群(离散数学)共128页

正规子群与商群
定义设H是群G的子群。如果a∈G 定义 都有Ha=aH,则称H是G的正规子群 正规子群,记作 正规子群 H G。 任何群G都有正规子群,因为G的两个平 凡子群,即G和{e},都是G的正规子群。 如果G是阿贝尔群,G的所有子群都是正 规子群。
正规子群与商群
正规子群的实例
设A={1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成 群。 G的全体子群是：
群的分解 :陪集定义 陪集定义
例2:设A={1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成群。 考虑G的子群H={f1,f2}。做出H的全体右陪集如下： Hf1={f1f1,f2f1}={f1,f2}=H Hf2={f1f2,f2f2}={f2,f1}=H Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5} Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6} Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3} Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}

因为映射复合不满足交换律，所以<EA; >不是阿贝尔群。
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈G，
a0=e, a n 1 a n a ( n = 0, 1 , 2, …) 规定（a-1)0=e, 再定义
a (a ) a a a
n
1 n
1
1
1
另外，加法运算是可交换的，因此<I；+>是一个阿贝尔群。
例 <Q-{0}；· >是一个群，单位元是1，每一个有理数q的
逆元是1/q。
另外，乘法运算是可交换的，因此< Q-{0}；· >是一个阿贝尔群。
例 令EA =. f | f : A A 是 双 射
,则
E A ; 是 一 个 群
第5章
群
本章在上一章代数系统一般概念的基础上，着重介绍几种
典型的代数系统：半群、独异点和群、子群。讨论这些代数系
统中的特殊元素以及这些代数系统具有的性质。
主要内容如下：
5.1 5.2 5.3 5.4 半群和独异点 群的定义 群的性质 子群及其判别
5.1 半群和独异点
一、半群
定义5-1
二元运算，如果
因此（a
4c= 4b）
a
4 (b 4c)，即 4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆元是2。 所以<Z4； 4>是一个群。
定义5-8: 如果群<G; * >的运算*是可交换的，则称该群
为交换群或阿贝尔群。
例 <I；+>是一个群，单位元是0，每一个整数i的逆元是-i。
所以3也是其生成元。

推论：
−1 −1 −1 −1 (a1 ∗ a 2 ∗ ... ∗ a n ) −1 = a n ... ∗ an ∗ ∗ a ∗ a −1 2 1
二、群的性质与结构
由定理4可得出以下结论： 一阶群仅有一个，二阶群仅有一个, 三阶群仅一个, 五阶群仅有一个， 四阶群仅有两个，六阶群仅有两个。
* e
e e
(3) G 关于*存在么元e；
(4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 则称代数系统<G, *>为群。
(2) G上运算*可结合：对所有的a,b,c∈G有，(a*b)*c=a*(b*c)
一、半群、独异点和群
对群 <G , *>， (1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群, 或称阿贝尔群。 (2) 若G是无限集，则称<G , *>为无限群 (infinite group) 若 G是有限集，则称<G , *>为有限群 (finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数。 例1 (1) <I, +,0>是阿贝尔群，无限群 (2) 代数<Nk, +k, [0]>是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。 但代数<Nk, ×k ,[1] >不是群, 因为0元素没有逆元。
a0 = e a n +1 = a n ∗ a a − n = ( a −1 ) n
由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中 结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:
a m ∗ a k = a m+k ( a m ) k = a mk
二、群的性质与结构

