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第二章 2.2 用样本估计总体2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一 众数、中位数、平均数思考1 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是平均数受数据中极端值的影响较大.思考2 在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？答案 为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分.梳理 众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数 的数.(2)中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置的数(或中间两个数的 )叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么叫做这n 个数的平均数.最多从小到大(或从大到小)中间平均数知识点二 方差、标准差思考1 当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？答案 当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等.思考2 标准差、方差的意义是什么？答案 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.平均距离知识点三 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征1.样本的基本数字特征包括、、、 .2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的.因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度.3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.众数中位数平均数标准差随机[思考辨析 判断正误]1.中位数是一组数据中间的数.( )2.众数是一组数据中出现次数最多的数.( )3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.( )×√√题型探究题型一 众数、中位数和平均数的理解与应用命题角度1 众数、中位数、平均数的计算例1 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：职业董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数；解答解 公司职工月工资的平均数为解答(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工月工资新的平均数又是什么？解 若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为反思与感悟 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中.(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1 对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4答案解析√解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数例2 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率[121,123)[123,125)[125,127)[127,129)[129,131]合计解答解 频率分布表如下：分组频数频率[121,123)20.10[123,125)30.15[125,127)80.40[127,129)40.20[129,131]30.15合计20 1.00(2)作出频率分布直方图；解 频率分布直方图如下：(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.解 在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征：①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标；②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2.平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.题型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1).所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散.(3)若样本数据都相等，则s＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；解 由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高.达标检测1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是A.19B.20C.21.5D.23√解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为√A.1＋a,4B.1＋a,4＋aC.1,4D.1,4＋a且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，6 3.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_____.4.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，162x10－1的标准差为_____.解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.1.利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.2.标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.3.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.。
