411圆的标准方程

二、讲解新课
将圆的标准方程( x a)2 ( y b)2 r 2的展开式为：
x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r 2 ) 0
取 D 2a, E 2b, F a2 b2 r 2 得
x2 y2 Dx Ey F 0
①
再将上方程配方，得
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F ②
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程没有实数解，
因而它不表示任何图形
综上所述，方程 x2 y2 Dx Ey F 0
表示的曲线不一定是圆
只有当 D2 E2 4F 0时，它表示的曲线才是圆，
我们把形如 x2 y2 Dx Ey F 0
的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程 的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方 程突出了方程形式上的特点：
⑵与标准方程的互化
新疆 王新敞
学案
⑶用待定系数法求圆的方程 新疆 王新敞 学案
新疆 王新敞
学案
⑷求与圆有关的点的轨迹。
五、课后作业：
P124 A组 1, 2⑵, 6； B组 2
内长恒为6的动弦的中点轨迹。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程.
练习:求圆x-32 + y+42 =1关于直线
x+y=0对称的圆的方程.
四、小结：
⑴对方程 x2 y2 Dx Ey F 0
的讨论(什么时候可以表示圆)
x y （1）
和 的系数相同，且不等于0； 2
2
新疆 王新敞
学案
（2）没有 xy这样的二次项

y
M (x, y) r
A(a,b)
O
x
6
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：M Axa2yb2.
即：
pM |M|A r
(xa)2(yb)2 r
(xa)2(yb)2r2
7
圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
法二：利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半 径,圆的方程可求.
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写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
这个圆上．
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点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点 的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这 个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
怎样判断点 M0(在x0圆,y0) (xa)内2 呢(？y 还b 是)2在圆r2外呢？
y
M3
o
x
M2 A

• 规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标 准､定参数〞是解题的根本方法.其中,选标准是根 据条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三 个参数.
• 变式训练2:求圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的 圆的标准方程.
• 解:设圆心在x轴上,半径为5的圆的方程为
• (x-a)2+y2=52.
1 0 1 2 1
• 依点斜式知AB的方程为x-y-3=0.
• 答案:A
• 7.圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0)的圆心C到直线
7
• 4x+3y-12=0的距离是___5_____.
• 解析:圆心C(2,-1),代入点到直线的距离公式,得
d|423(1)12|7.
4232
5
• 8.求经过点A(-1,4),B(3,2),且圆心在y轴上的圆的方程. • 解:∵圆心在y轴上, • ∴可设圆心坐标为(0,b),那么圆的方程为: • x2+(y-b)2=r2. • ∵圆经过A､B两点,
• 正解:由题意知,所求圆的方程可设为(x-a)2+y2=25,
• ∵圆截y轴所得线段长为8,
• ∴圆过点A(0,4)代入圆的方程得a2+16=25,
• ∴a=±3,
• 故所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
技能演练
根底强化
1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
• 3.假设一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,那么此圆 的圆心和半径分别是( )
• A.(-1,5), 3
B.(1,-5), 3

《4.1.1 圆的标准方程》教案授课时间：2017.6.9 授课地点：尤溪晨光中学高一(5) 授课教师：朱兴炬一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.二、教学目标：1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，会根据圆的标方程，求圆心和半径;②会判断点和圆的位置关系;③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、内容分析：重点：圆的标准方程的求法及其应用难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.六、教学过程教教师活师生交设计意环节已知隧道的截面是半径1. 为4米的半圆，车辆只能在道路从实际问题出发激2.7引入中心线一侧行驶，一辆宽为学生学生阅起学生学习数学的热新课米，高为3米的货车能不能驶入读思考. . 情和兴趣这个隧道？确定直 2. 在直角坐标系中，线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何复习、回忆一条直线都可用一个二元一次通过师生合作交方程来表示，那么，圆是否也可学过的知识，思引出复习旧知识，流，用一个方程来表示呢？如果能，考、回答问题 . .新知识这个方程又有什么特征呢？课件显示本节课的学习目学生阅读.让学生清楚本节.标课要学习的内容.确定圆的基本条件为圆心教师引导学和半径，设圆的圆心坐标为培养学生独立思A(a,b)，半径为r。