解:由题意,R上得二元运算★得运算表如上所示,由表知,运算★在R上就 是封闭得。
对于任意a, b, cR,(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c,而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a,而总得旋转角度都就是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c),即★运算满足结合性。
a
b
c
d
b
d
a
c
定理5、4、4 群〈G,*〉得运算表中任一行(列)得元素都就是G中元 素得一个置换。且不同行,不同列得置换都不同。 证明 首先,证明运算表中得任一行或任一列所含G中得一个元素不可能多 于一次。用反证法,如果对应于元素a∈G得那一行中有两个元素都就 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。
其次,要证明G中得每一个元素都在运算表得每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G得那一行,设b就是G中得任一元素,由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a得那一行中。
再由运算表中没有两行(或两列)相同得事实,便可得出:<G,*>得运算表中 每一行都就是G得元素得一个置换,且每一行都就是不相同得。同样得 结论对于列也就是成立得。
结果都等于另一个元素, ) 3) G中任何元素得逆元就就是她自己; 。 故〈G,*〉为一个群。 此外,运算就是可交换得,一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
思考练习
已知:在整数集 I 上得二元运算定义为:a,b∈I,
a b=a+b-2
证明:< I , >为群。
么元为:2 逆元:x-1＝4-x
离散数学群与子群
一、群得概念

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定理的证明(续)
设G=(g)是一个n阶有限循环群，则gn=e，且对于任意的小于n 的正整数m，gm≠e。所以，对于任意的小于n大于等于0的二个 整数m1，m2，若m1≠m2，则gm1≠gm2。 即 G={g, g2, ..., gn-1, g0=e}， 而模n的整数加群为 (Zn，)， 这里Zn={0, 1, 2, ..., n-1}。 作映射φ ，对于任意的i ∊ Zn， φ( i)=gi。 显然φ是一个满射且也是一个单射，即φ是一个双射。 对于任意的i，j ∊ Zn， 若i+j ≤ n-1， φ (i j)=φ (i+j)=gi+j =gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j)， 若i+j ≥ n， φ (i j)=φ (i+j-n)=gi+j-n=gi+j-n∘gn =gi+j=gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j) 。 所以φ也即是同构映射，从而 (Zn， )同构于(G，∘)。
A2={0, 3}，
A3={0, 2, 4}，
和Z6本身。
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例 S3= { (1), (12), (23), (13), (123), (132)}
S3的所有子群为: {(1)}
∘ (1) (12) (13) (23) (123) (132)
(1)
(12) (13) (23)
(1)
(12) (13) (23)
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由子集A生成的子群(A)
设(G，· )是一个群，Ø≠A⊆G， 设想给出G的一个子群A’，有性质： ◆A’ ⊇A， ◆且若有B是G的子群，B⊇A，则B⊇A’。 这样的子群A’称为由子集A生成的子群，记 (A)=A’。
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循环群

语言<，并置>，其中||=n。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.2.1 群及其基本性质
定义12.3 称代数结构<G,>为群，如果 （1）<G, >为一半群。 （2）<G, >中有幺元e。 （3）<G, >中每一元素都有逆元。 简言之，群是每个元素都可逆的独异点。
群的载体常用字母G表示，G也常用于表示一个群。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
定理12.3 设<S,>为一半群,那么 (1) 存在<S,>到<SS,◦ >的半群同态h。 (2) <S,>在含有幺元时同构于<h(S),◦>, 后者是<SS,◦ >的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意aS，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意xS， fa(x)= ax 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,bS ， h(ab)＝fab (l2－1) 而对任何xS，fab(x)= abx = fa(fb(x))= fa◦fb (x)，故fab= fa◦fb ,
由此及式(l2－1)即得 h(ab)= fab = fa◦fb ＝h(a)◦h(b)
证(2)：只需证明a,bS，如果a≠b，则fa≠fb。因为<S,>含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在xS，fa(x)≠fb(x)，定理得证。
离散数学 第12章 群、环、域 12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
（4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为

