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222用样本的数字特征估计总体的数字特征

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222用样本的数字特征估计总体数字的特征一

222用样本的数字特征估计总体数字的特征一
问题2： 众数、中位数、平均数与频率分布直方图有何关系？
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，一般认为是最高矩形的中点的横坐标。
*
2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值应该在哪一个矩形框内及这个矩形框内的大约位置。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t.
频率 组距
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
*
说明: 2.03这是中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
3900
X 体重
y
0.001
2、观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图 如图所示，则新生婴儿体重(2700,3000)的频 率为： ；
0.3
3.甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单位:环).7,8,6,8,6,5,9,10,7,8,则他命中的平均数是____,众数是____，中位数是 .
问题3：三种数字特征的优缺点
*
三 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少.
*
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。

2[1].2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

2[1].2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1.5
2
2.5
3
3.5
月均用水量/t
频率 组距
频率分布直方图
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
前四个小矩形的 面积和=0.49 面积和
后四个小矩形的 面积和=0.26 面积和
0.25
0.22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.15 0.08 0.04
0.14 0.06 0.04 0.02 4 4.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2.02
月均用水量/t
归纳总结得： 归纳总结得：
在样本中， 在样本中，有50％的个体小于或等于中位数， ％的个体小于或等于中位数， 也有50％的个体大于或等于中位数，因此， 也有 ％的个体大于或等于中位数，因此，在频 率分布直方图中， 率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等，由此可以估计中位数的值。 面积应该相等，由此可以估计中位数的值。在这 个频率分布直方图中， 个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代表 50个单位，右边的直方图也是代表 个单位，它 个单位， 个单位， 个单位 右边的直方图也是代表50个单位 们的分界线与x轴交点的横坐标就是中位数 轴交点的横坐标就是中位数。 们的分界线与 轴交点的横坐标就是中位数。 中位数在样本数据的频率分布直方图中， 中位数在样本数据的频率分布直方图中，就 是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分 界线与x轴交点的横坐标 轴交点的横坐标。 界线与 轴交点的横坐标。
众数、中位数、平均数都是描述一组数 众数、中位数、平均数都是描述一组数 据的集中趋势的特征数， 据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不 其中以平均数的应用最为广泛. 同，其中以平均数的应用最为广泛

2.2.2用样本的数据特征估计总体的数字特征

2.2.2用样本的数据特征估计总体的数字特征

x i − x ( i = 1, 2 , · · · , n)
S3算出 中 x i − x ( i = 1, 2 , · · · , n) 的平方； 算出S2中 的平方； 算出 S4算出 中n个平方数的平均数，即为样本方差； 算出S3中 个平方数的平均数 即为样本方差； 个平方数的平均数， 算出 S5算出 中平均数的算术平方根，即为样本标准差 算出S4中平均数的算术平方根 即为样本标准差. 算出 中平均数的算术平方根，
2
样本标准差
( x1 − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + … + ( x n − x ) 2 s= n
计算样本数据x 计算样本数据 1,x2,···,xn的标准差的算法
S1算出样本数据的平均数 算出样本数据的平均数
x ；
S2算出每个样本数据与平均数的差： 算出每个样本数据与平均数的差： 算出每个样本数据与平均数的差
S5
s =
4 = 2
8 8 8 8 8 8
-3 -1 -1 0 2 3
9 1 1 0 4 9
所以这组数据的标准差为2 所以这组数据的标准差为
从甲、 例 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比 对他们的射击水平进行了测试， 赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在 相同条件下个射击10次 命中的环数如下： 相同条件下个射击 次，命中的环数如下： 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙 95787686 77
计算数据5,7,7,8,10,11的标准差 的标准差. 例2计算数据 计算数据 的标准差
5 + 7 + 7 + 8 + 10 + 11 S1 x = =8 6 9 + 1+ 1+ 0 + 4 + 9 =4 S4 s = 6

用样本的数字特征估计总体的数字特征.doc

用样本的数字特征估计总体的数字特征.doc

222用样本的数字特征估计总体的数字特征教学设计一、教学目标：知识与技能（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。

（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

（4 ）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

二、教学重点与难点重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。

三、教学过程（一）创设情境，弓I入新课在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7, 8, 6, 8, 6, 5, 8, 10, 7, 4;乙运动员：9, 5, 7, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。

——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。

一众数、中位数、平均数的概念众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.中数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.1（X i X2 …X n）平均数：一组数据的算术平均数，即x= n练习：在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示:解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 1.75 .上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70 ;平均数x胡.69米（二）研探新知1、众数、中位数、平均数探究：P74（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
的标准差。（标准差结果精确到0.2 3) 90 8
.
所以这组数据的标准差为2.3 .
4、在数据统计中，能反映一组数据变化 范围大小的指标是 A.极差 B.方差 C.标准差 （A ） D.以上都不对
5.已知一个样本1， 3， 2， 5，x，若它的平均 数是3，则这个样本的标准差是 ______ . 2 6.若样本x1 , x 2 ,，x n的方差为0，则表示 （ A.x 0
这表明乙的成绩比甲的成绩稳定。
总结：
标准差S越大，样本数据的离散程度越大，波动越 大，越不稳定
方差:
标准差的平方
1 2 2 2 s [( x1 x ) ( x2 x ) ( xn x ) ] n
2
总结：
通常用样本的平均数和标准差去估计总体的 平均数与标准差
练1：”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分为 100分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的 成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直 方图,已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、 第五小组的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05 求：（1）成绩的众数、 中位数； （2）平均成绩
样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个 小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计总体的平均数就是
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 频率 组距
月均用水量/t
0.25, 0.75, 1.25,1.75,2.25,2.75,3.25, 3.75, 4.25.
0.04 0.03
(1)65,65 (2)67
0.015 0.010 0.005

