y k x =的零点个数为1个，则()y g x =的零点个数也为1个.（2）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增，故()()max 12f x f a ''==+．因为()1eln x g x x x x -=+，所以()()111e e ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++，又(]0,1x ∈，所以()0h x '>，故()g x '在区间(]0,1上单调递增，所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，所以()()max max 2f x g x ''≤-，即232a +≤-，解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-．（3）令()1e -=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）．令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=．令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11e ln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）．又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-．因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++，故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．21．(1)100010001(2)n 的最小值为3(3)证明过程见解析【分析】（1）按照题意进行求解即可；（2）先得到T '，分析得到T '的对称性和奇偶性质，当1n =，2n =时，不满足要求，3n =时，取变换111213:,,ϕϕϕψ，得到答案；（3）设A 是所有优变换的集合，B 是所有数表的集合，构造:f A B →，证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，证明出数表中的数据都可通过变换单独被改变，从而证明出结论.【详解】（1）0T 为000000000()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2221T T ϕ=，故2T 为100011010()3332T T ϕ=，故()30T T =ψ为100010001（2）T '为010111000由题意得，1113223133,,,,ϕϕϕϕϕ均改变了表格中的奇数个数据，定义为奇操作，12212332,,,ϕϕϕϕ均改变了表格中的偶数个数据，定义为偶操作，两次同样的操作，表格中数据不变，例如1111:,ϕϕψ不改变表格中数据，故n 的最大值为9，且变换满足交换律，例如1112:,ϕϕψ和1211:,ϕϕψ，结果相同，观察到T '是关于122232,,ϕϕϕ变换所在直线对称的，故变换也要关于这条直线轴对称，T '中有4个1，故相对于0T 改变了4个数，若1n =，通过验证，发现不能得到T '，若2n =，结合对称性和奇偶性，有1113:,ϕϕψ，2123:,ϕϕψ，3133:,ϕϕψ，1232:,ϕϕψ四种变换，经过验证，均不满足，若3n =，结合对称性和奇偶性，不妨取变换111213:,,ϕϕϕψ，()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2121T T ϕ=，故2T 为001110000()3132T T ϕ=，故()30T T =ψ为10111故n 的最小值为3；（3）设A 是所有优变换的集合，则A 中的优变换的个数为92，B 是所有数表的集合，则B 中的数表的个数为92，构造:f A B →，下面证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，由于,A B 中元素个数相同，要证每种变换都能等价变换为唯一的优变换，只需证每个数表都能通过变换得到，由（2）可知，11121322:,,,ϕϕϕϕψ可以得到以下数表，000000010由对称性可知，12212332,,,a a a a 可以单独被改变，又经过11:ϕψ变换得到110100000又1221,a a 可单独被改变，故可得到100000000即11a 可单独被改变，同理经过变换133133,,a a a 可单独被改变，经过22:ϕψ变换得到：111010又经过变换，12212332,,,a a a a 可单独被改变，可得到000010000故任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ.【点睛】新定义问题，要充分发掘题目中信息，将复杂问题抽丝剥茧，化难为简.（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。