理解群的定义
元数为1的群仅有 的群仅有1个 例. ① 元数为 的群仅有 个 * e e e
② 元数为 的群仅有 个 元数为2的群仅有 的群仅有1个 *
e a e e a a a e
6.2.3 群的性质--（1） 群的性质--（
定理6.2.1 群的单位元素是唯一的,任意元 群的单位元素是唯一的, 定理 素的逆也是唯一的。 素的逆也是唯一的。即,设（G， ）是一个群， ， ）是一个群， 中恰有一个元素1适合 则G中恰有一个元素 适合 = a1 = a,而且对 中恰有一个元素 适合1a 而且对 于任意a恰有一个元素 a-1适合 aa-1 =a-1a=1。 于任意 恰有一个元素 。 证明： 都是单位元素， 证明：若1和1’都是单位元素，则1’=11’=1， 和 都是单位元素 ， 故1’=1。 。 若b和c都有 -1的性质，则 和 都有a 的性质， 都有 b=b1=b(ac)=(ba)c=1c =c，故b=c。 ， 。
a b 是否为群。 1,-1}关于普通乘法运算是否构成 G={1,-1}关于普通乘法运算是否构成 一个群？ 一个群？ G={1, -1, i, -i}关于普通乘法运算是 i}关于普通乘法运算是 否构成一个群？ i=(否构成一个群？其中 i=(-1)1/2.
理解群的定义
例. 群中不可能有零元。 群中不可能有零元。 证明：设(G, *)是群，其单位元是1， 证明： 是群，其单位元是 ， 是群 当│G│=1，它的唯一元素视为单位元。 ，它的唯一元素视为单位元。 当 G>1， 用反证法 。 假设 （ G， *） 有零 ， 用反证法。 假设（ ， ） 则对 ∈ ，都有x*θ θ 元θ，则对x∈G，都有 θ=θ*x=θ ≠ 1，即 θ ， 不存在x∈ ，使得x*θ θ 不存在 ∈G，使得 θ=θ*x=1， ， 亦即， 无逆元，这与 是群矛盾 是群矛盾。 亦即，θ无逆元，这与G是群矛盾。

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群的性质
其中Z 【例3】设有群〈Z6，⊕6〉,其中 6={0,1,2,3,4,5}, 】设有群〈 其中 ⊕6是模 加法 试求出群〈Z6，⊕6〉中每一元素 是模6加法 试求出群〈 加法,试求出群 的阶。 的阶。
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群的性质
【练习3】求群<Z,+>, <Zn， ⊕n>及<P(S), ⊕>中 练习 】求群 及 中 各元素的阶。 各元素的阶。
8
群的基本概念
4) 每个元素存在逆元： 每个元素存在逆元： 对于任意a∈ 设 存在且a 对于任意 ∈S,设a-1存在且 -1 ∈S ，则
a ∗ a −1 = 0 −1 * a = 0 a
a + a −1 + a a −1 = 0 即 a −1 + a + a −1a = 0
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群的性质
6.群中元素的阶 群中元素的阶 定义】元素的阶(Order)： 【定义】元素的阶 ： 是群， ∈ ， 设<G, >是群，a∈G， 是群 的最小正整数k称 的阶 记作|a| 的阶， 使ak=e的最小正整数 称为a的阶，记作 。 的最小正整数 如果这样的 不存在，则称a的阶是无限的 这样的k不存在 的阶是无限的。 如果这样的 不存在，则称 的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1| (2) |e| = 1
6
群的基本概念
2) 运算 满足结合律： 运算*满足结合律 满足结合律： 任意a， ， ∈ ， 任意 ，b，c∈S，有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc,且 且 a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc, 所以， 满足结合律。 所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。 ， 满足结合律

