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a b gm gn gmn gnm gn gm b a
证毕。
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作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T
证: i) 任取x,y∈T,
则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T, ii) T是S的子集，*在T上可结合；
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
(ai ) j ai j
(i, j N )
6
半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉
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定理 2： 子独异点是独异点。 证： 子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元,
结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。
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半群和独异点
注：独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。
定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。
证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
4
半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)
是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。
② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
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半群和独异点
定理5：
证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
5
半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。
用归纳定义:
(1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N)
由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律:
(1)
ai a j ai j
(i, j N )
(2)
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么
半群, 也称独异点。 （3点）
例2：判断*〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； ×
② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b
中较高者； √，么元为最矮的人
③ 〈 R+, ·〉 √
〈 R+, ÷〉 ×
④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元
关系 ； √
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半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那 么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。
如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
所以是半群。 证毕。
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半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封 闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
