离散数学 第十章+群与环

离散数学--第⼗章群，环，域群基本定义设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为⼆元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群（代数系统的前提不要忘，详情可看第九章）如果半群中有单位元==> 含⼳半群|独异点含⼳半群还有逆元==>群通常记作G群中的⼆元运算可交换==>交换群|阿贝尔群Klein四元群特征：1. 满⾜交换律2. 每个元素都是⾃⼰的逆元3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素平凡群只有单位元有限群群中元素有限⼦群如果把群看成集合，⼦群就是⼦集中能满⾜群定义的⼀个集合（可以有多个集合）群是代数系统，最基本要满⾜封闭性！真⼦群就类似真⼦集⼦群判定定理：设G为群，H是G的⾮空⼦集. H是G的⼦群当且仅当∀a,b∈H 有ab−1∈H（感觉很懵逼）证必要性显然. 只证充分性. 因为H⾮空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利⽤给定条件得a(b−1)−1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的⼦群.⽣成⼦群：设G为群，a∈G，令H={a k| k∈Z}，则H是G的⼦群，称为由 a ⽣成的⼦群，记作<a>例如：Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有⽣成⼦群是：<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.则偏序集< L(G), ⊆ >称为G的⼦群格就相当于⼦群先变成偏序集然后就满⾜了格的定义？因为是⼦群所以叫⼦群格？右（左）陪集设H是G的⼦群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}称Ha是⼦群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.相当于右（左）乘a所得的集合？循环群设G是群，若在G中存在⼀个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的⽣成元。

第一章，0命题逻辑素数 = 质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。

若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值演算（1）双重否定律⌝⌝A⇔A（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A（10）排中律 A∨⌝A⇔1（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝AA i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）= m2∨m0∨m1∨m1∨m3= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p = ┐p∧(┐q∨q)= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q = (┐p∨p)∧q= (┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。