在s3中我们有55443322113122311235544133221543215544332211??????????????????????????????????51234451233451223451123451554433221514335144351143513524?????????????????12343412354543221145453312213545431221??????????????????????????????而定理
表 4.3 * e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b * e a b c e e a b c
表 4.4 a a c e b b b e c a c c b a e
可以验证表 4.1～4.4 满足群公理，故 4 阶群只能有这四种。表 4.2,4.3,4.4 都 同构于(Z4, +4), 而表 4.1 表示的群就是著名的 Klein 四元群(V,*)，它不与(Z4, +4)同构。 故 4 阶群在同构意义下只有两个(V,*)与(Z4,+4)
∵ael=a(a-1a)=(aa-1)a=ela=a ∴ael=a 因此(G,*,el,-1)为群
定理:设(G,*)为半群且|G|有穷，若(G,*)满足消去律，则(G,*)为群 证 ： 设 G={a1, „ ,an}, a,b, ∈ G 下 证 明 方 程 ax=b 有 唯 一 解 ， 令 aG={aai|i=1,2,„n} ∵左消去律 ∴|aG|=n 从而 aG=G 而 b∈G 故有 ai∈G 使 aai=b 从而 ax=b 有解， 又∵左消去律 ∴解唯一。 同理可证 ya=b 有唯一解。因此(G,*)为群
子群
定义：设<G，*>是群，S是G的非空子集，若<S，*>是群，则 称<S， *>为<G，*>的子群。显然，<{e}，*>和<G，*>是<G，*>的子群，称其为 平凡子群。<G，*>的其余子群称为真子群。

#Ex2：(G,）是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则 ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍) 证明：⑴ 充分性，已知k=mn (m∈I) ak= amn=(an)m= em =e ⑵ 必要性，已知ak=e ， a的阶为n，即 an=e , 假设k不是n的整数倍，令 k=mn+t m,t∈I, 0<t<n t=k-mn at= ak-mn= aka-mn= e(an)-m =e-m = e 由于at=e，而 t<n，与 a的阶为n矛盾。 所以 k是n的整数倍。即 k=mn (m∈I)。 思考题：上例中R4=S; L4=S R和L的阶都为4；而R-1=L 由此可以得到什么结论？
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2.可换群（阿贝尔群）
定义2: 设（G, * ）是群,运算*是可交换的，则称它是可 换群。 例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ）都是可换群。
3.子群
定义3：设（G, * ）是群, 如果（G, * ）的子系统（H , *） 也是群，则称（H , * ）是（G, * ）的一个子群
即如果（H , * ）满足： ⑴ 任何a,b∈ H 有a * b∈ H, (封闭) ⑵幺元 e∈ H, (有幺元) ⑶任何a∈ H 有a-1∈ H, (可逆) 则称（H, * ）是（G, * ）的子群。 例如：（I,+）是（R,+）的子群。
例如： 判断（I,+）,（R,+） ，（P(E), ）， （R,×） 及（P(E), ∩）是否为群？请说明理由。 解：（I,+）,（R,+）幺元是 0，每个x的逆元是 -x 。 （P(E), ）幺元是Φ ，因任何X∈P(E) XX=Φ ∴X-1=X， ∴（I,+）,（R,+）,（P(E), ）是群。 而 （R,×） ,（P(E), ∩）都有幺元，但不是群。

.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定理11.17 设<G，>为有限群,那么当G的非空子
集H对 运算封闭时, <H，>即为G的子群.
定理11.18 设<H，>为<G，>的子群，那麽
（1）当gH时， gH = H（Hg = H）。 （2）对任意gG， gH = H （ Hg = H ）.
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.13
有限群G的每个元素都有有限阶, 且其阶数不超过群G的阶数 G .
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.14
设<G，>为群,G中元素 a 的阶为 k, 那么, an = e当且仅当 k 整除 n .
定理11.15
设<G，>为群，a为G中任一元素， 那么 a 与 a-1 具有相同的阶．
或者aH = bH（Ha = Hb）， 或者 aH∩bH = （Ha∩Hb = ）．
定理0 设<H，>为有限群<G，>的子群
那么H阶的整除G的阶．
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.11 设<H，>
为群<G，>的子群。
定义 G上H的左(右)
陪集等价关系～。
对任意a,bG a～b当且仅当a，b 在H的同一左（右） 陪集中
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.9
设<G，>为群．称<H，
G的子群(subgroups)，
如果<H，>为G的 子代数 ，且<H，>为一群．
.
群

