本节的主要内容
集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。 集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。 半群与独异点的两条幂运算规则：xn xm＝xn+m ，(xn)m＝xnm 。 通过笛卡尔积构造直积 。 同态映射的判别：(xy)＝(x)(y)
对于独异点要加上(e)＝e。
定义11.2说明
任取<a,b>,<c,d>,<u,v>S (<a,b>•<c,d>)•<u,v> = <ac,b*d>•<u,v> = <(ac)u,(b*d)*v> = <acu,b*d*v> <a,b>•(<c,d>•<u,v>) = <a,b>•(<c u,d*v>) = <a(cu),b*(d*v)> = <acu,b*d*v>
与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。
群中元素的阶
定义11.7 设G是群，a∈G，使得等式 ak＝e
成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|＝k，这时也称a为 k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。 举例 在<Z6,>中，2和4是3阶元，3是2阶元，而1和5是6阶元，0 是1阶元。 在<Z,+>中，0是1阶元，其它的整数都是无限阶元。 在Klein四元群中，e为1阶元，其它元素都是2阶元。
11.2 群的定义与性质
群是特殊的半群和独异点。 群论中常用的概念或术语：
有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。 群的运算规则。
群的定义
定义11.4 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运算是可结 合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则 称G为群（group）。
定义11.2 设V1＝<S1,>，V2＝<S2,*>是半群(或独异点), 令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下： <a,b>,<c,d>∈S, <a,b>•<c,d>＝<ac,b*d> 称<S,•>为V1和V2的直积，记作V1×V2。
可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则<e1,e2>是
含幺半群，也叫做独异点（monoid）。 有时也将独异点V记作V＝<S，，e>。
半群与独异点的实例
<Z+,+>，<N,+>，<Z,+>，<Q,+>，<R,+>都是半群,+是普通加 法。这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。
设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都是 独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。
若对任意的x,y∈S1有 (xy)＝(x)(y) 且(e1)＝e2,
则称为独异点V1到V2的同态映射,简称同态。
两点说明：
简记为 (xy)＝(x)(y)
应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右 边的 (x) (y)是在V2中的运算。
xn xm＝xn+m
(xn)m＝xnm
m,n∈Z+
普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个 幂运算规则。
独异点中的幂
独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点 中去。
由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x 的零次幂,即
x0＝e
xn+1＝xn x
n∈N
半群与独异点的直积
V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。
半群与独异点的同态映射
定义11.3 (1)设V1＝<S1,>,V2＝<S2,>是半群,: S1→S2。
若对任意的x,y∈S1有 (xy)＝(x)(y)
则称为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。 (2)设V1＝<S1 ,,e1>,V2＝<S2 ,,e2>是独异点, : S1→S2.
举例 (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。 (2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实矩
阵都有逆阵。
Klein四元群
设G＝{a,b,c,d}，•为G上的二元运算，见下表。
•eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
称<G1×G2,•>是G1与G2的直积。 上一节已经证明：<G1G2,•> 是独异点， 可以证明对任意的<a,b>∈G1G2 ,<a-1,b-1> 是<a,b>的逆元， 因此G1×G2关于•运算构成一个群。
群论中常用的概念或术语
定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。
群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔
(Abel)群。
例
<Z,+>,<R,+>是无限群、交换群。 <Zn,>是有限群，也是n阶群、交换群。 Klein四元群是4阶群、交换群。 <{0},+>是平凡群、交换群。
群中元素的n次幂
定义11.6 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂
e an an1a
(a 1 )a m
n0 n0 n 0, n m
<P(B),>为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算。 <Zn,>为半群,也是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},为模n加
法。
半群中元素的幂
由于半群V＝<S,>中的运算是可结合的,可以定义元素的 幂,对任意x∈S,规定：
x1＝x
xn+1＝xn x,
n∈Z+
用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：
（优选）离散数学群与半群
11.1 半群与独异点
半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。 半群与独异点的定义，及其子代数的说明。 半群与独异点的幂运算。 半群与独异点的同态映射。
半群与独异点
定义11.1 (1)设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如果运算是可结
合的，则称V为半群（semigroup）。 (2)设V＝<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是
G是一个群： e为G中的单位元； 运算是可结合的； 运算是可交换的； G中任何元素的逆元就是它自己； 在a,b,c三个元素中,任何两个元素
运算的结果都等于另一个元素。
称这个群为Klein四元群,简称四元群。
群的直积
设<G1,>, <G2,*>是群，在G1G2上定义二元运算•如下： <a,b>,<c,d>∈G1×G2 , <a,b>•<c,d>＝<ac,b*d>