离散数学是数学的一个分支，研究离散对象及其性质，其中一个重要的概念就是群。

群是代数学中的基本概念，也是离散数学中的重要内容之一。

在离散数学中，群与置换群是研究最广泛和最基础的对象之一。

群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元这四个条件。

群是离散数学中的基本代数结构，它有着丰富的性质和应用。

在群的定义中，如果二元运算满足交换律，那么这个群就是一个交换群，也叫做阿贝尔群。

交换群是群论中的一个重要分支，其运算满足交换律使得它有更简单的性质和结构。

而对于非交换群，它们的性质则更加丰富和复杂。

置换群是群论中的一个重要的研究对象。

置换是一种将集合中的元素重新排列的操作，通过置换操作，可以将一个有限集合的元素按不同的方式重新排列，从而得到不同的置换。

置换群是由这些置换操作以及对应的运算所构成的群。

置换群的运算是将两个置换组合起来进行的。

对于置换群中的每一个置换，都有一个逆置换存在，使得进行逆置换后再进行置换得到原来的置换。

同时，置换群还有一个单位元，就是将所有元素按照原始排列摆放的置换。

这样，置换群的定义满足了群的四个条件。

在置换群中，置换可以用不同的形式进行表示。

一种常见的表示方法是使用环表达式。

环是一个由元素以及它们之间的运算组成的结构，其中每个元素对应一个置换。

通过环表达式，我们可以方便地进行置换群的运算和推导。

置换群的研究具有广泛的应用价值。

在密码学中，通过使用置换群可以对信息进行加密和解密，保护信息的安全性。

在计算机图形学中，置换群可以用来描述、操作和分析图形的对称性质。

在量子力学中，置换群的概念也有着重要的应用，用于描述和分析微观粒子的性质和行为。

综上所述，离散数学中的群与置换群是该领域研究的基本对象之一。

群作为一种代数结构，具有独特的性质和应用。

而置换群则是群论中的一个重要分支，它通过置换操作和运算构成了一个群。

置换群的研究在密码学、计算机图形学和量子力学等领域具有广泛的应用。

群环域的基本概念嗨，朋友！今天咱们来聊聊数学里特别有趣的几个概念：群、环、域。

你可别一听是数学就皱眉头，这几个概念就像神秘的宝藏，一旦你开始了解，就会被它们深深吸引。

先来说说群吧。

想象一下，你和一群小伙伴在一起玩一种特别的游戏。

这个游戏有一些规则，就像群有它自己的规则一样。

比如说，有一个操作（我们在数学里叫它运算），就好比是小伙伴们之间互相击掌这个动作。

每两个小伙伴击掌之后，结果还是一个小伙伴（在群里这叫封闭性，就是经过运算后的结果还在这个群里）。

而且不管谁先击掌谁后击掌，只要是这两个人击掌，结果都是一样的（这就是结合律）。

还有一个特殊的小伙伴，他自己击掌就相当于什么都没做，这个小伙伴就像群里的单位元。

对于每个小伙伴来说，都有另一个小伙伴，他俩击掌就相当于回到那个什么都没做的状态（这就是逆元）。

你看，这样一个小伙伴的群体，是不是很像群的概念呢？我有个朋友小明，他一开始也觉得群特别抽象，但是当我这么给他一解释，他就说：“哎呀，原来群就是这么回事啊，还挺好玩的呢！”再来说环。

这就像是在群的基础上又加了一些新东西。

你可以把环想象成一个超级市场。

这个超级市场里有两种商品，我们就把它们当作两种运算吧。

一种运算就像是加法，在这个超市里，加法和群里的那种规则很像，有封闭性、结合律，还有单位元（就是0啦，任何数加0还是那个数）和逆元（相反数）。

但是呢，还有另一种运算，像是乘法。

这个乘法也有自己的规则，它和加法之间还有一些联系。

比如说，乘法对加法有分配律。

就好像在超市里，买多个东西打折的计算方式和单独买东西然后加起来的价格有一定的关系。

我和我的同学小红讨论环的时候，小红就感叹：“这环还真是复杂又有趣呢，就像一个有很多机关的神秘盒子。

”最后就是域啦。

域就像是一个更高级的存在。

你可以把域想象成一个魔法王国。

在这个王国里，除了有像环里的加法和乘法两种运算，而且除法也变得很神奇。

在这个魔法王国里，几乎每个元素（就像王国里的每个小魔法生物）都可以做除数（当然除了0这个特殊的家伙，就像王国里有一个特殊的不能用来做某种魔法操作的东西）。

离散数学中路径与圈知识点详解离散数学是计算机科学中的重要基础学科之一，路径与圈是其中的核心概念之一。

在这篇文章中，我们将详细解释路径与圈的概念和相关知识点，以帮助读者更好地理解和应用离散数学中的路径与圈。

一、路径的定义与性质在图论中，路径是指由图中的顶点和边所构成的序列。

形式化地说，路径可以定义为一个顶点的非空序列，其中顶点之间通过边相连。

路径的长度等于路径中边的数量。

路径具有以下性质：1. 路径可以是有向的或无向的，具体取决于图的类型。

2. 在有向图中，路径可以是有向边的序列，顶点之间按照边的方向顺序相连。

3. 在无向图中，路径可以是顶点的序列，顶点之间通过边相连，但没有方向之分。

4. 路径的长度可以通过统计路径中的边数来计算。

二、圈的定义与性质在图论中，圈是指起点和终点相同的路径。

圈也被称为环或回路。

形式化地说，圈可以定义为一个顶点的非空序列，其中起点和终点相同，而且路径中除起点和终点之外的顶点是互不相同的。

圈具有以下性质：1. 圈可以是有向的或无向的，具体取决于图的类型。

2. 在有向图中，圈是有向边的序列，起点和终点相同。

3. 在无向图中，圈是顶点的序列，起点和终点相同，且路径中除起点和终点之外的顶点不重复。

4. 圈的长度等于圈中边的数量。

三、路径与圈在离散数学中的应用路径与圈在离散数学中有广泛的应用，特别是在图论、网络分析和算法设计中。

以下是路径与圈常见的应用场景：1. 最短路径问题：在给定图中寻找两个顶点之间的最短路径。

最短路径算法，如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，就是基于路径的概念来设计的。

2. 图的连通性：路径与圈可以帮助我们判断一个图是否连通，即是否存在路径或圈连接图中的所有顶点。

3. 图的环路检测：通过检测图中是否存在圈，可以判断图是否有环。

在拓扑排序和关键路径分析中，环路检测是一个重要的步骤。

4. 调度问题：路径与圈可以用来解决任务调度问题，如在工厂中优化生产流程，或在计算机网络中优化数据传输路径等。