4
群的术语
平凡群 只含单位元的群 {e} 交换群 Abel 群 有限群与无限群 群 G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G| 元素 a 的 n 次幂
⎧e ⎪ a n = ⎨ a n −1a ⎪ ( a −1 ) m ⎩ n=0 n>0 m = − n, n < 0
元素 a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数 k 说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群.
13
例题
例3 若G为偶数阶群，则G中必存在2阶元. 证 若∀x∈G, |x|>2，则x≠x-1 由于 |x|=|x-1|, 大于2 阶的元素成对出现，总数有 偶数个. G 中1 阶和 2 阶元也有偶数个. 由于1 阶 元只有单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题 得证. 分析 |x|=|x-1| x2=e ⇔ x=x-1
7
群的性质 3
定理5 消去律 ab= ac ⇒ b=c, ba = ca ⇒b=a 定理6 设G是有限半群，且不含零元. 若G中成立消去律， 则G是群. 证 设 G={a1, a2, … , an}，任取ai∈G， aiG ={ aiaj | j =1, 2, … , n} 由封闭性, aiG⊆G, 假设 |aiG|<n, 则存在 j, k 使得 aiaj=aiak, 根据消去律，aj=ak, 矛盾. 所以 aiG=G. 任取ai,aj, ai,aj∈G ⇒ aj ∈aiG ⇒ 方程 ai x=aj 有解 同理，方程 yai=aj有解. G是群. 注：<Z5,⊗>不是群，因为有0；<Z+,⋅>也不是群，无限.
交换律
交换半群
单位元
独异点
交换律

证明：见P179例7.3.3的证明
定理 设循环群G=(a), 若a为无限周期，则 (a)与<I,+>同构； 若a的周期为m，则 (a)与<Zm, +m>同构；
注 循环群只有两种， 生成元的周期无限时，它与整数加群 代数相等； 生成元的周期为m时，它与模为m的剩余加群 代数相等。 例 定理 任何一个循环群必是阿贝尔群。 证 设G=(a)，则G中任一元素都可写成a的幂的形式。
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn， 则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。 称g为循环半群的生成元，亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群，它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
有两个是相等的，则G中存在最小的正整数n使 得an=e，且有
G=(a)={a0,a1,a2…,an-1}
定义 设群<G,*>中任一元素a，若存在使an=e的最小的正 整数n，则称a的周期(或阶)为n。 若正整数n不存在，则称a的周期（或阶）是无限的。
注 周期的概念是对群中任一元素来定义的，任意群其幺 元的周期一定是1。 对循环群，有时称其生成元的周期为循环群的周期。
群的基本概念群的定义设是一个代数系统若二元运算满足1可结合性结合律2存在幺元单位元素有限群设是一个群若集合g是无限集阿贝尔群设是一个群若是可交换的721是阿贝尔群

(B)·(D)=(…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1 因而
A =((B)·(D))·an =((…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1）·an 即A等于（1）式。
注意：
当给出二元运算后，若无结合律，则三个以上 元素的运算不一定有意义，本定理对有结合律 的一切代数系统成立。
ma+na= (m+n)a
m(na)=(mn)a m(a+b)= ma+mb，
群的其它结论：
(ab)-1= b-1a-1 消去律成立 其运算表中每一行或每一列中的元素互不相同。 存在唯一的幂等元1。 一元群、二元群、三元群是唯一的，且都是交换群 有限半群中必存在幂等元。 含有单位元的半群成为独异点。
成立。
定理6.2.4
设G是一个群，在一个乘积a1…an中可以任意加括号 而求其值。
证明： 只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右
加括号所得的积(…((a1·a2)·a3)…·an-1)·an
（1）
(1)式对于n=1，2不成问题；对于n=3,由结合律也不成问题。
现在对n用归纳法,
假定对少于n个因子的乘积（1）式成立.
证明：先证σ可以写成不相杂的轮换的乘积， 任取a1∈M。 （1）若σ(a1)= a1,则a1自己就作成一个轮换。 （2）设σ(a1)= a2,σ(a2)= a3，…这样下去，由于M有 限，故到某一个元素ar, 其σ(ar)必然不再是新元素， 即这σ(ar)必在a1, … , ar之内。由于σ是一对一的，我 们已有σ(ai)= ai+1，i=1,2, …, r-1，所以σ(ar)只能是a1 。于是我们得到一个轮换(a1 … ar)。
定理6.2.3
证明：首先证明在任一群中可除条件成立。 取x =b·a-1，y=a-1·b，即得x ·a=b，a·y=b， 故由(1)和(2)可以推出可除条件成立。

