离散数学半群与群25页PPT

得aiaj=aiak,由消去律得aj=ak，矛盾。
幂等元
定义：代数系统<G,*>中，如果存在a∈G， 有a*a=a，则称a为幂等元。
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有限半群必存在幂等元
性质：设<S,*>是一个半群，如果S是一 个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.
思路：(构造法) b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列
回顾
{群} {独异点}{半群}
代数系统：
封闭性
半群：
封闭性，可结合性
独异点： (含幺半群)
封闭性，可结合性，有单位元
群
封闭性，可结合性，有单位元，有逆元
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群的阶和元素的阶
群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|
元素a 的n 次幂 e n 0
例： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r)
证： 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q
(at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s|q (at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps q | s （p, q互素）
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群中幂等元唯一
例：在群<G,*>中，除单位元e外，不可 能有任何别的幂等元(即a*a=a)
证：e*e=e，∴e为幂等元 现设a∈G，a≠e且a*a=a 则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e
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1=a
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半群与群在其他领域的应用
经济学
半群与群的概念在经济模型中用于描述市场交易 和供需关系，特别是在博弈论和经济计量学中。
社会学
群的概念在社会学中用于描述社会结构和群体行 为，例如在人类学和社会网络分析中。
语言学
群的概念在语言学中用于描述语言的语法和词法 结构，特别是在形式语言学和句法分析中。
05
习题与解答01Βιβλιοθήκη 020304
封闭性
群的二元运算是封闭的，即对 任意的a、b属于群，运算结
果仍属于群。
结合律
群的二元运算是满足结合律的 ，即(a*b)*c=a*(b*c)。
单位元存在
群中存在一个单位元e，使得 对任意的a属于群，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
对任意的a属于群，都存在唯 一的逆元a'，使得a*a'=e，
在S上的二元运算。
群是一个有序对(G,*)，其中G 是一个非空集合，*是一个在 G上的二元运算，满足封闭性、
结合性和存在单位元。
半群没有单位元，而群有； 半群的运算不满足结合律，
而群的运算满足结合律。
一个具体的半群的实例是自然数 集N和加法运算；一个具体的群 的实例是矩阵集合M和乘法运算 ，其中M是一个有限维线性空间 的可逆矩阵组成的集合，满足封 闭性、结合性和存在单位元。
第十一章节半群与群的习题
01
02
03
04
1. 什么是半群？请给出 其定义。
2. 什么是群？请给出其 定义。
3. 半群和群有哪些主要 区别？
4. 请举例说明一个具体 的半群和群的实例。
习题答案及解析
1. 半群的定义
2. 群的定义
3. 主要区别

定理3: 设G为群,H是G的非空子集.如 果H是有穷集,则H是G的子群当且仅 当a, bH, abH
证明: 必要性()根据群的封闭性,显然。 充分性().只需证明aH, a-1H
aH
(1)a=e, a-1=e-1=e=aH (2)ae, 令S={a,a2, a3, …}则SH.由于H是有
穷集,因此必有ai=aj(i<j)由消去律得aj-i=e, ae, j-i>1 aaj-i-1=e=aj-i-1a, 因此aj-i-1=a-1H
证明： （1）充分性(). ak = arl =(ar)l=el = e
必要性(). k=rl+i, lZ, i{0,1,…,r-1} e = ak = arl+i = ai i=0 r | k （2）(a-1)r=(ar)-1=e |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则
t|r. 这说明a-1的阶是a的阶的因子。 反之， (a-1)-1的阶是a-1的阶的因子,因此r|t.
重要子群的实例
3、生成子群，中心。
(1) 生成子群：设 G为群，x G，记 x xk k Z
例10、Z6 0,1, 2,3, 4,5，
判断子独异点的方法?
如果V=<S, . , e>是独异点, TS, 如何判断<T, .>是V的子独
异点？ T对V中的运算.封闭 eT 符合以上两点，<T, .>就是V的
子独异点。
例
设半群V1=<S, .>,独异点V2=<S, . , e>其 中
S
a 0
0 d
a,
d
R
. 为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵。
(6)<R* , 。>为半群，其中R* 为非零实 数集合， 。运算定义如下：

