优化指导高一数学精品课件：222《用样本的数字特征》人教版必修.ppt

第二章 统 计
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数 字特征
第二章 统 计
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差． 2. 理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法． 3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
1.样本数为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组
B．第二组
C．第三组
D．第四组
解析：选 D.法一：第一组中，样本数据都为 5，标准差为 0；
第二组中，样本数据为 4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差
为 36；第三组中，样本数据为 3，3，4，4，5，6，6，7，7， 标准差为235；第四组中，样本数据为 2，2，2，2，5，8，8， 8，8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组．
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．

题型二 标准差、方差的计算及应用
例2 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； 解 x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环).
(2)分别求出两组数据的方差； 解 由方差公式 s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，得 s2甲＝3，s2乙＝1.2. (3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击 比赛，选谁去合适？ 解 x 甲＝ x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当. 又 s2甲＞s2乙说明甲战士射击情况波动比乙大.
PART ONE
知识点一 众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数 最多 的数. (2)中位数：把一组数据按 从小到大(或从大到小) 的顺序排列，处在中间 位 置的数(或中间两个数的 平均数 )叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么 x＝ 1n(x1＋x2＋…＋xn) 叫做这n个
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.中位数是一组数据中间的数.( × ) 2.众数是一组数据中出现次数最多的数.( √ ) 3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.( √ ) 4.一组数据的标准差不大于极差.( √ )
2 题型探究
PART TWO
人数
2
3
2
3
4
1
1

2、平均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息
3、平均数受数据中的极端值的影响较大，
使202平0/1/1均2 数在估计时可靠性降低。
11
例 某工厂人员及工资构成如下：
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数
分析：众数为200，中位数为220，
平202均0/1/12数为300。
12
（2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
1 众数：
在频率分布直方图中，就是最高矩形的
中点的横坐标
频率 组距
取最高矩形下端 中点的横坐标
2.25作为众数.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O2020/01/.152 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t) 6
2 中位数 中位数左边和右边的直方图面积相等
思考：在城市居民月均用水量样本数 据的频率分布直方图中，从左至右各 频率 个小矩形的面积分别是0.04，0.08， 组距 0.15，0.22，0.25，0.14，0.06， 0.04，0.02.由此估计总体的中位数是 什么t=？2.02
用样本的数字特征估计 总体的数字特征
2020/1/12
1
学习目标
（1）会用样本的基本数字特征估计总体的
基本数字特征。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样
本，从样本数据中提取基本的数字特征（如
平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）正确理解样本数据标准差的意义和作
用，学会计算数据的标准差。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的
标准差 sn 1[x (1x )2(x2x )2 (xnx )2]
标准差（方差）越大，数据的离散程度大 标准差（方差）越小，数据的离散程度越小

复习回顾：众数、中位数和平均数
思考1：在初中我们学过众数、中位数和 平均数的概念，这些数据都是反映样本 信息的数字特征，对一组样本数据如何 求众数、中位数和平均数？
思考2：众数,中位数,平均数的特点是什 么?
脱口而出
1、求下列各组数据的众数
（1）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 （2）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9
请说明理由
80.024
0.02
0.01
0.01
20 . 0 0
08 . 0 0 4 0 90 1001 11 21301401 5 次数
课堂小结
1、如何从样本数据中求众数、平均数、中位 数的方法
2、如何从频率分布直方图中估计众数、中位 数、平均数？ • 众数：最高矩形的中点的横坐标。 • 中位数：两边小长方形面积相等 • 平均数：频率分布直方图中每个小矩形的
本数据的最大集中点 能表示样本数据中的很少一 部分信息，不一定唯一。
中位数 不受少数极端值的影 中位数仅利用了数据中排在
响
中间数据的信息,与数据的
排列位置有关
平均数 与每一个数据有关， 受每个样本数据的影响，使
更能反映全体的信息 其在估计总体时的可靠性降
低.
典例解析
[例] 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成 绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，
• 问题3: 在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是 平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个 最低分”的方法，说说这种方法的好处。
• 问题4:书本73页的探究如何理解？
• 问题5: 总结在利用众数、中位数、平均数估计总体的 数字特征时各自的优缺点。

【探究总结】 知识归纳:
注意事项:方差与标准差的关注点 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围是:[0,+∞). (3)因为方差与原始数据的单位相同,且平方后可能夸
100)2+(100-100)2+(99-100)2]=2,所以标准差为s=
2.
3.下列判断正确的是
(
)
A.样本平均数一定小于总体平均数
B.样本平均数一定大于总体平均数
C.样本平均数一定等于总体平解析】选D.因为样本平均数只是估计总体的平均数, 它与总体平均数的关系不确定,因此只有选项D正确.
则:(1)平均命中环数为________. (2)命中环数的标准差为________.
【解析】(1) x 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7. (2)因为s2= 1 [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(510
10
7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,所以
距离.
3.一般意义下的平均距离是什么? 提示:S= x1 x x 2 x …… x n x .
n
通过以上探究,试着写出方差与标准差公式: 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则
2 2 2 1 ［ x1 x x 2 x x n x ］ 方差:s2=__________________________________. n

（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
.精品课件.
14
（3）方差的运算性质：
如果数据 x1, x2,, xn 的平均数为 x ，
方差为 s 2，则
（1）新数据 x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为
成初始状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键
按键
显示结果
SHIFT S-VAR 1 = 1476.2
SHIFT S-VAR 2 = 78.7309342
.精品课件.
解：S1 x= —5+—7+—7+—8+—10—+1—1 =8
6
数据 xi
S1 x
S2 xi－x
5
8
－3
S3 (xi－x)2 9
7
8
－1
1
7
8
－1
1
8
8
0
0
10
8
2
11
8
3
.精品课件.
4
9
8
S4 s2= —9+—1+—1+—0+—4+—9— =4； 6
S5 s 4 2.
所以这组数据的标准差是2.
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为__1_2_____

录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
置
主
知
题
能
探
巩
究
固
导
提
学
升
目 1.众数、中位数、平均数各反映了样本数据
录 的什么特征？
典
课
型
程 提示：众数体现了样本数据的最大集中点，中位数是样本数据 例
目
题
标 的“中心”，平均数则描述了数据的平均水平.
精
设
析
置 2.如何通过频率分布直方图确定众数、中位数、平均数？
主 题
精
设
析
置
主
知
题
能
探
巩
究
固
导
提
学
升
目
录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
置
主
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题
能
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固
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提
学
升
目
录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
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知
题
能
探
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究
固
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提
学
升
目
录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
置
主
知
题
能
探
巩
究
固
导
提
学
升
目
录 典
课型程例 Nhomakorabea目