例1 代数系统 < N; + > 和 < N; ·>、< I; + > 和 < I; ·>、< R; +
> 和 < R; ·> 都是半群，且都是可交换半群。但 < I; – > 和 < R – {0}; / > 不是半群。
例2 代数系统 < 2U; > 和 < 2U; > 都是可交换半群。
例3 设 S 是非空集合，对于任意 a, b S，定义 a b = b，则代
证：对任意的 b S，因为 < S; > 是半群，所以由 的封闭性 可知，b2 = b b S，b3 = b2 b = b b2 S，…。
因为 S 是有限集，所以必存在 j > i，使得 bi = bj。 令 p = j – i，便有 bi (= bj = bp + i) = bp bi。
例8 对于半群 < N; + >， N 的子集
N2 = {2n | n N}，N3 = {3n | n N}，N4 = {4n | n N}，… 都是 < N; + > 的子半群。
例9 对于半群 < S; > 的任一元素 a S，令集合
T = {a, a2, a3, …}， 则 < T; > 是 < S; > 的子半群。
10
例10 对于独异点 < Z; + > , 子集 N2，N3，N4，… （见例8）均
不能形成 < Z; + > 的子独异点； 而 Z2 = {2n | n Z}，Z3 = {3n | n Z}，Z4 = {4n | n Z}，… 都 能形成 < Z; + > 的子独异点。 注： 子半群也是一个半群；子独异点也是一个独异点。 定理 5-5 设 < S; > 是一个可交换的独异点，则 S 的所有幂等 元的集合形成 < S; > 的一个子独异点。

定理8.2.6 设<G, •>是群，aG且|a|=n,则|ak|=n/(k, n) (kI),
特别地，|a-1|=|a|。 定理8.2.7 设<G, •>是有限群，|G|=n, 则aG, |a|n。
8
第9-10章简介(1) -含两个二元运算的代数系统
环：设<R,+, •>是代数系统，若 (1) <R，+>是可交换群， (2) <R, •>是半群， (3) •关于+可分配， 则称<R,+, •>为环，称+为加法、•为乘法。
重要结论 .
代数 运算
代数运算、封闭性、交换律 单位元零元的唯一性 结合律、分配律、单位元、零元 可逆元必可约 逆元、幂等元、可约元、消去律
集合+运算
代数系统
代数系统及其定义域、阶 子代数、有限代数系统
代数系统 具
间的关系有 特ຫໍສະໝຸດ 构造 新系统同型、保持运算、同态 同构、满同态、 单一同态、同态象
殊 性
*: a, bR, a*b表示将平面图 绕形心连续旋转角度a和b,
60o 60o 120o 180o 240o 300o 0o 120o 120o 180o 240o 300o 0o 60o 180o 180o 240o 300o 0o 60o 120o
旋转360回到原来状态。
240o 240o 300o 0o 60o 120o 180o 300o 300o 0o 60o 120o 180o 2420o
∴ a-1•b是方程a•x=b唯一的解
同理可证方程y•a=b也有唯一解。
y•a=b的解=？
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§8.2 群的定义及性质 3. 群的阶(1)