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断． 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的．因此， 端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态． 以概括样本数据的实际状态． 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次 每次命中的环数如下： 射靶 次，每次命中的环数如下：
考察样本数据的分散程度的大小， 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差． 标准差． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示 表示． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用 表示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解： 假设样本数据是 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , x 表示这组数据的平均 的距离是： 数,则 x i 到 x 的距离是： 则 的平均距离是： 于是样本数据 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n 到 x 的平均距离是：
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48

222用样本的数字特征估计总体的数字特征2_图文

2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
2.2.2 用样 本的 数字 特征 估计 总体 的数 字特 征
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1. 通过随机抽样，掌握并会用样本的平均数及 标准差估计总体的平均数及标准差． 2 ．通过用样本的数字特征估计总体的数字特 征，感知总体的差异． 3．通过数字反映样本数据某个方面的特征， 进而估计总体情况，体会这种统计思想，并培 养认识问题、分析问题、解决问题的能力，同 时也提高估算能力．
2．用样本标准差估计总体标准差 (1)标准差 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的 统计量是标准差．标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离，一般用s表示．
1 2 2 2 s＝ [ x － x ＋ x － x ＋…＋ x － x ]. 1 2 n n 标准差的平方 s2 叫做方差， 1 2 2 2 2 s ＝n[(x1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ]．
241～ 270 20 361～ 390 2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
(2)将各组中的值对于此平均数求方差． 1 ×[1×(165 － 268)2 ＋ 11×(195 － 268)2 ＋ 18×(225 － 268)2 ＋ 100 20×(255 － 268)2 ＋ 25×(285 － 268)2 ＋ 16×(315 － 268)2 ＋ 7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60. 故标准差为 2128.60≈46(天)． ∴标准差约为 46， 故可在 222 天到 314 天左右统一更换较合适．
样本方差、标准差的计算
例2
为了保护学生的视力，教室内的日光

222用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)方差标准差讲解

规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
性质归纳：kan b的平均数和方差：
已知a1，a2，，an的平均数是3，方差是2． 则a1 b，a2 b，，an b的平均数是3 b， 方差是2． ka1，ka2，，kan的平均数是3k，方差是2k 2．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：


假设样本数据是x1,x2,...xn ,x 表示这组数据的平均数，xi到 x
的距离是
-
xi - x (i = 1,2,… ,n).
， ：
-
于是
样本数据x1,
x2,
x
到
n
x
的“平均距离”是



x1 x x2 x xn x
2.2.2用样本的数字特征估计总体 的数字特征（2） 方差、标准差
学习目标 1.明确标准差、方差等数字特征的意义，深刻 体会它们所反映的样本特征。 2.会用样本的数字特征估计总体的的数字特征， 初步体会样本的数字特征的随机性
复习回顾
一.什么是一组数据的众数、中位数及平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
[解析] (1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为
70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s
2
甲
＝
1 2＋5＋10＋13＋14＋6
×[2×(50
－
80)2
＋
5×(60
－ 80)2 ＋ 10×(70 － 80)2 ＋ 13×(80 － 80)2 ＋ 14×(90 － 80)2 ＋
A．众数 B．平均数

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征


件中各抽出20件, 量得其内径尺寸如下 (单位: mm):
甲 分25析.46: 评25定.3两2 人2所5.4生5产2零5.件39的质25量.36高低, 主要是看
是否符25合.34规定25尺.4寸2 . 2与5.规45定尺25寸.38偏离25很.42小, 则质量高;
与规定2255尺..3490寸的2255偏..44离32 大22,55..33则95 质22量55..低4401.
1.0
0.9
0.8 0.7
x5
①求平均数. 平均数相同.
(2) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6;
0.6 s0.00
0.5
②求标准差
(3) 3, 3, 4由, 4标, 5准, 6差, 6看, 出7, (71;)组均匀00程..34 度最好, (4)组最差.
(4) 2, 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 8.
25.44 25.39
乙 检25测.40偏离25程.4度3 的2大5.4小4, 2就5.要48计算25其.48标准差.
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径尺寸看, 谁生产的质量较高?
上例中两运动员射击成绩的条形图如图:
频率
频率
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4 5 6 7 8 9 10 环数
(甲)
4 5 6 7 8 9 10 环数
(乙)
频率
例1. 画出下列四组样本数据 的条形图, 说明它们的异同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

3, 3, 2, 3, 6, 3, 10, 3, 6, 3, 2，
说出众数，中位数和平均数
讨论探究
某学校高一甲班和高一乙班各有49名学生，两班在一次数学 测试中的成绩统计如下：
班级甲班Leabharlann 平均分79众数
70
中位数
87
标准差
19.8 5.2
79 70 79 乙班 (1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为
79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要 分析，并提出建议．
班级
甲班 乙班
平均分
79 79
众数
70 70
中位数
87 79
标准差
19.8 5.2
解：(1)由于甲班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则 85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上 游，成绩应该属于中游． 但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他 对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可 以说属于上游． (2)甲班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占 一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多， 两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助． 乙班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之 间差别较小，学习很差的学生少，但学生优异的也少，建议采 取措施提高优秀率．
用样本的频率分布估计总体分布
习题课
学习目标 （1）会根据数据列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图，并会读取直方 图中的信息
例：对某电子元件进行寿命跟踪调查，情况如下
寿命/h 个数 100—200 200—300 300—400 400—500 500—600 20 30 80 40 30
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