与
到W的半群同态。
群
证明 对于任意的a,b∈R，有
(g·f)(a*b) = g(f(a*b))
= g(f(a)f(b))
= g(f(a))g(f(b))
= (g·f)(a)(g·f)(b)
所以，g·f是从U到W的半群同态。
7.1半群与独异点
第 定理7-7 设U=<R,*>和V=<S,+>都是半群，则U和
因此，U是一个群。
7.2 群与子群
第 定义7-11 设U=<S,*>是一个群。若
7 章
(1) S为有限集合，则称U为有限群，
半
若|S|=n，则称U为n阶群；
群 与
(2) S为无限集合，则称U为无限群。
群
7.2 群与子群
第 定理7-9 群中不存在零元。
7 章
证明 设U=<S,*>是任意一个群，当群的阶为1时，
半
集合S中唯一的一个元素看作是群的幺元。
群 与
设|S|>1，且存在零元。因零元不存在逆元，
群 而群中每个元素都必须是可逆的，于是产生矛盾，
所以，群中不存在零元。
7.2 群与子群
第 定理7-10 幺元是群中唯一的一个幂等元。
7 章
证明 对于幺元e，因e2=e，故e是幂等元。
半
若a也是幂等元，即若a*a=a，则
群 与
e = a-1*a
群
= a-1*(a*a)
= (a-1*a)*a
= e*a
=a
这说明e是唯一的幂等元，证毕。
7.2 群与子群
第 定理7-11 设U=<S,*>是一个群，则对于任意的
7 章

2024/7/3
离散数学
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二、群的概念
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x-n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x-1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x–1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数
(1)
(2)
(3)
代数系统
半群
独异点
群
2024/7/3
离散数学
6
二、群的概念
例1：设G= R-{1/2}，对 x, yG，x * y = x + y – 2xy ， 试证明<G, * >是否为群？ 证明: (1) 若 x, yG，x * y = x + y – 2xy G，故* 运算
关于G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG ,
是<Z, +>的平凡子群；
设<G,*>是一个群，B是G的一个有限非空子
有限子群 判定定理
集。若运算*在集合B上封闭，则 <B,*>是
<G,*>的子群。
子群的 设<G, * >为群，H是G的非空子集，如果对 x, 判定定理 yH，x * y -1H，则<H,*>是<G, * >的子群。
2024/7/3
如：<Z+, +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+, +>却不是。

循环半群
例7.1.3 下表给出的代数是个循环独异点，生成元是d
因为 d=d d2 = b d3 = c d4 = a
⊙a b c d aabcd bbadc c cdba ddcab
生成元也可以是c，但不是a或b
循环半群
定义：给定半群< S, ⊙>，以及G S， 若S中的所有元素，都可以由G中元素经过⊙运算而得 并且G是最小的这样的集合 则称G为< S, ⊙>的生成集，即
循环半群
四、循环半群 定义：< S, ⊙>是半群，若存在g S，对于每个x S，都 有相应的自然数n，将x表示成gn，即x=gn ，则 称g为< S, ⊙>的生成元 可以说，元素g生成半群< S, ⊙> 称< S, ⊙>为循环半群
循环半群
定义：< S, ⊙, e>是独异点，若存在gS，对于每个xS， 都有相应的自然数n，将x表示成gn，即x=gn ，且g0=e
称g为< S, ⊙, e>的生成元 可以说，元素g生成独异点< S, ⊙, e> 称< S, ⊙, e>为循环独异点
循环半群
定理：每个循环独异点都是可交换独异点。 证明： 设< S, ⊙, e>是循环独异点，g为其生成元 对于任意 a, b S，存在自然数m, n，使得a=gm，b=gn 于是，a⊙b = gm⊙gn = gm+n = gn+m = gn⊙gm = b⊙a 所以⊙是可交换的，故< S, ⊙, e>是可交换独异点。
半群和独异点
代数< [0, 1], ×>、< [0, 1), ×>和< N, ×> （N是自 然数集合，×是普通乘法）都是半群 并且都是< R,×>（R是实数集合）的子半群 < [0, 1], ×, 1>和< N, ×, 1>都是独异点 并且都是< R,×, 1>的子独异点 < [0, 1), ×>不是独异点，因为它不含关于×的么元